Leçons de niveau 14

Signaux physiques (PCSI)/Oscillateurs amortis : régime sinusoïdal forcé, impédance complexe

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Oscillateurs amortis : régime sinusoïdal forcé, impédance complexe
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Chapitre no 29
Leçon : Signaux physiques (PCSI)
Chap. préc. :Oscillateurs amortis : circuit R L C série et oscillateur mécanique amorti par frottement visqueux
Chap. suiv. :Oscillateurs amortis : association d'impédances complexes
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Signaux physiques (PCSI)/Oscillateurs amortis : régime sinusoïdal forcé, impédance complexe
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Sommaire

Exemple de circuit linéaire dans lequel le G.B.F. impose une tension sinusoïdale, réponse transitoire, régime sinusoïdal forcé (r.s.f.)[modifier | modifier le wikicode]

Exemple de circuit linéaire dans lequel le G.B.F. impose une tension sinusoïdale d'amplitude et de fréquence fixées[modifier | modifier le wikicode]

Schéma d'un circuit R L C série soumis à une source de tension parfaite de f.e.m. sinusoïdale, réponse en tension aux bornes du condensateur

......L'exemple choisi est un R L C série [1] branché, à travers un « montage suiveur » [2], aux bornes d'un générateur de fonctions (voir schéma ci-contre) permettant de sélectionner la forme sinusoïdale de la f.e.m., sa fréquence ainsi que son amplitude [3], [4] ou sa valeur efficace [5], [6] (on vérifiera l'absence de composante continue) ;

......on se propose de déterminer la réponse en tension aux bornes du condensateur du R L C série soumis à la tension sinusoïdale de fréquence et de valeur efficace toutes deux fixées c'est-à-dire d'expression instantanée est la pulsation liée à la fréquence par  ;

......on détermine l'équation différentielle en tension aux bornes du condensateur du R L C série soumis à la tension sinusoïdale par application de la loi de maille, soit après normalisation, ou encore,

.

Réponse transitoire en tension aux bornes du condensateur du R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace et fréquence fixées[modifier | modifier le wikicode]

......La réponse transitoire d'une équation différentielle linéaire hétérogène à excitation sinusoïdale de fréquence est la somme de la solution « libre » de l'équation différentielle correspondante homogène et de la solution « forcée sinusoïdale de même fréquence f » [7] de l'équation différentielle hétérogène ;

......faisant la réduction canonique de l'équation différentielle linéaire hétérogène en tension aux bornes du condensateur d'un R L C série soumis à la tension sinusoïdale , on obtient, avec

  • la pulsation propre et
  • le facteur de qualité [8]

......la forme canonique suivante  ;

......la réponse transitoire s'écrit alors avec la solution libre qui s'amortit en quelques et la solution forcée sinusoïdale est la grandeur efficace et la phase à l'origine de la tension aux bornes du condensateur, ces deux grandeurs dépendant, a priori, de , , , , , et restant à déterminer.

Amortissement très rapide de la solution libre, notion de régime sinusoïdal forcé (r.s.f.)[modifier | modifier le wikicode]

......Dans l'exemple considéré ci-dessus la constante de temps intervenant dans la réduction canonique est « toujours petite » [9] même si l'inductance propre utilisée est relativement grande et la résistance relativement petite, ceci a donc pour conséquence l'amortissement de la solution libre au bout d'une « durée toujours petite, quelques τ » (au plus en pratique [10], [11]) et par suite, on peut estimer que la réponse transitoire se confondant très rapidement avec la réponse sinusoïdale forcée, il est légitime de ne considérer que cette dernière en négligeant la phase transitoire ;

......faire ceci c'est se placer d'emblée en « régime sinusoïdal forcé » ou « r.s.f. » et c'est que nous ferons systématiquement à l'exception de cas très particuliers.

