Intégration en mathématiques/Exercices/Comparaison

Exercice 2-1

Soit f une fonction numérique continue sur un intervalle [a, b]. Prouver que si :

$\left|\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x\right|=\int _{a}^{b}|f(x)|\,\mathrm {d} x$

alors f(x) a un signe constant.

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

 

Exercice 2-2

Démontrer que, si f et g sont des fonctions continues sur [a, b] telles que g soit positive sur [a, b], et |f| majorée par A sur [a, b], alors :

$\left|\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,\mathrm {d} x\right|\leqslant A\int _{a}^{b}g(x)\,\mathrm {d} x$

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

 

Exercice 2-3

soit f une fonction continue positive, soit F une primitive de f. Prouver que, quels que soient les réels strictement positifs a et h :

${\frac {F(a+h)-F(a)}{2{\sqrt {a+h}}}}\leqslant \int _{\sqrt {a}}^{\sqrt {a+h}}f(t^{2})\,\mathrm {d} t\leqslant {\frac {F(a+h)-F(a)}{2{\sqrt {a}}}}$

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

 

Exercice 2-4

Trouver un encadrement de chacune des intégrales suivantes :

1°   $\int _{0}^{\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {d} t}{(3+2\cos t)^{2}}}$

2°   $\int _{0}^{\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{5}}}}$

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

 

Exercice 2-5

Démontrer que :

$1,13<\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}{\sqrt[{3}]{1-\cos ^{2}t}}\,\mathrm {d} t<1,20$

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

 

Exercice 2-6

Soit la fonction f définie sur ℝ₊^* par :

$f(\alpha )=\int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{\alpha }}}\,\mathrm {d} x$

1°  Prouver que, pour $x\in [0,1]$ :

$1-x^{\alpha }\leqslant {\sqrt {1-x^{\alpha }}}\leqslant 1-{\frac {1}{2}}x^{\alpha }$

2°  En déduire que :

${\frac {\alpha }{1+\alpha }}<f(\alpha )<{\frac {\alpha +{\frac {1}{2}}}{\alpha +1}}$

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

 

Exercice 2-7

Soit f une fonction numérique continue sur [0,1] et telle que, pour tout x de [0,1] :

$\int _{x}^{1}f(t)\,\mathrm {d} t\geqslant {\frac {1-x^{2}}{2}}$

soit F une primitive de f sur [0,1].

1°  Prouver que :

$F(1)=\int _{0}^{1}xf(x)\,\mathrm {d} x+\int _{0}^{1}F(x)\,\mathrm {d} x$

2°  En déduire que :

$\int _{0}^{1}xf(x)\,\mathrm {d} x\geqslant {\frac {1}{3}}$

3°  En déduire que :

$\int _{0}^{1}[f(x)]^{2}\,\mathrm {d} x\geqslant {\frac {1}{3}}$

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

 

Exercice 2-8

Soient f et g des fonctions continues sur un intervalle [a, b] (avec a < b).

On suppose que f est croissante et que g prend ses valeurs dans [0, 1]. On pose :

$I=\int _{a}^{b}g(t)\,\mathrm {d} t$

1°  Étudier la variation de la fonction G définie par :

$G(x)=\int _{a}^{x}g(t)\,\mathrm {d} t$

Montre que $a+G(x)\leqslant x$

2°  Comparer les fonctions φ et ψ définies par :

$\varphi (x)=\int _{a}^{b}f(t)g(t)\,\mathrm {d} t$

$\psi (x)=\int _{a}^{a+G(x)}f(t)\,\mathrm {d} t$

3°  Démontrer que :

$\int _{a}^{b}f(t)g(t)\,\mathrm {d} t\geqslant \int _{a}^{a+1}f(t)\,\mathrm {d} t$

Dans quel cas a-t-on l'égalité ?

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

 

Exercice 2-9

Démontrer que, pour tout entier naturel n :

${\frac {1}{2(n+1)}}\leqslant \int _{0}^{1}{\frac {x^{n}}{1+x^{2}}}\,\mathrm {d} x\leqslant {\frac {1}{n+1}}$

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

 

Exercice 2-10

1°  Étudier la variation de la fonction f définie par :

$f(x)=e^{x^{2}}-(e-1)x^{2}-1$

2°  Prouver que :

${\frac {4}{3}}<\int _{0}^{1}e^{x^{2}}\,\mathrm {d} x<{\frac {e+2}{3}}$

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}