Espaces vectoriels normés/Espaces de Banach - Complétude

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Dans toute la suite, $(E,\|.\|)$ est un espace vectoriel normé (evn).

Définitions

La notion générale de suite de Cauchy dans à valeurs dans un espace métrique se particularise à un evn E, avec la définition suivante :

Définition : suite de Cauchy

Une suite $(u_{n})$ d'éléments de E est dite de Cauchy si :

$\forall \varepsilon >0\quad \exists n\in \mathbb {N} \quad \forall p,q\in \mathbb {N} \quad p,q\geq n\Rightarrow \|u_{q}-u_{p}\|<\varepsilon$.

Voici une propriété vraie dans tout espace métrique et qu'on démontre comme dans $\mathbb {R}$ :

Propriété

Toute suite convergente est de Cauchy.

Définition : Espace de Banach

• Un evn est E dit complet si, dans E, toute suite de Cauchy est convergente.
• On appelle espace de Banach tout espace vectoriel normé complet.

Pour toute série convergente à valeurs dans un evn, on a une majoration de la norme de la somme (par passage à la limite dans la majoration évidente des normes des sommes partielles) :

$\left\|\sum _{n=0}^{+\infty }x_{n}\right\|\leq \sum _{n=0}^{+\infty }\|x_{n}\|$,

mais ce majorant peut être $+\infty$.

Une série à valeurs dans un evn E est dite « absolument convergente » si elle vérifie : $\sum \|x_{n}\|<+\infty$.

Cette appellation est trompeuse car — contrairement au cas où E est de dimension finie — si E est un evn quelconque, une telle série ne converge pas nécessairement dans E ; l'implication qu'elle sous-entend est en fait une caractérisation des espaces de Banach :

Caractérisation

Un evn E est complet si et seulement si, dans E, toute série absolument convergente est convergente.

Démonstration

• Supposons que E est complet. Soit, dans E, une série absolument convergente, de terme général $x_{n}$. Alors, la suite de ses sommes partielles $S_{n}:=\sum _{k=0}^{n}x_{k}$ est de Cauchy, car pour $q>p\geq n$, $\left\|S_{q}-S_{p}\right\|=\left\|\sum _{k=p+1}^{q}x_{k}\right\|\leq \sum _{k=p+1}^{q}\left\|x_{k}\right\|\leq \sum _{k=n+1}^{\infty }\left\|x_{k}\right\|\to 0$ quand $n\to \infty$. Par conséquent, E étant complet, la suite $(S_{n})$ — et donc la série de terme général $x_{n}$ — est convergente.
• Réciproquement, supposons que dans E, toute série absolument convergente est convergente et considérons une suite de Cauchy $(x_{n})$. Elle admet alors une sous-suite $(s_{n})$ telle que $\left\|s_{n+1}-s_{n}\right\|\leq 2^{-n}$. La série de terme général $s_{n+1}-s_{n}$ est absolument convergente donc (par hypothèse sur E) convergente, autrement dit la sous-suite $(s_{n})$ converge, donc la suite de Cauchy $(x_{n})$ aussi, ce qui prouve que E est complet.
  Ou encore (par contraposition) : si E n'est pas complet, soient $S$ un vecteur qui n'appartient pas à E mais seulement à son complété et $(S_{n})$ une suite dans E telle que $\left\|S-S_{n}\right\|\leq 2^{-n}$, alors la série de terme général $S_{n+1}-S_{n}$ est absolument convergente, mais sa somme dans le complété, $S-S_{0}$, n'appartient pas à E.

 

Théorèmes

Dans tout ce paragraphe, $(E,\|.\|)$ est un espace de Banach.

Dans un tel espace, on dispose, comme dans tout espace métrique complet, du théorème des fermés emboîtés, ainsi que des théorèmes suivants.

Début d’un théorème

Théorème du point fixe de Banach

Soient $E$ un Banach et $f:E\to E$ une application $k$-contractante$\,^{(1)}$ .
Alors :

• la fonction $f$ admet un unique point fixe $\ell$ sur $E$ (c'est-à-dire $\exists !\ell \in E\;|\;f(\ell )=\ell$ )
• $\ell$ est la limite de toute suite $(u_{n})$ de $E$ définie par $u_{0}\in E$ et $u_{n+1}=f(u_{n})$ .

$(1)$ c'est-à-dire $k$-lipschitzienne avec $|k|<1$.

Fin du théorème

Démonstration

• Existence du point fixe :Puisque $f$ est $k$-contractante, on a donc :

$\|u_{n+1}-u_{n}\|=\|f(u_{n})-f(u_{n-1})\|\leq k\|u_{n}-u_{n-1}\|$ . On en déduit par une récurrence facile que :

$\|u_{n+1}-u_{n}\|\leq k^{n}\|u_{1}-u_{0}\|$

puis que :
$\forall (n,p)\in \mathbb {N} ^{2}$
${\begin{aligned}\|u_{n+p}-u_{n}\|&\leq \|u_{n+p}-u_{n+p-1}\|+\ldots +\|u_{n+1}-u_{n}\|\\&\leq \left(k^{n+p-1}+\ldots +k^{n}\right)\|u_{1}-u_{0}\|\\&\leq k^{n}{\frac {1-k^{p}}{1-k}}\|u_{1}-u_{0}\|\\&\leq {\frac {k^{n}}{1-k}}\|u_{1}-u_{0}\|{\xrightarrow[{n\to +\infty }]{}}0\end{aligned}}$
donc $(u_{n})$ est de Cauchy et converge vers $\ell \in E$ . En passant à la limite dans $u_{n+1}=f(u_{n})$ , on obtient bien que $f(\ell )=\ell$ et que $\ell$ est un point fixe de $f$ .

• Unicité du point fixe : Supposons que $x$ et $y$ soient deux points fixes de $f$. Alors :

$\|f(x)-f(y)\|\leq k\|x-y\|<\|x-y\|$ (car $k<1$) , ce qui est absurde sauf si $x=y$.