Leçons de niveau 15

Trace et transposée de matrice/Exercices/Propriétés de la trace

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Propriétés de la trace
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Exercices no1
Leçon : Trace et transposée de matrice
Chapitre du cours : Propriétés plus élaborées

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Sommaire
Exo suiv. :Résolution au mieux d'un système impossible à résoudre
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Trace et transposée de matrice/Exercices/Propriétés de la trace
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Exercice 1-1[modifier | modifier le wikicode]

Soient un -espace vectoriel et une application linéaire invariante par similitude, c'est-à-dire telle que pour toutes matrices avec inversible, .

  1. Montrer que si alors , où est la notation usuelle pour les matrices de la base canonique de .
  2. En déduire qu'il existe tel que .
  3. En déduire que si est une application linéaire vérifiant , alors il existe tel que .

Exercice 1-2[modifier | modifier le wikicode]

a/ Soient f et g deux formes linéaires sur un K-e.v. E. Montrer que si Ker(g) ⊂ Ker(f) alors f est colinéaire à g. (Remarque : la réciproque est immédiate.)

b/ En déduire que si une forme linéaire f sur Mn(K) vérifie :

A, B ∈ Mn(K)   f(AB) = f(BA), alors il existe αK tel que f = α Tr.