Théorie des groupes/Exercices/Représentations complexes des groupes finis, 2

Problème 1

Soit G un groupe fini admettant une $\mathbb {C}$-représentation (vectorielle ou matricielle) à la fois fidèle et irréductible. Prouver que le centre de G est un groupe cyclique. (Indication. Penser au commutant de la représentation et se rappeler que tout sous-groupe fini du groupe multiplicatif d'un corps commutatif est cyclique.)

Solution

On passe facilement d'une représentation matricielle à une représentation vectorielle qui lui correspond, donc nous nous contenterons de démontrer l'énoncé pour une représentation matricielle T.
Désignons par Z le centre du groupe G. Il s'agit de prouver que Z est cyclique. Pour tout élément z de Z et tout élément g de G, nous avons zg = gz, d'où, puisque T est un homomorphisme, T(z) T(g) = T(g) T(z), ce qui montre que T(Z) est contenu dans le commutant de T. Puisque T est supposée irréductible, il résulte d'un théorème démontré dans le chapitre théorique que T(Z) est formé de matrices scalaires. Donc T(Z) est isomorphe à un sous-groupe du groupe multiplicatif du corps $\mathbb {C}$. On a vu au chapitre Automorphismes d'un groupe cyclique que tout sous-groupe fini du groupe multiplicatif d'un corps commutatif est cyclique, donc T(Z) est cyclique. Jusqu'ici, nous n'avons pas utilisé l'hypothèse selon laquelle T est fidèle. Si c'est le cas, Z est isomorphe à T(Z) et est donc cyclique.