Leçons de niveau 14

Signaux physiques (PCSI)/Circuits linéaires du premier ordre : régime libre, réponse à un échelon

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Circuits linéaires du premier ordre : régime libre, réponse à un échelon
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Chapitre no 26
Leçon : Signaux physiques (PCSI)
Chap. préc. : Circuits électriques dans l'ARQS : caractéristique d'un dipôle
Chap. suiv. : Circuits linéaires du premier ordre : stockage et dissipation d'énergie
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Signaux physiques (PCSI)/Circuits linéaires du premier ordre : régime libre, réponse à un échelon
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Sommaire

Exemples de circuits linéaires du 1er ordre[modifier | modifier le wikicode]

Rappel de la définition d'un circuit linéaire du 1er ordre[modifier | modifier le wikicode]

......Un circuit est linéaire du 1er ordre si le lien entre la tension instantanée entre les bornes d'un dipôle passif et l'intensité instantanée du courant traversant ce dernier est une «~équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre~», le dipôle passif étant fermé sur une source parfaite de tension ou de courant au sens de l'A.R.Q.S[1]..

R C série[modifier | modifier le wikicode]

......Le dipôle série est traversé par un même courant d'intensité instantanée , la tension [2] entre ses bornes étant la somme des tensions aux bornes de chaque dipôle soit est la tension aux bornes du condensateur liée à l'intensité du courant le traversant par  ;

......pour prouver que le dipôle série est linéaire du 1er ordre, il faut montrer que et sont liées entre elles par une «~équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre~» et pour cela, il suffit d'éliminer en dérivant par rapport au temps soit

.

R C parallèle[modifier | modifier le wikicode]

......Le dipôle parallèle est soumis à une même tension instantanée , l'intensité instantanée [2] du courant traversant l'association parallèle étant la somme des intensités instantanées des courants traversant chaque dipôle soit


prouvant que le dipôle parallèle est linéaire du 1er ordre.

R L série[modifier | modifier le wikicode]

......Le dipôle série est traversé par un même courant d'intensité instantanée , la tension [2] entre ses bornes étant la somme des tensions aux bornes de chaque dipôle soit


prouvant que le dipôle série est linéaire du 1er ordre.

R L parallèle[modifier | modifier le wikicode]

......Le dipôle parallèle est soumis à une même tension instantanée , l'intensité instantanée [2] du courant traversant l'association parallèle étant la somme des intensités instantanées des courants traversant chaque dipôle soit est l'intensité du courant traversant la bobine parfaite liée à la tension entre ses bornes par  ;

......pour prouver que le dipôle parallèle est linéaire du 1er ordre, il faut montrer que et sont liées entre elles par une «~équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre~» et pour cela, il suffit d'éliminer en dérivant par rapport au temps soit

.

Relevés expérimentaux[modifier | modifier le wikicode]

Relevés expérimentaux dans l'exemple du R C série soumis à un échelon de tension[modifier | modifier le wikicode]

Relevé expérimental de l'évolution temporelle de la tension aux bornes du condensateur dans l'exemple du R C série soumis à un échelon de tension, observation de sa continuité en t = 0[modifier | modifier le wikicode]

Schéma d'observation de la réponse en tension aux bornes du condensateur d'un RC série soumis à un échelon de tension
Diagramme horaire de la réponse en tension aux bornes du condensateur d'un RC série soumis à un échelon de tension

......Pour enregistrer la «~réponse en du série soumis à un échelon de tension d'amplitude E~» à partir du schéma représenté ci-contre en faisant apparaître l'instant , il faut lancer l'enregistrement légèrement avant la fermeture de  ;

......il faut d'autre part choisir la sensibilité de base de temps pour obtenir la courbe entière sur l'écran soit, avec et  [3], une sensibilité de  [4] ;

......enfin l'échelon de tension peut être créé par une A.S. [5] à amplitude variable que l'on choisira par exemple à , dans ce cas le zéro de l'A.S. [5] est reliée à la Terre [6] et il est nécessaire de positionner le condensateur comme sur la figure ci-contre pour des raisons d'unicité de masses ;

......on observe alors le diagramme de en fonction de ci-dessous :

  • la charge du condensateur est estimée «~terminée~» [7] au bout de avec constante de temps du «~R C série~», la valeur de la tension est alors égale à l'amplitude de l'échelon ;
  • il y a continuité de la tension aux bornes du condensateur à instant de fermeture de l'interrupteur.

......Remarque : il est possible d'automatiser «~la création (et la suppression) d'un échelon de tension d'amplitude E~» à l'aide d'un G.B.F. délivrant une tension «~créneau~» [8] d'amplitude à laquelle on ajoute une composante permanente ainsi,

......Remarque : sur l'alternance de valeur haute du créneau, la tension délivrée par le G.B.F. vaut et

......Remarque : sur l'alternance de valeur basse elle vaut  ;

......Remarque : pour que la création et la suppression soient indépendantes il est nécessaire que la charge et la décharge du condensateur soient terminées c.-à-d. qu'il faut choisir la durée d'une alternance supérieure à soit, en appelant la période du créneau, la condition ou  [9].

Relevé expérimental de l'évolution temporelle de l'intensité du courant traversant le condensateur dans l'exemple du R C série soumis à un échelon de tension, observation de sa discontinuité de 1ère espèce en t = 0[modifier | modifier le wikicode]

Schéma d'observation de la réponse en intensité du courant traversant le condensateur d'un RC série soumis à un échelon de tension
Diagramme horaire de la réponse en intensité du courant traversant le condensateur d'un RC série soumis à un échelon de tension

......Dans le but d'enregistrer la «~réponse en du série soumis à un échelon de tension d'amplitude E~»[10] il est nécessaire de permuter le condensateur et le conducteur ohmique comme sur le schéma représenté ci-contre pour des raisons d'unicité de masses si l'échelon de tension est créé par une A.S[5]. ou si on automatise «~la création (et la suppression) d'un échelon de tension d'amplitude E~» à l'aide d'un G.B.F. délivrant une tension «~créneau symétrique~»[6] ;

......dans le cas où on utilise une A.S[5]. on enregistre en faisant apparaître l'instant , ce qui s'obtient en lançant l'enregistrement légèrement avant la fermeture de  ; avec les valeurs et [3], on choisit une même sensibilité de  [4] ;

......l'échelon de tension étant créé par une A.S. [5] à amplitude variable, on choisit cette dernière égale à , et on observe alors le diagramme de en fonction de ci-dessous :

  • l'intensité de courant de charge du condensateur est estimée «~annulée~»[7] au bout de avec constante de temps du «~R C série~» ;
  • il y a variation très rapide de l'intensité de courant de charge du condensateur à instant de fermeture de l'interrupteur, variation très rapide modélisée par une discontinuité de 1ère espèce à l'instant soit finalement une «~discontinuité de 1ère espèce de l'intensité du courant de charge du condensateur à , instant de fermeture de l'interrupteur~», la valeur d'intensité à l'instant étant .

