Intégration de Riemann/Intégrales généralisées

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L'objectif de ce cours est d'apprendre à étudier la convergence (et éventuellement à faire le calcul) d'intégrales dont une borne est infinie comme :

$\int _{1}^{+\infty }{\frac {\mathrm {d} x}{x^{2}}}$

ou encore avec au moins une borne où la fonction n’est pas définie et a une limite infinie comme :

$\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\tan x\,\mathrm {d} x$.

Définitions et premières propriétés

Définition

On suppose dans la définition suivante (et même dans toute la suite) que le seul "problème" est sur la borne $b$ (on procéderait de même en cas de problème sur la borne d’en bas) :

Définition : Intégrale généralisée (ou impropre)

Soit $f$ une fonction définie et continue par morceaux sur un intervalle $]a;b[$ avec $a,b\in \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}$.

On appelle intégrale généralisée de $f$ entre $a$ et $b$ la limite suivante :

$\int _{a}^{b}f(t)\mathrm {d} t=\lim _{x\to b}\int _{a}^{x}f(t)\mathrm {d} t$.

L'intégrale est dite convergente si cette limite est finie et divergente dans le cas contraire.

Remarquez que le symbole $\int _{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} t$ n'a pas de sens si l'intégrale est divergente ou si l’on n'a pas prouvé sa convergence.

Exemples :

1/ Montrer que $\int _{0}^{1}{\frac {\ln t}{t}}\,\mathrm {d} t$ diverge.

On remarque que $\int {\frac {\ln t}{t}}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{2}}\ln ^{2}t$.

Alors : $\lim _{x\to 0}\int _{x}^{1}{\frac {\ln t}{t}}\,\mathrm {d} t=\lim _{x\to 0}{\frac {1}{2}}(\ln ^{2}1-\ln ^{2}x)=+\infty$ donc l'intégrale diverge.

2/ Montrer que $\int _{0}^{1}\ln t\,\mathrm {d} t$ converge.

On remarque que $\int \ln t\,\mathrm {d} t=t\ln t-t$.

Alors : $\lim _{x\to 0}\int _{x}^{1}\ln t\,\mathrm {d} t=\lim _{x\to 0}\left((1\ln 1-1)-(x\ln x-x)\right)=\lim _{x\to 0}x-x\ln x-1=-1$ donc l'intégrale converge.

Premières propriétés

Lorsqu’il y a un problème sur les deux bornes, on utilise la relation de Chasles sur les intégrales généralisées convergentes :

Relation de Chasles sur les intégrales généralisées convergentes

Soit $f$ une fonction continue par morceaux sur $]a,b[$ et $c\in ]a,b[$. Alors (sous réserve d'existence) :

$\int _{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} t=\int _{a}^{c}f(t)\,\mathrm {d} t+\int _{c}^{b}f(t)\,\mathrm {d} t$.

Il y a aussi linéarité des intégrales généralisées convergentes.

Cela se démontre en utilisant les propriétés des intégrales et en passant à la limite.

Remarque : Il faut "couper" pour connaître la nature d’une intégrale généralisée.
Par exemple, on a : $\int _{-x}^{x}\sin t\,\mathrm {d} t=0\;\forall x\in \mathbb {R}$ converge et pourtant $\int _{-\infty }^{+\infty }\sin t\,\mathrm {d} t$ diverge ($x\mapsto -\cos x$ est une primitive de $x\mapsto \sin x$ et n'a pas de limite en l'infini).

Enfin, il y a les "fausses intégrales généralisées", celles où l’on règle le problème par prolongement par continuité de la fonction à intégrer :

Début de l'exemple

Exemple

$\int _{0}^{1}{\frac {\sin t}{t}}\,\mathrm {d} t$ est convergente.

Il suffit de remarquer que si $f:x\mapsto {\frac {\sin x}{x}}$, alors son prolongement par continuité en $0$ est :

$g:x\mapsto {\begin{cases}{\frac {\sin x}{x}},&{\mbox{si }}x\neq 0\\1,&{\mbox{si }}x=0.\end{cases}}$

Fin de l'exemple

Exemple de Riemann

Le premier exemple de référence à connaître est :

Début de l'exemple

Exemple de Riemann

Soit $\alpha \in \mathbb {R} _{+}^{*}$.

• $\int _{1}^{+\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{t^{\alpha }}}$ converge si, et seulement si $\alpha >1$.
• $\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{t^{\alpha }}}$ converge si, et seulement si $\alpha <1$.

