Discussion:Trace et transposée de matrice/Exercices/Résolution au mieux d'un système impossible à résoudre

Une page de Wikiversité.
Sauter à la navigation Sauter à la recherche

Discussion sur le système de l'exercice 2-1[modifier le wikicode]

On peut se poser la question de savoir son peut remplacer le système initial proposé
par le système similaire ( similaire car une au moins des équations à ses coefficients proportionnels à une des précédentes )
Il semble que les solutions obtenues soient différentes par la méthode de la matrice transposée. en est il de même avec la méthode des différentielles ? --Ereduverseau (discussion) 20 septembre 2013 à 16:56 (UTC)
Une analyse de la somme des carrés des écarts ( encore faut -il définir : écarts de quoi par rapport à quoi ? ) est à faire pour s'assurer du résultat.
Ceci est vrai pour tout système :
si un des k est différent des 3 autres au moins.

--Ereduverseau (discussion) 21 septembre 2013 à 09:29 (UTC)

Discussion générale[modifier le wikicode]

Réponse de modérateur Wikiste[modifier le wikicode]

Tu commences en disant :
Si le système initial proposé
est remplacé par le système apparemment équivalent:
les solutions obtenues sont différentes.


Et c’est de là que vient toute ta confusion. Ces deux systèmes ne sont pas du tout équivalents. Je trouve vraiment triste que tu puisses passer des heures à essayer de pondre de nouvelles théories sans te rendre compte que tout ce que tu fais est basé sur une de tes lacunes en mathématiques. Deux systèmes sont dits équivalents s'ils admettent les mêmes solutions. Par conséquent, deux systèmes insolubles ne peuvent pas être équivalents et c’est le cas ici. C'est donc normal que la méthode de résolution au mieux que j’ai exposée dans la leçon donne des solutions différentes. Il faut bien comprendre ce que l’on cherche à faire. On veut trouver des valeurs pour x, y et z telle que la somme des carrés des différences entre les premiers et seconds membres soit la plus petite possible. Si tu multiplies les deux membres de la première équation par deux, la somme des carrés des différences entre premier et second membre va en être perturbé et tu vas changer le résultat pour x, y et z. Il faut prendre le système tel qu’il est sans appliquer les règles de transformation qui ne sont valables que sur les systèmes résolubles. Quand un système est insoluble, multiplier les deux membres de la première équation par 2 n'a absolument aucun sens d'un point de vue mathématique. --Lydie Noria (discussion) 14 septembre 2013 à 05:22 (UTC)


PS. Il y aurait une objection apparente à ce que je viens de dire. Lorsque l’on a un système à résoudre sans savoir au départ s'il est résoluble ou pas, on applique les règles de transformation des systèmes et si l’on arrive à une égalité du style 2 = 3, on dit que le système est impossible à résoudre. Ce raisonnement est-il correct d'un point de vue mathématique si l’on n'a pas le droit d'appliquer les règles de résolutions à des systèmes insolubles. En fait, quand l’on fait ceci, on fait implicitement un raisonnement par l'absurde. On part de l'hypothèse "Le système est résoluble" (ce qui nous donne le droit d'appliquer les règles de résolutions), et on arrive à la conclusion 2 = 3 qui est absurde. On en déduit donc que notre hypothèse était fausse et que, par conséquent, le système n’est pas résoluble. --Lydie Noria (discussion) 14 septembre 2013 à 05:40 (UTC)
J'admets que mon exemple de système est trop trivial tout en étant pas à exclure. J'en fournirai d'autres plus complets et moins simplistes ( voir ma demande en bas de page discussion ). Mais déjà, peux-tu résoudre avec la méthode de la transposée les systèmes simplistes et triviaux ( 3=4 ) que je soumets ? Je crois que c’est ce que j’ai fait, mais mal présenté et expliqué, et j’ai montré les différences qui apparaissaient par l’utilisation de la méthode de la transposée selon l'écriture plus ou moins réduite ( réductible ) du système. C'est pour cela que je supprime ni cette discussion, ni la page que je créé tant que je n'aurai pas éclairci ces différences.

