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**Calculs d'aires 1**
Leçon : Intégration en mathématiques

Exercices n^o20
Chapitre du cours :	Aire et intégrale
Exercices de niveau 13.
Exo préc. :	Divers
Exo suiv. :	Calculs d'aires 2

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Calculs d'aires 1
Intégration en mathématiques/Exercices/Calculs d'aires 1 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Exercice 20-1

Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe d'équation :

y={\frac {1}{x^{3}}}

,

l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=1$ et $x=2$ .

Solution

$\int _{1}^{2}{\frac {\mathrm {d} x}{x^{3}}}=\left[{\frac {-1}{2x^{2}}}\right]_{1}^{2}={\frac {3}{8}}$ .

Exercice 20-2

Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe d'équation :

f(x)={\frac {1}{\cos ^{2}x}}

,

l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=0$ et $x={\frac {\pi }{4}}$ .

Solution

$\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}{\frac {1}{\cos ^{2}}}=\left[\tan \right]_{0}^{\frac {\pi }{4}}=1$ .

Exercice 20-3

Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe d'équation :

y=3x^{2}-x+5

,

l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=-1$ et $x=2$ .

Solution

$\int _{-1}^{2}\left(3x^{2}-x+5\right)\,\mathrm {d} x=\left[x^{3}-{\frac {x^{2}}{2}}+5x\right]_{-1}^{2}=9-{\frac {3}{2}}+15={\frac {45}{2}}$ .

Exercice 20-4

Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe d'équation :

y=\sin x-2\cos x

,

l'axe des abscisses et les droites d'équation $x={\frac {\pi }{4}}$ et $x={\frac {3\pi }{2}}$ .

Solution

Soit $a=\operatorname {arctan} 2$ . Alors, $\cos a={\frac {1}{\sqrt {5}}}$ et $\sin a={\frac {2}{\sqrt {5}}}$ donc

$-\int _{\frac {\pi }{4}}^{a}(\sin -2\cos )+\int _{a}^{a+\pi }(\sin -2\cos )-\int _{a+\pi }^{\frac {3\pi }{2}}(\sin -2\cos )=4(\cos a+2\sin a)-{\frac {3}{\sqrt {2}}}-2=4{\sqrt {5}}-{\frac {3}{\sqrt {2}}}-2$ .

Exercice 20-5

Calculer l'aire de l'un des sous-ensembles du plan délimités par la courbe d'équation :

y=(2+\cos x)\sin x

et l'axe des abscisses.

Solution

$\int _{0}^{\pi }(2+\cos )\sin =-\int _{1}^{-1}(2+t)\,\mathrm {d} t=\int _{-1}^{1}(2+t)\,\mathrm {d} t=\int _{-1}^{1}2\,\mathrm {d} t=4$ .

Exercice 20-6

Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe d'équation :

y=x^{2}(3-x)

et l'axe des abscisses.

Solution

$\int _{0}^{3}\left(3x^{2}-x^{3}\right)\,\mathrm {d} x=\left[x^{3}-{\frac {x^{4}}{4}}\right]_{0}^{3}={\frac {27}{4}}$ .

Exercice 20-7

Soient $f$ et $g$ les fonctions définies sur l'intervalle $\left[-3,-2\right]$ par :

f(x)={\frac {x}{x+1}}

et

g(x)=-{\frac {1}{x+1}}

.

Calculer l'aire du sous-ensemble plan délimité, dans un repère, par les courbes représentatives de $f$ et $g$ (sur l'intervalle $\left[-3,-2\right]$ ).

Solution

$\int _{-3}^{-2}(f-g)=\int _{-3}^{-2}1=1$ .

