Recherche:Polynômes annulateurs de nombres sous la forme cosinus ou tangente/Méthodes d'obtention des polynômes

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Écriture pertinente d'un multiple rationnel de π

Un réel de la forme

$\theta =r\pi$ avec $r\in \mathbb{Q}$

peut bien sûr toujours être mis sous la forme

$\theta =\frac{\ell }{m}\pi$ avec $\ell \in \mathbb{Z}$ et $m\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ premiers entre eux.

Par paresse d'esprit, on pourrait s'arrêter là.

Mais $\theta$ peut aussi, pour tout rationnel non nul $s$ fixé, s'écrire sous la forme

$\theta =\frac{a}{b}s\pi$ avec $a\in \mathbb{Z}$ et $b\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ premiers entre eux

($\frac{a}{b}$ étant la fraction irréductible du rationnel $\frac{r}{s}$) et l'on peut facilement passer, pour $s_1,s_2\in {\mathbb{Q}}^{\ast }$ fixés, de la forme d'un même $\theta$ associée à $s_1$ à celle associée à $s_2$.

Vu le rôle majeur des racines de l'unité :

la forme la plus naturelle est : $\theta =\frac{2k\pi }{n}$ avec $k\in \mathbb{Z}$ et $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ premiers entre eux pour l'étude de $\cos \theta$ ; $\theta =\frac{k\pi }{n}$ avec $k\in \mathbb{Z}$ et $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ premiers entre eux pour l'étude de $\sin \theta$ et $\tan \theta$.

En effet, Lehmer (1933) puis Ivan Niven (1956) utilisent la forme $\frac{2k\pi }{n}$ pour les trois fonctions, mais notre choix donne une expression plus simple des degrés de $\tan \theta$ (Calcut, 2006) et $\sin \theta$ (voir infra).

Polynômes de Tchebychev et polynômes annulateurs

La remarque simplissime mais fondamentale permettant de déterminer des polynômes annulateurs, voire même minimaux, des cosinus, sinus et tangente d'un tel nombre est :

• si $\theta =\frac{2k\pi }{n}$ alors $\cos (n\theta )=1$ ;
• si $\theta =\frac{k\pi }{n}$ alors $\sin (n\theta )=0$.

Il s'agit ensuite d'exprimer cette conclusion comme l'annulation, en $\cos \theta$, $\sin \theta$ ou $\tan \theta$, d'un certain polynôme.

Les polynômes de Tchebychev (cf. Sommation/Exercices/Formule du binôme#Exercice 5-11), caractérisés par

$\cos (n\theta )=T_n(\cos \theta )\text{et}\frac{\sin ((n+1)\theta )}{\sin \theta }=U_n(\cos \theta )$,

se calculent facilement par récurrence :

$T_0=1$, $T_1=X$ et $\mathrm{\forall }n\ge 1T_{n+1}=2X{T}_n-T_{n-1}$,

$U_0=1$, $U_1=2X$ et $\mathrm{\forall }n\ge 1U_{n+1}=2X{U}_n-U_{n-1}$

ou directement :

$T_n(X)=\sum _{0\le k\le n/2}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2k}){(X^2-1)}^k{X}^{n-2k}$ et si $n>0$, $T_n(X)=\frac{n}{2}\sum _{0\le k\le n/2}\frac{(-1{)}^k}{n-k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-k}{k})(2X{)}^{n-2k}$,

$U_n(X)=\sum _{0\le k\le n/2}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{2k+1}){(X^2-1)}^k{X}^{n-2k}=X^n\sum _{0\le k\le n/2}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{2k+1}){(1-X^{-2})}^k$.

Ils permettent dans un premier temps d'obtenir rapidement des polynômes annulateurs (mais non nécessairement minimaux) de $\cos \theta$, $\sin \theta$ et $\tan \theta$ pour $\theta$ (de la forme ci-dessus) de cosinus et sinus non nuls :

• $\cos \frac{2k\pi }{n}$ est racine de $\frac{T_n\left(X\right)-1}{X-1}$ (de degré $n-1$) et même, si $n$ est pair, de $\frac{T_n\left(X\right)-1}{X^2-1}$ (de degré $n-2$) ;
• $1-2{\sin }^2\frac{k\pi }{n}=\cos \frac{2k\pi }{n}$ ;
• $\tan \frac{k\pi }{n}$ est racine du polynôme qui exprime $\frac{\sin (n\theta )}{{\cos }^{n-1}\theta \sin \theta }$ en fonction de $\tan \theta$ :
  ${(1+X^2)}^{(n-1)/2}{U}_{n-1}((1+X^2{)}^{-1/2})=\sum _{0\le k\le (n-1)/2}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2k+1}){(-X^2)}^k$
  (de degré $n-1$ si $n$ est impair et $n-2$ si $n$ est pair).

