Calcul différentiel/Différentiabilité

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La notion de différentiabilité généralise celle de dérivée aux applications sur des espaces vectoriels. Dans toute la suite, <math>(E, \|.\|_E)</math> et F désignent des espaces vectoriels normés complets pour les normes considérées. Ces espaces sont appelés Espaces de Banach.

Différentiabilité en un point ; application linéaire tangente

Différentiabilité d'une application

On dit qu'une application ƒ de E dans F est différentiable en un point $a$ lorsqu'il existe :

• une application linéaire continue, notée dƒ(a) de E dans F, appelée application différentielle de ƒ en a, définie sur E (ou une boule ouverte de E) et à valeurs dans F ;
• une application $\varepsilon :E\to F$ vérifiant $\lim _{h\rightarrow 0}\varepsilon =0$

telles que l'on ait : $\forall h\in E,\ f(a+h)=f(a)+\mathrm {d} f(a)(h)+\|h\|_{E}\cdot \varepsilon (h)$

On appelle application linéaire tangente en a la différentielle de ƒ en a.

La notation $\mathrm {d} f(a)(h)$ peut paraître ambigüe : « $\mathrm {d} f(a)$ » est bel et bien une application, on peut la remplacer par g ou un trèfle sans changer le sens. Il est important de bien avoir compris cela.

Précisons tout de même le cas des espaces de dimension finie :

Différentiabilité en dimension finie

Soit E et F deux espaces vectoriels normés de dimension finie. Soit ƒ une application de E dans F : elle est dite différentiable en un point a lorsqu'il existe :

• une application linéaire dƒ(a) définie sur E (ou une boule ouverte de E) à valeurs dans F ;
• une application $\varepsilon$ définie sur E (ou une boule ouverte de E), à valeurs dans F et dont la limite en 0 est nulle,

telles que l'on ait : $\forall h\in E,\ f(a+h)=f(a)+\mathrm {d} f(a)(h)+\|h\|_{E}\cdot \varepsilon (h)$

Propriété

En dimension finie, toute application linéaire g est continue. En dimension infinie, il suffit qu'elle soit lipschitzienne, donc qu'il existe un réel M tel que : $\forall h\in E,\ g(h)\|_{F}\leq M\cdot \|h\|_{E}$

En dimension infinie, on doit toujours vérifier la continuité de l'application dƒ(x).

Cela mérite bien un exemple :

Début de l'exemple

Exemple : différentielle d'une application linéaire

Soit ƒ une application linéaire de $\scriptstyle \mathbb {R} ^{p}$ dans lui-même. Soit x un vecteur de cet espace. Alors :

$\forall h\in E,\ f(x+h)-f(x)=f(h)$

par linéarité. Il semble donc que :

$\mathrm {d} f(x)=f$

En effet, le reste est nul (donc négligeable devant la norme de h) et f est continue et linéaire. Conclusion : la différentielle d'une application linéaire est constante, et égale à l'application linéaire en question.

On retrouve cela pour les fonctions « élémentaires » comme $x\mapsto nx$, dont la dérivée est constante et égale à $x\mapsto n$.

Fin de l'exemple

Début d’un théorème

Théorème

Les applications dƒ(a) et $\varepsilon$ sont uniques sous réserve d'existence.

Fin du théorème

Dérivation selon un vecteur ; dérivation partielle

Définition

On dit que $f$ est dérivable en a selon le vecteur u si $F:t\mapsto f(a+tu)$ est dérivable en 0 auquel cas on pose $D_{u}f(a)$ cette dérivée :

$D_{u}f(a)=F'(0)=\lim _{t\rightarrow 0}{\frac {f(a+tu)-f(a)}{t}}$

Début de l'exemple

Exemple : dérivées partielles

On pose $f:\left(x,y,z\right)\mapsto x^{2}+2xy+y^{3}+z$, alors :

${\frac {\partial f}{\partial x}}:\left(x,y,z\right)\mapsto 2x+2y$

${\frac {\partial f}{\partial y}}:\left(x,y,z\right)\mapsto 2x+3y^{2}$

${\frac {\partial f}{\partial z}}:\left(x,y,z\right)\mapsto 1$

La différentielle de f s'écrit ici :

