Leçons de niveau 14

Théorie des groupes/Théorème de Maschke

Une page de Wikiversité.
Aller à : navigation, rechercher
Début de la boite de navigation du chapitre
Théorème de Maschke
Icône de la faculté
Chapitre no 35
Leçon : Théorie des groupes
Chap. préc. : Produit en couronne
Chap. suiv. : Représentations complexes des groupes finis, 1

Exercices :

Théorème de Maschke
fin de la boite de navigation du chapitre
Icon falscher Titel.svg
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Théorie des groupes : Théorème de Maschke
Théorie des groupes/Théorème de Maschke
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Dans ce chapitre, on va démontrer le théorème de Maschke, qui joue un rôle fondamental dans la théorie des représentations linéaires des groupes finis. On commencera par quelques rappels d'algèbre générale.

Rappels sur la caractéristique d'un corps[modifier | modifier le wikicode]

Soit K un corps (non forcément commutatif). L'unique homomorphisme du groupe dans le groupe K, + qui applique l'élément 1 de sur l'élément 1 de K est aussi l'unique homomorphisme d'anneaux de dans K.
Le noyau de cet homomorphisme est de la forme n , pour un nombre naturel n défini de manière unique; ce nombre naturel n est appelé la caractéristique de K.
La caractéristique de K est égale à 0 ou à un nombre premier p.
Si la caractéristique de K est nulle, l'homomorphisme d'anneaux est injectif et s'étend de façon unique en un homomorphisme injectif du corps (corps des nombres rationnels) dans le corps K; par corestriction, cet homomorphisme définit un isomorphisme du corps sur le sous-corps premier de K (plus petit sous-corps de K pour l'inclusion).
Si maintenant la caractéristique de K est un nombre premier p, l'homomorphisme d'anneaux a pour noyau , d'où un (unique) isomorphisme du corps sur le sous-corps premier de K.
Pour un entier rationnel n, nous noterons parfois nK l'image de n par l'unique homomorphisme d'anneaux de dans K. (En particulier, 1K désigne le neutre multiplicatif de K.) Nous dirons que nK est l'image canonique de n dans K.
De façon générale, si G est un groupe noté additivement, si n est un entier rationnel etx un élément de G, on désigne par nx l'image de n par l'unique homomorphisme du groupe dans G qui applique 1 sur x. (Pour n naturel, nx est la somme de n termes égaux à x; pour n = -n' avec n' naturel, nx = - (n'x)= n'(-x).)
En appliquant cette notation au cas où G est le groupe additif du corps K, on a nx = nKx, où, dans le second membre, le produit est pris relativement à la loi interne multiplicative de K.
Pour un entier rationnel, on écrit parfois n au lieu de nK. Si on Émploie cette notation, il faut garder présent à l'esprit que si la caractéristique de K n'est pas nulle, un entier rationnel non nul peut être « nul dans K ».

Anneau des endomorphismes d'un espace vectoriel[modifier | modifier le wikicode]

Soit F un corps (non forcément commutatif) et V un F-espace vectoriel. On désigne par EndF(V), ou encore par End(V), l'ensemble des F-endomorphismes de V (transformations linéaires).

Début d’un théorème


Fin du théorème

La vérification est laissée au lecteur.

Sous-espaces vectoriels supplémentaires dans un espace vectoriel[modifier | modifier le wikicode]






Début d’un théorème


Fin du théorème
Début d'une démonstration


Fin de la démonstration

Remarque. Il est clair que tout ce qui a été dit jusqu'ici sur les espaces vectoriels dans la présente section s'étend immédiatement aux modules. Ce n'est pas le cas de l'énoncé suivant :

Début d’un théorème


Fin du théorème
Début d'une démonstration


Fin de la démonstration

Algèbres sur un corps commutatif[modifier | modifier le wikicode]


Dans les écritures, on donnera la précédence aux opérateurs et sur l'opérateur . Avec cette convention, la condition 2° signifie que pour tous éléments a, b, c de A,

et

et que pour tout f dans F et tous a, b dans A,

En pratique, on note généralement par le même symbole + l'addition dans F et l'addition dans A. De même, on note généralement par simple juxtaposition la multiplication dans F, la multiplication dans A et la loi externe . Avec cette convention, et l'usage correspondant du symbole , on peut énoncer :

Soient et deux familles finies d'éléments de F, soient et deux familles d'éléments de A; alors

Les algèbres auxquelles nous nous intéresserons dans la suite de ce cours seront des algèbres sur des corps (commutatifs). Si F est un corps commutatif, l'expression « F-module » peut être remplacée par « F-espace vectoriel » dans la définition d'une F-algèbre.

