Leçons de niveau 14

Théorie des groupes/Groupes libres : théorème de Howson

Une page de Wikiversité, la communauté pédagogique libre.
Aller à la navigation Aller à la recherche
Début de la boite de navigation du chapitre
Groupes libres : théorème de Howson
Icône de la faculté
Chapitre no 47
Leçon : Théorie des groupes
Chap. préc. :Groupes libres : théorème de Nielsen-Schreier
Chap. suiv. :Produit libre d'une famille de groupes

Exercices :

Groupes libres : théorème de Howson
fin de la boite de navigation du chapitre
Icon falscher Titel.svg
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Théorie des groupes : Groupes libres : théorème de Howson
Théorie des groupes/Groupes libres : théorème de Howson
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Dans ce chapitre, on va démontrer un théorème de Howson selon lequel l'intersection de deux sous-groupes de type fini d'un groupe libre est elle-même un groupe de type fini. Ce théorème n'est pas une matière classique et peut donc être négligé par le lecteur. On lui fait une place ici parce qu'il peut être démontré à l'aide de lemmes qui nous ont servi à démontrer le théorème de Nielsen-Schreier[1].

Classes à droite à terminaisons multiples[modifier | modifier le wikicode]


Exemples

1) Si H est réduit à l'élément neutre, toute classe à droite modulo H est un singleton, donc aucune classe à droite modulo H n'est à terminaison multiples.
2) Soit a un élément de X, soit H le sous-groupe <a> de F(X) engendré par a. H comprend a, dont la dernière lettre signée est a, et H comprend aussi a-1, dont la dernière lettre signée est a-1, donc la classe H est à terminaisons multiples.
3) Soit X = {a,b,c} un ensemble de cardinal 3, soit H le sous-groupe (monogène) de F(X) engendré par l'élément b-1ab. La classe à droite H1 = H n'est pas à terminaisons multiples, car ses éléments distincts de 1 ont tous b pour dernière lettre signée. La classe à droite Hc n'est pas à terminaisons multiples, car ses éléments ont tous c pour dernière lettre signée. La classe à droite Hb-1a-1 est à terminaisons multiples, puisqu'elle comprend 1b-1a-1 = b-1a-1, dont la dernière lettre signée est a-1, et qu'elle comprend aussi (b-1ab)b-1a-1 = b-1, dont la dernière lettre signée est b-1.
Début d’un théorème
Fin du théorème

Démonstration. D'après le chapitre Groupes libres : théorème de Nielsen-Schreier, nous pouvons choisir une transversale droite de Schreier T de H dans F(X). Comme dans les notations du chapitre Groupes libres : théorème de Nielsen-Schreier, désignons par :

  • , pour tout élément w de F(X), l'unique élément de T tel que  ;
  • , pour tout élément t de T et tout élément x = ((x', 1)) de la base de F(X), l'unique élément de H tel que
    Cela revient à dire que
    .
  • Y l'ensemble

Les notations , et Y dépendent implicitement de H et de T, qui seront fixés durant toute la démonstration.

D'après le lemme 8 du chapitre Groupes libres : théorème de Nielsen-Schreier,

(1) Y est une base du groupe H.

Supposons d'abord que

(hyp. 2) H est de rang fini.

Alors, puisque, comme rappelé en (1), Y est une base de H,

(3) l'ensemble Y est fini.

Notons alors T' l'ensemble (fini et schreiérien) des segments initiaux appartenant à T des éléments de .

Nous avons vu (chapitre Groupes libres : théorème de Nielsen-Schreier, lemme 7) que

si r est un nombre naturel > 0,
si sont des éléments de Y,
si sont des éléments de
si le mot signé sur Y
est réduit sur Y,
alors
(4) l'élément de F(X) commence (une fois explicité dans F(X) ) par le plus court segment initial de n'appartenant pas à T.

Puisque, d'après le lemme 3 du chapitre Groupes libres : théorème de Nielsen-Schreier, le plus long segment initial de appartenant à T est un segment initial du plus court segment initial de n'appartenant pas à T, il résulte de (4) que, sous les mêmes hypothèses,

le plus long segment initial de appartenant à T appartient à T'.

Par conséquent, comme T' est schreiérienne :

(5) pour tout élément h de H, tout segment initial de h appartenant à T appartient à T'.

Soit C une classe à droite modulo H.

Puisque T est une transversale droite de H dans F(X), il existe un (et un seul) élément t de T tel que

(6) C = H t.

