Trace et transposée de matrice/Exercices/Résolution au mieux d'un système impossible à résoudre

Exercice 2-1

Résoudre au mieux le système suivant :

${\begin{cases}3x+2y+z=9\\5x+3y-2z=6\\4x-3y+4z=9\\2x-y+2z=7\end{cases}}$

Solution

Sous forme matricielle, le système peut s'écrire :

${\begin{pmatrix}3&2&1\\5&3&-2\\4&-3&4\\2&-1&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}9\\6\\9\\7\end{pmatrix}}$

D'après un théorème du cours, pour résoudre au mieux ce système, il nous suffit de multiplier à gauche les deux membres de l'équation matricielle ci-dessus par la transposée de la première matrice apparaissant dans l'équation, on obtient :

${\begin{pmatrix}3&5&4&2\\2&3&-3&-1\\1&-2&4&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3&2&1\\5&3&-2\\4&-3&4\\2&-1&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3&5&4&2\\2&3&-3&-1\\1&-2&4&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}9\\6\\9\\7\end{pmatrix}}$

En effectuant les produits de matrice, on obtient :

${\begin{pmatrix}54&7&13\\7&23&-18\\13&-18&25\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}107\\2\\47\end{pmatrix}}$

Qui, sous forme de système, s'écrit

${\begin{cases}54x+7y+13z=107\\7x+23y-18z=2\\13x-18y+25z=47\end{cases}}$

Ce dernier système a autant d'équations que d'inconnues, nous savons donc le résoudre, nous trouvons :

${\begin{cases}x={\frac {3032}{2583}}\\y={\frac {4280}{2583}}\\z={\frac {6361}{2583}}\end{cases}}$

On peut vérifier, en remplaçant x,y et z, dans le système posé au début, par ces valeurs, que l’on trouve des valeurs du premier membre pas très loin des valeurs du second membre.

 

Exercice 2-2

Après le décès d'une mère célibataire, ses trois enfants sont convoqués chez le notaire pour l'ouverture du testament. Voici le testament lu par le notaire :

Testament de Ursule Nullenmat. Moi, Ursule Nullenmat, saine de corps et d'esprit, souhaite partager ma fortune de 8 400 € entre mes trois enfants : Claire, Victor et Laure. Je souhaite que Laure ait 4 500 € de plus que Claire. Je souhaite aussi que Victor ait trois fois plus que Claire et que Laure ait deux fois plus que Victor.

Quelle somme va attribuer le notaire à chacun des trois enfants pour satisfaire au mieux les volontés d'Ursule ?

Solution

Soient :

• x la somme attribuée à Claire ;
• y celle attribuée à Victor ;
• z celle attribuée à Laure.

Si l’on écrit dans un système toutes les conditions à satisfaire, on obtient :

${\begin{cases}x+y+z=8400\\z=x+4500\\3x=y\\2y=z.\end{cases}}$

Nous obtenons un système impossible à résoudre car contenant plus d'équations indépendantes que d'inconnues. Ursule Nullenmat a posé trop d'exigences et il est impossible au notaire de les respecter parfaitement.

Le notaire va, malgré tout, essayer de satisfaire au mieux les volontés d'Ursule Nullenmat. Si l’on applique simplement la méthode de résolution au mieux des systèmes linéaires impossibles à résoudre, on se retrouve devant un dilemme. Cette méthode va donner des valeurs approchées pour x, y et z et il y a toutes les chances que la première condition x + y + z = 8 400 ne soit pas satisfaite. Il est pourtant indispensable que cette condition soit satisfaite, sinon il se pourrait que les 8 400 € d'héritage ne soient pas suffisants pour verser les sommes dues aux héritiers, ou alors il se pourrait qu'une partie de cette somme reste.

Constat d'échec lorsqu'on applique la méthode sans exiger que x + y + z soit exactement égal à 8 400

Supposons que nous ayons voulu résoudre directement au mieux le système :

${\begin{cases}x+y+z=8400\\z=x+4500\\3x=y\\2y=z,\end{cases}}$

que l’on peut aussi écrire sous la forme :

${\begin{cases}x+y+z=8400\\-x+z=4500\\3x-y=0\\2y-z=0.\end{cases}}$

En le mettant sous forme matricielle, nous obtenons :

${\begin{pmatrix}1&1&1\\-1&0&1\\3&-1&0\\0&2&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}8400\\4500\\0\\0\end{pmatrix}}$.