$\mathrm {d} f=2(x+y)\mathrm {d} x+(2x+3y^{2})\mathrm {d} y+\mathrm {d} z$

Fin de l'exemple

Début d’un théorème

Théorème

Si $f$ est différentiable en a, elle admet des dérivées partielles selon tout vecteur $u\neq 0$, et on pose :

$D_{u}f(a)=\mathrm {d} f(a).u$

Fin du théorème

Applications continûment différentiables

Définition

On dit que $f:{\mathcal {U}}\rightarrow F$ est continûment différentiable sur ${\mathcal {U}}$ si elle est différentiable en tout point a de ${\mathcal {U}}$ et si $\mathrm {d} f$ est continue.

Début d’un théorème

Théorème fondamental

Soit $f:{\mathcal {U}}\rightarrow F$ avec ${\mathcal {U}}\in {\mathcal {O}}(E)$. Alors les propositions suivantes sont équivalentes :

1. $f$ est continûment différentiable sur ${\mathcal {U}}$ ;
2. $f$ est partiellement dérivable en tout point de ${\mathcal {U}}$ selon tout vecteur u à dérivées partielles toutes continues sur ${\mathcal {U}}$ ;
3. $\exists b=(b_{1},\dots ,b_{n})$ base de E telle que pour tout $a\in {\mathcal {U}}$, f admet des dérivées partielles en a selon tous les vecteurs de cette base, à dérivées partielles $D_{e_{j}}f$ toutes continues.

Fin du théorème

Définition : classe C¹

On dit que $f:{\mathcal {U}}\rightarrow F$ est de classe ${\mathcal {C}}^{1}$ sur ${\mathcal {U}}$ si elle y admet des dérivées partielles selon tout vecteur de $E\backslash \{0\}$ toutes continues.

Remarque. On peut se contenter de dérivées partielles selon les vecteurs d'une base de E.

Théorèmes opératoires classiques

Début d’un théorème

Théorème : différentielle d'une application linéaire (continue)

$\forall l\in {\mathcal {L}}_{c}(E,F)$, $l$ est continument différentiable sur E et $\mathrm {d} l$ est l'application constante égale à $l$ :

$\forall x\in E,\mathrm {d} l(x)=l$.

Fin du théorème

$\mathrm {d} l$ n'est pas égale à $l$ !

Proposition

L'opérateur de différentiation est linéaire :

$\forall (f,g)\in {\mathcal {C}}^{1}({\mathcal {U}},F)^{2}\lambda f+\mu g$ est ${\mathcal {C}}^{1}$ et $\mathrm {d} (\lambda f+\mu g)=\lambda \mathrm {d} f+\mu \mathrm {d} g$

Début d’un théorème

Théorème : différentielle d'une composée de deux applications

Théorème :

On se donne :

a) trois espaces de Banach $E,F,G$,

b) une fonction $f$ définie sur un ouvert ${\mathcal {U}}\subset E$ et différentiable en un point $a\in {\mathcal {U}}$,

c) une fonction $g$ définie sur un ouvert ${\mathcal {V}}\subset F$ avec $f({\mathcal {U}})\subset {\mathcal {V}}$ et différentiable en $f(a)$.

 Alors la fonction $g\circ f:{\mathcal {U}}\mapsto G$ est différentiable en $a$ et l'on a $d(g\circ f)_{a}=dg_{f(a)}\circ df_{a}$.

Démonstration :

Pour tout $h\in E$ tel que $a+h\in {\mathcal {U}}$ on a $f(a+h)=f(a)+df_{a}(h)+\lVert h\rVert _{E}\varepsilon _{1}(h)$ avec $\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0_{E}}\varepsilon _{1}(h)=0_{F}$. De même, $g$ étant différentiable en $f(a)$, pour tout $k\in F$ tel que $f(a)+k\in {\mathcal {V}}$ on peut écrire $g(f(a)+k)=g\circ f(a)+dg_{f(a)}(k)+\lVert k\rVert _{F}\varepsilon _{2}(k)$ avec $\displaystyle \lim _{k\rightarrow 0_{F}}\varepsilon _{2}(k)=0_{G}$.