Détermination de la réponse en tension aux bornes du condensateur du R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace et fréquence fixées en « r.s.f. »[modifier | modifier le wikicode]

......Il faut donc déterminer la valeur efficace ainsi que la phase à l'origine de la réponse et pour cela on pourrait reporter dans l'équation différentielle puis faire l'identification pour tout

......ce n'est pas ce que nous ferons car ce serait trop laborieux et pour dissuader d'avoir envie de faire ce traitement, nous allons l'amorcer ci-dessous, en commençant par le calcul des dérivées temporelles de la réponse et la décomposition en composantes paire et impaire de toutes les grandeurs sinusoïdales pour identification :

  • ,
  • ,
  • et
  •  ;

......reportant dans l'équation différentielle en séparant composantes paire et impaire, on obtient :

......pour la composante paire [12] et

......pour la composante impaire [12] ;

......on résout alors ce système aux deux inconnues et [13] en conservant une valeur positive pour et la détermination principale [14] pour mais ce n'est pas la méthode à utiliser car beaucoup trop laborieux …

Notion d'électricité « complexe » associée au r.s.f., lois de Kirchhoff en complexe[modifier | modifier le wikicode]

Rappel de la méthode « des complexes » de recherche de la réponse sinusoïdale forcée d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène à une excitation sinusoïdale[modifier | modifier le wikicode]

......Pour cela (re)voir le paragraphe exposé de la méthode « des complexes » pour trouver la solution forcée sinusoïdale (quand elle existe) d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène à excitation sinusoïdale du chapitre de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

Application de la méthode « des complexes » à la détermination de la réponse en tension aux bornes du condensateur du R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace et fréquence fixées en « r.s.f. »[modifier | modifier le wikicode]

......L'application de la méthode « des complexes » à la recherche de la solution sinusoïdale forcée , tension aux bornes du condensateur du R L C série soumis à une tension sinusoïdale de fréquence (ou de pulsation et valeur efficace (ou d'amplitude fixées, c'est-à-dire une tension fournie par le générateur de fonctions monté aux bornes du R L C série égale à , nous conduit à déterminer la tension en introduisant les grandeurs instantanées complexes associées aux tensions sinusoïdales précédentes après avoir, auparavant, établi l'équation différentielle en par application de la loi de maille [15] ce qui donne après normalisation, ou encore, après réduction canonique avec la pulsation propre du R L C série et le facteur de qualité [8] ;

......on définit donc la tension instantanée complexe intervenant dans l'excitation [16] dans laquelle [16] est la tension efficace complexe associée [17] et

......on définit donc la réponse forcée instantanée complexe [16], [18] dans laquelle [16] est la tension efficace complexe associée [17] puis

......on utilise la propriété de dérivation temporelle des grandeurs instantanées complexes équivalente à celle de multiplication par pour transformer l'équation différentielle en [19] est le polynôme caractéristique de cette équation différentielle , polynôme caractéristique que l'on peut réécrire sous la forme algébrique suivante [20] ;

......dans le cas d'un circuit oscillant amorti (C.O.A.) (c'est-à-dire dans lequel tel que la fréquence imposée soit quelconque ou
......dans le cas d'un circuit oscillant non amorti (C.O.N.A.) (c'est-à-dire dans lequel tel que la fréquence imposée soit différente de la fréquence propre du C.O.N.A. (soit ,

......le polynôme caractéristique ne s'annulant pas, on peut inverser l'équation algébrique pour en déduire la tension efficace complexe associée à la réponse forcée complexe cherchée  ;

......on en déduit la réponse forcée sinusoïdale avec

  • la tension efficace associée et
  • la phase à l'origine associée [21] soit .

Notion d'électricité « complexe » associée au r.s.f.[modifier | modifier le wikicode]

......Bien que cette méthode « des complexes » pour la recherche de la solution sinusoïdale forcée d'une équation différentielle à cœfficients réels constants hétérogène à excitation sinusoïdale soit relativement simple, nous allons rendre son utilisation encore plus simple en introduisant une électricité « complexe » [22] associée au domaine du r.s.f. de l'électricité …

......Cette électricité « complexe » dont les parties réelle et imaginaire sont deux faces d'un même problème, avec pour seul changement l'utilisation de fonction cosinus ou sinus, est rendue possible parce que