......Remarque : on peut réitérer la remarque du paragraphe précédent à savoir la possibilité d'automatiser «~la création (et la suppression) d'un échelon de tension d'amplitude E~» à l'aide d'un G.B.F. délivrant une tension «~créneau symétrique~» d'amplitude à laquelle on ajoute une composante permanente ainsi,

......Remarque : sur l'alternance de valeur haute du créneau, la tension délivrée par le G.B.F. vaut et

......Remarque : sur l'alternance de valeur basse elle vaut  ;

......Remarque : la création et la suppression sont indépendantes si la charge et la décharge du condensateur sont terminées c.-à-d. si la durée d'une alternance est supérieure à soit, en appelant la période du créneau, la condition  [9].

Relevés expérimentaux dans l'exemple du R L série soumis à un échelon de tension[modifier | modifier le wikicode]

Relevé expérimental de l'évolution temporelle de l'intensité du courant traversant une bobine dans l'exemple du R L série soumis à un échelon de tension, observation de sa continuité en t = 0[modifier | modifier le wikicode]

Schéma d'observation de la réponse en intensité du courant traversant la bobine d'un RL série soumis à un échelon de tension
Diagramme horaire de la réponse en intensité du courant traversant la bobine d'un RL série soumis à un échelon de tension

......Dans le but d'enregistrer la «~réponse en du série soumis à un échelon de tension d'amplitude E~»[11] il est nécessaire de placer la bobine et le conducteur ohmique comme sur le schéma représenté ci-contre pour des raisons d'unicité de masses si l'échelon de tension est créé par une A.S[5]. ou si on automatise «~la création (et la suppression) d'un échelon de tension d'amplitude E~» à l'aide d'un G.B.F. délivrant une tension «~créneau symétrique~»[6] ;

......dans le cas où on utilise une A.S[5]. on enregistre en faisant apparaître l'instant , ce qui s'obtient en lançant l'enregistrement légèrement avant la fermeture de [12] ; avec [13] et [14] [15], on choisit une sensibilité de  [16] ;

......l'échelon de tension étant créé par une A.S. [5] à amplitude variable, on choisit cette dernière égale à , et on observe alors le diagramme de en fonction de ci-dessous :

  • l'intensité du courant traversant la bobine est estimée «~établie~»[7] au bout de est la constante de temps du «~R L série~», la valeur de la tension aux bornes du conducteur ohmique étant alors égale à l'amplitude de l'échelon[17] dont on tire une intensité de courant en régime établi égale à [18] ;
  • il y a continuité de l'intensité du courant traversant la bobine à instant de fermeture de l'interrupteur.

......Remarque : comme on l'a déjà vu, il est possible (et même souhaitable) d'automatiser «~la création (et la suppression) d'un échelon de tension d'amplitude E~» à l'aide d'un G.B.F. délivrant une tension «~créneau symétrique~» d'amplitude à laquelle on ajoute une composante permanente ainsi,

......Remarque : sur l'alternance de valeur haute du créneau, la tension délivrée par le G.B.F. vaut et

......Remarque : sur l'alternance de valeur basse elle vaut  ;

......Remarque : la création et la suppression sont indépendantes si l'établissement et l'annulation du régime permanent du courant dans la bobine sont terminés c.-à-d. si la durée d'une alternance est supérieure à soit, en appelant la période du créneau, la condition  [19].

Relevé expérimental de l'évolution temporelle de la tension aux bornes de la bobine dans l'exemple du R L série soumis à un échelon de tension, observation de sa discontinuité de 1ère espèce en t = 0[modifier | modifier le wikicode]

Schéma d'observation de la réponse en tension aux bornes de la bobine d'un RL série soumis à un échelon de tension
Diagramme horaire de la réponse en tension aux bornes de la bobine d'un RL série soumis à un échelon de tension

......Enregistrer la «~réponse en du R L série soumis à un échelon de tension d'amplitude E~» est quasiment impossible car aucune bobine n'est parfaite, elle contient toujours un terme résistif [20] ;

......pour obtenir une «~réponse en du R L série soumis à un échelon de tension d'amplitude E~» il faut que «~le terme résistif soit négligeable relativement au terme auto-inductif~» [21] ;

......on peut alors créer l'échelon de tension d'amplitude [22] à l'aide d'une A.S[5]. ou à l'aide d'une tension créneau symétrique créée par un G.B.F., permettant de simuler «~la création (et la suppression) de l'échelon de tension d'amplitude E~» ; dans le cas où on utilise une A.S[5]. on enregistre en faisant apparaître l'instant , ce qui s'obtient en lançant l'enregistrement légèrement avant la fermeture de [12] ; avec [23] et [14],[24], on choisit une sensibilité de  [25] ;

......dans ces conditions on observe alors le diagramme de en fonction de ci-contre :

  • la tension aux bornes de la bobine supposée parfaite [26] est estimée «~annulée~»[7] au bout de avec constante de temps du R L série ;
  • il y a variation très rapide de la tension aux bornes de la bobine supposée parfaite à instant de fermeture de l'interrupteur, variation très rapide modélisée par une discontinuité de 1ère espèce à l'instant soit finalement «~discontinuité de 1ère espèce de la tension aux bornes de la bobine (supposée parfaite) à , instant de fermeture de l'interrupteur~», la valeur de la tension aux bornes de la bobine à l'instant étant .

......Remarque : comme on l'a déjà écrit, il est possible (et même souhaitable) d'automatiser «~la création (et la suppression) d'un échelon de tension d'amplitude E~» à l'aide d'un G.B.F. délivrant une tension «~créneau symétrique~» d'amplitude à laquelle on ajoute une composante permanente ainsi,

......Remarque : sur l'alternance de valeur haute du créneau, la tension délivrée par le G.B.F. vaut et

......Remarque : sur l'alternance de valeur basse elle vaut  ;

......Remarque : la création et la suppression sont indépendantes si l'annulation de la partie inductive de la tension aux bornes de la bobine lors de l'établissement ou de l'annulation du régime permanent du courant est terminée c.-à-d. si la durée d'une alternance est supérieure à soit, en appelant la période du créneau, la condition  [27].

Étude théorique du R C série soumis à un échelon de tension[modifier | modifier le wikicode]

Recherche de la réponse en tension aux bornes du condensateur d'un R C série soumis à un échelon de tension[modifier | modifier le wikicode]

RC série soumis à un échelon de tension d'amplitude E et établissement de son équation différentielle en uC(t), tension aux bornes du condensateur

Équation différentielle en tension aux bornes du condensateur d'un R C série soumis à un échelon de tension[modifier | modifier le wikicode]

......L'équation différentielle en , tension aux bornes du condensateur, du circuit de charge ci-contre s'obtient par équation de maille dans laquelle ne doit rester que comme inconnue, le circuit série étant traversé par un même courant d'intensité  :

......pour tout , où il convient d'éliminer au profit de selon [2] d'où soit finalement, en normalisant et ordonnant, l'équation différentielle en suivante

 [28] ;
on remarque que l'excitation est discontinue de 1ère espèce en .