Si C est à terminaisons multiples, elle contient deux mots non vides ht et h't n'ayant pas la même dernière lettre signée. Cela exige que h ou h' finisse par le mot signé t-1.

Puisque t est alors un segment initial d'un élément de H, il résulte donc de (5) que l'élément t considéré en (6) appartient à T'. Puisque l'ensemble T' est fini, cela prouve que les classes à droite modulo H à terminaisons multiples sont en nombre fini.

L'énoncé du lemme est donc démontré dans l'hypothèse (2), où H est de rang fini.

Supposons maintenant que

(hyp. 7) H est de rang infini.

Alors, puisque, comme rappelé en (1), l'ensemble est une base de H, cet ensemble est infini.

Donc, puisque, par hypothèse de l'énoncé, X est fini,

(8) il existe une partie infinie T0 de T possédant la propriété suivante :
pour tout élément t de T0, il existe au moins un élément x de tel que

Puisque T0 est contenue dans la transversale droite T de H,

(9) les classes à droite Ht, où t parcourt T0, sont deux à deux distinctes et sont donc en quantité infinie.

Prouvons que

(thèse 10) pour tout élément t de T0, Ht est à terminaisons multiples.

Soit t un élément de T0.

D'après (8), nous pouvons choisir x dans tel que

(11)

Compte tenu de (11) et du chapitre Groupes libres : théorème de Nielsen-Schreier, lemme 5, deuxième et troisième assertions du point 3°,

(12) t ne finit pas par la lettre signée x-1 et
(13) finit par la lettre signée

Or par définition de ,

(14)

Des résultats (12) à (14), il résulte que Ht comprend deux mots signés non vides ( et ) qui ne finissent pas par la même lettre signée. Cela prouve notre thèse (10), à savoir que, pour tout élément t de T0, Ht est à terminaisons multiples.

Puisque, d'après (9), les classes à droite Ht, où t parcourt T0, sont en quantité infinie, nous avons donc prouvé que dans l'hypothèse (7), où H est de rang infini, il y a une infinité de classes à droite modulo H qui sont à terminaisons multiples. Joint au résultat obtenu dans le cas où H est de rang fini, cela prouve l'énoncé.

Remarque. L'énoncé devient faux si on ne suppose pas X fini. En effet, supposons X infini et prenons pour sous-groupe H de F(X) le groupe F(X) lui-même. Alors H n'est pas de type fini mais il n'y a qu'une classe à droite modulo H dans F(X) (à savoir F(X)), donc «les» classes à droite modulo H à terminaisons multiples sont en nombre fini (égal à 1).

Théorème de Howson[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème
Fin du théorème

Démonstration. Puisque H et K sont supposés de type fini, il résulte d'un problème de la série Groupes, premières notions que

(1) le sous-groupe <H, K> de F engendré par H et K est lui aussi de type fini.

D'autre part, d'après le théorème de Nielsen-Schreier, <H, K> est un groupe libre. Joint à (1), cela montre que H et K sont sous-groupes d'un même sous-groupe libre de type fini de F. Nous sommes donc ramenés au cas où F est libre de rang fini.
Puisque tout groupe libre est isomorphe à un groupe F(X) de même rang, on se ramène facilement au cas où il existe un ensemble fini X tel que H et K soient des sous-groupes de rang fini de F(X).
Soit , avec a dans F(X), une classe à droite modulo dans F(X).
Alors (vérification facile)

(2)

Du fait que est contenue dans Ha et dans Ka, il résulte que

(3) si est à terminaisons multiples, Ha et Ka sont à terminaisons multiples.

Puisque H est de rang fini, il résulte du précédent lemme qu'il n'y a qu'un nombre fini de classes à droite modulo H dans F(X) qui sont à terminaisons multiples ; soient ces classes.
De même, il n'y a qu'un nombre fini de classes à droite modulo K dans F(X) qui sont à terminaisons multiples ; soient ces classes.
Alors, d'après (2) et (3),

est égale à un ensemble

Cela montre qu'il n'y a qu'un nombre fini de classes à droite modulo qui sont à terminaisons multiples. D'après le lemme qui précède (applicable parce que X est fini), est donc de type fini.

Wikipédia possède un article à propos de « Conjecture de Hanna Neumann ».

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. La démonstration du théorème de Howson donnée ici est essentiellement celle qu'on trouve dans B. Baumslag et B. Chandler, Group Theory, 1968, p. 265.