Intégration en mathématiques/Exercices/Calculs d'aires 2

Exercice 21-1

Évaluer l’aire du sous-ensemble plan délimité par les courbes d'équations :

$y=-{\frac {1}{x^{2}}},\qquad y={\frac {1}{x}},\qquad y=x,\qquad y=-x,\qquad x=4$.

Solution

$1+\int _{1}^{4}\left({\frac {1}{x}}+{\frac {1}{x^{2}}}\right)\,\mathrm {d} x=1+\left[\ln x-{\frac {1}{x}}\right]_{1}^{4}={\frac {7}{4}}+\ln 4$.

 

Exercice 21-2

Évaluer l’aire du sous-ensemble plan délimité par les courbes d'équations :

$y=\tan x,\qquad y=\cos x,\qquad x=-{\frac {\pi }{4}},\qquad x=0$.

Solution

$\int _{-{\frac {\pi }{4}}}^{0}(\cos -\tan )=\left[\sin +\ln |\cos |\right]_{-{\frac {\pi }{4}}}^{0}={\frac {{\sqrt {2}}+\ln 2}{2}}$

 

Exercice 21-3

Soit $f$ la fonction définie par :

$f(x)={\sqrt {4+x}}+{\sqrt {4-x}}-2{\sqrt {2}}$.

1°  Étudier $f$ et en faire une représentation graphique $\Gamma$.

2°  Calculer l’aire du sous-ensemble plan délimité par $\Gamma$ et l’axe des abscisses du repère.

Solution

1. $f$ est définie sur $\left[-4,4\right]$ et paire, donc il suffit de l'étudier sur $\left[0,4\right]$. Sur $\left]0,4\right[$, $f'(x)={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{\sqrt {4+x}}}-{\frac {1}{\sqrt {4-x}}}\right)<0$ donc $f$ est strictement décroissante sur $\left[0,4\right]$, de $f(0)=4-2{\sqrt {2}}$ à $f(4)=0$.
   Le reste de l'étude s'obtient par parité et l'on obtient le tableau de variation suivant :
   
   La courbe représentative (symétrique par rapport à l'axe des ordonnées) de la fonction $f$ est :
   
2. $\int _{-4}^{4}f=2\left[{\frac {2(4+x)^{3/2}}{3}}-{\frac {2(4-x)^{3/2}}{3}}-2x{\sqrt {2}}\right]_{0}^{4}={\frac {16{\sqrt {2}}}{3}}$.

 

Exercice 21-4

Soit $f$ la fonction définie par :

$f(x)={\frac {8x}{(x^{2}-4)^{2}}}$.

1°  Étudier $f$ et en faire une représentation graphique $\Gamma$.

2°  Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que :

$\forall x\in \mathbb {R} \setminus \{-2,\,2\}\quad f(x)={\frac {a}{(x-2)^{2}}}+{\frac {b}{(x+2)^{2}}}$.

3°  Calculer l’aire du sous-ensemble du plan compris entre l'axe des abscisses du repère, la courbe $\Gamma$ et les droites d'équations respectives :

$x=-1$ et $x={\frac {3}{2}}$.

Solution

1. $f$ est définie sur $\mathbb {R} \setminus \{-2,\,2\}$ et impaire donc il suffit de l'étudier sur $\left[0,2\right[$ et $\left]2,+\infty \right[$. $f'(x)=8\,{\frac {-3x^{2}-4}{(x^{2}-4)^{3}}}$ est du signe de $4-x^{2}$. Quand $x$ croît de $0$ à $2$, $f(x)$ croît (strictement) de $f(0)=0$ à $\lim _{2}f=+\infty$. Quand $x$ croît de $2$ à $+\infty$, $f(x)$ décroît de $+\infty$ à $0$.
   Le reste de l'étude s'obtient par imparité et l'on obtient le tableau de variation suivant :
   
   La courbe représentative (symétrique par rapport à l'origine) de la fonction $f$ est :
   
2. $a=1,b=-1$.
3. On peut utiliser la question 2 :
   $\int _{-1}^{\frac {3}{2}}f=\left[{\frac {-1}{x-2}}+{\frac {1}{x+2}}\right]_{-1}^{\frac {3}{2}}=\dots$ mais le calcul direct est plus rapide :
   $\int _{-1}^{\frac {3}{2}}{\frac {8x}{(x^{2}-4)^{2}}}\,\mathrm {d} x=4\int _{-3}^{\frac {-7}{4}}{\frac {\mathrm {d} t}{t^{2}}}=4\left[{\frac {-1}{t}}\right]_{-3}^{\frac {-7}{4}}=4\left({\frac {4}{7}}-{\frac {1}{3}}\right)={\frac {20}{21}}$.

 

Exercice 21-5

1°  Construire dans un repère le graphique $\Gamma$ de la fonction $f$ définie par :

$x\in [0,\,1]$ et $f(x)=x-x^{3}$.

