Intégration en mathématiques/Exercices/Calculs d'aires 1

Exercice 20-1

Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe d'équation :

$y=\frac{1}{x^3}$,

l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=1$ et $x=2$.

Solution

${\int }_1^2\frac{\mathrm{d}x}{x^3}={\left[\frac{-1}{2x^2}\right]}_1^2=\frac{3}{8}$.

 

Soit $h$ la fonction définie par

$h(x)=\frac{3x}{x^2-4}$.

1. Calculer $\int h(x)\mathrm{d}x$.
2. Calculer l'aire du domaine compris entre l'axe des abscisses, la courbe de la fonction $h$, et les droites $x=3$ et $x=4$.

Solution

1. $\int h(x)\mathrm{d}x=[\frac{3}{2}\ln |x^2-4|]$.
2. ${[\frac{3}{2}\ln (x^2-4)]}_3^4=\frac{3}{2}\ln \frac{12}{5}$.

 

Exercice 20-2

Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe d'équation :

$f(x)=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$,

l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=0$ et $x=\frac{\pi }{4}$.

Solution

${\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\frac{1}{{\cos }^2}={\left[\tan \right]}_0^{\frac{\pi }{4}}=1$.

 

Exercice 20-3

Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe d'équation :

$y=3x^2-x+5$,

l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=-1$ et $x=2$.

Solution

${\int }_{-1}^2(3x^2-x+5)\mathrm{d}x={[x^3-\frac{x^2}{2}+5x]}_{-1}^2=9-\frac{3}{2}+15=\frac{45}{2}$.

 

Exercice 20-4

Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe d'équation :

$y=\sin x-2\cos x$,

l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=\frac{\pi }{4}$ et $x=\frac{3\pi }{2}$.

Solution

Soit $a=\arctan 2$. Alors, $\cos a=\frac{1}{\sqrt{5}}$ et $\sin a=\frac{2}{\sqrt{5}}$ donc

$-{\int }_{\frac{\pi }{4}}^a(\sin -2\cos )+{\int }_a^{a+\pi }(\sin -2\cos )-{\int }_{a+\pi }^{\frac{3\pi }{2}}(\sin -2\cos )=4(\cos a+2\sin a)-\frac{3}{\sqrt{2}}-2=4\sqrt{5}-\frac{3}{\sqrt{2}}-2$.

 

Exercice 20-5

Calculer l'aire de l'un des sous-ensembles du plan délimités par la courbe d'équation :

$y=(2+\cos x)\sin x$

et l'axe des abscisses.

Solution

${\int }_0^{\pi }(2+\cos )\sin =-{\int }_1^{-1}(2+t)\mathrm{d}t={\int }_{-1}^1(2+t)\mathrm{d}t={\int }_{-1}^{1}2\mathrm{d}t=4$.

 

Exercice 20-6

Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe d'équation :

$y=x^2(3-x)$

et l'axe des abscisses.

Solution

${\int }_0^3(3x^2-x^3)\mathrm{d}x={[x^3-\frac{x^4}{4}]}_0^3=\frac{27}{4}$.

 

Exercice 20-7

Soient $f$ et $g$ les fonctions définies sur l'intervalle $[-3,-2]$ par :

$f(x)=\frac{x}{x+1}$ et $g(x)=-\frac{1}{x+1}$.

Calculer l'aire du sous-ensemble plan délimité, dans un repère, par les courbes représentatives de $f$ et $g$ (sur l'intervalle $[-3,-2]$).

Solution

${\int }_{-3}^{-2}(f-g)={\int }_{-3}^{-2}1=1$.

 

Exercice 20-8

Calculer l'aire de $\{(x,y)\in {ℝ}^2\mid 0\le x\le \pi ,-\sin x\le y\le \sin x\}$.

Solution

${\int }_0^{\pi }2\sin x\mathrm{d}x={[-2\cos x]}_0^{\pi }=4$.

 

Déterminer le domaine $D:=\{(x,y)\in {ℝ}^2\mid 0\le x\le 2\pi ,\sin x\le y\le \cos x\}$ et calculer son aire.

Solution

L'ensemble des valeurs de $x\in [0,2\pi ]$ pour lesquelles $\sin x\le \cos x$ est $[0,\pi /4]\cup [5\pi /4,2\pi ]$. $D$ est délimité par les graphes de $\sin$ et $\cos$ sur ces deux intervalles et par les deux verticales $x=0$ et $x=2\pi$.

${\int }_{x\in [0,\pi /4]\cup [5\pi /4,2\pi ]}(\cos x-\sin x)\mathrm{d}x={\int }_{x\in [-3\pi /4,\pi /4]}(\cos x-\sin x)\mathrm{d}x={[\sin x+\cos x]}_{-3\pi /4}^{\pi /4}=2\sqrt{2}$.