Continuité de la tension aux bornes d'un condensateur parfait dans un circuit résistif[modifier | modifier le wikicode]

......L'énergie électrostatique stockée dans un condensateur parfait étant toujours continue dans un circuit «~réel (ou résistif)~» [29], il en est de même de la tension instantanée uC(t) aux bornes du condensateur parfait ainsi que de sa charge instantanée [30] mais nous n'avons aucune information sur l'intensité du courant de charge (ou de décharge) du condensateur.

Établissement de la réponse en tension aux bornes du condensateur d'un R C série soumis à un échelon de tension, régime libre et constante de temps d'un R C série, réponse forcée (ou permanente), réponse transitoire[modifier | modifier le wikicode]

Rappel de l'équation différentielle en uC(t) écrite pour tout t et conséquence (admise) de la discontinuité de 1ère espèce de l'excitation en t = 0 [modifier | modifier le wikicode]

......Nous avons établi l'équation différentielle en suivante  [28] dans laquelle on remarque que l'excitation est discontinue de 1ère espèce en .

......Nous avons admis dans le chap. de la leçon «~Outils mathématiques pour la physique (PCSI)~» [31] que le numéro d'espèce de discontinuité de l'excitation se reporte sur le plus haut ordre de dérivée du 1er membre soit ici «~la dérivée temporelle première de la solution générale est discontinue de 1ère espèce en t = 0~», et que le numéro d'espèce de discontinuité d'une unité [32] à chaque prise de primitive soit ici la solution générale est discontinue de 0e espèce c.-à-d. continue en t = 0 ;

......en conclusion on induit que est continue en et on justifie cette induction par la propriété de continuité de la tension aux bornes d'un condensateur parfait dans un circuit «~réel~» [33].

Régime libre et constante de temps τ du R C série [modifier | modifier le wikicode]

......Le régime libre[34] étant solution de , on pose

définissant la «~constante de temps du R C série~» [35]

......d'où la forme canonique de l'équation différentielle régissant le régime libre

......dont on déduit la solution libre


avec constante réelle (d'intégration) a priori quelconque [36].
Équation différentielle en uC(t) écrite pour t > 0 et réponse forcée[modifier | modifier le wikicode]

......Pour , l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre en hétérogène s'écrit

......dans laquelle, l'excitation étant constante, la réponse forcée [37] est cherchée sous forme constante [38] ce qui donne [39].

Condition initiale (C.I.) et réponse transitoire[modifier | modifier le wikicode]

......L'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre en hétérogène, écrite pour , admet pour réponse transitoire [40]

[41] ou
dans laquelle la constante se détermine par C.I. c.-à-d. par l'utilisation de la valeur  ;

......or on sait, d'une part que la tension aux bornes d'un condensateur parfait dans un circuit réel est continue d'où ,
......or on sait, d'autre part que le condensateur est initialement [42] déchargé d'où ,
......or on sait, on en déduit donc  ;

......utilisant cette condition on tire ou soit et par suite la réponse transitoire s'écrit

.
Amortissement du régime libre et réponse transitoire tendant vers la réponse forcée[modifier | modifier le wikicode]

......Quand , d'une part le régime libre et
........Quand t tend vers d'autre part, la réponse transitoire c.-à-d. qu'elle s'identifie à la «~réponse forcée~» [43] ;

......au bout d'une durée théorique infinie et pratique de [44] le condensateur parfait est chargé et la tension entre ses bornes est l'amplitude de l'échelon de tension[45].

Déduction de l'intensité du courant de charge du condensateur d'un R C série soumis à un échelon de tension et sa discontinuité de 1ère espèce[modifier | modifier le wikicode]

......On sait que l'intensité du courant de charge du condensateur est  [2], il suffit donc de dériver l'expression de ce qui donne ou, en utilisant ,

 ;

......la valeur s'obtenant par limite de l'expression précédente quand soit et étant , on en déduit

«~la discontinuité de 1ère espèce de i(t) en t = 0~»,
le saut étant fini et valant .

Recherche de la réponse en intensité de courant traversant le condensateur d'un R C série soumis à un échelon de tension[modifier | modifier le wikicode]

Équation différentielle en intensité de courant traversant le condensateur d'un R C série soumis à un échelon de tension[modifier | modifier le wikicode]

......L'équation différentielle en intensité de courant traversant le condensateur d'un série soumis à un échelon de tension d'amplitude s'obtient par équation de maille dans laquelle ne doit rester que comme inconnue ;

......pour tout , où il convient d'éliminer au profit de selon [2], ce qui nécessite de dériver la relation par rapport au temps d'où [46] soit, en y reportant et en normalisant

 [47] ;
on remarque que l'excitation est discontinue de 2e espèce en [48].

Discontinuité de l'intensité de courant traversant un condensateur dans un circuit résistif soumis à un échelon de tension[modifier | modifier le wikicode]

......Dans un circuit «~réel~» dans lequel il y a une discontinuité de 1ère espèce de la source à l'instant et contenant des conducteurs ohmiques ainsi qu'un condensateur parfait, la tension aux bornes de ce dernier étant continue, la discontinuité de 1ère espèce de la source doit être compensée par une autre discontinuité de 1ère espèce de la tension aux bornes des conducteurs ohmiques, c.-à-d. une discontinuité de 1ère espèce de l'intensité du courant circulant dans le circuit à l'instant [49].

Établissement direct de la réponse en intensité de courant traversant le condensateur d'un R C série soumis à un échelon de tension, régime libre et constante de temps d'un R C série, réponse forcée (ou permanente), réponse transitoire[modifier | modifier le wikicode]

Rappel de l'équation différentielle en i(t) écrite pour tout t et conséquence (admise) de la discontinuité de 1ère espèce de l'excitation en t = 0 [modifier | modifier le wikicode]

......Nous avons établi l'équation différentielle en suivante  [47] dans laquelle on remarque que l'excitation est discontinue de 2e espèce en .

......Nous avons admis dans le chap. de la leçon «~Outils mathématiques pour la physique (PCSI)~» [31] que le numéro d'espèce de discontinuité de l'excitation se reporte sur le plus haut ordre de dérivée du 1er membre soit ici «~la dérivée temporelle première de la solution générale est discontinue de 2e espèce en ~», et que le numéro d'espèce de discontinuité d'une unité [32] à chaque prise de primitive soit ici la solution générale est discontinue de 1ère espèce en  ;

......en conclusion nous induisons que est discontinue de 1ère espèce en et cette induction nous permet de savoir que nous obtiendrons en traçant le circuit à dans lequel nous utiliserons la continuité de la tension aux bornes d'un condensateur parfait dans un circuit «~réel~» [33].

Équation différentielle en i(t) écrite pour t > 0 et absence de réponse forcée[modifier | modifier le wikicode]

......Pour , l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre en s'écrivant est homogène, ceci impliquant une absence de réponse forcée.