2°  Déterminer $a$ pour que, dans le demi-plan $x>0$, la droite d'équation $y=ax$ partage le sous-ensemble délimité par $\Gamma$ et l'axe des abscisses du repère en deux sous-ensembles d'aires égales.

Solution

1. Le graphique $\Gamma$ de la fonction $f$ est le suivant :
   
   (Sur le schéma, nous avons inclus la sécante de la question suivante qui partage le domaine défini précédemment en deux sous-ensembles vert et jaune d'aires égales.)
2. Pour $0<a<1$, cette droite coupe la courbe en un point d'abscisse $x_{a}={\sqrt {1-a}}$. Or la condition est :
   ${\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}f=\int _{0}^{x_{a}}\left(f(x)-ax\right)\,\mathrm {d} x\Longleftrightarrow {\frac {1}{8}}=(1-a){\frac {x_{a}^{2}}{2}}-{\frac {x_{a}^{4}}{4}}\Longleftrightarrow {\frac {1}{2}}=x_{a}^{2}\left(2(1-a)-x_{a}^{2}\right)$.
   La solution $a$ est donc déterminée par ${\frac {1}{2}}=(1-a)^{2}$, c'est-à-dire $a=1-{\frac {1}{\sqrt {2}}}$.

 

Exercice 21-6

Soit $f$ la fonction définie par :

$f(x)={\frac {x}{2}}+p+{\frac {q}{x^{2}}}$.

1°  Calculer $p$ et $q$ pour que $f(-1)=0$ et pour que $f$ admette un minimum pour $x=2$. Tracer le graphique $\Gamma$ de $f$ dans un repère. Déterminer son asymptote oblique $\Delta$.

2°  Calculer l’aire du sous-ensemble plan compris entre $\Gamma$, $\Delta$ et les droites d'équations respectives $x=3$ et $x=X$. Cette aire a-t-elle une limite lorsque $X$ tend vers $+\infty$ ?

Solution

1. $\left({\frac {-1}{2}}+p+q=0\quad {\text{et}}\quad {\frac {1}{2}}-{\frac {2q}{2^{3}}}=0\right)\Leftrightarrow \left(q=2\quad {\text{et}}\quad p=-{\frac {3}{2}}\right)$.
   L'asymptote oblique $\Delta$ a alors pour équation $y={\frac {x-3}{2}}$.
   On obtient le tableau de variation suivant :
   
   La courbe représentative de la fonction $f$ est alors :
   
   (L'asymptote oblique $\Delta$ est représentée en vert sur le tracé)
2. $\int _{3}^{X}{\frac {2}{x^{2}}}\,\mathrm {d} x={\frac {2}{3}}-{\frac {2}{X}}\to {\frac {2}{3}}$ quand $X\to +\infty$.

 

Exercice 21-7

Calculer l'aire de

$D=\{(x,y)\in [0,1]\times \mathbb {R} _{+}\mid x^{2}+y^{2}\geq 1,\;y\leq 1+x^{2}\}$.

Solution

L'aire de $D$ est égale à $A_{P}-A_{C}$ avec $A_{P}=\int _{0}^{1}(1+x^{2})\,\mathrm {d} x={\frac {4}{3}}$ et $A_{C}={\frac {\pi }{4}}$ (aire du quart de disque unité).

 

Exercice 21-8

Calculer les aires de :

• $D_{1}=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid -1\leq x\leq 1,\;x^{2}\leq y\leq 4-x^{3}\}$ ;
• $D_{2}=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid y\geq 0,\;x-y+1\geq 0,\;y\leq -x^{2}+2x+1\}$.

Solution

1. $\int _{-1}^{1}(4-x^{3}-x^{2})\,\mathrm {d} x=\left[4x-{\frac {x^{4}}{4}}-{\frac {x^{3}}{3}}\right]_{-1}^{1}={\frac {22}{3}}$.
2. $x+1\leq -x^{2}+2x+1\Leftrightarrow 0\leq x\leq 1$ et $-x^{2}+2x+1\geq 0\Leftrightarrow 1-{\sqrt {2}}\leq x\leq 1+{\sqrt {2}}$.
   $A=A_{1}-A_{2}$, $A_{1}=\int _{1-{\sqrt {2}}}^{1+{\sqrt {2}}}(-x^{2}+2x+1)\,\mathrm {d} x=\int _{-{\sqrt {2}}}^{\sqrt {2}}(2-t^{2})\,\mathrm {d} t=\left[2t-{\frac {t^{3}}{3}}\right]_{-{\sqrt {2}}}^{\sqrt {2}}={\frac {8{\sqrt {2}}}{3}}$, $A_{2}=\int _{0}^{1}\left((-x^{2}+2x+1)-(x+1)\right)\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}\left(-x^{2}+x\right)\,\mathrm {d} x=-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{2}}={\frac {1}{6}}$. $A={\frac {8{\sqrt {2}}}{3}}-{\frac {1}{6}}={\frac {16{\sqrt {2}}-1}{6}}$.