Multiplions à gauche par la transposée de la première matrice :

${\begin{pmatrix}1&-1&3&0\\1&0&-1&2\\1&1&0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1&1\\-1&0&1\\3&-1&0\\0&2&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&-1&3&0\\1&0&-1&2\\1&1&0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}8400\\4500\\0\\0\end{pmatrix}}$.

En effectuant les produits matriciels, nous obtenons :

${\begin{pmatrix}11&-2&0\\-2&6&-1\\0&-1&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3900\\8400\\12900\end{pmatrix}}$

qui, remis sous forme de système, nous donne :

${\begin{cases}11x-2y=3900\\-2x+6y-z=8400\\-y+3z=12900.\end{cases}}$

Ce système a une unique solution :

${\begin{cases}x={\frac {5700}{7}}\approx 814{,}29\approx 814\\y={\frac {17700}{7}}\approx 2528{,}57\approx 2529\\z={\frac {3600}{7}}\approx 5142{,}86\approx 5143.\end{cases}}$

Le notaire devrait attribuer 814 € à Claire, 2 529 € à Victor et 5 143 € à Laure.

Mais 814 + 2 529 + 5 143 = 8 486 €. Il manque donc 86 € pour faire le partage. C'est pour cela que l’on a dû procéder en considérant la condition x + y + z = 8400 comme impérative.

 

On va donc procéder ainsi : on extrait une inconnue de la première équation et on la remplace par substitution dans les trois autres de façon à obtenir un système n'ayant plus que trois équations à deux inconnues. Mais voilà, quelle inconnue x, y ou z va-t-on extraire de la première équation ? Va-t-on obtenir les mêmes résultats selon que l’on commence par extraire x, y ou z ? Oui, bien sûr, puisque les trois méthodes reviennent à chercher un point d'un plan $P$ (le plan défini par la première équation) dont l'image par l'application $f:(x,y,z)\mapsto (z-x,3x-y,2y-z)$ soit égale au projeté orthogonal de (4 500, 0, 0) sur $f(P)$ : peu importe la façon dont on paramètre le plan $P$ !

En extrayant par exemple x de la première équation et en portant l’expression obtenue dans les trois autres équations, nous obtenons :

${\begin{cases}z=(8400-y-z)+4500\\3(8400-y-z)=y\\2y=z\end{cases}}$

puis, en simplifiant ce système :

${\begin{cases}y+2z=12900\\4y+3z=25200\\2y-z=0\end{cases}}$

et en l'écrivant sous forme matricielle :

${\begin{pmatrix}1&2\\4&3\\2&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}12900\\25200\\0\end{pmatrix}}$.

Comme nous appliquons la méthode de résolution au mieux d'un système linéaire impossible à résoudre, nous multiplions les deux membres de cette équation matricielle par la transposée de la première matrice. Nous obtenons ainsi :

${\begin{pmatrix}1&4&2\\2&3&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2\\4&3\\2&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&4&2\\2&3&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}12900\\25200\\0\end{pmatrix}}$

puis, en calculant les produits :

${\begin{pmatrix}21&12\\12&14\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}113700\\101400\end{pmatrix}}$

et en transformant cette équation matricielle en système classique :

${\begin{cases}21y+12z=113700\\12y+14z=101400.\end{cases}}$

L'unique solution de ce système est :

$y=2500,\quad z=5100$.

En complétant avec l'inconnue manquante grâce à la condition x + y + z = 8400, nous obtenons finalement :

$x=800,\quad y=2500,\quad z=5100$.

Nous pouvons conclure que le notaire va attribuer 800 € à Claire, 2 500 € à Victor et 5 100 € à Laure.