  • « la partie réelle (ou imaginaire) d'une somme de complexes est égale à la somme des parties réelles (ou imaginaires) de chaque complexe »,
  • « la dérivation temporelle se réduit à une multiplication par j ω » et
  • « la prise de primitive à valeur moyenne nulle se réduit à une division par j ω » [23],

......ceci entraînant qu'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène à excitation sinusoïdale se réduit à une relation de proportionnalité du type est le polynôme caractéristique de l'équation non normalisée déduite de la loi de maille [15]

......L'électricité « complexe » transforme donc un problème d'analyse « recherche de la solution forcée sinusoïdale d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène à excitation sinusoïdale » en un problème d'algèbre élémentaire dans le domaine complexe « résolution d'une équation du type a x = b » …

......Dans tous les paragraphes qui suivent nous formalisons cette électricité « complexe » [24] associée au r.s.f..

Grandeurs instantanées et efficaces (tension, intensité, f.e.m. ou c.e.m.) en électricité « complexe » associée au r.s.f.[modifier | modifier le wikicode]

......À toute grandeur instantanée (tension, intensité, f.e.m. ou c.e.m.) définie dans un dipôle en r.s.f., on associe la grandeur instantanée complexe dans ce dipôle en électricité « complexe » associée au r.s.f., ainsi que la grandeur efficace complexe correspondante  ;

......de ces dernières on en déduit les grandeurs efficaces et les phases à l'origine correspondantes du r.s.f. respectivement

  • la grandeur efficace en prenant le module, et
  • la phase à l'origine en prenant l'argument, .

Lois de Kirchhoff en électricité « complexe » associée au r.s.f.[modifier | modifier le wikicode]

On rappelle que les lois de Kirchhoff [25] sont l'ensemble des lois de mailles et de nœuds d'un circuit.

......On définit la loi de maille en électricité « complexe » associée au r.s.f. (après avoir défini un sens + de tension « physique » [26] sur la maille)

  • en tensions instantanées complexes ou,

......en divisant les deux membres par ,

  • en tensions efficaces complexes [27] ;

......la loi de maille en tensions instantanées complexes se justifie par le fait que sa partie réelle (ou imaginaire) donne la loi de maille « physique » .

......On définit la loi de nœud en électricité « complexe » associée au r.s.f. (après avoir défini les sens + d'intensité de courant « physique » [26] sur les fils arrivant au nœud ou en partant)

  • en intensités instantanées complexes des courants ou,

......en divisant les deux membres par ,

  • en intensités efficaces complexes des courants [28] ;

......la loi de nœud en intensités instantanées complexes des courants se justifie par le fait que sa partie réelle (ou imaginaire) donne la loi de nœud « physique » .

Lois d'Ohm de l'électricité « complexe » applicables aux D.P.L. au sens de l'A.R.Q.S. étudiés en r.s.f., notion d'impédances complexes et d'admittances complexes, cas d'un conducteur ohmique, d'un condensateur (parfait) et d'une bobine (parfaite)[modifier | modifier le wikicode]

Introduction : transformation du “lien d'équation différentielle à cœfficients réels constants entre tension aux bornes d'un D.P.L. et intensité de courant le traversant du r.s.f. ” en “ loi d'Ohm de l'électricité « complexe » associée au r.s.f. ”, notion d'« impédance complexe du D.P.L. utilisé en r.s.f. »[modifier | modifier le wikicode]

......Considérons un D.P.L. fonctionnant en r.s.f. avec le choix de convention récepteur on a, par exemple,

  • une relation du type [29] ou
  • une relation du type  [29] ou
  • une association plus complexe [29] ;

......quand on passe en électricité « complexe », on obtient sur chacun des exemples précédents

  • une relation du type [29] soit, après explicitation des dérivées, [30] ou
  • une relation du type  [29] soit, après explicitation des dérivées, [30] ou
  • une association plus complexe [29] soit, après explicitation des dérivées, [30] ;

......soit, dans tous les cas, une relation de proportionnalité entre tension instantanée complexe et intensité instantanée complexe c'est-à-dire une loi d'Ohm [31] de l'électricité « complexe » associée au r.s.f., le cœfficient multipliant l'intensité instantanée complexe pour donner la tension instantanée complexe définissant l'impédance complexe du D.P.L. étudié en électricité complexe associée au r.s.f. selon