Forme de la réponse transitoire s'identifiant au régime libre et rappel de la constante de temps τ du R C série [modifier | modifier le wikicode]

......Le régime libre[34] étant solution de , on pose

définissant la «~constante de temps du R C série~» [35]

......d'où la forme canonique de l'équation différentielle régissant le régime libre

......dont on déduit la solution libre laquelle, en absence de réponse forcée, s'identifie à la réponse transitoire


avec constante réelle (d'intégration) a priori quelconque[36].
Détermination de la condition initiale (C.I.) par tracé du circuit à 0+ et réponse transitoire[modifier | modifier le wikicode]
Circuit à 0+ d'un R C série soumis à un échelon de tension d'amplitude E avec un condensateur initialement déchargé

......Ci-contre on a tracé le circuit à en utilisant «~la continuité de la tension aux bornes du condensateur parfait~» c.-à-d. avec la condition d'absence de charge «~pré-initiale~» [50] du condensateur d'où la condition initiale (C.I.)  ;

......de nous déduisons que le condensateur parfait est équivalent, à l'instant , à un court-circuit d'où le circuit à ci-contre à partir duquel on établit aisément .

......utilisant cette condition dans on tire soit et par suite la réponse transitoire s'écrit

.
Amortissement du régime libre et annulation de la réponse transitoire[modifier | modifier le wikicode]

......Quand , d'une part le régime libre et
........Quand t tend vers d'autre part, la réponse transitoire par absence de réponse forcée c.-à-d. qu'elle s'annule ;

......au bout d'une durée théorique infinie et pratique de [44] le condensateur parfait est chargé et l'intensité du courant le traversant est nulle.

Étude théorique du R L série soumis à un échelon de tension[modifier | modifier le wikicode]

Recherche de la réponse en intensité de courant traversant la bobine d'un R L série soumis à un échelon de tension[modifier | modifier le wikicode]

RL série soumis à un échelon de tension d'amplitude E et établissement de son équation différentielle en i(t), intensité du courant traversant la bobine

Équation différentielle en intensité de courant traversant la bobine d'un R L série soumis à un échelon de tension[modifier | modifier le wikicode]

......L'équation différentielle en , intensité du courant traversant la bobine du circuit ci-contre[51] s'obtient par équation de maille dans laquelle ne doit rester que comme inconnue :

......pour tout , où il convient d'éliminer au profit de selon [2] d'où soit finalement, en normalisant et ordonnant, l'équation différentielle en suivante

 [52] ;
on remarque que l'excitation est discontinue de 1ère espèce en .

Continuité de l'intensité de courant traversant une bobine parfaite dans un circuit résistif[modifier | modifier le wikicode]

......L'énergie électromagnétique stockée dans une bobine parfaite étant toujours continue dans un circuit «~réel (ou résistif)~» [29], il en est de même de l'intensité instantanée du courant i(t) traversant la bobine parfaite [53] mais nous n'avons aucune information sur la tension aux bornes de la bobine.

Établissement de la réponse en intensité de courant traversant la bobine d'un R L série soumis à un échelon de tension, régime libre et constante de temps d'un R L série, réponse forcée (ou permanente), réponse transitoire[modifier | modifier le wikicode]

Rappel de l'équation différentielle en i(t) écrite pour tout t et conséquence (admise) de la discontinuité de 1ère espèce de l'excitation en t = 0 [modifier | modifier le wikicode]

......Nous avons établi l'équation différentielle en suivante  [52] dans laquelle on remarque que l'excitation est discontinue de 1ère espèce en .

......Nous avons admis dans le chap. de la leçon «~Outils mathématiques pour la physique (PCSI)~» [31] que le numéro d'espèce de discontinuité de l'excitation se reporte sur le plus haut ordre de dérivée du 1er membre soit ici «~la dérivée temporelle première de la solution générale est discontinue de 1ère espèce en ~», et que le numéro d'espèce de discontinuité d'une unité [32] à chaque prise de primitive soit ici la solution générale est discontinue de 0e espèce c.-à-d. continue en  ;

......en conclusion on induit que est continue en et on justifie cette induction par la propriété de continuité de l'intensité du courant traversant une bobine parfaite dans un circuit «~réel~» [54].

Régime libre et constante de temps τ du R L série [modifier | modifier le wikicode]

......Le régime libre[34] étant solution de , on pose

définissant la «~constante de temps du R L série~» [55]

......d'où la forme canonique de l'équation différentielle régissant le régime libre

......dont on déduit la solution libre


avec constante réelle (d'intégration) a priori quelconque[36].
Équation différentielle en i(t) écrite pour t > 0 et réponse forcée[modifier | modifier le wikicode]

......Pour , l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre en hétérogène s'écrit

......dans laquelle, l'excitation étant constante, la réponse forcée [56] est cherchée sous forme constante[38] ce qui donne [57].

Condition initiale (C.I.) et réponse transitoire[modifier | modifier le wikicode]

......L'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre en hétérogène, écrite pour , admet pour réponse transitoire[40]

[41] ou
dans laquelle la constante se détermine par C.I. c.-à-d. par l'utilisation de la valeur  ;

......or on sait, d'une part que l'intensité du courant traversant une bobine parfaite dans un circuit réel est continue d'où ,
......or on sait, d'autre part que la bobine est initialement[42] traversée par aucun courant d'où ,
......or on sait, on en déduit donc  ;

......utilisant cette condition on tire ou soit et par suite la réponse transitoire s'écrit

.
Amortissement du régime libre et réponse transitoire tendant vers la réponse forcée[modifier | modifier le wikicode]

......Quand , d'une part le régime libre et
........Quand t tend vers d'autre part, la réponse transitoire c.-à-d. qu'elle s'identifie à la «~réponse forcée~» [43] ;

......au bout d'une durée théorique infinie et pratique de [44] le courant traversant la bobine parfaite est établi et l'intensité de ce courant est l'amplitude de l'échelon de tension divisée par la résistance[58].

Déduction de la tension aux bornes de la partie inductive de la bobine d'un R L série soumis à un échelon de tension et sa discontinuité de 1ère espèce[modifier | modifier le wikicode]

......On sait que la tension aux bornes de la bobine parfaite est  [2], il suffit donc de dériver l'expression de ce qui donne ou, en utilisant ,

 ;

......la valeur s'obtenant par limite de l'expression précédente quand soit et étant , on en déduit

«~la discontinuité de 1ère espèce de uL(t) en t = 0~»,
le saut étant fini et valant .

Recherche de la réponse en tension aux bornes de la partie inductive de la bobine d'un R L série soumis à un échelon de tension[modifier | modifier le wikicode]

Équation différentielle en tension aux bornes de la partie inductive de la bobine d'un R L série soumis à un échelon de tension[modifier | modifier le wikicode]

......L'équation différentielle en tension aux bornes de la bobine parfaite d'un série soumis à un échelon de tension d'amplitude s'obtient par équation de maille dans laquelle ne doit rester que comme inconnue ;

......pour tout , où il convient d'éliminer au profit de selon [2], ce qui nécessite de dériver la relation par rapport au temps d'où [46] soit, en y reportant et en normalisant

 [59] ;
on remarque que l'excitation est discontinue de 2e espèce en [48].

