« Intégration en mathématiques/Exercices/Suites d'intégrales 1 » : différence entre les versions

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une sol du 3, mais vu le faible intérêt et le peu de rapport avec l'intégration, je me demande si c'est bien ça qui était demandé
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== Exercice 17-1 ==
== Exercice 17-1 ==
On pose :
On pose :
:<math>I_n=\int_0^1 t^n\sin\pi t\, \mathrm dt\qquad(n\in\N^*)</math>.
:<math>I_n=\int_0^1t^n\sin\pi t\,\mathrm dt\qquad(n\in\N^*)</math>.


'''1°''' &nbsp;Démontrer que :
'''1°''' &nbsp;Démontrer que :
:<math>\forall n\qquad0<I_n<\int_0^1 t^n\, \mathrm dt</math>.
:<math>\forall n\qquad0<I_n<\int_0^1 t^n\,\mathrm dt</math>.


'''2°''' &nbsp;Démontrer que :
'''2°''' &nbsp;Démontrer que :
:<math>\lim_{n \to \infty}\int_0^1 t^n\, \mathrm dt=0</math>.
:<math>\lim_{n \to \infty}\int_0^1t^n\ \mathrm dt=0</math>.


'''3°''' &nbsp;En déduire que :
'''3°''' &nbsp;En déduire que :
:<math>\lim_{n \to \infty}I_n=0</math>.
:<math>\lim_{n\to\infty}I_n=0</math>.


{{Solution|contenu=
{{Solution|contenu=
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'''2°''' &nbsp;Démontrer que :
'''2°''' &nbsp;Démontrer que :
:<math>2nI_n=(2n-1)I_{n-1}+\frac{2^n}{\sqrt2}</math>
:<math>2nI_n=(2n-1)I_{n-1}+\frac{2^n}{\sqrt2}</math>.
:En déduire <math>I_2</math>.
:En déduire <math>I_2</math>.
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== Exercice 17-3 ==
== Exercice 17-3 ==

On pose :
On pose :
:<math>A_n(x)=1+2x+\cdots+n x^{n-1}</math> ;

<math>A_n(x)=1+2x+\cdots+n x^{n-1}</math>
:<math>B_n(x)=1\times2+2\times3x+\cdots+n(n+1)x^{n-1}</math> ;
:<math>C_n(x)=1+1^2x+2^2x^2\cdots+n^2 x^n</math>.

'''1°''' &nbsp;Déterminer la primitive <math>F_n</math> de <math>A_n</math> qui est égale à <math>1</math> pour <math>x=0</math>. En déduire une expression de <math>A_n(x)</math>.
<math>B_n(x)=1\times2+2\times3x+\cdots+n(n+1)x^{n-1}</math>

<math>C_n(x)=1+1^2x+2^2x^2\cdots+n^2 x^n</math>

'''1°''' &nbsp;Déterminer la primitive '''F<sub>n</sub>''' de '''A<sub>n</sub>''' qui est égale à '''1''' pour '''x = 0'''. En déduire une expression de '''A<sub>n</sub>(x)'''.


'''2°''' &nbsp;Démontrer que <math>B_n(x)=A_{n+1}'(x)</math>, et que :
'''2°''' &nbsp;Démontrer que <math>B_n(x)=A_{n+1}'(x)</math>, et que :
:<math>C_n(x)=1+x A_n(x)+x^2A_n'(x)</math>.
:<math>C_n(x)=1+xA_n(x)+x^2A_n'(x)</math>.

'''3°''' &nbsp;En déduire des expressions de '''B<sub>n</sub>(x)''' et '''C<sub>n</sub>(x)'''.

{{Solution}}


'''3°''' &nbsp;En déduire des expressions de <math>B_n(x)</math> et <math>C_n(x)</math>.
{{Solution|contenu=
Si <math>x\ne1</math> :
#<math>F_n(x)=1+x+x^2+\dots+x^n=\frac{x^{n+1}-1}{x-1}</math> donc <math>A_n(x)=F'_n(x)=\frac{nx^{n+1}-(n+1)x^n+1}{(x-1)^2}</math>.
#
#*<math>A_{n+1}(x)=\sum_{k=0}^n(k+1)x^k</math> donc <math>A'_{n+1}(x)=\sum_{k=1}^nk(k+1)x^{k-1}=B_n(x)</math>.
#*<math>1+xA_n(x)+x^2A_n'(x)=1+\sum_{k=0}^{n-1}(k+1)x^{k+1}+\sum_{k=1}^{n-1}k(k+1)x^{k+1}=1+x+\sum_{k=1}^{n-1}(k+1)^2x^{k+1}=C_n(x)</math>.
#
#*<math>B_n(x)=A'_{n+1}(x)=\left(\frac{(n+1)x^{n+2}-(n+2)x^{n+1}+1}{(x-1)^2}\right)'</math>
#:::<math>=\frac{(n+1)nx^{n+2}-2n(n+2)x^{n+1}+(n+2)(n+1)x^n-2}{(x-1)^3}</math> ;
#*<math>C_n(x)=1+x\frac{nx^{n+1}-(n+1)x^n+1}{(x-1)^2}+x^2\frac{n(n-1)x^{n+1}-2(n^2-1)x^n+(n+1)nx^{n-1}-2}{(x-1)^3}</math>.
#:::<math>=\frac{n^2x^{n+3}+(-2n^2-2n+1)x^{n+2}+(n+1)^2x^{n+1}+x^3-4x^2+2x-1}{(x-1)^3}</math>.
}}