Calculs analogues (et résultat identique) avec les deux autres procédures

Nous allons mener en parallèle les deux autres calculs pour, à la fin, comparer les résultats obtenus. En extrayant soit y, soit z de la première équation et en portant l’expression obtenue dans les trois autres équations, nous obtenons respectivement :

${\begin{cases}z=x+4500\\3x=(8400-x-z)\\2(8400-x-z)=z\end{cases}}\qquad \qquad \qquad {\begin{cases}(8400-x-y)=x+4500\\3x=y\\2y=(8400-x-y).\end{cases}}$

En simplifiant ces deux systèmes, nous obtenons respectivement :

${\begin{cases}-x+z=4500\\4x+z=8400\\2x+3z=16800\end{cases}}\qquad \qquad \qquad \qquad {\begin{cases}2x+y=3900\\3x-y=0\\x+3y=8400\end{cases}}$

puis, sous forme matricielle :

${\begin{pmatrix}-1&1\\4&1\\2&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4500\\8400\\16800\end{pmatrix}}\qquad \qquad \qquad {\begin{pmatrix}2&1\\3&-1\\1&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3900\\0\\8400\end{pmatrix}}$.

Multiplions les deux membres de ces deux équations matricielles par la transposée de la première matrice apparaissant dans chaque équation. Nous obtenons respectivement :

${\begin{pmatrix}-1&4&2\\1&1&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&1\\4&1\\2&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1&4&2\\1&1&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}4500\\8400\\16800\end{pmatrix}}\qquad \qquad \qquad {\begin{pmatrix}2&3&1\\1&-1&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&1\\3&-1\\1&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&3&1\\1&-1&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3900\\0\\8400\end{pmatrix}}$

c'est-à-dire

${\begin{pmatrix}21&9\\9&11\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}62700\\63300\end{pmatrix}}\qquad \qquad \qquad {\begin{pmatrix}14&2\\2&11\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}16200\\29100\end{pmatrix}}$

puis, en transformant les deux équations matricielles en deux systèmes :

${\begin{cases}21x+9z=62700\\9x+11z=63300\end{cases}}\qquad \qquad \qquad \qquad {\begin{cases}14x+2y=16200\\2x+11y=29100\end{cases}}$

et en les résolvant :

${\begin{cases}x=800\\z=5100\end{cases}}\qquad \qquad \qquad \qquad {\begin{cases}x=800\\y=2500.\end{cases}}$

En complétant chacun des deux systèmes avec l'inconnue manquante grâce à la condition x + y + z = 8 400, nous obtenons finalement la même solution que par le premier calcul.

 

 

Exercice 2-3

Humour : un chamelier lègue ses 17 chameaux à ses trois fils : il désire que l'aîné ait la moitié, le cadet le tiers et le benjamin le neuvième : comment vont-ils procéder pour que le partage soit juste ?

Solution

Soient :

• x le nombre des chameaux attribués à l'aîné ;
• y le nombre de ceux attribués au benjamin ;
• z le nombre de ceux attribués au cadet.

Si l’on écrit dans un système toutes les conditions à satisfaire, on obtient :

${\begin{cases}x+y+z=17\\2x=17\\3y=17\\9z=17.\end{cases}}$

La condition x + y + z = 17 est impérative car lors du partage, il ne faut pas qu’il manque un chameau ou qu’il y ait un chameau en trop. Nous procéderons a priori comme dans l'exercice précédent. Nous tirerons x de la première équation pour porter sa valeur dans les trois autres (nous invitons le lecteur à vérifier que si de la première équation, on tire y ou z, le résultat final sera le même). Nous obtenons :

${\begin{cases}2(17-y-z)=17\\3y=17\\9z=17\end{cases}}$

qui se simplifie sous la forme :

${\begin{cases}2y+2z=17\\3y=17\\9z=17.\end{cases}}$

Mettons ce système sous forme matricielle :

${\begin{pmatrix}2&2\\3&0\\0&9\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}17\\17\\17\end{pmatrix}}$.

Multiplions à gauche par la transposée de la première matrice :

${\begin{pmatrix}2&3&0\\2&0&9\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&2\\3&0\\0&9\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&3&0\\2&0&9\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}17\\17\\17\end{pmatrix}}$.

En effectuant les produits matriciels, nous obtenons :

${\begin{pmatrix}13&4\\4&85\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}85\\187\end{pmatrix}}$

qui, remis sous forme de système, donne :

${\begin{cases}13y+4z=85\\4y+85z=187.\end{cases}}$

L'unique solution de ce système est :

$y={\frac {2159}{363}},\quad z={\frac {697}{363}}$.