Discontinuité de la tension aux bornes de la partie inductive d'une bobine dans un circuit résistif soumis à un échelon de tension[modifier | modifier le wikicode]

......Dans un circuit «~réel~» dans lequel il y a une discontinuité de 1ère espèce de la source à l'instant et contenant des conducteurs ohmiques ainsi qu'une bobine parfaite, l'intensité du courant traversant cette dernière étant continue, la tension aux bornes des conducteurs ohmiques l'est aussi[49], la discontinuité de 1ère espèce de la source doit être compensée par une autre discontinuité de 1ère espèce de tension, soit une discontinuité de 1ère espèce de la tension aux bornes de la bobine parfaite à l'instant .

Établissement direct de la réponse en tension aux bornes de la partie inductive de la bobine d'un R L série soumis à un échelon de tension, régime libre et constante de temps d'un R L série, réponse forcée (ou permanente), réponse transitoire[modifier | modifier le wikicode]

Rappel de l'équation différentielle en uL(t) écrite pour tout t et conséquence (admise) de la discontinuité de 1ère espèce de l'excitation en t = 0 [modifier | modifier le wikicode]

......Nous avons établi l'équation différentielle en suivante  [59] dans laquelle on remarque que l'excitation est discontinue de 2e espèce en .

......Nous avons admis dans le chap. de la leçon «~Outils mathématiques pour la physique (PCSI)~» [31] que le numéro d'espèce de discontinuité de l'excitation se reporte sur le plus haut ordre de dérivée du 1er membre soit ici «~la dérivée temporelle première de la solution générale est discontinue de 2e espèce en ~», et que le numéro d'espèce de discontinuité d'une unité [32] à chaque prise de primitive soit ici la solution générale est discontinue de 1ère espèce en  ;

......en conclusion nous induisons que est discontinue de 1ère espèce en et cette induction nous permet de savoir que nous obtiendrons en traçant le circuit à dans lequel nous utiliserons la continuité de l'intensité du courant traversant une bobine parfaite dans un circuit «~réel~» [54].

Équation différentielle en uL(t) écrite pour t > 0 et absence de réponse forcée[modifier | modifier le wikicode]

......Pour , l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre en s'écrivant est homogène, ceci impliquant une absence de réponse forcée.

Forme de la réponse transitoire s'identifiant au régime libre et rappel de la constante de temps τ du R L série [modifier | modifier le wikicode]

......Le régime libre[34] étant solution de , on pose

définissant la «~constante de temps du R L série~» [55]

......d'où la forme canonique de l'équation différentielle régissant le régime libre

......dont on déduit la solution libre laquelle, en absence de réponse forcée, s'identifie à la réponse transitoire


avec constante réelle (d'intégration) a priori quelconque[36].
Détermination de la condition initiale (C.I.) par tracé du circuit à 0+ et réponse transitoire[modifier | modifier le wikicode]
Circuit à 0+ d'un R L série soumis à un échelon de tension d'amplitude E avec une bobine traversée initialement par aucun courant

......Ci-contre on a tracé le circuit à en utilisant «~la continuité de l'intensité du courant traversant la bobine parfaite~» c.-à-d. avec la condition d'absence de courant «~pré-initial~» [60] dans la bobine d'où la condition initiale (C.I.)  ;

......de nous déduisons que la bobine parfaite est équivalent, à l'instant , à un interrupteur ouvert d'où le circuit à ci-contre à partir duquel on établit aisément .

......utilisant cette condition dans on tire soit et par suite la réponse transitoire s'écrit

.
Amortissement du régime libre et annulation de la réponse transitoire[modifier | modifier le wikicode]

......Quand , d'une part le régime libre et
........Quand t tend vers d'autre part, la réponse transitoire par absence de réponse forcée c.-à-d. qu'elle s'annule ;

......au bout d'une durée théorique infinie et pratique de [44] la bobine n'est le siège d'aucune f.e.m. auto-induite et la tension à ses bornes est nulle.

Portraits de phase[modifier | modifier le wikicode]

Rappel de la notion de portrait de phase d'un système dynamique classique à un degré de liberté[modifier | modifier le wikicode]

......La notion de «~portrait de phase d'un système dynamique classique à un degré de liberté~» a été introduite dans le chap. de la leçon «~Outils mathématiques pour la physique (PCSI)~» elle est rappelée appliquée au domaine électrique ci-dessous :

......Le «~portrait de phase~» d'un système dynamique classique à un degré de liberté [61] est une représentation géométrique, dans l'espace des phases du système [62], des trajectoires des points caractérisant l'état du système pour chaque ensemble de C.I. ;

......cette représentation géométrique est

  • soit une courbe liant la variable descriptive d'état comme la charge (ou la tension) pour un condensateur et l'intensité pour une bobine à la variable de modification d'état usuellement la dérivée temporelle de la variable descriptive d'état[63] pour des C.I. impliquant une évolution du système,
  • soit un point correspondant nécessairement à la variable de modification d'état nulle, la variable descriptive d'état étant alors constante pour des C.I. caractérisant un état de repos du système.

Portait de phase de la charge d'un condensateur dans un R C série soumis à un échelon de tension [modifier | modifier le wikicode]

Portrait de phase de la charge d'un condensateur (initialement déchargé) dans un R C série soumis à un échelon de tension[modifier | modifier le wikicode]

Portrait de phase de la charge d'un condensateur (initialement déchargé) dans un R C série soumis à un échelon de tension avec choix de q(t) comme variable descriptive d'état

......On le définit comme étant le diagramme de l'intensité du courant de charge du condensateur dans un R C série soumis à l'échelon de tension d'amplitude E, en fonction de la charge instantanée du condensateur  ou de la tension aux bornes du condensateur [64] et pour cela on dispose de l'équation différentielle que l'on peut réécrire en terme de charge instantanée grâce à ou soit enfin, avec ,

l'équation du portrait de phase cherché  ;

......l'équation du portrait de phase pour étant , ce dernier est porté par une droite de pente et d'ordonnée à l'origine  [65], son abscisse à l'origine [66] étant  [67].

Portrait de phase de la charge d'un condensateur (initialement déchargé) dans un R C série soumis à un échelon de tension avec choix de uC(t) comme variable descriptive d'état

......Avec le choix de la tension aux bornes du condensateur comme variable descriptive d'état liée à la charge par ,

l'équation du portrait de phase se réécrit .

......l'équation du portrait de phase pour étant , ce dernier est porté par une droite de pente [68] et d'ordonnée à l'origine  [69], son abscisse à l'origine [66] étant  [70].

......Il faut savoir «~lire~» un portrait de phase c.-à-d. décrire l'«~évolution du système dynamique à partir du portrait de phase~» [71] :

  • à l'intensité est positive entraînant une croissance de la charge à partir de sa valeur nulle, cette croissance s'accompagne d'une décroissance de l'intensité et
  • tant que l'intensité reste positive, la charge continue de croître et l'intensité de décroître 
  • Quand l'intensité devient nulle, la charge cesse alors d'augmenter ce qui correspond à un «~état d'équilibre~» [72].

