Trace et transposée de matrice/Propriétés plus élaborées

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Nous allons établir, dans ce chapitre, quelques propriétés supplémentaires de la trace d’une matrice. Nous démontrons ces propriétés sur les matrices, mais nous devons garder présent à l’esprit que ces propriétés restent valables sur les endomorphismes en raison de l’isomorphisme existant entre l’ensemble des endomorphismes et l’ensemble des matrices.

Certaines propriétés énoncées ci-dessous ne font pas intervenir la notion de trace, mais elle servent dans la démonstration d’autres propriétés qui, elles, la font intervenir.

Définition

E_i,j est la matrice ayant un 1 en ligne i colonne j et des 0 ailleurs.

(E_i,j)_{i∈〚1,m〛, j∈〚1,n〛} constitue la base canonique de $\mathrm {M} _{m,n}(K)$. Par exemple, la matrice identité $\mathrm {I} _{n}\in \mathrm {M} _{n}(K)$ vérifie : $\mathrm {I} _{n}=\sum _{i=1}^{n}\mathrm {E} _{i,i}$.

Début d'un lemme

Lemme

Soit δ_i,j, le symbole de Kronecker, défini par :

${\begin{cases}\delta _{i,j}=1\qquad {\text{si}}\ i=j\\\delta _{i,j}=0\qquad {\text{si}}\ i\neq j\end{cases}}$.

Alors,

$\left(\mathrm {E} _{i,i}\right)_{o,p}=\delta _{i,o}\delta _{j,p}$.

Fin du lemme

Propriété 5

$E_{i,j}E_{k,l}=\delta _{j,k}E_{i,l}$.

Démonstration

${\begin{aligned}\forall o,p\qquad (E_{i,j}E_{k,l})_{o,p}&=\sum _{q}(E_{i,j})_{o,q}(E_{k,l})_{q,p}\\&=\sum _{q}\delta _{i,o}\delta _{j,q}\delta _{k,q}\delta _{l,p}\\&=\delta _{i,o}\delta _{k,j}\delta _{l,p}\\&=\delta _{j,k}\delta _{i,o}\delta _{l,p}\\&=\delta _{j,k}(E_{i,l})_{o,p}\\&=(\delta _{j,k}E_{i,l})_{o,p}.\end{aligned}}$

 

Propriété 6

Une base de $\ker \left(\operatorname {Tr} \right)$ est la famille :

$\{E_{i,j}\mid 1\leq i\leq n,\,1\leq j\leq n,\,i\neq j\}\cup \{E_{i,i}-E_{1,1}\mid 2\leq i\leq n\}$.

Démonstration

Une matrice $A=\sum _{1\leq i\leq n,\,1\leq j\leq n}a_{i,j}E_{i,j}$ appartient à ce noyau si et seulement si $a_{1,1}=-\sum _{i=2}^{n}a_{i,i}$, ce qui prouve que $\ker \left(\operatorname {Tr} \right)$ est engendré par cette famille. Comme elle est libre, c'est bien une base de $\ker \left(\operatorname {Tr} \right)$.

 

Propriété 7

$\forall A\in \mathrm {M} _{m,n}(\mathbb {R} )\qquad \operatorname {Tr} (^{t}A\,A)\geq 0$.

Propriété 8

$\forall A\in \mathrm {M} _{m,n}(\mathbb {R} )\qquad \operatorname {Tr} (^{t}A\,A)=0\Rightarrow A=0$.

Propriété 9

$\forall A,B\in \mathrm {M} _{m,n}(K)\qquad \operatorname {Tr} (^{t}A\,B)=\operatorname {Tr} (^{t}B\,A)$.

Les propriétés 7 et 8, spécifiques à K = R, seront synthétisées et démontrées au chapitre suivant. La propriété 9, générale, est un simple corollaire de l'invariance de la trace par transposition (propriété 2) et du calcul de la transposée d'un produit.