Fin de l'exemple

Démonstration

On démontre seulement le résultat en $+\infty$.

Il suffit de revenir à la définition d'intégrale généralisée comme limite :

• Cas où $\alpha \neq 1$  :

$I_{\alpha }=\int _{1}^{+\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{t^{\alpha }}}=\left[{\frac {t^{1-\alpha }}{1-\alpha }}\right]_{1}^{+\infty }=\lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{1-\alpha }}(x^{1-\alpha }-1)$.

Donc :

- si $\alpha >1$ , alors $1-\alpha <0\Rightarrow \lim _{x\to +\infty }x^{1-\alpha }=0$ donc $I_{\alpha }$ converge ;

- si $\alpha <1$ , alors $1-\alpha >0\Rightarrow \lim _{x\to +\infty }x^{1-\alpha }=+\infty$ donc $I_{\alpha }$ diverge.

• Cas où $\alpha =1$ :

On a alors $I_{1}=\int _{1}^{+\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{t}}=\left[\ln t\right]_{1}^{+\infty }=\lim _{x\to +\infty }\ln x$.

Il est clair que $I_{1}$ diverge.

 

Convergence absolue et théorème de comparaison

Théorème de comparaison pour les intégrales généralisées

On considère dans tout ce paragraphe des fonctions à valeurs positives.

Début d'un lemme

Lemme

Soit $f>0$ continue par morceaux sur $[a,b[$. $\int _{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} t$ converge si, et seulement si, la fonction $F:x\mapsto \int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t$ est majorée sur $[a,b[$.

Fin du lemme

Démonstration

$F$ est une primitive de $f$ et $f=F'>0$ donc $F$ est croissante (et majorée).

Le théorème de la limite monotone permet alors de conclure.

 

Voici maintenant le théorème central du cours :

Début d’un théorème

Théorème de comparaison (intégrales généralisées)

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues par morceaux et positives sur $[a,b[$ et telles que $f\leq g$.

• Si $\int _{a}^{b}g(t)\,\mathrm {d} t$ converge, alors $\int _{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} t$ converge aussi.
• Si $\int _{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} t$ diverge, alors $\int _{a}^{b}g(t)\,\mathrm {d} t$ diverge aussi.

Fin du théorème

Démonstration

Le deuxième résultat est la contraposée du premier.

Soient $F:x\mapsto \int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t$ et $G:x\mapsto \int _{a}^{x}g(t)\,\mathrm {d} t$.

Par comparaison d'intégrales, $f\leq g\Rightarrow F\leq G\;(\star )$ .Donc si $\int _{a}^{b}g(t)\,\mathrm {d} t$ converge, alors $G$ converge et est donc majorée(d'après le lemme), ce qui implique d’après $(\star )$ que $F$ aussi et donc (toujours grâce au lemme) que $\int _{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} t$ converge.

 

Exemple :

Montrer que $\int _{1}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-t^{2}}\;\mathrm {d} t$ converge.

On remarque que : ${\begin{aligned}\forall t\geq 1,t^{2}\geq t&\Rightarrow -t^{2}\leq -t\\&\Rightarrow 0\leq \mathrm {e} ^{-t^{2}}\leq \mathrm {e} ^{-t}\\&\Rightarrow 0\leq \int _{1}^{x}\mathrm {e} ^{-t^{2}}\mathrm {d} t\leq \int _{1}^{x}\mathrm {e} ^{-t}\,\mathrm {d} t.\end{aligned}}$

Mais $\int _{1}^{x}\mathrm {e} ^{-t}\,\mathrm {d} t=[-\mathrm {e} ^{-t}]_{1}^{x}={\frac {1}{\mathrm {e} }}-\mathrm {e} ^{-x}{\xrightarrow[{x\to +\infty }]{}}{\frac {1}{\mathrm {e} }}$ donc $\int _{1}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-t}\;\mathrm {d} t$ converge et $\int _{1}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-t^{2}}\;\mathrm {d} t$ converge aussi.

On rappelle que le "problème" est sur la borne d’en haut $b$ (c'est donc en $b$ que l’on effectue la comparaison de $f$ et $g$) :

Corollaire : Intégration des relations de comparaison

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues par morceaux et positives sur $[a,b[$.

1/ On suppose que $f{\underset {b}{=}}O(g)$.