......Commentaire : le temps n'apparaissant pas explicitement sur un portrait de phase, nous ne pouvons tirer aucune information sur les durées écoulées entre deux points quelconques du portrait de phase en particulier nous ne savons pas qu'il faut en théorie une durée infinie pour passer du point initial au point final du portrait de phase.

Portrait de phase de l'intensité du courant de charge d'un condensateur (initialement déchargé) dans un R C série soumis à un échelon de tension[modifier | modifier le wikicode]

......Préliminaire : Il s'agit d'une généralisation, la variable descriptive d'état du condensateur, à savoir «~la charge q~» ou «~la tension uC~» n'apparaissant pas mais étant remplacée par la variable de modification d'état du condensateur, à savoir «~l'intensité du courant i~», permettant de repérer la façon dont le condensateur se charge, la variable de modification d'état correspondant alors «~la dérivée temporelle de l'intensité du courant ~» traduisant la variabilité de la façon dont le condensateur se charge ;
......Préliminaire : le diagramme représentant en fonction de , soit , peut être considéré comme un portrait de phase dans la mesure où les variables dynamiques considérées sont [73].

Portrait de phase de l'intensité du courant de charge d'un condensateur (initialement déchargé) dans un R C série soumis à un échelon de tension nécessitant le choix de i(t) comme variable descriptive d'état

......Le portrait de phase de l'intensité du courant de charge d'un condensateur (initialement déchargé) dans un R C série soumis à un échelon de tension d'amplitude E est défini comme le diagramme du taux horaire de variation de l'intensité du courant de charge du condensateur en fonction de l'intensité du courant de charge du condensateur et pour cela on dispose de l'équation différentielle donnant l'équation du portrait de phase cherché [74] ;

......l'équation du portrait de phase pour étant , ce dernier est porté par une droite de pente [75] aboutissant à l'origine , le point de départ étant [69],[76].

Portrait de phase de l'établissement de l'intensité du courant traversant une bobine dans un R L série soumis à un échelon de tension [modifier | modifier le wikicode]

Portrait de phase de l'établissement de l'intensité du courant traversant une bobine (initialement traversée par aucun courant) dans un R L série soumis à un échelon de tension[modifier | modifier le wikicode]

Portrait de phase de l'intensité du courant s'établissant dans une bobine (initialement traversée par aucun courant) d'un R L série soumis à un échelon de tension avec choix de uL(t) comme variable de modification d'état

......On le définit comme étant le diagramme de la tension aux bornes de la bobine parfaite dans un R L série soumis à l'échelon de tension d'amplitude E, en fonction de l'intensité traversant la bobine  [77] et pour cela on dispose de l'équation différentielle que l'on peut réécrire en éliminant au profit de d'où et finalement

l'équation du portrait de phase cherché  ;

......l'équation du portrait de phase pour étant , ce dernier est porté par une droite de pente [78] et d'ordonnée à l'origine  [79], son abscisse à l'origine [66] étant  [80].

......Il faut savoir «~lire~» un portrait de phase c.-à-d. décrire l'«~évolution du système dynamique à partir du portrait de phase~» [81] :

  • à la tension aux bornes de la bobine parfaite est positive le taux horaire de variation de l'intensité du courant traversant la bobine l'est aussi entraînant une croissance de l'intensité à partir de sa valeur nulle cette croissance s'accompagne d'une décroissance de la partie inductive de la tension aux bornes de la bobine et
  • tant que la tension aux bornes de la bobine parfaite reste positive, l'intensité du courant continue de croître et la partie inductive de la tension aux bornes de la bobine de décroître 
  • Quand la tension aux bornes de la bobine parfaite devient nulle, l'intensité du courant cesse alors d'augmenter ce qui correspond à un «~état d'équilibre~» [82].

......Commentaire : on rappelle que le temps n'apparaissant pas explicitement sur un portrait de phase, nous ne pouvons tirer aucune information sur les durées écoulées entre deux points quelconques du portrait de phase.

Portrait de phase de l'établissement de la tension aux bornes d'une bobine parfaite (initialement traversée par aucun courant) dans un R L série soumis à un échelon de tension[modifier | modifier le wikicode]

......Préliminaire : Il s'agit d'une généralisation, la variable descriptive d'état de la bobine parfaite, à savoir «~l'intensité du courant i~» n'apparaissant pas mais étant remplacée par la variable de modification d'état de la bobine parfaite, à savoir «~la tension à ses bornes uL~», permettant de repérer la façon dont le courant traversant la bobine est créé, la variable de modification d'état correspondant alors «~la dérivée temporelle de la partie inductive de la tension ~» traduisant la variabilité de la façon dont le courant traversant la bobine est créé ;
......Préliminaire : le diagramme représentant en fonction de , soit , peut être considéré comme un portrait de phase dans la mesure où les variables dynamiques considérées sont [83].

Portrait de phase de l'établissement de la tension aux bornes d'une bobine parfaite (initialement traversée par aucun courant) dans un R L série soumis à un échelon de tension nécessitant le choix de uL(t) comme variable descriptive d'état

......Le portrait de phase de l'établissement de la tension aux bornes d'une bobine parfaite (initialement traversée par aucun courant) dans un R L série soumis à un échelon de tension d'amplitude E est défini comme le diagramme du taux horaire de variation de la tension aux bornes de la bobine parfaite en fonction de la partie inductive de la tension aux bornes de la bobine et pour cela on dispose de l'équation différentielle donnant l'équation du portrait de phase cherché [74] ;

......l'équation du portrait de phase pour étant , ce dernier est porté par une droite de pente [75] aboutissant à l'origine , le point de départ étant [79],[84].

Initiation à la dualité « série - parallèle » en électricité[modifier | modifier le wikicode]

Introduction à la dualité « série - parallèle »[modifier | modifier le wikicode]

......On remarque que «~l'intensité du courant traversant deux dipôles en série est la même~» et que «~la tension aux bornes de deux dipôles en série est la somme des tensions aux bornes de chaque dipôle~» [85] ; simultanément,

......on remarque que «~la tension aux bornes de deux dipôles en parallèle est la même~» et que «~l'intensité du courant traversant l'association parallèle des deux dipôles est la somme des intensités des courants traversant de chaque dipôle~» [86] ;

......cette analogie électrique est connue sous le nom de «~dualité série - parallèle~», un exposé (partiel) des «~grandeurs duales série - parallèle~» est donné dans le paragraphe suivant.

