Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Introduction au monde quantique : dualité onde-particule

Interférences d'atomes d'hélium (Carnal et Mlynek 1991)

Dispositif expérimental utilisé pour l'observation d'interférences d'atomes d'hélium par fentes d'Young

Nombre d'atomes détectés pendant $\;10\;mn\;$ en fonction de la position du détecteur dans l'expérience d'interférences d'atomes d'hélium

     Carnal et Mlynek ont réalisé, en $\;1991$, une expérience d'interférences par fentes d'Young avec un faisceau homocinétique d'atomes d'hélium de longueur d'onde de de Broglie $\;\lambda _{d.B.}=0,103\;nm$ ;

     le faisceau entrant, limité par une fente $\;F\;$ de largeur $\;s_{0}=2\;\mu m$, rencontre, à une distance $\;L=64\;cm\;$ de $\;F$, le système des deux fentes d'Young $\;F_{1}\;$ et $\;F_{2}\;\parallel \;$ à $\;F$, les fentes d'Young étant larges de $\;s=1\;\mu m$, et séparées entre elles de $\;a=8\;\mu m$ ;

     à une distance $\;L'=64\;cm\;$ se trouve le plan de détection $\;\parallel \;$ au plan des fentes d'Young, sur lequel est disposé un détecteur mobile large de $\;2\;\mu m\;$ ${\big (}$voir figure ci-dessus à gauche${\big )}$.

     sur la figure ci-dessus à droite, est donné le diagramme du nombre d'atomes reçus par le détecteur pendant $\;10\;min\;$ en fonction de sa position, le trait en pointillés représentant le « bruit de fond » de ce dernier que l'on mesure en occultant le faisceau à l'entrée du dispositif.

Vitesse des atomes dans l'expérience et conséquences

     La masse d'un atome d'hélium étant $\;m_{He}=6,70\;10^{-27}\;kg$, déterminer la vitesse des atomes dans cette expérience ;

     La masse d'un atome d'hélium étant $\;\color {transparent}{m_{He}=6,70\;10^{-27}\;kg}$, sont-ils relativistes ou non ?

     Estimer la durée du trajet d'un atome pour aller de $\;F\;$ au détecteur.

Solution

     D'après la relation de de Broglie, la norme de la quantité de mouvement de la particule est liée à la longueur d'onde de son onde de matière associée par «$\;p={\dfrac {h}{\lambda _{d.B.}}}\;$» avec, en faisant l'hypothèse d'une particule non relativiste «$\;p=m_{He}\,v\;$ où $\;v\;$ est la vitesse de la particule », on en déduit donc la vitesse des atomes d'hélium du faisceau «$\;v={\dfrac {h}{\lambda _{d.B.}\,m_{He}}}\;$» soit numériquement, «$\;v\simeq {\dfrac {6,62\;10^{-34}}{0,103\;10^{-9}\times 6,70\;10^{-27}}}\;$» en $\;m\cdot s^{-1}\;$ ou
«$\;v\simeq 959\;m\cdot s^{-1}\;$» ;

     on vérifie que les atomes d'hélium ne sont pas relativistes car leur « vitesse relative » est «$\;\beta ={\dfrac {v}{c}}\simeq {\dfrac {959}{3\;10^{8}}}\simeq 3\;10^{-6}\;$» nettement $\;<\;$ à $\;0,14\;$ ${\big (}$valeur à partir de laquelle la particule doit être considérée comme relativiste en ce qui concerne sa quantité de mouvement${\big )}\;$.

     La distance de $\;F\;$ au détecteur étant estimée à $\;L+L'\simeq 1,28\,m\;$ et les atomes en tant que particules se déplaçant à la vitesse $\;v\simeq 959\;m\cdot s^{-1}$, la durée du trajet $\;{\big (}$ou temps de vol${\big )}\;$ est estimée à «$\;\tau _{\text{vol}}\simeq {\dfrac {L+L'}{v}}\simeq {\dfrac {1,28}{959}}\simeq 1,33\;10^{-3}\;s\;$» soit finalement
«$\;\tau _{\text{vol}}\simeq 1,33\;ms\;$».

