En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Oscillateurs amortis : circuit R L C série et oscillateur mécanique amorti par frottement visqueux Signaux physiques - bis (PCSI)/Exercices/Oscillateurs amortis : circuit R L C série et oscillateur mécanique amorti par frottement visqueux », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Circuit linéaire constitué d'« un condensateur en série avec le modèle parallèle d'une bobine réelle » soumis à un échelon de tension, réponse en intensité de courant traversant le circuit
On se propose de déterminer la réponse en intensité du courant traversant le circuit constitué d'un condensateur de capacité en série avec l'association d'une bobine parfaite d'inductance propre en parallèle sur un conducteur ohmique de résistance , l'ensemble étant soumis à un échelon de tension établi à partir de et d'amplitude voir ci-contre ;
avant la fermeture de l'interrupteur réalisée à , toutes les grandeurs électriques (tension et intensité) du circuit passif sont nulles.
Établissement de l'équation différentielle en i(t), intensité du courant traversant le circuit linéaire soumis à un échelon de tension
Établir, pour tout , l'équation différentielle en , intensité du courant de charge du condensateur, quand le circuit est soumis à l'échelon de tension d'amplitude .
pour trouver l'équation différentielle en , il faut expliciter en fonction de par exemple en fonction de laquelle, par loi de maille, s'exprime en fonction de donc, en dérivant de et en fonction de en fait ce n'est pas que l'on peut expliciter simplement mais en fonction de puis, par loi de maille, en fonction de et, en dérivant, en fonction de soit :
on peut donc reporter la 1ère équation dans la loi après avoir dérivé[2] cette dernière une 1ère fois soit d'où par report de la 1ère équation, puis
on peut donc reporter la 2ème équation dans la loi après l'avoir dérivée[2] une 2ème fois soit [4] ou, par report de la 2ème équation, soit finalement, en ordonnant
«».
La réduction canonique la plus utilisée nous conduit à définir
la « pulsation propre » et
le « cœfficient d'amortissement tel que soit »[5] d'où,
en factorisant par le 2ème membre et en transformant à l'aide de , la forme canonique de l'équation différentielle en suivante
«».
À partir de la nature de la discontinuité de l'excitation, induction de celle des discontinuités (éventuelles) initiales de l'intensité i(t) et de son taux horaire de variation (di/dt)(t) puis détermination des C.I. par utilisation des propriétés de continuité des grandeurs électriques dans un circuit résistif
Induire, de la nature de la discontinuité de l'excitation en , celles de et de puis,
déterminer les valeurs initiales et par la méthode adaptée à la nature de la discontinuité éventuelle.
Solution
De l'excitation de l'équation différentielle écrite pour tout « “ discontinue de 3ème espèce en ” »[6],[7] on induit, le numéro d'espèce de discontinuité de l'excitation se reportant sur la dérivée de plus haut ordre[8], que est « “ discontinue de 3ème espèce ” »[6], discontinue de 2ème espèce[9] et discontinue de 1ère espèce en [10] ;
on trouvera donc par circuit à à représenter réellement dans lequel on remplace la bobine par un interrupteur ouvert continuité de à l'instant dans un circuit résistif[11] cette dernière étant nulle et le condensateur par un court-circuit continuité de à l'instant dans un circuit résistif[12] cette dernière étant nulle, on retrouve alors aux bornes de [13] d'où
«» ;
peut se déterminer en prenant la dernière équation avant la dérivation finale[2] permettant d'aboutir à l'équation différentielle cherchée et en y faisant soit dans laquelle on réintroduit la grandeur continue en utilisant ce qui donne l'équation où on y fait soit ou, en utilisant le résultat de précédemment trouvé [14], que l'on peut réécrire en reportant et ,
«».
Détermination des réponses transitoires en intensité du courant suivant la valeur de la résistance et tracé du graphe de i(t) en fonction de t pour une résistance supérieure à la résistance critique
En déduire, pour , les réponses en , intensité du courant traversant le circuit soumis l'échelon de tension d'amplitude suivant les valeurs de , on mettra en évidence une résistance critique que l'on exprimera en fonction de et .
Donner l'allure du graphe de en fonction de dans le cas où .
Solution
L'équation différentielle, une fois l'interrupteur fermé, s'écrit : « pour » ; il n'y a donc que la solution libre qui nécessite de résoudre l'équation caractéristique classique «» et on obtient, suivant la valeur de :
«» ou ou encore « en définissant la résistance critique selon » : régime apériodique, la solution s'écrivant «», avec «»,
«» ou «» : régime apériodique critique, la solution s'écrivant «»,
«» ou «» : régime pseudo-périodique, la solution s'écrivant «» avec « la pseudo-pulsation ».