Grandeurs duales « série - parallèle »[modifier | modifier le wikicode]

association série association parallèle
intensité commune traversant les dipôles tension commune aux bornes des dipôles
tension aux bornes du dipôle k et tension aux bornes de l'association (loi des mailles) intensité du courant traversant le dipôle k et intensité traversant l'association (loi des nœuds)
association court-circuitée ou en avec un interrupteur fermé association en sortie ouverte ou en série avec un interrupteur ouvert
association en sortie ouverte ou en série avec un interrupteur ouvert association court-circuitée ou en avec un interrupteur fermé
association soumise à une source de tension parfaite de f.e.m. association alimentée par une source de courant parfaite de c.e.m.
association soumise à un échelon de tension d'amplitude  [87] association alimentée par un échelon de courant d'amplitude [88]
conducteur ohmique de résistance conducteur ohmique de conductance
condensateur parfait de capacité C telle que bobine parfaite d'inductance propre L telle que
bobine parfaite d'inductance propre L telle que condensateur parfait de capacité C telle que

Principales relations du dualité « série - parallèle »[modifier | modifier le wikicode]

......Compte-tenu des grandeurs duales énoncées au paragraphe précédent, nous pouvons induire un certain nombre de relations restant valables par transformation duale, les principales étant les suivantes :

association série association parallèle
dans un circuit réel [89] «~continuité de la tension aux bornes d'un condensateur parfait~» dans un circuit réel [90] «~continuité de l'intensité du courant traversant une bobine parfaite~»
dans un circuit réel [89] «~continuité de l'intensité du courant traversant une bobine parfaite~» dans un circuit réel [90] «~continuité de la tension aux bornes d'un condensateur parfait~»
résistance équivalente à une association série conductance équivalente à une association parallèle
modèle générateur de tension (ou de Thévenin) : association série d'une source de tension parfaite de f.e.m. [91] et d'un conducteur ohmique de résistance   (en convention générateur) modèle générateur de courant (ou de Norton) : association parallèle d'une source de courant parfaite de c.e.m. [92] et d'un conducteur ohmique de conductance   (en convention générateur)
modèle générateur de Norton équivalent au modèle générateur de tension ci-dessus et modèle générateur de Thévenin équivalent au modèle générateur de courant ci-dessus et soit encore
pont diviseur de tension alimenté en entrée par une tension et de tension de sortie  [93] : équivalent vu de la sortie à un générateur de Thévenin de f.e.m.  [94] et de résistance  [94] pont diviseur de courant alimenté en entrée par un courant d'intensité et d'intensité de courant de sortie  [95] : équivalent vu de la sortie à un générateur de Norton de c.e.m.  [96],[97] et de conductance  [96],[97]
puissance calorifique dissipée dans un conducteur ohmique de résistance traversé par un courant d'intensité  : puissance calorifique dissipée dans un conducteur ohmique de conductance soumis à une tension  :
énergie électrostatique stockée dans un condensateur parfait de capacité soumis à une tension  : énergie électromagnétique stockée dans une bobine parfaite d'inductance propre traversée par un courant d'intensité  :
énergie électromagnétique stockée dans une bobine parfaite d'inductance propre traversée par un courant d'intensité  : énergie électrostatique stockée dans un condensateur parfait de capacité soumis à une tension  :
puissance instantanée électrique fournie par une source de tension parfaite de f.e.m. délivrant un courant d'intensité  : puissance instantanée électrique fournie par une source de courant parfaite de c.e.m. imposant une tension  :

Circuits parallèle duaux des circuits série « R C série et R L série soumis à un échelon de tension »[modifier | modifier le wikicode]

......L'intérêt de reconnaître le circuit dual d'un circuit déjà étudié est que les résultats de ce dernier peuvent fournir les résultats du premier par simples relations de dualité.

« Circuit R' L parallèle soumis à un échelon de courant d'amplitude I0 » dual d'un R C série soumis à un échelon de tension d'amplitude E, réponses en iL et en u obtenues par dualité[modifier | modifier le wikicode]

Schéma d'un R' L parallèle soumis à un échelon de courant d'amplitude I0 avec réponses en iL ou en u

......Le circuit dual d'un R C série soumis à un échelon de tension d'amplitude E est
......Le circuit dual d’un R' L parallèle[98] soumis à un échelon de courant d'amplitude I0[88] (voir schéma ci-contre) ;

......les réponses duales en ou en sont
.......les réponses celles en ou en  ;

les relations duales sont précisées dans le tableau ci-dessous :
R C série soumis à un échelon de tension d'amplitude E R' L parallèle soumis à un échelon de courant d'amplitude I0
constante de temps d'un R C série : constante de temps d'un R' L parallèle : [99]
équation différentielle en , tension aux bornes du condensateur parfait :
obtenue par loi de maille et normalisation
équation différentielle en , intensité du courant traversant la bobine parfaite :
à obtenir par loi de nœud et normalisation
réponse en , tension aux bornes du condensateur parfait : réponse en , intensité du courant traversant la bobine parfaite :
continuité de , tension aux bornes du condensateur parfait continuité de , intensité du courant traversant la bobine parfaite
équation différentielle en , intensité du courant de charge du condensateur parfait :
obtenue par dérivation temporelle de loi de maille et division par R
équation différentielle en , tension aux bornes de la bobine parfaite :
à obtenir par dérivation temporelle de loi de nœud et division par G' ou encore [100]
réponse en , intensité du courant de charge du condensateur parfait : réponse en , tension aux bornes de la bobine parfaite :
discontinuité de 1ère espèce en de , intensité du courant de charge du condensateur parfait discontinuité de 1ère espèce en de , tension aux bornes de la bobine parfaite

« Circuit R' C parallèle soumis à un échelon de courant d'amplitude I0 » dual d'un R L série soumis à un échelon de tension d'amplitude E, réponses en u et en iC obtenues par dualité[modifier | modifier le wikicode]

Schéma d'un R' C parallèle soumis à un échelon de courant d'amplitude I0 avec réponses en u ou en iC

......Le circuit dual d'un R L série soumis à un échelon de tension d'amplitude E est
......Le circuit dual d’un R' C parallèle[98] soumis à un échelon de courant d'amplitude I0[88] (voir schéma ci-contre) ;

......les réponses duales en ou en sont
.......les réponses celles en ou en  ;

les relations duales sont précisées dans le tableau ci-dessous :
R L série soumis à un échelon de tension d'amplitude E R' C parallèle soumis à un échelon de courant d'amplitude I0
constante de temps d'un R L série : constante de temps d'un R' C parallèle : [101]
équation différentielle en , intensité du courant traversant la bobine parfaite :
obtenue par loi de maille et normalisation
équation différentielle en , tension aux bornes du condensateur parfait :
à obtenir par loi de nœud et normalisation
réponse en , intensité du courant traversant la bobine parfaite : réponse en , tension aux bornes du condensateur parfait :
continuité de , intensité du courant traversant la bobine parfaite continuité de , tension aux bornes du condensateur parfait
équation différentielle en , tension aux bornes de la bobine parfaite :
obtenue par dérivation temporelle de loi de maille
équation différentielle en , intensité du courant de charge du condensateur parfait :
à obtenir par dérivation temporelle de loi de nœud
réponse en , tension aux bornes de la bobine parfaite : réponse en , intensité du courant de charge du condensateur parfait :
discontinuité de 1ère espèce en de , tension aux bornes de la bobine parfaite discontinuité de 1ère espèce en de , intensité du courant de charge du condensateur parfait

Étude théorique d'un R C parallèle soumis à un échelon de courant d'amplitude I0[modifier | modifier le wikicode]

Recherche de la réponse en tension aux bornes du condensateur parfait d'un R C parallèle soumis à un échelon de courant[modifier | modifier le wikicode]

Schéma d'un R' C parallèle soumis à un échelon de courant d'amplitude I0 avec réponses en u ou en iC

Équation différentielle en tension aux bornes du condensateur d'un R C série parallèle soumis à un échelon de courant[modifier | modifier le wikicode]

......L'équation différentielle en , tension aux bornes du condensateur du circuit ci-contre[102] s'obtient par équation de nœud dans laquelle ne doit rester que comme inconnue :

......pour tout , [88] où il convient d'éliminer au profit de selon [2] d'où soit finalement, en normalisant, l'équation différentielle en suivante

 [103] ;
on remarque que l'excitation est discontinue de 1ère espèce en .