 

Diffraction de l'onde de matière par la fente F

     Calculer le demi-angle d'ouverture $\;\theta \;$ de diffraction de l'onde de matière par la fente $\;F$ ;

     vérifier que les fentes $\;F_{1}\;$ et $\;F_{2}\;$ reçoivent bien cette onde.

Solution

Dispositif expérimental utilisé pour l'observation d'interférences d'atomes d'hélium par fentes d'Young avec précision des demi angles d'ouverture de diffraction

     On connaît le lien entre ce demi-angle d'ouverture $\;\theta$, la largeur de la fente diffractante $\;s_{0}=2\;\mu m\;$ et la longueur d'onde $\;\lambda _{d.B.}=0,103\;nm\;$ donné par «$\;\sin(\theta )={\dfrac {\lambda _{d.B.}}{s_{0}}}\;$» soit numériquement $\;\sin(\theta )={\dfrac {0,103\;10^{-9}}{2\;10^{-6}}}=5,15\;10^{-5}\ll 1\;$ $\Rightarrow$ «$\;\theta \simeq 5,2\;10^{-5}\,rad\;$» d'où «$\;\theta \simeq 5,2\;10^{-5}\,rad\simeq 0,18\;{\text{'}}\simeq 11\;{\text{''}}\;$» ;      pour vérifier que les fentes $\;F_{1}\;$ et $\;F_{2}\;$ sont bien recouvertes par cette onde, il faut calculer la largeur $\;l\;$ de la tache principale de diffraction sur le plan des deux fentes soit «$\;l=2\;L\;\tan(\theta )\simeq 2\;L\;\theta \;$» donnant numériquement $\;l\simeq 2\times 0,64\times 5,2\;10^{-5}\simeq 67\;10^{-6}\,m=67\;\mu m\;$» et comme «$\;l\simeq 67\;\mu m>a+s=9\,\mu m\;$» nous en déduisons que
le faisceau diffracté recouvre effectivement $\;{\big (}$et très largement${\big )}\;$ les deux fentes.

 

Largeur de la zone d'interférences dans le plan de détection

     Calculer le demi-angle d'ouverture $\;\theta '\;$ de diffraction de l'onde de matière par la fente $\;F_{1}\;$ ou $\;F_{2}$ ;

     en déduire la largeur de la zone de recouvrement des deux ondes diffractées dans le plan de détection.

Solution

Dispositif expérimental utilisé pour l'observation d'interférences d'atomes d'hélium par fentes d'Young avec précision des demi angles d'ouverture de diffraction

     Ce calcul se fait de la même façon que celle exposée dans la solution de la question « diffraction de l'onde de matière par la fente F » plus haut dans cet exercice, la largeur des fentes d'Young étant $\;s=1\;\mu m$, on obtient le demi-angle d'ouverture $\;\theta '\;$ par «$\;\sin(\theta ')={\dfrac {\lambda _{d.B.}}{s}}\;$» soit numériquement $\;\sin(\theta ')={\dfrac {0,103\;10^{-9}}{1\;10^{-6}}}=10,3\;10^{-5}\ll 1\;$ $\Rightarrow$ «$\;\theta '\simeq 10,3\;10^{-5}\,rad\;$» d'où «$\;\theta '\simeq 10,3\;10^{-5}\;rad\simeq 0,36\;{\text{'}}\simeq 22\;{\text{''}}\;$» ;      pour déterminer de la largeur de la zone de recouvrement des deux ondes diffractées dans le plan de détection, il faut calculer la largeur $\;l'\;$ de la tache principale de diffraction par une des deux fentes sur le plan de détection soit «$\;l'=2\;L'\;\tan(\theta ')\simeq 2\;L'\;\theta '\;$» donnant numériquement «$\;l'\simeq 2\times 0,64\times 10,3\;10^{-5}\simeq 134\;10^{-6}\;m=134\;\mu m\;$» et

     d'après le schéma ci-contre, un faisceau se déduisant de l'autre par translation de la distance $\;a=8\;\mu m\;$ perpendiculairement aux fentes,
     d'après le schéma ci-contre la largeur de la zone de recouvrement est $\;{\mathcal {L}}_{\text{recouvrement}}=l'-a\;$ soit numériquement
  d'après le schéma ci-contre la largeur de la zone de recouvrement est «$\;{\mathcal {L}}_{\text{recouvrement}}=126\;\mu m\;$».

