Leçons de niveau 14

Théorie des groupes/Exercices/Caractères complexes des groupes finis, 2 : théorèmes sur les degrés

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Caractères complexes des groupes finis, 2 : théorèmes sur les degrés
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Exercices no41
Leçon : Théorie des groupes
Chapitre du cours : Caractères complexes des groupes finis, 2 : théorèmes sur les degrés

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Caractères complexes des groupes finis, 1 : relations d'orthogonalité
Exo suiv. :Le théorème p-q de Burnside
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Théorie des groupes/Exercices/Caractères complexes des groupes finis, 2 : théorèmes sur les degrés
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Problème 1[modifier | modifier le wikicode]

On va prouver que si un groupe fini est d'ordre impair, l'ordre de ce groupe et le nombre de classes de conjugaison d'éléments de ce groupe sont congrus entre eux modulo 16. C'est un exemple montrant que la théorie des caractères peut servir à autre chose qu'à elle-même. (La congruence modulo 8 n'est pas difficile à déduire des théorèmes sur les degrés démontrés dans le chapitre théorique, la congruence modulo 16 demande une analyse un peu plus subtile.)

a) Soit G un groupe fini (on ne suppose pas encore que l'ordre de G est impair), soit un -caractère irréductible de G, distinct du -caractère principal de G (application constante de valeur 1). Prouver que

Indication : appliquer la première relation d'orthogonalité (chapitre Caractères complexes des groupes finis, 1).

b) On ajoute aux hypothèses du point a) que est réel (on entend par là que toutes les valeurs de sont réelles, autrement dit que ). Prouver que

dans l'anneau des entiers algébriques.

c) Soit G un groupe fini d'ordre impair. Déduire du point b) que le -caractère principal de G (application constante de valeur 1) est le seul -caractère irréductible de G tel que

d) Soit G un groupe fini d'ordre impair. Déduire du point c) que l'ordre de G et le nombre des classes de conjugaison d'éléments de G sont congrus modulo 16. (Indication : le carré d'un nombre naturel impair est congru à 1 modulo 8.)