Topologie générale/Exercices/Connexité

Connexité

Exercice 1

Dans $\mathbb {R} ^{n}$, soit $F$ un sous-espace affine de dimension $p<n$. Quel est le nombre de composantes connexes de $\mathbb {R} ^{n}\setminus F$ ?

Solution

$\mathbb {R} ^{n}\setminus F$ est homéomorphe à $\left(\mathbb {R} ^{n-p}\right)^{*}\times \mathbb {R} ^{p}$ donc (d'après la proposition du cours sur les composantes connexes d'un produit) il a autant de composantes connexes que $\left(\mathbb {R} ^{n-p}\right)^{*}$ : une si $p<n-1$ et deux si $p=n-1$.

 

Exercice 2

Une application f d'un espace topologique X dans un ensemble Y est dite localement constante si tout point de X possède un voisinage sur lequel f est constante.

1. Soient $U$ un ouvert de $\mathbb {R}$ et $f:U\to \mathbb {C}$ dérivable et de dérivée nulle. Montrer que $f$ est localement constante.
2. Montrer que si une application $f:X\to Y$ est localement constante alors elle est constante sur chaque composante connexe de $X$.

Solution

1. Soit $x\in U$. Il existe un intervalle ouvert contenant $x$ et inclus dans $U$. Sur cet intervalle, $f'$ est nulle donc $f$ est constante.
2. Sans perte de généralité, on peut supposer que $X$ est connexe et non vide. Les $f^{-1}\left(\{y\}\right)$ pour $y\in Y$ sont des ouverts disjoints donc un seul est non vide.

 

Exercice 3

Soit $A$ et $B$ deux parties d'un espace topologique $E$.

1. Montrer que si $A$ et $B$ sont fermés dans $E$ et si $A\cap B$ et $A\cup B$ sont connexes, alors $A$ et $B$ sont connexes.
2. Trouver un contre-exemple pour $A$ ou $B$ non fermé.
3. Montrer que si $A$ et $B$ sont connexes et si ${\overline {A}}\cap B$ est non vide, alors $A\cup B$ est connexe.

Solution

1. Soient $A$ et $B$ fermés dans $E$ tels que $A\cap B$ soit connexe. Supposons par exemple $A$ non connexe et montrons qu'alors, $A\cup B$ n'est pas connexe. Par hypothèse, $A$ est l'union de deux fermés disjoints non vides $F$ et $G$. Puisque $A\cap B$ est connexe et union des deux fermés disjoints $F\cap B$ et $G\cap B$, l'un des deux est vide ; par exemple, $G\cap B=\varnothing$. Alors, $A\cup B$ est l'union des deux fermés disjoints non vides $F\cup B$ et $G$.
2. $E=\mathbb {R}$, $A=\mathbb {R} ^{*}$, $B=\{0\}$.
3. Soient $f:A\cup B\to \{0,1\}$ continue et $x\in {\overline {A}}\cup B$. Alors, $f$ est constante sur $A$ donc sur son adhérence dans $A\cup B$, qui est égale à ${\overline {A}}\cap \left(A\cup B\right)=A\cup \left({\overline {A}}\cup B\right)$. Par conséquent, elle vaut $f(x)$ en tout point de $A$. Elle est aussi constante sur $B$ donc elle vaut $f(x)$ en tout point de $B$. Elle est donc constante sur $A\cup B$.

 

Exercice 4

Soit $E$ un espace connexe et localement connexe. Soient $A$ et $B$ deux fermés de $E$ non vides et disjoints. Montrer qu'il existe une composante connexe de $E\setminus \left(A\cup B\right)$ dont l'adhérence rencontre à la fois $A$ et $B$.

Lien vers une solution (très compliquée)

https://math.stackexchange.com/questions/2034765/in-a-connected-space-two-closed-sets-must-be-connected-by-a-single-branch

 

Exercice 5

Soient $I$ un intervalle réel et $f:I\to \mathbb {R}$ une injection continue. On pose $T=\{(x,y)\in I\times I\mid x<y\}$ et $g:T\to \mathbb {R} ,\,(x,y)\mapsto {f(y)-f(x)}$.