Précisons l'expression de , pour , dans le cas où c'est-à-dire le régime pseudo-périodique, on obtient alors , les constantes et étant déterminées par C.I[15]. :
2ème C.I[15]. «» soit, en évaluant , on obtient «» ou, en y reportant de la 1ère C.I[15]., on obtient , soit encore, en remplaçant par et en simplifiant par , on trouve ou encore «» ;
de , on déduit soit «» ;
de avec le choix de on déduit dont on tire [16] et peut se mettre sous la forme d'un soit «» ;
avec les valeurs de et précédemment déterminées on obtient
«» avec «».
L'allure de la courbe est rappelée ci-contre :
Circuit linéaire constitué d'« une bobine parfaite en série avec un conducteur ohmique de résistance R et une association parallèle d'un condensateur parfait sur un conducteur ohmique de même résistance R » soumis à un échelon de tension, réponse en intensité de courant traversant le circuit
On se propose de déterminer la réponse en intensité du courant traversant le circuit constitué d'une bobine parfaite d'inductance propre en série avec un conducteur ohmique de résistance et l'association d'un condensateur de capacité en parallèle sur un conducteur ohmique de même résistance , l'ensemble étant soumis à un échelon de tension établi à partir de et d'amplitude voir ci-contre ;
avant la fermeture de l'interrupteur réalisée à , toutes les grandeurs électriques (tension et intensité) du circuit passif sont nulles.
Établissement de l'équation différentielle en i(t), intensité du courant traversant le circuit linéaire soumis à un échelon de tension
Établir, pour tout , l'équation différentielle en , intensité du courant traversant la bobine, quand le circuit est soumis à l'échelon de tension d'amplitude .
Solution
On dispose d'une loi de nœuds ,
On dispose de deux lois de mailles dont
la 1ère est laquelle, avec et , se réécrit en fonction de et selon et
la 2ème dans laquelle est aussi la tension aux bornes du condensateur[1] avec , permet d'exprimer et uniquement en fonction de selon et ;
pour trouver l'équation différentielle en , il faut expliciter en fonction de par est en fonction de laquelle, par loi de maille , s'exprime en fonction de et en fonction de par est en fonction de et, par loi de maille , s'exprime en fonction de , il suffit de dériver[2] cette loi de maille soit :
le report dans la loi de nœuds conduit à soit finalement, en normalisant et en ordonnant
«».
À partir de la nature de la discontinuité de l'excitation, induction de celle des discontinuités éventuelles initiales de l'intensité i(t) et de son taux horaire de variation (di/dt)(t) puis détermination des C.I[15]. par utilisation des propriétés de continuité des grandeurs électriques dans un circuit résistif
Induire, de la nature de la discontinuité de l'excitation en , celles de et de puis,
déterminer les valeurs initiales et par la méthode adaptée à la nature de la discontinuité éventuelle.
Solution
De l'excitation de l'équation différentielle écrite pour tout discontinue de 2ème espèce en [9], on induit, le numéro d'espèce de discontinuité de l'excitation se reportant sur la dérivée de plus haut ordre[17], que est discontinue de 2ème espèce[9], discontinue de 1ère espèce[10] et continue en [18] ;
on trouvera donc par continuité de l'intensité du courant traversant une bobine parfaite dans un circuit résistif[11] soit et, celle-ci étant initialement[19] nulle on en déduit
«» et
on trouvera donc par circuit à à représenter réellement dans lequel on remplace la bobine par un interrupteur ouvert car et le condensateur par un court-circuit continuité de à l'instant dans un circuit résistif[12] cette dernière étant nulle, on retrouve alors aux bornes de soit avec d'où
«».
Détermination de la réponse transitoire en intensité du courant dans le cas où les dipôles « L R série » et « R C parallèle » ont même constante de temps et tracé du graphe de i(t) en fonction de t
Supposant que l'inductance propre de la bobine et la capacité du condensateur sont telles que les dipôles « série » et « parallèle » ont même constante de temps notée , réécrire l'équation différentielle en pour tout sous forme canonique[20] ;
en déduire, pour , la réponse en , intensité du courant traversant le circuit soumis l'échelon de tension d'amplitude , en fonction de , , et l'instant .
Donner l'allure du graphe de en fonction de .