[32] soit, sur les trois exemples ci-dessus
  • pour le 1er exemple,
  • pour le 2e et
  • pour le 3e

......L'une des principales taches de l'électricité « complexe » associée au r.s.f. sera donc de déterminer l'impédance complexe du D.P.L. équivalent intervenant dans le problème et une fois évaluée on pourra en tirer les informations déduites de sa 2e définition ou, en définissant

l'impédance du D.P.L. en r.s.f. par exprimée en ,

......en tirer les informations de sa 3e définition équivalente

 :
  • en prenant le module de on en déduit c'est-à-dire l'impédance du D.P.L. en r.s.f. ou le rapport de la tension efficace aux bornes du D.P.L. sur l'intensité efficace du courant le traversant et
  • en prenant l'argument de on en déduit c'est-à-dire l'avance de phase de la tension aux bornes du D.P.L. sur l'intensité du courant le traversant.

Notion d'« admittance complexe d'un D.P.L. utilisé en r.s.f. »[modifier | modifier le wikicode]

......De même qu'en régime permanent après avoir défini la résistance d'un récepteur obéissant à la loi d'Ohm [31] et on introduit son inverse la conductance ainsi que la loi d'Ohm [31] correspondante,
......De même qu’en régime sinusoïdal forcé (r.s.f.), on introduit l'admittance complexe du D.P.L. étudié en électricité complexe associée au r.s.f. noté comme l'inverse de l'impédance complexe du D.P.L. soit

dont on déduit
[32] c'est-à-dire
une 2e forme de la loi d'Ohm [31] en électricité complexe associée au r.s.f. ou,
en définissant l'admittance du D.P.L. en r.s.f. par exprimée en ,
  • le module de l'admittance complexe donnant l'admittance du dipôle soit et
  • son argument l'opposé de l'avance de phase de la tension sur l'intensité soit [33].

Représentation des D.P.L. en électricité « complexe » associée au r.s.f.[modifier | modifier le wikicode]

......Comme ces derniers suivent, en électricité « complexe » associée au r.s.f., la loi d'Ohm [31], on les représente par un rectangle en indiquant leur impédance complexe à côté du rectangle [ne pas oublier de représenter les flèches tension et courant pour préciser la convention choisie (jusqu'ici c'est la convention récepteur qui a été choisie [34]) ].

Conducteur ohmique de résistance R[modifier | modifier le wikicode]

......Loi d'ohm en r.s.f. loi d'ohm en électricité complexe associée au r.s.f. ou [32] d'où en introduisant l'impédance complexe ou l'admittance complexe :

  • l'impédance complexe du conducteur ohmique de résistance R vaut [35] dont on tire

......l'impédance du conducteur ohmique de résistance R valant et
......l'avance de phase de uR(t) sur iR(t) , la tension aux bornes du conducteur ohmique est toujours en phase avec l'intensité du courant le traversant ;

  • l'admittance complexe du conducteur ohmique de résistance R vaut [36] dont on tire

......l'admittance du conducteur ohmique de résistance R valant c'est-à-dire égale à sa conductance et
......l'avance de phase de uR(t) sur iR(t) , la tension aux bornes du conducteur ohmique est toujours en phase avec l'intensité du courant le traversant.

Bobine parfaite d'inductance propre L[modifier | modifier le wikicode]

......Loi « physique » en r.s.f. loi en électricité complexe associée au r.s.f. ou [32] d'où en introduisant l'impédance complexe ou l'admittance complexe :

  • l'impédance complexe de la bobine parfaite d'inductance propre L vaut [37] dont on tire

......l'impédance de la bobine parfaite d'inductance propre L valant [exemple une bobine d'inductance propre fonctionnant sous une fréquence de a une impédance , si l'intensité efficace du courant la traversant est de la tension efficace à ses bornes sera , ces deux grandeurs étant mesurées à l'aide de multimètres en fonctionnement alternatif] et
......l'avance de phase de uL(t) sur iL(t) , la tension aux bornes d'une bobine parfaite est toujours en quadrature avance avec l'intensité du courant la traversant (à l'oscilloscope la tension aux bornes de la bobine parfaite [38] serait un quart de période en avance sur la tension aux bornes d'un conducteur ohmique en série permettant d'observer l'intensité du courant la traversant) ;