1. Montrer que $g(T)$ est un intervalle.
2. En déduire que $f$ est monotone.

Solution

1. L'ensemble $T$ est une partie connexe — car convexe — de $\mathbb {R} ^{2}$ (c'est un triangle si l'intervalle $I$ est borné) et $g$ est continue donc $g(T)$ est une partie connexe de $\mathbb {R}$, c'est-à-dire un intervalle.
2. Cet intervalle ne contient pas $0$ (c'est ici qu'intervient l'injectivité de $f$) donc $g$ est de signe constant, c'est-à-dire que $f$ est monotone.

 

Exercice 6

1. Soit $Z=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}-y^{2}=0\}$. Montrer qu'il existe deux fonctions continues distinctes $g_{1},g_{2}:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ dont le graphe est inclus dans Z et contient $(1,1)$.
2. Soient $V$ un espace topologique quelconque, $F$ un espace séparé, $g:V\to F$ une application continue, $G$ son graphe et $(a,b)$ un point de ce graphe.
   On suppose que G est ouvert dans une certaine partie Z de V×F (pour la topologie induite sur Z). Montrer qu'alors, sur tout connexe de V contenant $a$, $g$ est la seule application continue dont le graphe est inclus dans Z et contient $(a,b)$.

Solution

1. g₁(x) = x et g₂(x) = |x|.
2. Par hypothèse, $G=\Omega \cap Z$ pour un certain ouvert Ὼ de V×F. Soient C un connexe de V et $h:C\to F$ une application continue dont le graphe est inclus dans Z et contient $(a,b)$. Alors, le sous-ensemble D de C sur lequel $h$ coïncide avec $g$ est fermé dans C (par séparation de F et continuité de $h$ et $g$) et non vide (il contient $a$). De plus, D est ouvert dans C, comme image réciproque de l'ouvert Ὼ par l'application continue $c\mapsto \left(c,h(c)\right)$.
   Par connexité de C, le sous-ensemble D est donc égal à C tout entier, c'est-à-dire que $h$ n'est autre que la restriction de $g$ à C.

 

Connexité par arcs

Exercice 7

Soit $G$ le graphe de l’application $f:\mathbb {R} _{+}^{*}\to \mathbb {R} ,\,x\mapsto \sin(1/x)$ : $G=\{\left(x,\sin(1/x)\right)\mid x\in \mathbb {R} _{+}^{*}\}$. Montrer que ${\overline {G}}$ est connexe mais pas connexe par arcs.

Solution

$G$ est connexe (par arcs) donc son adhérence ${\overline {G}}$ est connexe. Elle est la réunion de deux connexes par arcs : $G$ et $H:=\{0\}\times \left[-1,1\right]$.

Pour montrer que ces deux parties de ${\overline {G}}$ ne sont pas connectées par un arc, remarquons d'abord que pour tout intervalle non vide $I\subset \mathbb {R} _{+}^{*}$ d'extrémité $0$, $f(I)=\left[-1,1\right]$.

Soit maintenant un chemin continu $z=(x,y):\left[0,1\right]\to {\overline {G}}$. Pour tout $t\in z^{-1}(H)$, soit $V$ un voisinage de $y(t)$ dans $\left[-1,1\right]$ non égal à $\left[-1,1\right]$ tout entier puis, soit $\varepsilon >0$ tel que pour tout $s\in U:=\left[0,1\right]\cap \left]t-\varepsilon ,t+\varepsilon \right[$, $y(s)\in V$. Alors, d'après la remarque préliminaire, l'intervalle $x(U)\setminus \{0\}$ est vide, c'est-à-dire que $U\subset z^{-1}(H)$. On a donc montré que pour tout $t\in z^{-1}(H)$, $z^{-1}(H)$ est un voisinage de $t$ dans $\left[0,1\right]$, c'est-à-dire que $z^{-1}(H)$ est un ouvert de $\left[0,1\right]$. Puisqu'il est également fermé (car $H$ est fermé), il est soit vide, soit égal à $\left[0,1\right]$. Cela prouve qu'aucun chemin continu dans ${\overline {G}}$ ne rencontre à la fois $H$ et $G$.