Solution
Compte-tenu que les dipôles « série » et « parallèle » ont même constante de temps , l'équation différentielle en a pour forme canonique : « pour » ; il y a donc une solution forcée à ajouter à la solution libre, laquelle nécessite de résoudre l'équation caractéristique «», de discriminant réduit , n'admettant que des solutions complexes conjuguées «» et par suite, donnant une solution libre pseudo-périodique «» de « pseudo-pulsation »[21] soit finalement la solution transitoire de l'équation différentielle de la forme suivante :
«», les constantes et étant à déterminer par C.I[15]. :
2ème C.I[15]. «» soit, avec , on obtient [22] ou, en y reportant de la 1ère C.I[15]., «» ;
de , on déduit «» ;
de avec le choix de on déduit dont on tire [16], établissant que seul peut se mettre sous la forme d'un soit «» ;
avec les valeurs de et précédemment déterminées on obtient
«».
L'allure de la courbe est rappelée ci-contre à droite en traits pleins avec précision des enveloppes en tiretés :
Circuit de Wien court-circuité, le condensateur de l'association série étant initialement chargé et celui de l'association parallèle initialement déchargé, réponse en tension aux bornes de l'association parallèle
À l'aide des conducteurs ohmiques de résistance et ainsi que des condensateurs parfaits de capacité et , on réalise le montage ci-contre appelé circuit de Wien[23] court-circuité.
On ferme l'interrupteur à , le condensateur de l'association série de capacité étant initialement chargé et celui de l'association parallèle de capacité déchargé.
Pour faire les applications numériques nous nous placerons dans le cas où les deux résistances sont égales et les deux capacités aussi, ceci permettant de poser , et on prendra et .
À l'instant on note la tension instantanée aux bornes du condensateur initialement chargé de capacité et la tension instantanée aux bornes du condensateur initialement déchargé de capacité , le but de cet exercice étant de déterminer l'évolution de la tension en fonction du temps .
Détermination des valeurs à l'instant 0+ et au bout d'un temps infini de v(t) et de sa dérivée temporelle
À partir de considérations physiques préciser les valeurs de la tension et de sa dérivée temporelle lorsque et quand .
Solution
Valeurs initiales de la tensionet de sa dérivée temporelle :
Utilisant la continuité de la tension aux bornes du condensateur de capacité car le circuit est résistif[12], on peut écrire «» et cette dernière étant nulle car le condensateur de capacité est initialement[19] déchargé on en déduit
«» c'est-à-dire que le condensateur de capacité est équivalent à un court-circuit dans le circuit à ;
ayant aussi la continuité de la tension aux bornes du condensateur de capacité à l'instant [12] c'est-à-dire «» et cette dernière étant égale à car le condensateur de capacité est initialement[19] chargé sous tension , on en déduit
«» c'est-à-dire que le condensateur de capacité est équivalent à une source de tension parfaite de f.e.m. dans le circuit à ;
pour déterminer il convient de rechercher «»[24] et pour cela de tracer le circuit à [25] en utilisant les équivalences déterminées ci-dessus ;
on en déduit que « la f.e.m. de la source de tension équivalente à à l'instant se retrouve aux bornes de » «» et la tension aux bornes de étant nulle à l'instant étant en sur le court-circuit équivalent à à l'instant , «» et par suite la loi des nœuds «» donne finalement «» ; de l'utilisation de , on en déduit
«».
Valeurs de la tensionet de sa dérivée temporelle au bout d'un temps infini :
Les charges des condensateurs étant terminées régime permanent, on a donc «» ainsi que «» et par loi des nœuds «» dont on déduit, par utilisation de ,
«», le condensateur de capacité étant finalement déchargé ;
par utilisation de et , on déduit aussi
«» traduisant l'état d'équilibre du condensateur de capacité ;
bien que cela ne soit pas demandé, l'utilisation de la loi de maille avec et nous conduit à
«», le condensateur de capacité étant finalement, lui aussi, déchargé.
Établissement de l'équation différentielle en v(t), tension aux bornes du dipôle « R C parallèle »
Établir l'équation différentielle en , tension aux bornes du dipôle « parallèle », pour tout instant .