== Exercice 17-4 ==
== Exercice 17-4 ==
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'''1°''' &nbsp;Trouver deux entiers relatifs <math>a</math> et <math>x</math> tels que :
'''1°''' &nbsp;Trouver deux entiers relatifs <math>a</math> et <math>x</math> tels que :
:<math>f(x)=\frac ax+\frac b{x+1}</math>.
:<math>f(x)=\frac ax+\frac b{x+1}</math>.
:En déduire, pour <math>x</math> appartenant à <math>]0,\,+\infty[</math>, la valeur de :
:En déduire, pour <math>x</math> appartenant à <math>\left]0,+\infty\right[</math>, la valeur de :
:<math>F(x):=\int_1^xf(t)\,\mathrm dt</math>.
:<math>F(x):=\int_1^xf(t)\,\mathrm dt</math>.


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== Exercice 17-5 ==
== Exercice 17-5 ==

Pour <math>n\in\N^*</math>, soit :
Pour <math>n\in\N^*</math>, soit :
:<math>I_n=\int_0^x\cos^nt\,\mathrm dt</math> ;
:<math>J_n=\int_0^x \sin^nt\,\mathrm dt</math>.


'''1°''' &nbsp;Démontrer que, pour tout entier <math>n</math> supérieur à <math>2</math>, on a :
<math>I_n=\int_0^x \cos^nt\, \mathrm dt</math>
:<math>n I_n=\cos^{n-1}x\sin x+(n-1)I_{n-2}</math> ;
:<math>n J_n=-\sin^{n-1}x\cos x+(n-1)J_{n-2}</math>.


'''2°''' &nbsp;Calculer <math>I_2</math>, <math>J_2</math>, <math>I_5</math> et <math>J_3</math>.
<math>J_n=\int_0^x \sin^nt\, \mathrm dt</math>

'''1°''' &nbsp;Démontrer que, pour tout entier '''n''' supérieur à '''2''', on a :
:<math>n I_n=\cos^{n-1}x\sin x+(n-1)I_{n-2}</math>
:<math>n J_n=-\sin^{n-1}x\cos x+(n-1)J_{n-2}</math>

'''2°''' &nbsp;Calculer '''I<sub>2</sub>''', '''J<sub>2</sub>''', '''I<sub>5</sub>''' et '''J<sub>3</sub>'''.

'''3°''' &nbsp;Peut-on, lorsque '''n''' est impair, calculer '''I<sub>n</sub>''' et '''J<sub>n</sub>''' à l'aide d'un changement de variable simple ?

{{Solution}}


'''3°''' &nbsp;Peut-on, lorsque <math>n</math> est impair, calculer <math>I_n</math> et <math>J_n</math> à l'aide d'un changement de variable simple ?
{{Solution|contenu=
}}


== Exercice 17-6 ==
== Exercice 17-6 ==
On considère la fonction <math>f</math> définie, pour <math>x</math> réel positif, par :
:<math>f(x)=x[x-E(x)]</math>
en désignant par <math>E(x)</math> le plus grand entier inférieur à <math>x</math>.


'''1°''' &nbsp;Dans le plan rapporté à un repère orthonormal, construire le graphique de <math>f</math> pour <math>x</math> élément de <math>\left[0,3\right[</math>.
On considère la fonction '''f''' définie, pour '''x''' réel positif, par :

<math>f(x)=x[x-E(x)]</math>

en désignant par '''E(x)''' le plus grand entier inférieur à '''x'''.

'''1°''' &nbsp;Dans le plan rapporté à un repère orthonormal, construire le graphique de '''f''' pour '''x''' élément de <math>[0,\,3[</math>.


'''2°''' &nbsp;Soit '''k''' un entier naturel. Donner l'expression de '''f(x)''' pour '''x''' élément de <math>[k,\,k+1[</math>, puis calculer :
'''2°''' &nbsp;Soit <math>k</math> un entier naturel. Donner l'expression de <math>f(x)</math> pour <math>x</math> élément de <math>\left[k,k+1\right[</math>, puis calculer :
:<math>u_k=\int_k^{k+1} f(x)\, \mathrm dx</math>
:<math>u_k=\int_k^{k+1}f(x)\,\mathrm dx</math>.
:Calculer <math>(u_{k+1}-u_k)</math>. En déduire que la suite finie <math>(u_0,\,u_1,\cdots,u_{n-1})</math> est une suite arithmétique dont on donnera la raison et le premier terme.
:Calculer <math>u_{k+1}-u_k</math>. En déduire que la suite finie <math>(u_0,\,u_1,\cdots,u_{n-1})</math> est une suite arithmétique dont on donnera la raison et le premier terme.