Continuité de la tension aux bornes d'un condensateur parfait dans un circuit résistif[modifier | modifier le wikicode]

......L'énergie électrostatique stockée dans un condensateur parfait étant toujours continue dans un circuit «~réel (ou résistif)~» [29], il en est de même de la tension u(t) aux bornes du condensateur parfait[30] mais nous n'avons aucune information sur l'intensité du courant traversant le condensateur.

Établissement de la réponse en tension aux bornes du condensateur d'un R C parallèle soumis à un échelon de courant, régime libre et constante de temps d'un R C parallèle, réponse forcée (ou permanente), réponse transitoire[modifier | modifier le wikicode]

Rappel de l'équation différentielle en u(t) écrite pour tout t et conséquence (admise) de la discontinuité de 1ère espèce de l'excitation en t = 0 [modifier | modifier le wikicode]

......Nous avons établi l'équation différentielle en suivante  [103] dans laquelle on remarque que l'excitation est discontinue de 1ère espèce en .

......Nous avons admis dans le chap. de la leçon «~Outils mathématiques pour la physique (PCSI)~» [31] que le numéro d'espèce de discontinuité de l'excitation se reporte sur le plus haut ordre de dérivée du 1er membre soit ici «~la dérivée temporelle première de la solution générale est discontinue de 1ère espèce en ~», et que le numéro d'espèce de discontinuité d'une unité [32] à chaque prise de primitive soit ici la solution générale est discontinue de 0e espèce c.-à-d. continue en  ;

......en conclusion on induit que est continue en et on justifie cette induction par la propriété de continuité de la tension aux bornes d'un condensateur parfait dans un circuit «~réel~» [33].

Régime libre et constante de temps τ du R C parallèle [modifier | modifier le wikicode]

......Le régime libre[34] étant solution de , on pose

définissant la «~constante de temps du R' C parallèle~»[101]

......d'où la forme canonique de l'équation différentielle régissant le régime libre

......dont on déduit la solution libre


avec constante réelle (d'intégration) a priori quelconque[36].
Équation différentielle en u(t) écrite pour t > 0 et réponse forcée[modifier | modifier le wikicode]

......Pour , l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre en hétérogène s'écrit

......dans laquelle, l'excitation étant constante, la réponse forcée[37] est cherchée sous forme constante[38] ce qui donne [104].

Condition initiale (C.I.) et réponse transitoire[modifier | modifier le wikicode]

......L'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre en hétérogène, écrite pour , admet pour réponse transitoire[40]

[41] ou
dans laquelle la constante se détermine par C.I. c.-à-d. par l'utilisation de la valeur  ;

......or on sait, d'une part que la tension aux bornes d'un condensateur parfait dans un circuit réel est continue d'où ,
......or on sait, d'autre part que le condensateur est initialement[42] déchargé donc soumis à une tension nulle d'où ,
......or on sait, on en déduit donc  ;

......utilisant cette condition on tire ou soit et par suite la réponse transitoire s'écrit

.
Amortissement du régime libre et réponse transitoire tendant vers la réponse forcée[modifier | modifier le wikicode]

......Quand , d'une part le régime libre et
........Quand t tend vers d'autre part, la réponse transitoire c.-à-d. qu'elle s'identifie à la «~réponse forcée~» [43] ;

......au bout d'une durée théorique infinie et pratique de [44] la tension aux bornes du condensateur parfait est établi, égale à celle aux bornes du conducteur ohmique dont l'intensité du courant le traversant est l'amplitude de l'échelon de courant[105].

Déduction de l'intensité du courant traversant le condensateur d'un R C parallèle soumis à un échelon de courant et sa discontinuité de 1ère espèce[modifier | modifier le wikicode]

......On sait que l'intensité du courant de charge du condensateur parfait est  [2], il suffit donc de dériver l'expression de ce qui donne ou, en utilisant ,

 ;

......la valeur s'obtenant par limite de l'expression précédente quand soit et étant , on en déduit

«~la discontinuité de 1ère espèce de iC(t) en t = 0~»,
le saut étant fini et valant .

Recherche de la réponse en intensité du courant traversant le condensateur d'un R C parallèle soumis à un échelon de courant[modifier | modifier le wikicode]

Équation différentielle en intensité du courant traversant le condensateur d'un R C parallèle soumis à un échelon de courant[modifier | modifier le wikicode]

......L'équation différentielle en intensité de courant de charge du condensateur parfait d'un parallèle soumis à un échelon de courant d'amplitude s'obtient par équation de nœud dans laquelle ne doit rester que comme inconnue ;

......pour tout , où il convient d'éliminer au profit de selon [2], ce qui nécessite de dériver la relation par rapport au temps d'où [46] soit, en y reportant

 [106] ;
on remarque que l'excitation est discontinue de 2e espèce en [48].

Discontinuité de l'intensité du courant traversant un condensateur dans un circuit résistif soumis à un échelon de courant[modifier | modifier le wikicode]

......Dans un circuit «~réel~» dans lequel il y a une discontinuité de 1ère espèce de la source à l'instant et contenant des conducteurs ohmiques ainsi qu'un condensateur parfait, la tension aux bornes de ce dernier étant continue, il en est de même de celle aux bornes des conducteurs ohmiques et de l'intensité des courants les traversant[49], la discontinuité de 1ère espèce de la source doit être compensée par une autre discontinuité de 1ère espèce d'intensité de courant, soit une discontinuité de 1ère espèce de l'intensité de courant de charge du condensateur parfait à l'instant .

Établissement direct de la réponse en intensité du courant traversant le condensateur d'un R C parallèle soumis à un échelon de courant, régime libre et constante de temps d'un R C parallèle, réponse forcée (ou permanente), réponse transitoire[modifier | modifier le wikicode]

Rappel de l'équation différentielle en iC(t) écrite pour tout t et conséquence (admise) de la discontinuité de 1ère espèce de l'excitation en t = 0 [modifier | modifier le wikicode]

......Nous avons établi l'équation différentielle en suivante  [106] dans laquelle on remarque que l'excitation est discontinue de 2e espèce en .

......Nous avons admis dans le chap. de la leçon «~Outils mathé