 

Nombre moyen d'atomes détectés pendant la durée de fonctionnement de l'expérience

     Combien d'atomes détecte-t-on en moyenne pendant $\;10\;$ minutes ?

     Trouver l'ordre de grandeur du nombre d'atomes traversant l'appareil pendant $\;10\;$ minutes compte-tenu de la dimension du détecteur ;

     en déduire la durée moyenne entre deux envois successifs d'atomes et
     conclure en comparant au résultat de la 1^ère question.

Solution

Nombre d'atomes détectés pendant $\;10\;mn\;$ en fonction de la position du détecteur dans l'expérience d'interférences d'atomes d'hélium

     Sur la figure de droite de début de texte rappelée ci-contre, est donné le diagramme du nombre d'atomes reçus par le détecteur pendant $\;10\;min\;$ en fonction de sa position, le trait en pointillés représentant le « bruit de fond » de ce dernier que l'on mesure en occultant le faisceau à l'entrée du dispositif ;

     le nombre d'atomes reçus par le détecteur en $\;10\;min\;$ est en moyenne $\;65\;$ et nous mesurons un bruit de fond égal à $\;20\;$ atomes ;
     ainsi le détecteur recevant en moyenne $\;65-20=45\;$ atomes qui sont passés par les fentes sur une largeur de $\;2\;\mu m$, on déduit,
     ainsi de la largeur de la zone de recouvrement $\;{\mathcal {L}}_{\text{recouvrement}}=126\;\mu m\;$ déterminée dans la solution de la question « largeur de la zone d'interférences dans le plan de détection » plus haut dans cet exercice,
     ainsi le nombre d'atomes sur toute la largeur de la zone d'interférence $\;45\times {\dfrac {126}{2}}\simeq 2835\;$ soit approximativement $\;2800\;$ atomes qui sont passés par les fentes pendant $\;10\;min$.      En supposant un débit régulier d'envoi d'atomes, la durée moyenne entre deux envois se suivant est donc $\;{\dfrac {10\times 60}{2800}}\;$ en $\;s\;$ soit «$\;\tau _{\text{envois successifs}}\simeq 0,214\;s\;$ séparant deux envois successifs » ;

     le temps de vol d'un atome étant $\;\tau _{\text{vol}}\simeq 1,33\;ms\;$ très petit relativement $\;\tau _{\text{envois successifs}}\simeq 214\,ms$, nous pouvons en déduire :
     le temps de vol d'un atome il n'y a qu'un seul atome à la fois dans le dispositif expérimental et par suite
     le temps de vol d'un atome l'onde de matière associée à l'atome interfère avec elle-même et
     le temps de vol d'un atome l'onde de matière associée à l'atome interfère non avec une autre onde de matière associée à un autre atome.

 

Raison de l'absence de l'observation pratique d'interférences destructives

     Il y a des points du plan de détection où la probabilité de détection s'annule par interférences destructives ;

     comment se fait-il que sur la figure de début d'exercice à droite le nombre d'atomes détectés ne soit jamais nul ?

Solution

     Ceci est dû à la largeur du détecteur $\;2\;\mu m\;$ alors que l'interfrange peut être estimée à $\;8\,\mu m\;$, la 1^ère n'étant pas très petite par rapport à la 2^ème ;
     le détecteur centré sur une frange « sombre » percevra donc les atomes au voisinage de cette frange sombre, ce qui correspondra à un nombre d'atomes perçus par le détecteur minimal mais non nul.