Trace et transposée de matrice/Définition de la trace d'un endomorphisme

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Dans cette leçon, tous les espaces vectoriels considérés sont supposés de dimension finie.

Nous venons de voir que deux matrices semblables ont la même trace. Nous savons que les matrices associées à un endomorphisme dans des bases différentes sont semblables. Par conséquent, la trace de la matrice associée à un endomorphisme donné sera la même quelle que soit la base choisie. On peut donc donner la définition suivante :

Définition

La trace d’un endomorphisme est la trace de la matrice associée à cet endomorphisme dans une base quelconque.

Les propriétés rappelées précédemment se réécrivent en termes de traces d'endomorphismes :

Résumé des propriétés

$\forall f,g\in \mathrm {L} (E)\quad \forall \alpha ,\beta \in K\quad \operatorname {Tr} (\alpha f+\beta g)=\alpha \operatorname {Tr} (f)+\beta \operatorname {Tr} (g)$

$\forall f\in \mathrm {L} (E)\quad \operatorname {Tr} (^{t}f)=\operatorname {Tr} (f)$, où $^{t}\!f\in \mathrm {L} (E^{*})$ est l'application transposée de $f$, l'espace $E^{*}$ étant le dual de $E$.

$\forall f\in \mathrm {L} (E,F)\quad \forall g\in \mathrm {L} (F,E)\quad \operatorname {Tr} (f\circ g)=\operatorname {Tr} (g\circ f)$.