Intégration en mathématiques/Exercices/Calculs d'aires 1

Exercice 20-1

Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe d'équation :

$y={\frac {1}{x^{3}}}$,

l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=1$ et $x=2$.

Solution

$\int _{1}^{2}{\frac {\mathrm {d} x}{x^{3}}}=\left[{\frac {-1}{2x^{2}}}\right]_{1}^{2}={\frac {3}{8}}$.

 

Soit $h$ la fonction définie par

$h(x)={\frac {3x}{x^{2}-4}}$.

1. Calculer $\int h(x)\,\mathrm {d} x$.
2. Calculer l'aire du domaine compris entre l'axe des abscisses, la courbe de la fonction $h$, et les droites $x=3$ et $x=4$.

Solution

1. $\int h(x)\,\mathrm {d} x=\left[{\frac {3}{2}}\ln |x^{2}-4|\right]$.
2. $\left[{\frac {3}{2}}\ln(x^{2}-4)\right]_{3}^{4}={\frac {3}{2}}\ln {\frac {12}{5}}$.

 

Exercice 20-2

Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe d'équation :

$f(x)={\frac {1}{\cos ^{2}x}}$,

l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=0$ et $x={\frac {\pi }{4}}$.

Solution

$\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}{\frac {1}{\cos ^{2}}}=\left[\tan \right]_{0}^{\frac {\pi }{4}}=1$.

 

Exercice 20-3

Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe d'équation :

$y=3x^{2}-x+5$,

l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=-1$ et $x=2$.

Solution

$\int _{-1}^{2}\left(3x^{2}-x+5\right)\,\mathrm {d} x=\left[x^{3}-{\frac {x^{2}}{2}}+5x\right]_{-1}^{2}=9-{\frac {3}{2}}+15={\frac {45}{2}}$.

 

Exercice 20-4

Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe d'équation :

$y=\sin x-2\cos x$,

l'axe des abscisses et les droites d'équation $x={\frac {\pi }{4}}$ et $x={\frac {3\pi }{2}}$.

Solution

Soit $a=\operatorname {arctan} 2$. Alors, $\cos a={\frac {1}{\sqrt {5}}}$ et $\sin a={\frac {2}{\sqrt {5}}}$ donc

$-\int _{\frac {\pi }{4}}^{a}(\sin -2\cos )+\int _{a}^{a+\pi }(\sin -2\cos )-\int _{a+\pi }^{\frac {3\pi }{2}}(\sin -2\cos )=4(\cos a+2\sin a)-{\frac {3}{\sqrt {2}}}-2=4{\sqrt {5}}-{\frac {3}{\sqrt {2}}}-2$.

 

Exercice 20-5

Calculer l'aire de l'un des sous-ensembles du plan délimités par la courbe d'équation :

$y=(2+\cos x)\sin x$

et l'axe des abscisses.

Solution

$\int _{0}^{\pi }(2+\cos )\sin =-\int _{1}^{-1}(2+t)\,\mathrm {d} t=\int _{-1}^{1}(2+t)\,\mathrm {d} t=\int _{-1}^{1}2\,\mathrm {d} t=4$.

 

Exercice 20-6

Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe d'équation :

$y=x^{2}(3-x)$

et l'axe des abscisses.

Solution

$\int _{0}^{3}\left(3x^{2}-x^{3}\right)\,\mathrm {d} x=\left[x^{3}-{\frac {x^{4}}{4}}\right]_{0}^{3}={\frac {27}{4}}$.

 

Exercice 20-7

Soient $f$ et $g$ les fonctions définies sur l'intervalle $\left[-3,-2\right]$ par :

$f(x)={\frac {x}{x+1}}$ et $g(x)=-{\frac {1}{x+1}}$.

Calculer l'aire du sous-ensemble plan délimité, dans un repère, par les courbes représentatives de $f$ et $g$ (sur l'intervalle $\left[-3,-2\right]$).

Solution

$\int _{-3}^{-2}(f-g)=\int _{-3}^{-2}1=1$.

 

Exercice 20-8

Calculer l'aire de $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid 0\leq x\leq \pi ,\;-\sin x\leq y\leq \sin x\}$.

Solution

$\int _{0}^{\pi }2\sin x\,\mathrm {d} x=\left[-2\cos x\right]_{0}^{\pi }=4$.

 

Déterminer le domaine $D:=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid 0\leq x\leq 2\pi ,\;\sin x\leq y\leq \cos x\}$ et calculer son aire.

Solution

L'ensemble des valeurs de $x\in [0,2\pi ]$ pour lesquelles $\sin x\leq \cos x$ est $[0,\pi /4]\cup [5\pi /4,2\pi ]$. $D$ est délimité par les graphes de $\sin$ et $\cos$ sur ces deux intervalles et par les deux verticales $x=0$ et $x=2\pi$.

$\int _{x\in [0,\pi /4]\cup [5\pi /4,2\pi ]}(\cos x-\sin x)\,\mathrm {d} x=\int _{x\in [-3\pi /4,\pi /4]}(\cos x-\sin x)\,\mathrm {d} x=\left[\sin x+\cos x\right]_{-3\pi /4}^{\pi /4}=2{\sqrt {2}}$.