Matrice/Déterminant

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Définition

Soit une matrice A=(a_ij) carrée d’ordre n à coefficients réels. Les vecteurs colonnes de la matrice peuvent être identifiés à des éléments de l'espace vectoriel $\mathbb {R} ^{n}$. Ce dernier est muni d'une base canonique.

Il est alors possible de définir le déterminant de la matrice A comme le déterminant du système de ses vecteurs colonnes relativement à la base canonique. Il est noté det(A) puisqu’il n'y a pas d'ambiguïté sur la base de référence.

Par définition même, le déterminant dépend de façon linéaire de chaque colonne, et est nul lorsque deux colonnes sont égales. Le déterminant de la matrice identité vaut un. Enfin il vérifie la formule de Leibniz.

« Wikipédia »

Ce déterminant se note fréquemment avec des barres verticales : $\det {\begin{pmatrix}m_{1;1}&\cdots &m_{1;n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\m_{n;1}&\cdots &m_{n;n}\end{pmatrix}}={\begin{vmatrix}m_{1;1}&\cdots &m_{1;n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\m_{n;1}&\cdots &m_{n;n}\end{vmatrix}}$

La présentation matricielle apporte une propriété essentielle : une matrice a même déterminant que sa transposée. $\det A=\det \left({}^{t}{A}\right)$

Ce qui signifie que le déterminant de A se voit aussi comme le déterminant du système des vecteurs lignes, relativement à la base canonique.

Formule du déterminant de la transposée

En appliquant la formule de Leibniz à la transposée $\det({}^{t}A)=\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{n}}\varepsilon (\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{i,\sigma (i)}$, on effectue un changement d'indice en posant $j=\sigma (i)$. Par bijectivité de $\sigma$, cela conduit à $\det({}^{t}A)=\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{n}}\varepsilon (\sigma )\prod _{j=1}^{n}a_{\sigma ^{-1}(j),j}$ . Une deuxième réindexation s'impose : prendre $\tau =\sigma ^{-1}$. L'application qui à $\sigma$ associe son inverse est une bijection de ${\mathfrak {S}}_{n}$, on peut donc effectuer ce changement d'indice et ainsi $\det({}^{t}A)=\sum _{\tau \in {\mathfrak {S}}_{n}}\varepsilon (\tau ^{-1})\prod _{j=1}^{n}a_{\tau (j),j}=\sum _{\tau \in {\mathfrak {S}}_{n}}\varepsilon (\tau )\prod _{j=1}^{n}a_{\tau (j),j}=\det A$

 

Matrice 2 × 2

Lorsque nous avons une matrice 2 × 2, l’utilisation de la formule ci-dessus donne donc :

$\left|{\begin{array}{ll}a&b\\c&d\end{array}}\right|=ad-bc$

Matrice 3 × 3

Lorsque nous avons une matrice 3 × 3, donc de type ${\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}$, le plus simple pour calculer le déterminant est d’utiliser la règle de Sarrus. Pour résumer son fonctionnement, il faut tracer des diagonales passant par trois points (par exemple, a, e et i, ou encore d, b et i). Pour chaque trait tracé, il faudra multiplier les termes entre eux.

Nous aurons donc 3 traits diagonaux vers le bas (a, e, i / d, h, c / g, b, f) et 3 traits diagonaux vers le haut (a, h, f / d, b, i / g, e, c). Pour trouver le déterminant, il faut additionner les résultats des termes obtenus par les diagonales vers le bas et soustraire les résultats des termes obtenus par les diagonales vers le haut.

Ainsi, pour résumer :

$\det {\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}=aei+dhc+gbf-ahf-dbi-gec$

Exemples

Calculez le déterminant des matrices suivantes:

${\begin{pmatrix}5&-3\\2&7\end{pmatrix}}$ =

${\begin{pmatrix}1&4&0\\-1&-2&7\\0&3&8\end{pmatrix}}$ =