Recherche:Polynômes annulateurs de nombres sous la forme cosinus ou tangente/Méthodes d'obtention des polynômes

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Méthodes d'obtention des polynômes
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Chapitre no 1
Recherche : Polynômes annulateurs de nombres sous la forme cosinus ou tangente
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Écriture pertinente d'un multiple rationnel de π[modifier | modifier le wikicode]

Un réel de la forme

avec

peut bien sûr toujours être mis sous la forme

avec et premiers entre eux.

Par paresse d'esprit, on pourrait s'arrêter là.

Mais peut aussi, pour tout rationnel non nul fixé, s'écrire sous la forme

avec et premiers entre eux

( étant la fraction irréductible du rationnel ) et l'on peut facilement passer, pour fixés, de la forme d'un même associée à à celle associée à .

Vu le rôle majeur des racines de l'unité :

la forme la plus naturelle est :

  • avec et premiers entre eux pour l'étude de  ;
  • avec et premiers entre eux pour l'étude de et .


En effet, Lehmer (1933) puis Ivan Niven (1956) utilisent la forme pour les trois fonctions, mais notre choix donne une expression plus simple des degrés de (Calcut, 2006) et (voir infra).

Polynômes de Tchebychev et polynômes annulateurs[modifier | modifier le wikicode]

La remarque simplissime mais fondamentale permettant de déterminer des polynômes annulateurs, voire même minimaux, des cosinus, sinus et tangente d'un tel nombre est :

  • si alors  ;
  • si alors .

Il s'agit ensuite d'exprimer cette conclusion comme l'annulation, en , ou , d'un certain polynôme.

Les polynômes de Tchebychev (cf. Sommation/Exercices/Formule du binôme#Exercice 5-11), caractérisés par

,

se calculent facilement par récurrence :

, et ,
, et

ou directement :

et si , ,
.

Ils permettent dans un premier temps d'obtenir rapidement des polynômes annulateurs (mais non nécessairement minimaux) de , et pour (de la forme ci-dessus) de cosinus et sinus non nuls :

  • est racine de (de degré ) et même, si est pair, de (de degré ) ;
  •  ;
  • est racine du polynôme qui exprime en fonction de  :

    (de degré si est impair et si est pair).

On peut souvent construire des polynômes annulateurs de degrés plus petits. Par exemple si est impair, , on a :

  • pour , en posant  :
     ;
  • donc pour  :
    ,

ce qui fournit des polynômes annulateurs :

  • pour  : de degré (au lieu de ),
  • pour  : de degré (au lieu de ),

qui sont même de degré minimum si est premier : cf. sections suivantes.

Polynôme minimal de cos(rπ)[modifier | modifier le wikicode]

Plus généralement, les polynômes de Tchebychev, joints aux polynômes cyclotomiques, permettent même de calculer le polynôme minimal de ces nombres. Par exemple, puisque le n-ième polynôme cyclotomique (de degré , où est l'indicatrice d'Euler) est irréductible, le polynôme minimal des nombres pour k premier avec n et s'en déduit par :

.

Le membre de droite est une combinaison linéaire à coefficients entiers de termes de la forme .

On a donc démontré :

Début d’un théorème


Fin du théorème




Début de l'exemple


Fin de l'exemple


Conséquences pour sin(rπ)[modifier | modifier le wikicode]

Les degrés et polynômes minimaux des se déduisent de ceux des  :

Début d’un théorème


Fin du théorème

Si n'est pas divisible par 8, peut donc se calculer à partir de (cf. remarque de la section précédente).

Référence[modifier | modifier le wikicode]

Ivan Niven, Irrational Numbers, Cambridge University Press, 1956 [lire en ligne], p. 37-40