« Calcul différentiel/Différentiabilité » : différence entre les versions

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<!-- Introduction -->
<!-- Introduction -->
La notion de différentiabilité généralise celle de dérivée aux applications sur des espaces vectoriels. Dans toute la suite, sauf indication contraire, ''E'' et ''F'' désignent des espaces vectoriels normés quelconques.
La notion de différentiabilité généralise celle de dérivée aux applications sur des espaces vectoriels. Dans toute la suite, ''<nowiki><math>(E</nowiki>'', \|.\|_E)<nowiki></math></nowiki> et ''F'' désignent des espaces vectoriels normés complets pour les normes considérées. Ces espaces sont appelés Espaces de Banach.


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Version du 26 décembre 2015 à 09:48

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Différentiabilité
Icône de la faculté
Chapitre no 2
Leçon : Calcul différentiel
Chap. préc. :Limites et continuité
Chap. suiv. :Jacobien
fin de la boite de navigation du chapitre
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Calcul différentiel/Différentiabilité
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

La notion de différentiabilité généralise celle de dérivée aux applications sur des espaces vectoriels. Dans toute la suite, <math>(E, \|.\|_E)</math> et F désignent des espaces vectoriels normés complets pour les normes considérées. Ces espaces sont appelés Espaces de Banach.

Différentiabilité en un point ; application linéaire tangente


On appelle application linéaire tangente en a la différentielle de ƒ en a.

Panneau d’avertissement La notation peut paraître ambigüe : «  » est bel et bien une application, on peut la remplacer par g ou un trèfle sans changer le sens. Il est important de bien avoir compris cela.

Précisons tout de même le cas des espaces de dimension finie :


Panneau d’avertissement En dimension infinie, on doit toujours vérifier la continuité de l'application dƒ(x).

Cela mérite bien un exemple :

Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Début d’un théorème
Fin du théorème


Dérivation selon un vecteur ; dérivation partielle


Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Début d’un théorème
Fin du théorème


Applications continûment différentiables


Début d’un théorème
Fin du théorème



Remarque. On peut se contenter de dérivées partielles selon les vecteurs d'une base de E.

Théorèmes opératoires classiques

Début d’un théorème
Fin du théorème


Panneau d’avertissement n'est pas égale à  !


Début d’un théorème
Fin du théorème


De même :

Début d’un théorème
Fin du théorème