Trace et transposée de matrice/Exercices/Propriétés de la trace

Exercice 1-1

Soient $E$ un $K$-espace vectoriel et $h:{\mathrm{M}}_n(K)\to E$ une application linéaire invariante par similitude, c'est-à-dire telle que pour toutes matrices $A,P\in {\mathrm{M}}_n(K)$ avec $P$ inversible, $h(P^{-1}AP)=h(A)$.

1. Montrer que si $i\ne j$ alors $h(E_{i,i}+E_{i,j})=h(E_{i,i})=h(E_{1,1})$, où $E_{i,j}$ est la notation usuelle pour les $n^2$ matrices de la base canonique de ${\mathrm{M}}_n(K)$.
2. En déduire qu'il existe $e\in E$ tel que $\mathrm{\forall }A\in {\mathrm{M}}_n(K)h(A)=\mathrm{tr}(A)e$.
3. En déduire que si $f:{\mathrm{M}}_n(K)\to E$ est une application linéaire vérifiant $\mathrm{\forall }A,B\in {\mathrm{M}}_n(K)f(AB)=f(BA)$, alors il existe $e\in E$ tel que $\mathrm{\forall }A\in {\mathrm{M}}_n(K)f(A)=\mathrm{tr}(A)e$.

Solution

1. Les matrices $E_{i,i}+E_{i,j}$ (pour $i\ne j$), $E_{i,i}$ et $E_{1,1}$ sont semblables car elles ont une droite propre pour la valeur 1 et supplémentaire de leur noyau (elles sont mêmes semblables par des matrices de passage inversibles dans les matrices à coefficients entiers).
2. Soit $e=h(E_{1,1})$. Pour toute matrice $A=\sum a_{i,j}{E}_{i,j}$, on a $h(A)=\sum a_{i,j}h(E_{i,j})=\sum a_{i,i}e=\mathrm{tr}(A)e$.
3. Une telle application $f$ vérifie en particulier (pour toutes matrices $A,P\in {\mathrm{M}}_n(K)$ avec $P$ inversible) $f(P^{-1}AP)=f(AP{P}^{-1})=f(A)$, ce qui permet d'appliquer la question précédente.

Référence : Bourbaki, Algèbre, p. II.158, prop. 8.

 

Exercice 1-2

Soit $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Existe-t-il $A,B\in {\mathrm{M}}_n(K)$ telles que $AB-BA={\mathrm{I}}_n$ ?

Solution

Non car $\mathrm{tr}(AB-BA)=0<n=\mathrm{tr}(I_n)$.