« Intégration en mathématiques/Exercices/Suites d'intégrales 2 » : différence entre les versions

Une page de Wikiversité, la communauté pédagogique libre.
Contenu supprimé Contenu ajouté
m liens wp plus précis
m →‎Exercice 18-5 : manque illustration
Ligne 90 : Ligne 90 :


== Exercice 18-5==
== Exercice 18-5==
Soit la fonction <math>f</math> définie par :
Soit <math>f:\R_+\to\R</math> la fonction <math>x\mapsto-x\ln x</math>, prolongée par continuité en <math>0</math>.
:<math> \begin{cases}f(x)=-x\ln x\\f(0)=\lim_{x\to0}f(x)=l.\end{cases}</math>


'''1°''' &nbsp;Préciser la valeur de <math>l</math>. Représenter graphiquement la fonction <math>f</math>.
'''1°''' &nbsp;Préciser la valeur de <math>f(0)</math>. Représenter graphiquement la fonction <math>f</math>.


'''2°''' &nbsp;Calculer :
'''2°''' &nbsp;Calculer :
Ligne 109 : Ligne 108 :
:<math>I_k=\int_0^1\frac{\left(f(x)\right)^k}{k!}\,\mathrm dx</math>.
:<math>I_k=\int_0^1\frac{\left(f(x)\right)^k}{k!}\,\mathrm dx</math>.
{{Solution|contenu=
{{Solution|contenu=
#<math>f(0)=0</math>.{{...}}
{{en cours}}
}}
}}



Version du 10 juin 2017 à 21:08

Suites d'intégrales 2
Image logo représentative de la faculté
Exercices no18
Leçon : Intégration en mathématiques
Chapitre du cours : Intégrale et primitives

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Suites d'intégrales 1
Exo suiv. :Divers
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Suites d'intégrales 2
Intégration en mathématiques/Exercices/Suites d'intégrales 2
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.




Exercice 18-1

Pour , on pose :

.

 En intégrant par parties, montrer que :

.

 Établir que :

.
En déduire que :
.

 L'entier étant fixé, démontrer par récurrence sur  :

.

Exercice 18-2

 Soient et . Pour , on pose :

.
Justifier cette notation.
Déterminer la fonction dérivée de .
En se limitant à , montrer qu'il existe un triplet , dépendant du couple , tel que
.
On distinguera les cas et . Dans la second cas, on montrera qu'il existe une solution et une seule, à savoir :

 Pour et , donner une expression de :

dans laquelle n'intervient aucun signe d'intégration.
(On mettra la fonction sous la forme .)

Exercice 18-3

Pour tout entier naturel , on considère la fonction définie par :

.

 Prouver que est croissante et majorée par .

 Soit :

.
Prouver que :
.

 En déduire en fonction de .

 Étudier la limite de la suite .

Exercice 18-4

Pour tout entier , on considère , définie par :

.

 Calculer et .

 Calculer en intégrant par parties :

.

 Étudier la limite en de la suite .

Exercice 18-5

Soit la fonction , prolongée par continuité en .

 Préciser la valeur de . Représenter graphiquement la fonction .

 Calculer :

.

 On pose, pour et entiers naturels :

.
Prouver que :
.

 Calculer . En déduire :

.

 En déduire la valeur de

.

Exercice 18-6

Soit la fonction définie par :

.

 Calculer les dérivées première et seconde de et en déduire, par récurrence, la dérivée d'ordre .

 Étudier les variations de la fonction définie par :

est un entier relatif. Tracer les courbes représentatives , et des fonctions , et .

 On pose :

.
Calculer et en fonction de , et établir la relation :
.