Solution
Sur le schéma ci-contre, nous avons introduit inconnues tensions, intensités et charges, il nous faudra donc relations[26] pour les éliminer progressivement en ne conservant que ;
loi des nœuds ,
lien entre tension aux bornes d'un condensateur et sa charge et d'où, en éliminant les charges au profit des tensions aux bornes des condensateurs, la diminution du nombre d'inconnues à et par suite la nécessité de relations il en faut donc encore ,
loi d'Ohm appliqué au conducteur ohmique de résistance soit d'où, en éliminant la tension aux bornes de au profit l'intensité la traversant, la diminution du nombre d'inconnues à c'est-à-dire les trois intensités , , et les trois tensions , , et par suite la nécessité de relations il en faut donc encore ,
définition du courant de décharge du condensateur de capacité soit [27] ou, en remplaçant par , la 2ème relation utile [28] et
définition du courant de charge du condensateur de capacité soit [29] ou, en remplaçant par , la 3ème relation utile [30],
1ère loi de maille fermé sur maille orientée dans le sens de ou et
2ème loi de maille fermé sur soit ou ;
enfin la caractérisation de l'interrupteur que l'on peut réécrire ;
pour déterminer l'équation différentielle en cherchée, il faut éliminer entre les relations , , , et au profit de et de ses dérivées temporelles soit :
par , ,
on reporte alors ainsi que dans et on obtient en fonction de et soit ;
on reporte alors ainsi que dans en fonction de et soit ou ;
il reste alors à éliminer à l'aide de utilisée simultanément à soit : que l'on réécrit selon ;
il suffit de dériver[2][3] et d'utiliser pour éliminer dans l'équation , on obtient alors l'équation différentielle cherchée soit ou encore sous forme normalisée :
«» ou, avec , «».
Remarque : L'équation différentielle en écrite pour tout permet de retrouver les C.I[15]., en effet l'excitation étant discontinue de 2ème espèce pour [9], on peut induire en utilisant la propriété « le numéro d'espèce de discontinuité de l'excitation se reporte sur la dérivée de plus haut ordre »[17] que est discontinue de 1ère espèce[10] et continue en [18] ;
Remarque : la valeur de peut être retrouvée en intégrant[2] l'équation différentielle en écrite pour tout entre et ce qui donne, compte-tenu de la nullité des valeurs de et pour , «»[31] ;
Remarque : la valeur de peut être retrouvée en utilisant la continuité de en [12] ce qui donne, compte-tenu de la nullité de la valeur de pour , la nullité de pour ou
«»
Remarque : et par report dans la C.I[15]. précédente soit
«».
Résolution de l'équation différentielle en v(t), tension aux bornes du dipôle « R C parallèle », puis tracé de son graphe en fonction du temps t et détermination de l'instant pour lequel v(t) est maximale
déterminer le temps au bout duquel passe par un maximum.
Solution
Pour l'équation différentielle en étant linéaire à cœfficients réels constants homogène du 2ème ordre «», sa solution transitoire s'identifie à la solution libre qui se résout en cherchant les solutions de l'équation caractéristique «» ; celle-ci étant de discriminant admet deux solutions réelles distinctes «» et par suite la loi horaire d'évolution de s'écrit «» ;
on détermine et à l'aide des C.I[15]. déterminées précédemment soit d'où :
2ème C.I[15]. nécessitant d'exprimer soit, en faisant , ou «»,
2ème C.I[15]. dans laquelle on reporte tiré de la 1ère C.I[15]. soit d'où «» ;
finalement la loi horaire de variation de s'écrit selon
«» ou numériquement, avec «» et «» «», le tracé du diagramme horaire de étant représenté ci-contre ainsi que celui du début de courbe à la suite du précédent.
Détermination du temps au bout duquelpasse par un maximum : graphiquement on trouve «» ;
Détermination du temps au bout duquelpasse par un maximum : analytiquement on cherche « tel que »[32], ce qui donne, avec , l'équation en suivante ou soit, en inversant, ou, en multipliant haut et bas l'argument du logarithme par l'expression conjuguée de son dénominateur c'est-à-dire [33] soit finalement
Commentaires : on a donc montré que Commentaires : on a donc montré que sur l'intervalle le condensateur de capacité se chargeait jusqu'à atteindre une charge maximale associée à une tension soit numériquement, avec , «» et Commentaires : on a donc montré que sur l'intervalle il se déchargeait à travers le conducteur ohmique monté en parallèle sur lui jusqu'à être totalement déchargé.
Établissement du courant dans un circuit bouchon quand ce dernier est soumis, à travers un conducteur ohmique, à un échelon de tension
On se propose de déterminer la réponse en intensité du courant traversant le circuit constitué d'un conducteur ohmique de résistance en série avec l'association d'un condensateur de capacité en parallèle sur une bobine parfaite d'inductance propre association parallèle appelée circuit bouchon, l'ensemble étant soumis à un échelon de tension établi à partir de et d'amplitude voir ci-contre ;
on pose «»[35] et «»[36], étant suffisamment grande pour que soit à c'est-à-dire «» ;
avant la fermeture de l'interrupteur réalisée à , toutes les grandeurs électriques tensions et intensités de courant du circuit passif sont nulles.