Leçons de niveau 13

Théorie des groupes/Exercices/Théorème de Maschke

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Théorème de Maschke
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Exercices no35
Leçon : Théorie des groupes
Chapitre du cours : Théorème de Maschke

Ces exercices sont de niveau 13.

Exo préc. : Produit en couronne
Exo suiv. : Représentations complexes des groupes finis, 1
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Théorie des groupes/Exercices/Théorème de Maschke
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Problème 1[modifier | modifier le wikicode]

Soit p un nombre premier, soit F un corps commutatif de caractéristique p (par exemple le corps ), soit V un F-espace vectoriel de dimension 2, soit une base de V. Désignons par f l'endomorphisme de V qui applique sur et qui laisse fixe.

a) Prouver que f est un automorphisme de V et que le sous-groupe G de GL(V) engendré par f est d'ordre fini.

b) Dans les notations du point a), prouver que V admet un sous-espace invariant par G qui n'a pas de supplémentaire (dans V) invariant par G et que V n'est pas complètement réductible pour G. (Cela montre que ni dans la partie 1° ni dans la partie 2° du théorème de Maschke, on ne peut supprimer l'hypothèse selon laquelle la caractéristique du corps ne divise pas l'ordre du groupe linéaire.)

Problème 2[modifier | modifier le wikicode]

Soit F un corps commutatif infini. Donner un exemple de la situation suivante (contre-exemple à une extension indue du théorème de Maschke) : V est un F-espace vectoriel de dimension finie, G un sous-groupe infini de GL(V), V admet un sous-espace invariant par G qui n'a pas de supplémentaire (dans V) invariant par G, V n'est pas complètement réductible pour G. (Indication : on peut s'inspirer de la solution du problème 1.)

Problème 3 (facile)[modifier | modifier le wikicode]

Soit F un corps commutatif, soit V un F-espace vectoriel, soit G un sous-groupe de GL(V). On suppose que V est irréductible pour G. Prouver que