  • l'admittance complexe de la bobine parfaite d'inductance propre L vaut [39] dont on tire

......l'admittance de la bobine parfaite d'inductance propre L valant c'est-à-dire l'inverse de l'impédance et
......l'avance de phase de uL(t) sur iL(t) [40], la tension aux bornes d'une bobine parfaite est toujours en quadrature avance avec l'intensité du courant la traversant.

......Représentation d'une bobine parfaite d'auto-inductance L en électricité « complexe » associé au r.s.f. de fréquence f (ou de pulsation ω) : par un rectangle en mettant à côté du rectangle .

Condensateur parfait de capacité C[modifier | modifier le wikicode]

......Loi « physique » en r.s.f. loi en électricité complexe associée au r.s.f. ou [32] d'où en introduisant l'impédance complexe ou l'admittance complexe :

  • l'impédance complexe du condensateur parfait de capacité C vaut [41] dont on tire

......l'impédance du condensateur parfait de capacité C valant exemple un condensateur de capacité fonctionnant sous une fréquence de a une impédance , si l'intensité efficace du courant la traversant est de la tension efficace à ses bornes sera , ces deux grandeurs étant mesurées à l'aide de multimètres en fonctionnement alternatif et
......l'avance de phase de uC(t) sur iC(t) [42], la tension aux bornes d'un condensateur parfait est toujours en quadrature retard avec l'intensité du courant la traversant (à l'oscilloscope la tension aux bornes du condensateur parfait serait un quart de période en retard sur la tension aux bornes d'un conducteur ohmique en série permettant d'observer l'intensité du courant la traversant) ;

  • l'admittance complexe du condensateur parfait de capacité C vaut [43] dont on tire

......l'admittance du condensateur prafait de capacité C valant c'est-à-dire l'inverse de l'impédance et
......l'avance de phase de uC(t) sur iC(t) , la tension aux bornes d'un condensateur parfait est toujours en quadrature retard avec l'intensité du courant la traversant.

......Représentation d'un condensateur parfait de capacité C en électricité « complexe » associé au r.s.f. de fréquence f (ou de pulsation ω) : par un rectangle en mettant à côté du rectangle .

Comportement équivalent à B.F. et à H.F. d'un condensateur (parfait) et d'une bobine (parfaite)[modifier | modifier le wikicode]

Comportement équivalent à B.F.[modifier | modifier le wikicode]

......Quand , , l'impédance d'un condensateur parfait et
...........Quand f --> 0, ω = 2 pi f --> 0, l'impédancecelle d'une bobine parfaite d'où :

  • à B.F. un condensateur parfait est équivalent à un interrupteur ouvert (en accord avec le fait que la limite du r.s.f. à B.F. est le régime forcé permanent d'où aucun courant ne traversant l'isolant du condensateur) et
  • à B.F. une bobine parfaite est équivalente à un court-circuit en accord avec le fait que la limite du r.s.f. à B.F. est le régime forcé permanent d'où aucune tension aux bornes de la bobine car .

Comportement équivalent à H.F.[modifier | modifier le wikicode]

......Quand , , l'impédance d'un condensateur parfait et
............Quand f --> oo, ω = 2 pi f --> oo, l'impédancecelle d'une bobine parfaite d'où :

  • à H.F. un condensateur parfait est équivalent à un court-circuit et
  • à H.F. une bobine parfaite est équivalente à un interrupteur ouvert.