En complétant par la valeur de x compte tenu de la condition x + y + z = 17, nous obtenons :

${\begin{cases}x={\frac {1105}{121}}\approx 9{,}13\\y={\frac {2159}{363}}\approx 5{,}95\\z={\frac {697}{363}}\approx 1{,}92.\end{cases}}$

Nous ne pouvons décemment pas couper des morceaux de chameaux. Nous sommes donc tentés d'arrondir en prenant :

${\begin{cases}x=9\\y=6\\z=2.\end{cases}}$

Nous attribuerons donc 9 chameaux à l'aîné, 6 chameaux au benjamin et 2 chameaux au cadet.

'Remarque

Pour la petite histoire, on pourrait envisager une autre solution humoristique, mais non mathématique, pour résoudre le problème. On fait croire aux trois fils que leur père leur avait caché l’existence d'un chameau supplémentaire et qu’il y a en réalité, non pas 17 chameaux, mais 18 chameaux (ou on emprunte un chameau au voisin, juste pour le temps du partage).

On donne la moitié à l'aîné, soit 18 : 2 = 9 chameaux.

On donne le tiers au Benjamin, soit 18 : 3 = 6 chameaux.

On donne le neuvième au cadet, soit 18 : 9 = 2 chameaux.

Comme 9 + 6 + 2 = 17, ni vu ni connu, on peut faire le partage de façon parfaite en faisant croire que personne n'est lésé.

 

Exercice 2-4

Ce chamelier, qui ne connaissait pas la méthode des matrices transposées mais seulement celle des différentielles partielles, pense pouvoir, en les utilisant, léguer ses 17 chameaux à ses trois fils : il désire toujours que l'aîné ait la moitié, le cadet le tiers et le benjamin le neuvième : comment vont-ils procéder, à l'aide des différentielles, pour que le partage soit aussi juste que dans l'exercice 2-3 et vont-ils obtenir même résultat?

Solution

Il transcrit le problème de la même manière :

Soit x, le nombre de chameaux attribuée à l'aîné.

Soit y, le nombre de chameaux attribuée au benjamin.

Soit z, le nombre de chameaux attribuée au cadet.

En écrivant toutes les conditions à satisfaire, on obtînt aussi le système ${\begin{cases}x+y+z=17\\2x=17\\3y=17\\9z=17\end{cases}}$

En imposant la contrainte et condition que, obligatoirement et exactement $x=17-y-z$, ils obtinrent le même système que dans la méthode par transposée de l'exercice 2-3, soit :

${\begin{cases}2y+2z=17\\3y=17\\9z=17\end{cases}}$

Il s'agira dès lors de minimiser la somme des carrés des écarts pour avoir une répartition statistiquement équitable :

$S_{e^{2}}=(2y+2z-17)^{2}+(3y-17)^{2}+(9z-17)^{2}$

Pour cela il fallût et il suffît que les dérivées partielles de $S_{e^{2}}$par rapport à x et y fûssent nulles : voir Calcul différentiel

${\begin{cases}{\frac {\partial S_{e^{2}}}{\partial y}}\left(x,y,z\right)=0\\{\frac {\partial S_{e^{2}}}{\partial z}}\left(x,y,z\right)=0\end{cases}}$

Ce qui donna pour ce problème :

${\begin{cases}2(2(2y+2z-17)+3(3y-17))=0\\2(2(2y+2z-17)+9(9z-17))=0\end{cases}}$

Et après réduction : ${\begin{cases}13y+4z=85\\4y+85z=187\end{cases}}$

Qui est le même système que celui obtenu par la matrice transposées du 2-3 , et donnera donc les mêmes solutions :

${\begin{cases}y={\frac {6477}{1089}}=5,948\\z={\frac {2091}{1089}}=1,920\end{cases}}$

Ayant obtenu le même système, on obtient naturellement les mêmes solutions.

On relève que :

$S_{e^{2}}=(2y+2z-17)^{2}+(3y-17)^{2}+(9z-17)^{2}$

$S_{e^{2}}=(2*5,95+2*1,92-17)^{2}+(3*5,95-17)^{2}+(9*1,92-17)^{2}$

$S_{e^{2}}=1,596+0,7225+0,0784=2,3969$

Résoudre directement le système sans avoir ajouté la condition $x=17-y-z$, conduit aussi à deux solutions identiques entre elles, différentes de celles ci-dessus, et avec un $S_{e^{2}}$ différent.