 

Exercice 8

Montrer que le groupe topologique SO(3) des matrices de rotation en dimension 3 est connexe par arcs.

Remarque : il en résulte évidemment que le groupe orthogonal O(3) a deux composantes connexes par arcs : SO(3) et son complémentaire.

Solution

Toute matrice de SO(3) est de la forme $PR_{\theta }P^{-1}$ avec $P$ orthogonale et $R_{\theta }:={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &0\\\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{pmatrix}}$, donc est reliée à la matrice identité par le chemin $t\mapsto PR_{t\theta }P^{-1}$.

 

Exercice 9

Soit $\Omega$ un ouvert connexe de $\mathbb {R} ^{3}$.

1. Montrer que $\Omega$ est connexe par arcs polygonaux.
2. Soit $D$ une droite de $\mathbb {R} ^{3}$. Montrer que $\Omega \setminus D$ est connexe.

Solution

1. Cela vient uniquement du fait que dans $\Omega$, tout point a un voisinage connexe par arcs polygonaux (et même un voisinage convexe : une boule), et la preuve est donc calquée (en plus simple) sur celle vue en cours à propos de la connexité par arcs. Soient $x_{0}\in \Omega$ et $A$ l'ensemble des points de $\Omega$ joints à $x_{0}$ par un arc polygonal. Toute boule $B\subset \Omega$ qui rencontre $A$ est incluse dans $A$ (en mettant bout à bout un segment d'un point de $B$ à un point $x\in B\cap A$ et un arc polygonal de $x$ à $x_{0}$). Ainsi, l'ensemble (non vide) $A$ est à la fois :
   • ouvert : si $x\in A$ et si $B\subset \Omega$ est une boule ouverte contenant $x$ alors $B\subset A$, donc $A$ est voisinage de tous ses points ;
   • fermé : si $x\in {\overline {A}}$ et si $B\subset \Omega$ est une boule ouverte contenant $x$ alors $B$ rencontre $A$ donc $B\subset A$ donc $x\in A$, donc $A$ contient tous ses points adhérents.

   Par conséquent, $A=\Omega$.

2. Même raisonnement en remplaçant la notion de connexité par arcs polygonaux par celle de connexité par arcs dont seules éventuellement les extrémités appartiennent à $D$, et en remarquant que lorsqu'un tel arc rencontre un ouvert $B$, il contient des points $x\in B\setminus D$.

 

Exercice 10

1. Montrer que pour deux points distincts quelconques $x$ et $y$ du plan, il existe une famille $\left(\gamma _{s}\right)_{s\in \mathbb {R} }$ de chemins dans le plan de $x$ à $y$, polygonaux, et tels que les $\gamma _{s}\left(\left]0,1\right[\right)$ soient disjoints deux à deux.
2. En déduire que pour toute partie au plus dénombrable $D$ du plan, $\mathbb {R} ^{2}\setminus D$ est connexe par arcs polygonaux.
3. Montrer de même que $\mathbb {R} ^{2}\setminus D$ est connexe par arcs C^∞.

Solution

1. On peut prendre par exemple pour $\gamma _{s}$ la réunion des deux segments $\left[x,z_{s}\right]$ et $\left[z_{s},y\right]$, où $z_{s}$ est un point parcourant la médiatrice de $\left[x,y\right]$.
2. Soient $x$ et $y$ deux points de $\mathbb {R} ^{2}\setminus D$ distincts, et $\left(\gamma _{s}\right)_{s\in \mathbb {R} }$ comme dans la question précédente. Alors, l'un au moins des $\gamma _{s}\left(\left]0,1\right[\right)$ ne rencontre pas $D$.
3. Même raisonnement que dans les questions précédentes, en prenant par exemple pour $\gamma _{s}$ l'arc de parabole passant par $x$ et $y$, de sommet $z_{s}$ et d'axe la médiatrice de $\left[x,y\right]$.

 

L'exercice est faux $\mathbb {R} ^{2}\setminus \mathbb {Q} ^{2}$ n'est pas connexe par arcs C^∞.