--Ereduverseau (discussion) 15 septembre 2013 à 15:26 (UTC)

PS bis. Ton intervention n'a; toutefois, pas été inutile car, à la suite de celle-ci, j’ai rajouté une remarque à la fin de la page Trace et transposée de matrice/Résolution au mieux d'un système d'équations insoluble pour clarifier les choses. --Lydie Noria (discussion) 14 septembre 2013 à 06:07 (UTC)


PS ter. En ce qui concerne les solutions que tu proposes au problème imaginaire, y compris dans la page Recherche:Paradoxes et problèmes mathématiques anciens et nouveaux. Importance de la méthode de résolution, cela n'a aucune valeur puisque tu ne donnes aucune justification logiques de ce que tu fais. Je ne vois qu'une suite de calculs et nulle part je n'ai vu d'explications qui justifient pourquoi tu fais telle ou telle chose. --Lydie Noria (discussion) 14 septembre 2013 à 06:48 (UTC)

Remarque sur la réponse[modifier le wikicode]

Viendront des explications plus claires et une nouvelle, je sais pas , je me renseigne, conception de la régression multi-linéaire. J’ai ajouté une page de recherche que je transformerai en leçon à chapitres. Recherche:Résolution au mieux d'un système d'équations linéaires. D'ailleurs cette page reprends pour l'instant le contenu de la présente discussion ( dont tu n'as pas évoqué l'effet que t'a provoqué la solution que tu n'as certainement pas dû ouvrir).
Je reconnais volontiers que le terme équivalent est mal choisi et dénote une méconnaissance terminologique, semi-proportionnel eût-il été mieux approprié ?.
Au sujet des moindres carrés je démontre quand même, avec un exemple simple, que la méthode de la transposée ne minimalise pas cette somme de carrés lorsque les coefficients des termes de l'une équation ont un PGCD. Mon but est bien de trouver LA méthode permettant de minimiser cette somme des carrés des écarts lors d'un système multi-linéaire comportant plus d'équations que d'inconnues. Cette méthode ira beaucoup plus loin dans la leçon que je crée.

Cordialement.--Ereduverseau (discussion) 14 septembre 2013 à 13:43 (UTC)

Dialogue suivant la réponse et la remarque[modifier le wikicode]

Désolée, mais je ne vois pas de quel exemple simple tu parles et qui montre que la méthode est incorrecte. Cette méthode est utilisée depuis des années en robotique. Si elle n'était pas correcte, je pense que les mathématiciens s'en seraient aperçu. Je peux te garantir qu'elle minimise la somme des carrés des différences. Si tu as encore l'impression que non, c’est que tu commets forcément une erreur quelque part ! Dit moi de quel exemple simple tu parles et je te dirai quelle erreur tu commets. --Lydie Noria (discussion) 14 septembre 2013 à 16:58 (UTC)
Je viens de vérifier sur un exemple de 3 équations, 2 inconnues. Tu as raison, la somme des moindres carrés est obtenue par la méthode de la trans posée et par celle des différentielles. Je poursuis néanmoins mon étude, j'affinerai mes exemples et mes vérifications avec différents exemples dont ceux avec des équations à coefficients réductibles de par l’existence d'un PGCD aux coefficients et second membre d'une même équation ( les résultats sont différentes et la somme est supérieure, d'où la nécessité de ne plus avoir de PGCD différent de 1 ). Effectivement, la méthode que je proposais ne privilégie pas le minimum de la somme des carrés. Mille excuses.--93.11.195.247 14 septembre 2013 à 17:34 (UTC)
Je ne sais pas quelle différence tu fais entre résolution au mieux et résolution au plus prés. Ici, tu n'es plus dans l'espace recherche. Il n'est, par conséquent, pas question d'écrire quoi que ce soit de non justifié (inspiration divine ou pas). --Lydie Noria (discussion) 16 septembre 2013 à 18:00 (UTC)
La résolution au plus près donne une somme des carrés des écarts minimale. Celle au mieux ne la minimise pas ( attends la fin de la rédaction des calculs de mes systèmes en cours pour t'en apercevoir , ainsi que la résolution que je propose ainsi que la solution alternative de ton problème de Nullenmat - peut-être aurait-je le même résultat final ). Cordialement--Ereduverseau (discussion) 16 septembre 2013 à 18:25 (UTC)
J’ai une idée pour recycler une partie de ce que tu as fait quand tu te seras rendu compte que tes théories sont erronées. --Lydie Noria (discussion) 17 septembre 2013 à 11:01 (UTC)
Il faudra recycler si ce sont des modèles d'erreurs à ne pas commettre ; néanmoins l’utilisation du système de dérivées partielles est utilisé pour trouver les paramètres de la droite de régression ( je le mettrai je sais pas trop où tiré du book de m. Cavé, que j’avais en stat ). Je revérifierai pour une énième fois mes calculs et finirai ceux restant,dont les différentes sommes de carrés des écarts obtenues ( épreuve de vérité )--Ereduverseau (discussion) 17 septembre 2013 à 17:21 (UTC)
En ce qui concerne les deux méthodes alternatives de l'exercice 2-2. La première méthode est presque correcte, sauf que la somme ne donne pas 8400, ce qui est normal, car il s'agit de solutions approchées qui ne vérifient pas exactement les équations du système et en particulier pas la première. La deuxième méthode, je ne sais pas sur quoi, elle est basée, donc injustifiée ! de toute façon ces deux méthodes ne pourront pas rester ici car sans rapport avec la leçon. Si tu veux les conserver, je te suggère de faire un copier-coller en les mettant dans une de tes leçons de l'espace recherche, en faisant par exemple un exercice comme ici. En ce qui concerne l'exercice 2-3, je pense qu’il va pouvoir rester ici, mais je vais légèrement le modifier et améliorer la rédaction. Si tu veux le conserver tel qu’il est, il vaut mieux le transférer aussi dans une de tes leçons de l'espace recherche. --Lydie Noria (discussion) 17 septembre 2013 à 18:25 (UTC)
C'est fait--Ereduverseau (discussion) 17 septembre 2013 à 22:29 (UTC)
Bravo et merci pour le chamelier. J’ai repris les méthodes comparées des dérivées partielles et de la transposée sur un exemple plus simple à 2 inconnues avec des coefficients simples. J'obtiens les mêmes résultats. J'avais donc dû faire une erreur de calcul pour l'exercice 2-2. Puis-je mettre mon exemple dans la discussion pour te le soumettre puis le transférer dans la page cours ? Dois-je retirer des morceaux dans la discussion.--Ereduverseau (discussion) 18 septembre 2013 à 19:32 (UTC)
Tu peux essayer de rajouter un exercice(Exercice 2-4), à la suite de l'exercice sur le chamelier, qui consisterait à comparer les deux méthodes de résolution au mieux (transposée et dérivée partielle) de ton exemple simple d'un système insoluble de trois équations à deux inconnues en précisant que cet exercice suppose aussi la connaissance de la leçon : Calcul différentiel. Tu n'as pas besoin de retirer des morceaux dans la page discussion. Soigne la rédaction, ici on est dans l'espace enseignement et on s'adresse à de vrais élèves qui utilisent la wikiversité pour préparer des diplômes. --Lydie Noria (discussion) 19 septembre 2013 à 09:18 (UTC)
Fini pour ce soir. Je t'adore --Ereduverseau (discussion) 19 septembre 2013 à 21:08 (UTC)
Mince ! J'avais cru comprendre, d’après ce que tu as dit juste dessus, que tu avais résolu un système à deux inconnues et coefficients simples par les deux méthodes et trouvé exactement le même résultat. Dans l'exercice que tu as rajouté tu résous le système de l'exercice précédent à trois inconnues et tu ne trouves pas le même résultat(il doit y avoir une erreur de calcul- vérifié les deux , pas trouvé --Ereduverseau (discussion) 20 septembre 2013 à 09:33 (UTC)). Je vais être obligée de refaire ce que tu as fait avec un exemple plus simple ! --Lydie Noria (discussion) 20 septembre 2013 à 00:09 (UTC)
Bravo et toutes mes félicitations. Quelle patience et quel art.--Ereduverseau (discussion) 20 septembre 2013 à 09:33 (UTC)