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. Mais cela aurait pu être n'importe quelle association de conducteurs ohmiques, de condensateurs et de bobines …
  2. Paragraphe du chapitre de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  3. On rappelle que c'est l'amplitude de la f.e.m. qui peut être fixée, l'amplitude de la tension dépendant alors de l'intensité du courant délivré c'est-à-dire du circuit aux bornes duquel le générateur est branché ; l'amplitude de la tension délivrée par le G.B.F. restera constante, compte-tenu de la résistance de sortie de ce dernier, si la chute ohmique dans la résistance de sortie peut être négligée devant la f.e.m. ou, si ceci n'est pas réalisé, en plaçant entre le générateur et le circuit étudié un montage suiveur [revoir les propriétés d'un « montage suiveur » dans le chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »](option choisie ici).
  4. Plus exactement la tension de crête à crête qui est le double de l'amplitude.
  5. Revoir la « définition de la grandeur efficace associée à une grandeur instantanée alternative » dans le chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  6. Pour cela il faut au préalable sélectionner (c'est-à-dire « root mean square » signifiant « moyenne quadratique ») en appuyant avec insistance sur le bouton de sélection d'amplitude (on supprime ce choix en réappuyant avec insistance) ; on rappelle que la tension efficace est liée à l'amplitude pour un signal sinusoïdal par , la valeur efficace étant notée par une lettre majuscule avec un indice minuscule (ce qui permet de la distinguer d'une éventuelle composante continue notée avec une lettre majuscule et un indice majuscule).
  7. En effet la solution particulière de l'équation hétérogène est choisie de même forme que l'excitation (à condition que cette forme particulière soit possible, ce qui est pratiquement toujours réalisé) c'est-à-dire sinusoïdale de même fréquence .
  8. 8,0 et 8,1 On privilégie toujours le facteur de qualité relativement au cœfficient d'amortissement en régime sinusoïdal, on rappelle le lien entre les deux .
  9. La résistance la plus faible possible est celle de la bobine et l'inductance propre la plus grande s'obtient avec introduction du noyau ferromagnétique d'où qui est donc la valeur la plus grande disponible pratiquement.
  10. Revoir le paragraphe « critère de l'établissement pratique d'une des réponses forcées du R L C série » du chapitre de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  11. Avec l'amortissement de la solution libre se fait en moins d'une seconde.
  12. 12,0 et 12,1 Après simplification par .
  13. On peut par exemple expliciter et en fonction des données et de puis éliminer par ce qui permettrait d'obtenir en fonction des données, le report dans les expressions de et assurant la détermination de .
  14. C'est-à-dire appartenant à l'intervalle .
  15. 15,0 et 15,1 Mais dans un exemple de dipôles en parallèle ce serait par loi de nœud et dans des cas plus compliqués ce serait les deux avec élimination intermédiaire qui peut nécessiter une ou deux dérivations temporelles.
  16. 16,0 16,1 16,2 et 16,3 En électricité on note l'unité imaginaire par et non , cette dernière notation étant réservé à l'intensité, on a donc les propriétés de suivantes à savoir  et
    ...Pour le complexe noté en mathématique (qui pourrait intervenir dans l'électricité triphasée) on le noterait, si besoin était, sous sa forme trigonométrique à savoir .
  17. 17,0 et 17,1 On introduit les grandeurs efficaces complexes à la place des amplitudes complexes , le lien existant entre elles étant soit un même argument égal à la phase à l'origine de la grandeur instantanée sinusoïdale et des modules représentant respectivement la grandeur efficace et l'amplitude .
  18. Qui est la solution instantanée complexe de l'équation différentielle dont est la partie réelle ou, sous forme canonique dont est la partie réelle.
  19. Obtenue en utilisant la propriété de dérivation temporelle dans le 1er membre de l'équation différentielle, en factorisant ce dernier par et en divisant les deux membres par pour obtenir une équation algébrique dans laquelle le temps n'intervient plus.
