« Topologie générale/Continuité et homéomorphismes » : différence entre les versions
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==Limite== |
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== Approche intuitive et historique == |
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Soient <math>X</math> et <math>Y</math> deux espaces topologiques, <math>A</math> une partie de <math>X</math>, <math>f:A\to Y</math> une application, <math>a</math> un point adhérent à <math>A</math> et <math>\ell</math> un point de <math>Y</math>. |
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Sous les hypothèses de la définition : |
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*<math>\ell</math> est nécessairement adhérent à <math>f(A)</math> ; |
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*si <math>Y</math> est séparé et si une telle limite existe alors elle est unique, ce qui rend alors légitime la notation <math>\lim_af=\ell</math>. |
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== Définition de la continuité == |
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Pour tout voisinage <math>W</math> de <math>a</math>, <math>f(W\cap A)</math> est inclus dans <math>f(A)</math> et (puisque <math>a\in\overline A</math>) non vide, donc : |
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*pour tout voisinage <math>V</math> de <math>\ell</math>, <math>V\cap f(A)</math> est non vide ; |
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*pour tous voisinages <math>V_1</math> et <math>V_2</math> de deux limites, <math>V_1\cap V_2</math> est non vide car il contient un <math>f(W\cap A)</math> avec <math>W=W_1\cap W_2</math> (intersection de deux) voisinage(s) de <math>a</math>. |
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==Continuité en un point== |
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{{Définition|contenu= |
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| titre = continuité en un point |
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Soient <math>X</math> et <math>Y</math> deux espaces topologiques, <math>f:X\to Y</math> une application et <math>a</math> un point de <math>X</math>. On dit que <math>f</math> est continue au point <math>a</math> si <math>f</math> a pour limite <math>f(a)</math> au point <math>a</math>. |
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<math>\forall V\in \mathcal{V}(f(a))\quad f^{-1}(V)\in\mathcal{V}(a)</math>. |
<math>\forall V\in \mathcal{V}(f(a))\quad f^{-1}(V)\in\mathcal{V}(a)</math>. |
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==Continuité globale== |
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Cette définition s'applique en particulier au cas où <math>(E,\mathcal{T})</math> est un sous-espace (muni de la topologie induite) d'un espace topologique plus vaste. |
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Soient <math>X</math> et <math>Y</math> deux espaces topologiques et <math>f:X\to Y</math> une application. |
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On dit que <math>f</math> est |
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*continue (sur <math>X</math>) si elle est continue en tout point de <math>X</math> ; |
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*un homéomorphisme lorsqu'elle est bijective et que <math>f</math> et <math>f^{-1}</math> sont continues. |
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{{Proposition|contenu= |
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Les propriétés suivantes sont équivalentes : |
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#l'application <math>f</math> est continue ; |
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#l'image réciproque par <math>f</math> de tout ouvert de <math>Y</math> est un ouvert de <math>X</math> ; |
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#l'image réciproque par <math>f</math> de tout fermé de <math>Y</math> est un fermé de <math>X</math> ; |
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#pour toute partie <math>A</math> de <math>X</math>, <math>f(\overline A)\subset\overline{f(A)}</math> ; |
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#pour toute partie <math>B</math> de <math>Y</math>, <math>\overline{f^{-1}(B)}\subset f^{-1}(\overline B)</math>. |
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*1 ⇔ 2 : d'après la définition locale, ''f'' est continue en ''a'' si et seulement si, pour tout ouvert ''O'' de ''Y'' tel que ''a'' appartienne à ''f''<sup>–1</sup>(''O''), ''f''<sup>–1</sup>(''O'') est voisinage de ''a''. Donc ''f'' est continue en tout point si et seulement si, pour tout ouvert ''O'' de ''Y'', ''f''<sup>–1</sup>(''O'') est voisinage de chacun de ses points, c'est-à-dire est ouvert. |
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*2 ⇔ 3 : par passage aux complémentaires. |
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*3 ⇒ 5 : en posant ''G = {{surligner|B}}''. |
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*5 ⇒ 4 : en posant ''B = f''(''A'') et en utilisant le fait que ''A'' est inclus dans ''f ''<sup>–1</sup>(''f''(''A'')). |
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*4 ⇒ 3 : en posant ''A = f ''<sup>–1</sup>(''G'') et en utilisant le fait que ''f''(''f ''<sup>–1</sup>(''G'')) est inclus dans ''G''. |
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== Caractérisation séquentielle == |
== Caractérisation séquentielle == |
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{{Wikipédia|Espace à bases dénombrables de voisinages}} |
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Si <math>E</math> est un [[Topologie générale/Espace métrique|espace métrique]], on dispose d'une propriété équivalente à la définition de la continuité, et qui est bien plus facile à mettre en œuvre lors des exercices : |
