Théorie des groupes/Exercices/Représentations complexes des groupes finis, 1
Problème 1
[modifier | modifier le wikicode]Soit G un groupe fini. Donner une démonstration des deux remarques suivantes, énoncées dans le chapitre théorique :
- (V4) Deux -représentations de G de degré n, l'une vectorielle, T, et l'autre matricielle, U, se correspondent, si et seulement si T est équivalente à la représentation vectorielle T' définie par :
- pour tout élément g de G, T'(g) est l'automorphisme de de matrice U(g) dans la base canonique.
- (M3) Deux -représentations matricielles de G de degré n, U1 et U2, sont équivalentes si et seulement si les -représentations vectorielles T1 et T2 définies comme suit sont équivalentes :
- pour tout élément g de G, Ti(g) est l'automorphisme de de matrice Ui(g) dans la base canonique.
Notons B' la base canonique de .
- et se correspondent si et seulement si, pour une certaine base B de V (numérotée), on a :
- c'est-à-dire, par définition de T' :
- pour tout élément g de G, la matrice de T(g) dans B est égale à la matrice de T'(g) dans B'.
- En notant le -isomorphisme de dans V qui envoie B' sur B, cela équivaut à :
- pour tout élément g de G, .
- Donc T et U se correspondent si et seulement si T et T' sont équivalentes.
- U1 et U2 sont équivalentes si et seulement si, pour une certaine matrice , on a :
- pour tout élément g de G,
- c'est-à-dire, par définition de T1 et T2 et en notant (donc ) :
- pour tout élément g de G, .
- Donc U1 et U2 sont équivalentes si et seulement si T1 et T2 sont équivalentes.
Problème 2
[modifier | modifier le wikicode]On va construire un exemple de -représentation irréductible de degré 2.
a) Soit une racine primitive troisième de l'unité, c'est-à-dire une racine cubique de 1 distincte de 1. Cela revient à dire que est un élément d'ordre 3 du groupe multiplicatif du corps . (On peut par exemple prendre où )
Prouver qu'il existe un et un seul homomorphisme U du groupe dans le groupe qui applique
- (1 2 3) sur
et
- (1 2) sur .
(Indication : on peut utiliser le théorème « Homomorphismes partant d'un groupe diédral » du chapitre Groupes diédraux.)
Dans le groupe , l'élément (1 2 3) est d'ordre 3, l'élément (1 2) est d'ordre 2 et
- (1 2) (1 2 3) (1 2)-1 = (12 3)-1.
D'autre part, puisque est un élément d'ordre 3 du groupe multiplicatif du corps , la matrice est un élément d'ordre 3 du groupe (voir la formule donnant les puissances d'une matrice diagonale).
De plus, la matrice est un élément d'ordre 2 du groupe et
(dans le premier membre, remplacer par et, pour calculer le second membre, utiliser la formule donnant l'inverse d'une matrice diagonale).
Comme (1 2) et (1 2 3) engendrent (par exemple parce qu'ils engendrent un sous-groupe dont l'ordre est divisible par 2 et par 3), il résulte de ce qui précède et de théorèmes du chapitre Groupes diédraux, notamment du théorème « Homomorphismes partant d'un groupe diédral », que est diédral (d'ordre 6) et qu'il existe un et un seul homomorphisme U du groupe dans le groupe qui applique
- (1 2 3) sur
et
- (1 2) sur .
b) Prouver que U est une -représentation matricielle irréductible de degré 2 de .
Puisque U est un homomorphisme du groupe dans le groupe , c'est une -représentation matricielle de degré 2 de . Prouvons que cette représentation est irréductible.
Choisissons un -espace vectoriel V de dimension 2 et une base de V. Soit T la -représentation vectorielle de correspondant à U via la base . Pour prouver que U est irréductible, il s'agit de prouver que T est irréductible. Puisque V est de dimension 2, cela revient à prouver qu'il n'y a pas de sous-espace W de dimension 1 de V qui soit invariant par chaque élément de . Puisque, comme on l'a noté dans la solution du point a), (1 2 3) et (1 2) engendrent , cela revient à prouver qu'il n'y a pas de sous-espace W de dimension 1 de V qui soit invariant par T( (1 2 3) ) et par T( (1 2) ).
Supposons que, par absurde, il existe un tel sous-espace W. Alors il existe un élément w non nul de V tel que les images de w par T( (1 2 3) ) et par T( (1 2) ) appartiennent toutes deux à
Soit avec a et b dans .
Dire que l'image de w par T( (1 2 3) ) appartient à revient à dire que appartient à , donc
- (1)
Dire que l'image de w par T( (1 2) ) appartient à revient à dire que appartient à , donc
- (2)
De (1), il résulte qu'un au moins des nombres a, b est nul, donc, d'après (2), a et b sont tous deux nuls, donc w = 0, contradiction. Cette contradiction prouve que T est irréductible, donc U l'est aussi. Nous avons donc trouvé une -représentation matricielle et une -représentation vectorielle toutes deux irréductibles et de degré 2.
Remarque. Nous avons ainsi trouvé une -représentation vectorielle (resp. matricielle) irréductible de degré 2 du groupe diédral . Dans un chapitre ultérieur, nous déterminerons (à équivalence près) toutes les -représentations irréductibles des groupes diédraux.