Si la multiplication d'une algèbre est associative, on dit que cette algèbre est associative. L'addition et la multiplication d'une algèbre associative A munissent A d'une structure de pseudo-anneau, que nous appellerons le pseudo-anneau sous-jacent de l'algèbre A. Toutes les algèbres que nous considérerons seront associatives.

Si la multiplication d'une algèbre A admet un élément neutre (lequel est alors unique),on dit que cet élément neutre est l'unité de l'algèbre A et que cette algèbre est unifère.

Si une algèbre A est à la fois associative et unifère, son pseudo-anneau sous-jacent est un anneau, qu'on appellera anneau sous-jacent de A.

L'exemple suivant d'algèbre associative et unifère sur un corps commutatif sera utilisé dans la suite de ce chapitre.

Début d’un théorème


Fin du théorème
Début d'une démonstration


Fin de la démonstration

Groupes linéaires réductibles, irréductibles, complètement réductibles[modifier | modifier le wikicode]

Dans la suite de ce chapitre, les corps sur lesquels on considérera des espaces vectoriels seront toujours supposés commutatifs, même si certains énoncés restent vrais sans cette hypothèse. Il n'y aura donc pas lieu de distinguer entre espaces vectoriels à gauche et à droite.

Si V est un espace vectoriel sur un corps commutatif F, on désignera par GL(V) le groupe formé par les permutations F-linéaires de V (automorphismes de l'espace vectoriel V), la loi de groupe étant la composition

est définie par

Nous dirons qu'un groupe G est un groupe linéaire si c'est un sous-groupe de GL(V) pour un certain espace vectoriel V sur un corps commutatif. Si on définit un endomorphisme d'espace vectoriel de façon que la notion de l'endomorphisme englobe celle de l'espace vectoriel, alors V est défini de façon unique à partir de G.

Si g est un élément de GL(V), un sous-espace W de V est dit stable par g si g(W) est contenu dans W. W est dit invariant par g si g(W) = W. (Si W est de dimension finie et stable par g, il est invariant par g, car W et g(W) ont la même dimension et un espace vectoriel de dimension finie n est son seul sous-espace de dimension n.)




Dans ce cas, chaque élément de G admet une birestriction à W et ces birestrictions forment un sous-groupe de GL(W).




Il est clair que s'il existe un sous-groupe réductible de GL(V), la dimension de V est au moins égale à 2.

Exemples. 1° Si G est le sous-groupe trivial de GL(V), c'est-à-dire le sous-groupe de GL(V) réduit à l'automorphisme identique de V, tout sous-espace de V est invariant par G, donc si V est de dimension au moins égale à 2, V est réductible.
2° Si G est GL(V) tout entier, G n'est pas réductible. (En effet, si W est un sous-espace de V tel que 0 < W < V, on peut choisir un élément non nul x de W et un élément y, forcément non nul, de V \ W; d'après la théorie des espaces vectoriels, il existe un automorphisme g de V qui applique x sur y; alors W n'est pas invariant par g et n'est donc pas invariant par G = GL(V), ce qui prouve que GL(V) n'est pas réductible.)










Il est clair que si V est de dimension finie et qu' un sous-groupe G de GL(V) est complètement réductible, alors V est somme directe d'une famille finie de sous-espaces irréductibles pour G.

Un groupe linéaire irréductible est complètement réductible, ce qui montre une certaine incohérence dans la terminologie.

Début d’un théorème


Fin du théorème
Début d'une démonstration


Fin de la démonstration

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]