NOTA : La condition choisie comme prioritaire est ici naturelle puisque le nombre de chameaux doit être entier (16, 17 ou 18). Dans d'autres problèmes, elle peut résulter d'un choix prioritaire ou être absente (résolution directe). Il peut aussi y avoir plusieurs contraintes. Mais quelle que soit la méthode privilégiée (transposée ou différentielle), il faut traiter le même système pour pouvoir comparer.

 

Exercice 2-5

(généralisation de l'exercice précédent)

Soit un système quelconque de trois équations à deux inconnues.

Vérifiez que l’on obtient bien le même résultat, que l’on applique la méthode de cette leçon ou que l’on applique la méthode consistant à annuler les dérivées partielles de la somme des carrés des différences des deux membres.

Solution

Soit a, b, c, d, e, f, g, h, k neuf nombres réels quelconques.

Nous nous proposons de résoudre au mieux le système :

${\begin{cases}ax+by=c\\dx+ey=f\\gx+hy=k\end{cases}}$

Nous ne résoudrons pas ce système entièrement par les deux méthodes, mais seulement jusqu'à ce qu’il soit évident que les deux méthodes donnent le même résultat.

Première méthode.

Mettons ce système sous forme matricielle :

${\begin{pmatrix}a&b\\d&e\\g&h\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}c\\f\\k\end{pmatrix}}$

Multiplions à gauche par la transposée de la première matrice :

${\begin{pmatrix}a&d&g\\b&e&h\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b\\d&e\\g&h\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&d&g\\b&e&h\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}c\\f\\k\end{pmatrix}}$

En effectuant les produits matriciels, nous obtenons :

${\begin{pmatrix}a^{2}+d^{2}+g^{2}&ab+de+gh\\ab+de+gh&b^{2}+e^{2}+h^{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ac+df+gk\\bc+ef+hk\end{pmatrix}}$

Qui, remis sous forme de système, nous donne :

${\begin{cases}(a^{2}+d^{2}+g^{2})x+(ab+de+gh)y=ac+df+gk\\(ab+de+gh)x+(b^{2}+e^{2}+h^{2})y=bc+ef+hk\end{cases}}$

Les solutions au mieux du système initial sont les solutions de ce dernier système.

Deuxième méthode.

Posons :

$f(x,y)=(ax+by-c)^{2}+(dx+ey-f)^{2}+(gx+hy-k)^{2}$

la somme des carrés des différences des deux membres des équations du système.

Nous devons trouver les valeurs de x et de y qui minimisent cette expression.

Au point minimal, les dérivées partielles de f par rapport à x et à y s'annulent. Nous avons ;

${\begin{cases}{\frac {\partial f(x,y)}{\partial x}}=0\\{\frac {\partial f(x,y)}{\partial y}}=0\end{cases}}$

Qui nous donne :

${\begin{cases}2a(ax+by-c)+2d(dx+ey-f)+2g(gx+hy-k)=0\\2b(ax+by-c)+2e(dx+ey-f)+2h(gx+hy-k)=0\end{cases}}$

En simplifiant, on obtient :

${\begin{cases}(a^{2}+d^{2}+g^{2})x+(ab+de+gh)y=ac+df+gk\\(ab+de+gh)x+(b^{2}+e^{2}+h^{2})y=bc+ef+hk\end{cases}}$

Les solutions au mieux du système initial sont les solutions de ce dernier système.

Conclusion.

Les deux méthodes nous indiquent toutes les deux que les valeurs de x et y qui sont les solutions au mieux du système :

${\begin{cases}ax+by=c\\dx+ey=f\\gx+hy=k\end{cases}}$

sont les racines exactes du système :

${\begin{cases}(a^{2}+d^{2}+g^{2})x+(ab+de+gh)y=ac+df+gk\\(ab+de+gh)x+(b^{2}+e^{2}+h^{2})y=bc+ef+hk\end{cases}}$

Ce qui nous montre que les deux méthodes donnent bien les mêmes solutions au mieux.

