Leçons de niveau 15

Trace et transposée de matrice/Propriétés plus élaborées

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Propriétés plus élaborées
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Chapitre no 4
Leçon : Trace et transposée de matrice
Chap. préc. :Définition de la trace d'un endomorphisme
Chap. suiv. :Espace euclidien sur un ensemble de matrices

Exercices :

Propriétés de la trace
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Trace et transposée de matrice/Propriétés plus élaborées
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Nous allons établir, dans ce chapitre, quelques propriétés supplémentaires de la trace d’une matrice. Nous démontrons ces propriétés sur les matrices, mais nous devons garder présent à l’esprit que ces propriétés restent valables sur les endomorphismes en raison de l’isomorphisme existant entre l’ensemble des endomorphismes et l’ensemble des matrices.

Certaines propriétés énoncées ci-dessous ne font pas intervenir la notion de trace, mais elle servent dans la démonstration d’autres propriétés qui, elles, la font intervenir.




(Ei,j)i∈〚1,m〛, j∈〚1,n constitue la base canonique de . Par exemple, la matrice identité vérifie : .

Début d'un lemme


Fin du lemme













Les propriétés 7 et 8, spécifiques à K = R, seront synthétisées et démontrées au chapitre suivant. La propriété 9, générale, est un simple corollaire de l'invariance de la trace par transposition (propriété 2) et du calcul de la transposée d'un produit.