Ok.C'est transféré. Dommage car cela résumait bien sans discours l’ensemble des pièges que l’on peut rencontrer lors de proportionnalité. La solution 2, bien développée, expliquait bien la différence obtenue. J'avais pris des systèmes à une inconnue pour que cela saute aux yeux. Préfères_tu que je prenne un système à deux inconnues ( par exemple un chamelier ayant deux jumeaux pour le traitement avec et sans proportionnalité ) --Ereduverseau (discussion) 21 septembre 2013 à 08:36 (UTC)

J'avais déjà pensé à mettre un exercice pour bien montrer que si l’on multiplie les coefficients d'une des équations par un nombre, on changeait les solutions finales. Je vais donc m'en occuper en supprimant totalement l'aspect spéculatoire. --Lydie Noria (discussion) 21 septembre 2013 à 10:45 (UTC)
Merci, tu as raison de procéder ainsi. Je reprends l'aspect coefficient ( ne pas oublier de comparer les 2 méthodes , transposée et différentielles ) et l'aspect combinaison linéaire des équations ( équations réduites qui fonctionne mais je sais pas sur quelle utilité cela débouche ) dans mes pages recherche en prenant la précaution de dire en introduction qu’il faut essentiellement faire référence à ta page transposée. Je ferai les calculs différentiels bientôt sur la droite de régression ( nota : il existe une droite horizontale de régression en plus, y = la moyenne des y ). Bon we --93.11.195.247 21 septembre 2013 à 10:57 (UTC)
La comparaison avec la méthode différentielle a déjà été traité dans les exercices précédents. Si je remets cela dans l'exercice 2-6, il sera beaucoup trop chargé. On sait grâce à l'exercice 2-5 que les deux méthodes donnent le même résultat. Ce n’est pas la peine d’en remettre une couche. --Lydie Noria (discussion) 21 septembre 2013 à 11:18 (UTC)
Ok pour ne pas surcharger et ta remarque est juste. Je le ferai pour moi.--Ereduverseau (discussion) 21 septembre 2013 à 15:36 (UTC)

