Leçons de niveau 14

Théorie des groupes/Exercices/Groupes libres, premiers éléments

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Groupes libres, premiers éléments
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Exercices no44
Leçon : Théorie des groupes
Chapitre du cours : Groupes libres, premiers éléments

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Caractères irréductibles de quelques groupes
Exo suiv. :Groupes libres : théorème de Nielsen-Schreier
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Théorie des groupes/Exercices/Groupes libres, premiers éléments
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Problème 1 (très facile)[modifier | modifier le wikicode]

Soient G un groupe, X une base de G, x et y deux différents éléments de X. Prouver que x et y ne commutent pas.

Remarque. L'énoncé de ce problème montre que tout groupe libre de rang est non abélien. On a noté dans le chapitre théorique que les groupes libres de rang 0 sont les groupes triviaux et que les groupes libres de rang 1 sont les groupes isomorphes à , donc si un groupe abélien n'est ni trivial ni isomorphe à , ce n'est pas un groupe libre. (Attention : comme signalé dans le chapitre théorique, l'expression « groupe abélien libre » ne signifie pas « groupe libre abélien ».) Le problème 1 fournit donc des exemples de groupes n'admettant pas de bases.

Problème 2 (Centre d'un groupe libre)[modifier | modifier le wikicode]

a) Soit G un groupe libre de rang . Prouver que le centre de G est trivial (c'est-à-dire réduit à l'élément neutre).

b) Soient X un ensemble, y un élément de X et w un élément de F(X) commutant avec ((y, 1)) dans le groupe F(X). Prouver que w est une puissance (d'exposant entier rationnel) de ((y, 1)) dans le groupe F(X).

Remarque. Plus généralement, si deux éléments v et w d'un groupe libre F commutent entre eux, ils sont puissances (à exposants entiers relatifs) d'un même élément de F. On le démontrera dans les exercices du chapitre sur le théorème de Nielsen-Schreier.

Problème 3 (très facile)[modifier | modifier le wikicode]

Soit X une partie libre d'un groupe G. (On ne suppose pas que le groupe G est libre.) Prouver que X ne comprend pas l'élément neutre de G.

Problème 4 (Tout groupe libre est sans torsion)[modifier | modifier le wikicode]

Un groupe sans torsion est par définition un groupe dont le seul élément d'ordre fini est l'élément neutre. On va prouver que tout groupe libre est un groupe sans torsion.
Soit X un ensemble, soit un mot réduit sur X (avec ).
Convenons de dire que w se collisionne lui-même si n > 0 et que les lettres signées et sont inverses l'une de l'autre (c'est-à-dire que et ).
Il est clair que si w se collisionne lui-même, long(w) > 1.
On vérifie facilement que w se collisionne lui-même si et seulement si (où désigne le carré de w dans le groupe F(X) ).

a) Prouver que si w est un mot réduit sur X qui ne se collisionne pas lui-même, alors, pour tout nombre naturel r,

(où désigne la r-ième puissance de w dans le groupe F(X) ).

b) Prouver que tout mot réduit sur X est conjugué dans le groupe F(X) à un mot réduit qui ne se collisionne pas lui-même.

c) Prouver que tout groupe libre est un groupe sans torsion.

Remarque. Des raisonnements semblables permettent de prouver l'énoncé suivant : si F est un groupe libre, si a et b sont des éléments de F, s'il existe un nombre naturel tel que an = bn, alors a = b. En faisant b = 1, on obtient l'énoncé c) comme cas particulier.

Problème 5 (Dérivé du groupe F(X))[modifier | modifier le wikicode]

Soient X un ensemble et F(X) le groupe libre construit sur X. Pour tout élément de F(X) et pour tout élément x de X, posons

(On pourrait appeler l'exposant total de x dans w.)
Pour un élément donné w de F(X), les éléments x de X tels que sont en nombre fini; en effet, un tel élément x doit être égal à un des apparaissant dans l'écriture de w.
(En revanche, évidemment, un apparaissant dans l'écriture de w n'est pas forcément un x tel que  : prendre par exemple w = ((a, 1), (b, 1), (a, -1)), avec a et b distincts; alors )
Désignons par le groupe additif de entiers rationnels et par la somme directe (ou encore somme restreinte) de la famille , indexée par X, de groupes tous égaux à . Autrement dit, est l'ensemble des familles à support fini d'entiers rationnels indexées par X, cet ensemble étant muni de la loi de groupe « addition composante par composante ». (Le groupe est appelé le groupe abélien libre construit sur X, où le mot « libre » n'a pas le même sens que dans l'expression « groupe libre ».)
D'après ce qui précède, nous pouvons considérer l'application

a) Prouver que est un homomorphisme de groupes.

b) Prouver que le dérivé F'(X) du groupe F(X) est l'ensemble des éléments de F(X) tels que, pour tout x dans X,

autrement dit l'ensemble des éléments w de F(X) tels que, pour tout x dans X,

c) Prouver que l'abélianisé F(X)/F'(X) de F(X) est isomorphe au groupe

d) Soient L un groupe libre et X une base de L. Prouver que l'abélianisé L/L' de L est isomorphe au groupe

Problème 6 (facile)[modifier | modifier le wikicode]

a) Soient X un ensemble non vide et n un nombre naturel non nul. Notons H l'ensemble des éléments de F(X) tels que

Prouver que H est un sous-groupe normal d'indice n de F(X).

b) Soient L un groupe libre non trivial et n un nombre naturel non nul. Prouver que L contient au moins un sous-groupe normal d'indice n.