'''3°''' &nbsp;Calculer :
'''3°''' &nbsp;Calculer :
:<math>\int_0^n f(x)\, \mathrm dx</math>
:<math>\int_0^n f(x)\,\mathrm dx</math>,
:'''n''' étant un entier naturel.
:<math>n</math> étant un entier naturel.
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}}
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== Exercice 17-7 ==
== Exercice 17-7 ==

Soit :
Soit :
:<math>I_n=\int_0^\frac\pi2\sin^nx\,\mathrm dx\qquad(n\in\N^*)</math>.


'''1°''' &nbsp;Justifier l'existence de <math>I_n</math>. Calculer <math>I_1</math> et <math>I_2</math>.
<math>I_n=\int_0^\frac\pi2 \sin^nx\, \mathrm dx\qquad(n\in\N^*)</math>


'''1°''' &nbsp;Justifier l'existence de '''I<sub>n</sub>'''. Calculer '''I<sub>1</sub>''' et '''I<sub>2</sub>'''.
'''2°''' &nbsp;Établir une relation de récurrence entre <math>I_n</math> et <math>I_{n-2}</math>. En déduire l'expression de <math>I_n</math> en fonction de <math>n</math>.

'''2°''' &nbsp;Établir une relation de récurrence entre '''I<sub>n</sub>''' et '''I<sub>n-2</sub>'''. En déduire l'expression de '''I<sub>n</sub>''' en fonction de '''n'''.


'''3°''' &nbsp;On pose :
'''3°''' &nbsp;On pose :
:<math>u_p=\left(\frac{2\times4\times\cdots\times(2p-2)}{3\times5\times\cdots\times(2p-1)}\right)^22p</math>.
:<math>u_p=\left(\frac{2\times4\times\cdots\times(2p-2)}{3\times5\times\cdots\times(2p-1)}\right)^22p</math>.
:Démontrer que '''u<sub>p</sub>''' est une valeur approchée par excès de <math>\frac\pi2</math>, avec :
:Démontrer que <math>u_p</math> est une valeur approchée par excès de <math>\frac\pi2</math>, avec :
:<math>u_p-\frac\pi2<\frac{u_p}{2p+1}</math>
:<math>u_p-\frac\pi2<\frac{u_p}{2p+1}</math>.
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}}
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{{Bas de page
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Version du 9 juin 2017 à 17:03

Suites d'intégrales 1
Image logo représentative de la faculté
Exercices no17
Leçon : Intégration en mathématiques
Chapitre du cours : Intégrale et primitives

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Calculs indirects
Exo suiv. :Suites d'intégrales 2
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Suites d'intégrales 1
Intégration en mathématiques/Exercices/Suites d'intégrales 1
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.




Exercice 17-1

On pose :

.

 Démontrer que :

.

 Démontrer que :

.

 En déduire que :

.

Exercice 17-2

Pour tout entier naturel , on pose :

.

 Prouver qu'il existe des réels et tels que, pour tout de  :

.
En déduire le calcul de .

 Démontrer que :

.
En déduire .

Exercice 17-3

On pose :

 ;
 ;
.

 Déterminer la primitive de qui est égale à pour . En déduire une expression de .

 Démontrer que , et que :

.

 En déduire des expressions de et .

Exercice 17-4

Soit la fonction numérique de la variable réelle définie par :

.

 Trouver deux entiers relatifs et tels que :

.
En déduire, pour appartenant à , la valeur de :
.

 On considère la suite définie, pour entier naturel non nul, par :

.
Cette suite admet-elle une limite quand tend vers  ?

Exercice 17-5

Pour , soit :

 ;
.

 Démontrer que, pour tout entier supérieur à , on a :

 ;
.

 Calculer , , et .

 Peut-on, lorsque est impair, calculer et à l'aide d'un changement de variable simple ?

Exercice 17-6

On considère la fonction définie, pour réel positif, par :

en désignant par le plus grand entier inférieur à .

 Dans le plan rapporté à un repère orthonormal, construire le graphique de pour élément de .

 Soit un entier naturel. Donner l'expression de pour élément de , puis calculer :

.
Calculer . En déduire que la suite finie est une suite arithmétique dont on donnera la raison et le premier terme.

 Calculer :

,
étant un entier naturel.

Exercice 17-7

Soit :

.

 Justifier l'existence de . Calculer et .

 Établir une relation de récurrence entre et . En déduire l'expression de en fonction de .

 On pose :

.
Démontrer que est une valeur approchée par excès de , avec :
.