Puisque $\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0_{E}}(df_{a}(h)+\lVert h\rVert _{E}\varepsilon _{1}(h))=0_{F}$ on a : $g(f(a)+df_{a}(h)+\lVert h\rVert _{E}\varepsilon _{1}(h))=g\circ f(a)+dg_{f(a)}\circ df_{a}(h)+\lVert h\rVert _{E}dg_{f(a)}(\varepsilon _{1}(h))+\lVert df_{a}(h)+\lVert h\rVert _{E}\varepsilon _{1}(h)\rVert _{F}\varepsilon _{2}(df_{a}(h)+\lVert h\rVert _{E}\varepsilon _{1}(h))$.

L'application linéaire $h\mapsto dg_{f(a)}\circ df_{a}(h)$ sera la différentielle de $g\circ f$ au point $a$ si on montre que $\lVert h\rVert _{E}dg_{f(a)}(\varepsilon _{1}(h))+\lVert df_{a}(h)+\lVert h\rVert _{E}\varepsilon _{1}(h)\rVert _{F}\varepsilon _{2}(df_{a}(h)+\lVert h\rVert _{E}\varepsilon _{1}(h))$ est de la forme $\lVert h\rVert _{E}\varepsilon _{3}(h)$ avec $\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0_{E}}\varepsilon _{3}(h)=0_{G}$.

On a $\lVert h\rVert _{E}dg_{f(a)}(\varepsilon _{1}(h))+\lVert df_{a}(h)+\lVert h\rVert _{E}\varepsilon _{1}(h)\rVert _{F}\varepsilon _{2}(df_{a}(h)+\lVert h\rVert _{E}\varepsilon _{1}(h))=$ $\lVert h\rVert _{E}(dg_{f(a)}(\varepsilon _{1}(h))+\lVert {\dfrac {df_{a}(h)}{\lVert h\rVert _{E}}}+\varepsilon _{1}(h)\rVert _{F}\varepsilon _{2}(df_{a}(h)+\varepsilon _{1}(h))$.

On rappelle que pour toute application linéaire continue $l:E\mapsto F$ il existe un réel $M>0$ dépendant seulement du choix de $l$ tel que pour tout $x\in E\quad \lVert l(x)\rVert _{F}\leq M\lVert x\rVert _{E}$; ainsi le quotient ${\dfrac {\lVert df_{a}(h)\rVert }{\lVert h\rVert _{E}}}$ est borné. En posant $\varepsilon _{3}(h)=dg_{f(a)}(\varepsilon _{1}(h))+\lVert {\dfrac {df_{a}(h)}{\lVert h\rVert _{E}}}+\varepsilon _{1}(h)\rVert _{F}\varepsilon _{2}(df_{a}(h)+\lVert h\rVert _{E}\varepsilon _{1}(h))$, les hypothèses $\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0_{E}}\varepsilon _{1}(h)=0_{F}$ et $\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0_{F}}\varepsilon _{1}(h)=0_{G}$ impliquent alors $\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0_{E}}\varepsilon _{3}(h)=0_{G}$ donc $g\circ f(a+h)=g\circ f(a)+dg_{f(a)}\circ df_{a}(h)+\lVert h\rVert _{E}\varepsilon _{3}(h)$.

Fin du théorème

De même :

Début d’un théorème

Théorème : différentielle d'un produit

Soit $f:E\to F$ et $g:G\to H$ deux applications différentiables, alors pour tout x: $\mathrm {d} (f\star g)(x)(h)=\left[\mathrm {d} f(x)(h)\right]\star g(x)+f(x)\star \left[\mathrm {d} g(x)(h)\right]$ où $\star$ note le produit (si $\scriptstyle F\,=\,H\,=\,\mathbb {R}$) ou le produit scalaire (sinon).

Fin du théorème