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Si tout point de <math>X</math> admet une [[../Bases#Base de voisinages|base de voisinages]] (finie ou) dénombrable — ''en particulier si <math>X</math> est un [[Topologie générale/Espace métrique|espace métrique]]'' — on dispose d'une caractérisation plus intuitive : |
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{{Proposition|contenu= |
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Si tout point de <math>X</math> admet une base dénombrable de voisinages, alors, pour tout point <math>a</math> et toute partie <math>A</math> de <math>X</math> : |
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#<math>a</math> est adhérent à <math>A</math> (si et) seulement s'il est limite d'une suite d'éléments de <math>A</math> ; |
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#si <math>a</math> est adhérent à <math>A</math>, une application <math>f:A\to Y</math> a pour limite <math>\ell</math> au point <math>a</math> si (et seulement si) pour toute suite <math>(a_n)</math> dans <math>A</math> de limite <math>a</math>, la suite <math>(f(a_n))</math> a pour limite <math>\ell</math>. |
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#par conséquent, une application <math>f:X\to Y</math> est continue au point <math>a</math> si (et seulement si) pour toute suite <math>(a_n)</math> de limite <math>a</math>, la suite <math>(f(a_n))</math> a pour limite <math>f(a)</math>. |
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{{Démonstration déroulante|contenu= |
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Soit <math>(V_n)_{n\in\N}</math> une base de voisinages de <math>a</math>, que l'on peut supposer décroissante (quitte à remplacer chaque <math>V_n</math> par son intersection avec les <math>V_m</math> précédents). Le principe est que toute suite <math>(a_n)</math> telle que <math>\forall n\in\N\quad a_n\in V_n</math> converge alors vers <math>a</math>. |
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#Si <math>a</math> est adhérent à <math>A</math>, comme chaque <math>V_n</math> rencontre <math>A</math>, on peut choisir a<math>_n\in V_n\cap A</math>. |
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#Raisonnons par contraposition. Si <math>\ell</math> n'est pas limite de <math>f</math> en <math>a</math>, il existe un voisinage <math>V</math> de <math>\ell</math> dont l'image réciproque ne contient aucun <math>V_n\cap A</math>. En choisissant dans chaque <math>V_n\cap A</math> un <math>a_n</math> tel que <math>f(a_n)\notin V</math>, on construit une suite de limite <math>a</math> dont l'image n'admet pas <math>\ell</math> pour limite. |
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Version du 29 mars 2017 à 22:53
Au lycée, on dit d'une fonction qu'elle est continue si on peut la tracer sans lever le crayon. Mais considérons une courbe de longueur infinie : impossible de la tracer avec un crayon ! La notion de continuité s'est clarifiée au XIXe siècle, grâce notamment aux travaux de Cauchy.
Limite
Soient et deux espaces topologiques, une partie de , une application, un point adhérent à et un point de .
On dit que a pour limite au point si, pour tout voisinage de , il existe un voisinage de tel que .
Sous les hypothèses de la définition :
- est nécessairement adhérent à ;
- si est séparé et si une telle limite existe alors elle est unique, ce qui rend alors légitime la notation .
Pour tout voisinage de , est inclus dans et (puisque ) non vide, donc :
- pour tout voisinage de , est non vide ;
- pour tous voisinages et de deux limites, est non vide car il contient un avec (intersection de deux) voisinage(s) de .
Continuité en un point
Soient et deux espaces topologiques, une application et un point de . On dit que est continue au point si a pour limite au point .
est continue au point si et seulement si l'image réciproque par de tout voisinage de est un voisinage de :
.
Continuité globale
Soient et deux espaces topologiques et une application.
On dit que est
- continue (sur ) si elle est continue en tout point de ;
- un homéomorphisme lorsqu'elle est bijective et que et sont continues.
Les propriétés suivantes sont équivalentes :
- l'application est continue ;
- l'image réciproque par de tout ouvert de est un ouvert de ;
- l'image réciproque par de tout fermé de est un fermé de ;
- pour toute partie de , ;
- pour toute partie de , .
- 1 ⇔ 2 : d'après la définition locale, f est continue en a si et seulement si, pour tout ouvert O de Y tel que a appartienne à f–1(O), f–1(O) est voisinage de a. Donc f est continue en tout point si et seulement si, pour tout ouvert O de Y, f–1(O) est voisinage de chacun de ses points, c'est-à-dire est ouvert.
- 2 ⇔ 3 : par passage aux complémentaires.
- 3 ⇒ 5 : en posant G = B.
- 5 ⇒ 4 : en posant B = f(A) et en utilisant le fait que A est inclus dans f –1(f(A)).
- 4 ⇒ 3 : en posant A = f –1(G) et en utilisant le fait que f(f –1(G)) est inclus dans G.
Caractérisation séquentielle
Si tout point de admet une base de voisinages (finie ou) dénombrable — en particulier si est un espace métrique — on dispose d'une caractérisation plus intuitive :
Si tout point de admet une base dénombrable de voisinages, alors, pour tout point et toute partie de :
- est adhérent à (si et) seulement s'il est limite d'une suite d'éléments de ;
- si est adhérent à , une application a pour limite au point si (et seulement si) pour toute suite dans de limite , la suite a pour limite .
- par conséquent, une application est continue au point si (et seulement si) pour toute suite de limite , la suite a pour limite .
Soit une base de voisinages de , que l'on peut supposer décroissante (quitte à remplacer chaque par son intersection avec les précédents). Le principe est que toute suite telle que converge alors vers .
- Si est adhérent à , comme chaque rencontre , on peut choisir a.
- Raisonnons par contraposition. Si n'est pas limite de en , il existe un voisinage de dont l'image réciproque ne contient aucun . En choisissant dans chaque un tel que , on construit une suite de limite dont l'image n'admet pas pour limite.