• Si $\int _{a}^{b}g(t)\,\mathrm {d} t$ converge, alors $\int _{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} t$ converge aussi.
• Si $\int _{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} t$ diverge, alors $\int _{a}^{b}g(t)\,\mathrm {d} t$ diverge aussi.

2/ Si $f{\underset {b}{\sim }}g$ , alors les intégrales $\int _{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} t$ et $\int _{a}^{b}g(t)\,\mathrm {d} t$ sont de même nature (soit toutes les deux convergentes, soit toutes les deux divergentes).

Pour un rappel sur les relations de comparaison, voyez Fonctions d'une variable réelle/Relations de comparaison.

Démonstration

1/ Il suffit d’utiliser la définition de $f{\underset {b}{=}}O(g)$ : si $f=\varphi g$ , alors $\exists M>0\quad \forall x\in [a,b[\;\varphi (x)\leq M\Rightarrow \exists M>0\quad \forall x\in [a,b[\;f(x)\leq Mg(x)\;(1)$.

L'inégalité $(1)$ et le théorème de comparaison permettent de conclure.

2/ On remarquera que $f{\underset {b}{\sim }}g\iff f{\underset {b}{=}}O(g){\text{ et }}g{\underset {b}{=}}O(f)$. On utilise alors le point précédent.

Remarque : Pour obtenir $(1)$ , on a multiplié les deux membres par $g(x)$ dans l'inégalité $\varphi (x)\geq M$. C'est possible car la fonction $g$ est positive.

 

Exemple : Montrer que $\int _{2}^{+\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {t^{4}-1}}}$ converge.

On remarque que ${\frac {1}{\sqrt {t^{4}-1}}}\;{\underset {+\infty }{\sim }}\;{\frac {1}{t^{2}}}$. L'exemple de Riemann permet alors de conclure.

Mais que faire pour des fonctions qui ne sont pas nécessairement positives ? Il faudra souvent tenter d’utiliser la convergence absolue.

Convergence absolue

Définition : Convergence absolue

Soit $f\in {\mathcal {CM}}([a,b[)$.

L'intégrale $\int _{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} t$ est dite absolument convergente si l'intégrale $\int _{a}^{b}|f(t)|\,\mathrm {d} t$ converge.

Début d’un théorème

Théorème

Toute intégrale absolument convergente est convergente.

Fin du théorème

Démonstration

Soit $x\in [a,b[$.

On a montré que :

$\forall f\in {\mathcal {CM}}([a,b[),\,0\leq \left|\int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t\right|\leq \int _{a}^{x}|f(t)|\,\mathrm {d} t$.

Le théorème de comparaison permet de conclure.

 

Remarquez que la réciproque est fausse : on parle alors de semi-convergence.

Exemple : Montrer que l'intégrale $\int _{1}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-x}\sin x\;\mathrm {d} x$ est absolument convergente.

Il suffit de remarquer que $|\sin x|\leq 1\;\forall x\in \mathbb {R} \Rightarrow |\mathrm {e} ^{-x}\sin x|\leq \mathrm {e} ^{-x}$.

On a montré au paragraphe précédent que $\int _{1}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-x}\;\mathrm {d} x$ converge. Le théorème de comparaison permet de conclure.

Intégration par parties et changement de variables

On peut utiliser une intégration par parties ou un changement de variables comme pour des intégrales "habituelles" (voyez Intégration (mathématiques)/Intégrale et primitives) à la condition expresse de n'utiliser que des intégrales convergentes.

Exemple :

Calculer $\int _{1}^{+\infty }{\frac {\ln t}{t^{2}}}\;\mathrm {d} t$.

On intègre par parties en posant :

$u'(t)={\frac {1}{t^{2}}}\Rightarrow u(t)=-{\frac {1}{t}}$

$v(t)=\ln t\Rightarrow v'(t)={\frac {1}{t}}$

donc $\forall x>1$ :

$\int _{1}^{x}{\frac {\ln t}{t^{2}}}\;\mathrm {d} t=\left[-{\frac {\ln t}{t}}\right]_{1}^{x}+\int _{1}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{t^{2}}}$.

On "passe à la limite" et l'on obtient :

$\int _{1}^{+\infty }{\frac {\ln t}{t^{2}}}\;\mathrm {d} t=\lim _{x\to +\infty }(-{\frac {\ln x}{x}}-{\frac {1}{x}}+1)$

soit :

$\int _{1}^{+\infty }{\frac {\ln t}{t^{2}}}\;\mathrm {d} t=1$.