  20. Ne s'annulant jamais si est fini (c'est-à-dire si mais pouvant s'annuler dans le cas d'un L C série (c'est-à-dire si correspondant à dans l'hypothèse où la fréquence imposée par le générateur de fonctions est égale à la fréquence propre du L C série (c'est-à-dire si .
  21. On rappelle que l'argument d'un complexe peut se mettre sous la forme d'un à condition que sa partie réelle soit positive, le signe de la partie réelle de étant conditionnel avec celui de la partie imaginaire positif, on effectue la mise en facteur par j fois la partie imaginaire pour que la partie réelle de l'autre facteur soit 1
  22. Au sens où les grandeurs introduites sont complexes, mais ne pas perdre de vue que ces grandeurs complexes n'ont aucun sens physique direct, en ce qui concernent les grandeurs instantanées complexes ce sont leurs parties réelle ou imaginaire qui ont une signification physique, en ce qui concernent les valeurs efficaces complexes ce sont leurs module et argument …
  23. Il faut préciser à valeur moyenne nulle pour éliminer la constante additive associée à toute prise de primitive …
  24. Le qualificatif « complexe » donné dans ce cours à l'électricité associée au r.s.f. n'est pas codifié, la plupart des utilisateurs parle simplement de « r.s.f. » pour cette électricité « complexe » sans faire de distinction (mais uniquement dans le langage heureusement) entre les grandeurs sinusoïdales ayant un sens physique et les grandeurs instantanées complexes dont seule la partie réelle ou imaginaire a une signification physique.
  25. Gustav Robert Kirchhoff (1824 – 1887) est l'un des plus grands physiciens d'origine allemande (prussienne) du XIXe siècle ; bien qu'il doive sa célébrité aux lois relatives au courant électrique dans les circuits, lois qu'il a établies alors qu'il était encore étudiant, c'est surtout en tant que fondateur, avec Robert Whilhelm Bunsen (1811 - 1899) chimiste allemand, de la spectroscopie qu'il a apporté sa plus grande contribution à la science.
  26. 26,0 et 26,1 Sens + défini avant le passage aux grandeurs instantanées complexes d'où le qualificatif « physique », il ne peut pas s'agir d'un sens + de tension (ou d'intensité) instantanées complexes bien sûr, le corps des complexes n'étant pas ordonné Smiling smiley yellow simple !
  27. Mais attention la loi de maille n'est a priori pas valable en tensions efficaces (même en tenant compte du sens de tension relativement au sens +) car pour qu'elle le soit il faudrait que les tensions sinusoïdales soient en phase ou en opposition de phase, ce qui n'est réalisable que dans un circuit où les seuls dipôles passifs linéaires sont des conducteurs ohmiques donc sans aucune bobine et sans aucun condensateur.
  28. Mais attention la loi de nœud n'est a priori pas valable en intensités efficaces (même en tenant compte du sens des courants relativement au sens + choisi sur les fils) car pour qu'elle le soit il faudrait que les intensités sinusoïdales soient en phase ou en opposition de phase, ce qui n'est réalisable que dans un circuit où les seuls dipôles passifs linéaires sont des conducteurs ohmiques donc sans aucune bobine et sans aucun condensateur.
  29. 29,0 29,1 29,2 29,3 29,4 et 29,5 Avec possibilité de dérivée temporelle du 2e ordre ou plus.
  30. 30,0 30,1 et 30,2 Avec possibilité de polynôme de 2e degré en ou plus.
  31. 31,0 31,1 31,2 31,3 et 31,4 Georg Simon Ohm (1789 - 1854) physicien allemand essentiellement connu pour sa découverte de la loi qui porte maintenant son nom.
  32. 32,0 32,1 32,2 32,3 et 32,4 La 2e définition résultant de la simplification haut et bas par .
  33. C'est bien sûr aussi l'avance de phase de l'intensité sur la tension mais par la suite on privilégie l'avance de phase de la tension sur l'intensité …
  34. Le choix d'une convention générateur aurait induit un signe dans l'expression de la loi d'Ohm de l'électricité « complexe » associée au r.s.f..
  35. Car .
  36. Car .
  37. Car .
  38. C'est-à-dire encore la tension aux bornes de la bobine réelle si la chute de tension due à la partie résistive de la bobine peut être négligée.
  39. Car .
  40. On pouvait encore l'obtenir par et utiliser le fait que l'argument d'un quotient est la différence des arguments en écrivant que
  41. Car .
  42. On pouvait encore l'obtenir par et utiliser le fait que l'argument d'un quotient est la différence des arguments en écrivant que
  43. Car .