Remarque 1.

Ce qui a été fait dans cet exercice se généralise à tous les systèmes, quel que soit le nombre d'équations et quel que soit le nombre d'inconnues.

Remarque 2.

Si l’on posait la question : quels sont les avantages respectifs des deux méthodes ?

On pourrait répondre :

• la première méthode est plus facile à programmer (elle est utilisée en robotique).

• la deuxième méthode est plus générale car elle pourrait théoriquement résoudre au mieux des systèmes non linéaires ayant plus d'équations que d'inconnues.

 

Exercice 2-6

${\begin{cases}2x+y=1\\x+y=2\\2x-y=3\end{cases}}\qquad \qquad \qquad {\begin{cases}4x+2y=2\\x+y=2\\2x-y=3\end{cases}}$

(On remarque que le deuxième système a été obtenu à partir du premier en multipliant les deux membres de la première équation par 2.)

a) Résoudre au mieux ces deux systèmes. Que constate-t-on ?

b) Montrer que la solution de chacun des systèmes ne convient pas à l'autre système.

c) Conclure.

Solution

a) Résolvons au mieux les deux systèmes :

Résolution du premier système.

Mettons le premier système sous forme matricielle :

${\begin{pmatrix}2&1\\1&1\\2&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}}$

Multiplions à gauche par la transposée de la première matrice :

${\begin{pmatrix}2&1&2\\1&1&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&1\\1&1\\2&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&1&2\\1&1&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}}$

En effectuant les produits matriciels, nous obtenons :

${\begin{pmatrix}9&1\\1&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}10\\0\end{pmatrix}}$

Qui, remis sous forme de système, nous donne :

${\begin{cases}9x+y=10\\x+3y=0\end{cases}}$

En résolvant ce système, on trouve :

${\begin{cases}x={\frac {15}{13}}\\y=-{\frac {5}{13}}\end{cases}}$

Résolution du deuxième système.

Mettons le deuxième système sous forme matricielle :

${\begin{pmatrix}4&2\\1&1\\2&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\2\\3\end{pmatrix}}$

Multiplions à gauche par la transposée de la première matrice :

${\begin{pmatrix}4&1&2\\2&1&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}4&2\\1&1\\2&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4&1&2\\2&1&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2\\2\\3\end{pmatrix}}$

En effectuant les produits matriciels, nous obtenons :

${\begin{pmatrix}21&7\\7&6\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}16\\3\end{pmatrix}}$

Qui, remis sous forme de système, nous donne :

${\begin{cases}21x+7y=16\\7x+6y=3\end{cases}}$

En résolvant ce système, on trouve :

${\begin{cases}x={\frac {75}{77}}\\y={\frac {-7}{11}}\end{cases}}$

On constate que l’on ne trouve pas les mêmes solutions au mieux pour les deux systèmes.

b) Soit :

$f(x,y)=(2x+y-1)^{2}+(x+y-2)^{2}+(2x-y-3)^{2}$

La somme des carrés des différences des deux membres des équations du premier système.

Soit :

$g(x,y)=(4x+2y-2)^{2}+(x+y-2)^{2}+(2x-y-3)^{2}$

La somme des carrés des différences des deux membres des équations du deuxième système.

Pour le premier système :

$f({\frac {15}{13}},{\frac {-5}{13}})={\frac {32}{13}}\simeq 2,46$

$f({\frac {75}{77}},-{\frac {7}{11}})={\frac {17984}{5929}}\simeq 3,03$

Nous voyons que la solution du second système donne une somme des carrés des différences plus élevée et donc est moins bonne que la solution du premier système.

Pour le deuxième système :

$g({\frac {75}{77}},-{\frac {7}{11}})={\frac {256}{77}}\simeq 3,32$

$g({\frac {15}{13}},{\frac {-5}{13}})={\frac {848}{169}}\simeq 5,02$

Nous voyons que la solution du premier système donne une somme des carrés des différences plus élevée et donc est moins bonne que la solution du deuxième système.

c) Conclusion : Cet exercice nous montre que l’on ne peut pas multiplier par 2 les deux membres d'une équation d'un système impossible à résoudre exactement, si l’on veut appliquer la méthode de résolution au mieux de cette leçon.