Epilogue[modifier le wikicode]

Revenons sur la remarque 1 de l'exercice 2-3 où les calculs sont exacts maintenant :

PS1: La résolution exacte correspond à la solution au mieux pour un même système.
PS2 : Étant donné qu'un simple coefficient change la solution, le fait d'inverser tous les signes le fait-il aussi ? Si oui, il y a gros problème sur la méthode générale car cela demande à prendre des précautions extrêmes dans la mise en équation d'un problème, en respectant les données brutes initiales peut-être, pour les problèmes plus complexes aussi, voire impossible à prendre ou à exprimer dans le cas de coefficients dépendant de paramètres.
Après tout ce que l’on a fait, je ne comprends pas que tu espères encore trouver quelque chose de mieux que la multiplication par les transposées ou l'annulation des dérivées partielles. Ces deux théories sont parfaitement établies et il n’est pas possible de faire mieux. Il me semble que c’est clairement démontré dans la leçon. --Lydie Noria (discussion) 21 septembre 2013 à 17:29 (UTC)

--Ereduverseau (discussion) 21 septembre 2013 à 23:17 (UTC)

Tu as raison : Je m'aperçois que tu as fait la bonne mise en forme du problème du chamelier car le total 17 est incontournable et représente une contrainte de base d'où x, y ou z en fonction des 2 autres inconnues et un système à 3 inconnues ramené à un système à 2 inconnues. Lorsque l’on travaille sur le même système , qu’il soit direct ou avec contrainte, la solution au mieux par la matrice transposée correspond à la solution par différentielles. Elle correspond à la solution au plus près pour ce système. S'il n'y a pas de contrainte, c'est-à dire si on oublie les chameaux et que l’on accepte que x+y+z différent de 17, la remarque ci-dessus reste valable ( je confirmerai ). Du coup, je vais remettre le même système dans le 2-4 que dans le 2-3 pour appuyer le 2-5. --93.11.195.216 24 septembre 2013 à 10:36 (UTC)
Je me propose de regrouper les deux solutions dans le même exercice 2-3 avec le système avec contrainte et les deux solutions dans l'exercice 2-4 en traitement direct sans la contrainte de la somme égale juste à 17. Me fais -tu assez confiance pour le faire par copier-coller essentiellement et tableau récapitulatif dans le 2-5 ?--Ereduverseau (discussion) 24 septembre 2013 à 18:23 (UTC)
Non, je préfère que tu ne touches plus à rien. À part l'exercice 2-4, les autres exercices me semblent convenables. Tu n'as manifestement aucune expérience de l'enseignement ou de la rédaction d'exercices. Nous ne sommes pas dans l'espace recherche ici. Si ce que tu écris n’est pas convenable, je le supprimerai. On ne peut pas prendre le risque de faire fuir des enseignants contributeurs éventuels. --Lydie Noria (discussion) 25 septembre 2013 à 08:56 (UTC)
Je te comprends . J’ai essayé d'améliorer la présentation et la formulation du 2- 4. Cela te va t'il ? Le reste sera analysé en page recherche .--Ereduverseau (discussion) 25 septembre 2013 à 19:24 (UTC)
Par exemple, dans la ligne :
Que fait le signe ∑ après le =, il ne sert à rien ici et son utilisation est incorrecte.
Tu tiens aussi à résoudre les systèmes par la méthode des déterminants. Cette méthode n'a rien à faire ici, ce n’est pas l’objet de la leçon. Les élèves sont sensé à ce niveau être capable de résoudre un système. Il est donc inutile de détailler la résolution d'un système. Ça alourdit l'exposée.
L'expression est lourde et confuse. Moi-même, j’ai du mal à comprendre ce que tu veux dire.
Un exercice doit se focaliser sur une idée bien précise pour ne pas embrouiller l'élève. Il me semble que l’objet de cet exercice est de comparer sur un exemple la méthode de la transposée et la méthode des différentielles pour préparer à la généralisation de l'exercice 2-5. Mixer d’autre idée comme méthode des déterminants, condition prioritaire, discussion dans un nota sur ce qu’il est bien de faire selon les contraintes me semble totalement hors de propos, superflu et de nature à induire en erreur l'élève qui débute dans ce sujet. --Lydie Noria (discussion) 26 septembre 2013 à 02:15 (UTC)