Intégration en mathématiques

Divers

Calculs d'aires 2

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 }}
 == Exercice 20-1 ==
+Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe d'équation :
+:<math>y=\frac1{x^3}</math>,
-Calculer l'aire du domaine limité par la courbe d'équation :
+l'axe des abscisses et les droites d'équation <math>x=1</math> et <math>x=2</math>.
+{{Solution|contenu=
-<math>f(x)=\frac1{x^3}</math>
+<math>\int_1^2\frac{\mathrm dx}{x^3}=\left[\frac{-1}{2x^2}\right]_1^2=\frac38</math>.
+}}
-l'axe des abscisses et les droites d'équation '''x = 1''' et '''x = 2'''
-{{Solution}}
 == Exercice 20-2 ==
+Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe d'équation :
+:<math>f(x)=\frac1{\cos^2x}</math>,
-Calculer l'aire du domaine limité par la courbe d'équation :
+l'axe des abscisses et les droites d'équation <math>x=0</math> et <math>x=\frac{\pi}4</math>.
+{{Solution|contenu=
-<math>f(x)=\frac1{\cos^2x}</math>
+<math>\int_0^{\frac{\pi}4}\frac1{\cos^2}=\left[\tan\right]_0^{\frac{\pi}4}=1</math>.
+}}
-l'axe des abscisses et les droites d'équation <math>x=0</math> et <math>x=\frac\pi4</math>
-{{Solution}}
 == Exercice 20-3 ==
+Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe d'équation :
+:<math>y=3x^2-x+5</math>,
-Calculer l'aire du domaine limité par la courbe d'équation :
+l'axe des abscisses et les droites d'équation <math>x=-1</math> et <math>x=2</math>.
+{{Solution|contenu=
-<math>f(x)=3x^2-x+5</math>
+<math>\int_{-1}^2\left(3x^2-x+5\right)\,\mathrm dx=\left[x^3-\frac{x^2}2+5x\right]_{-1}^2=9-\frac32+15=\frac{45}2</math>.
+}}
-l'axe des abscisses et les droites d'équation '''x = -1''' et '''x = 2'''
-{{Solution}}
 == Exercice 20-4 ==
+Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe d'équation :
+:<math>y=\sin x-2\cos x</math>,
+l'axe des abscisses et les droites d'équation <math>x=\frac\pi4</math> et <math>x=\frac{3\pi}2</math>.
+{{Solution|contenu=
+Soit <math>a=\operatorname{arctan}2</math>. Alors, <math>\cos a=\frac1{\sqrt5}</math> et <math>\sin a=\frac2{\sqrt5}</math> donc
+<math>-\int_{\frac\pi4}^a(\sin-2\cos)+\int_a^{a+\pi}(\sin-2\cos)-\int_{a+\pi}^{\frac{3\pi}2}(\sin-2\cos)=
-Calculer l'aire du domaine limité par la courbe d'équation :
+(\cos a+2\sin a)-\frac3{\sqrt2}-2=4\sqrt5-\frac3{\sqrt2}-2</math>.
+}}
-<math>f(x)=\sin x-2\cos x</math>
-l'axe des abscisses et les droites d'équation <math>x=\frac\pi4</math> et <math>x=\frac{3\pi}2</math>
-{{Solution}}
 == Exercice 20-5 ==
+Calculer l'aire de l'un des sous-ensembles du plan délimités par la courbe d'équation :
+:<math>y=(2+\cos x)\sin x</math>
-Calculer l'aire du domaine limité par la courbe d'équation :
-<math>f(x)=x^3-x-6</math>
 et l'axe des abscisses.
+{{Solution|contenu=
+<math>\int_0^{\pi}(2+\cos)\sin=-\int_1^{-1}(2+t)\,\mathrm dt=\int_{-1}^1(2+t)\,\mathrm dt=\int_{-1}^12\,\mathrm dt=4</math>.
-{{Solution}}
+}}
 == Exercice 20-6 ==
+Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe d'équation :
+:<math>y=x^2(3-x)</math>
-Calculer l'aire du domaine de l'un des sous-ensembles plan limité par la courbe d'équation :
-<math>f(x)=(2+\cos x)\sin x</math>
 et l'axe des abscisses.
+{{Solution|contenu=
+<math>\int_0^3\left(3x^2-x^3\right)\,\mathrm dx=\left[x^3-\frac{x^4}4\right]_0^3=\frac{27}4</math>.
-{{Solution}}
+}}
 == Exercice 20-7 ==
+Soient <math>f</math> et <math>g</math> les fonctions définies sur l'intervalle <math>\left[-3,-2\right]</math> par :
+:<math>f(x)=\frac x{x+1}</math> et <math>g(x)=-\frac1{x+1}</math>.
-Calculer l'aire du domaine limité par la courbe d'équation :
+Calculer l'aire du sous-ensemble plan délimité, dans un repère, par les courbes représentatives de <math>f</math> et <math>g</math> (sur l'intervalle <math>\left[-3,-2\right]</math>).
+{{Solution|contenu=
-<math>f(x)=x^2(3-x)</math>
+<math>\int_{-3}^{-2}(f-g)=\int_{-3}^{-2}1=1</math>.
+}}
+<!--
+== Exercice 20-8 ==
+Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe d'équation :
+:<math>y=x^3-x-6</math>
 et l'axe des abscisses.
+{{Solution|contenu=Cet énoncé est aberrant car la courbe ne coupe l'axe qu'en un point (<math>x^3-x-6=(x-2)(x^2+2x+4)</math>).
+}}
-{{Solution}}
+-->
-== Exercice 20-8 ==
-Soient '''f''' et '''g''', les fonctions définies sur l'intervalle '''[-3,-2]''' par :
-<math>f(x)=\frac{x}{x+1}</math> et <math>g(x)=-\frac1{x+1}</math>
-Calculer l'aire du sous-ensemble plan délimité, dans un repère, par les courbes représentatives de '''f''' et '''g''', sur l'intervalle '''[-3,-2]'''.
-{{Solution}}
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