On peut souvent construire des polynômes annulateurs de degrés plus petits. Par exemple si $n$ est impair, $n=2m+1$, on a :

• pour $x=\cos \frac{2k\pi }{n}\ne 1$, en posant $z={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}2k\pi /n}$ :

  $0=z^{-m}\frac{z^n-1}{z-1}=z^m+z^{-m}+z^{m-1}+z^{-(m-1)}+\dots +z+z^{-1}+1=1+2\sum _{i=1}^m{T}_i(x)$ ;

• donc pour $y=\sin \frac{k\pi }{n}\ne 0$ :

  $0=1+2\sum _{i=1}^m{T}_i(1-2y^2)$ ;

• et pour $z=\tan \frac{k\pi }{n}$ :

  $0=1+2\sum _{i=1}^m{T}_i\left(\frac{1-z^2}{1+z^2}\right)$,

ce qui fournit des polynômes annulateurs :

• pour $x$ : de degré $\frac{n-1}{2}$ (au lieu de $n-1$),
• pour $y$ : de degré $n-1$ (au lieu de $2n-2$),
• pour $z$ : de degré $n-1$ (identique, dans ce cas n impair, à celui mentionné précédemment),

qui sont même de degré minimum si $n$ est premier : cf. sections suivantes et chapitre 3.

Polynôme minimal de cos(rπ)

Plus généralement, les polynômes de Tchebychev, joints aux polynômes cyclotomiques, permettent même de calculer le polynôme minimal de ces nombres. Par exemple, puisque le n-ième polynôme cyclotomique ${\Phi }_n$ (de degré $\phi (n)$, où $\phi$ est l'indicatrice d'Euler) est irréductible, le polynôme minimal $P_n$ des $\phi (n)/2$ nombres $2\cos (2k\pi /n)$ pour k premier avec n et $0<k<n/2$ s'en déduit par :

$P_n(z+\frac{1}{z})=z^{-\phi (n)/2}{\mathrm{\Phi }}_n(z)$.

Le membre de droite est une combinaison linéaire à coefficients entiers de termes de la forme $z^k+z^{-k}=2T_k\left(\frac{z+\frac{1}{z}}{2}\right)$.

On a donc démontré :

Début d’un théorème

Théorème

Soient $n$ et $k$ premiers entre eux, avec $n\ge 3$.

Le nombre $2\cos (2k\pi /n)$ est un entier algébrique de degré $\phi (n)/2$ et le polynôme minimal $C_n$ de $\cos (2k\pi /n)$ est déterminé par

$C_n\left(\frac{z+\frac{1}{z}}{2}\right)=(2z{)}^{-\phi (n)/2}{\mathrm{\Phi }}_n(z)$.

Fin du théorème

Remarque

Pour tout entier $n\ge 3$,

$C_{2n}(X)=\{\begin{array}{cc}(-1{)}^{\phi (n)/2}{C}_n(-X)& \text{ si }n\text{ est impair}\\ 2^{-\phi (n)/2}{C}_n(2X^2-1)& \text{ si }n\text{ est pair,}\end{array}$

autrement dit :

$P_{2n}(X)=\{\begin{array}{cc}(-1{)}^{\phi (n)/2}{P}_n(-X)& \text{ si }n\text{ est impair}\\ P_n(X^2-2)& \text{ si }n\text{ est pair.}\end{array}$

Début de l'exemple

Exemple $n=p^r$

Pour $p=2q+1$ premier et $r\in {\mathbb{N}}^{\ast }$,

$z^{-\phi (p^r)/2}{\mathrm{\Phi }}_{p^r}(z)=z^{-p^{r-1}q}\sum _{k=0}^{2q}{z}^{p^{r-1}k}=1+\sum _{k=1}^q(z^{p^{r-1}k}+z^{-p^{r-1}k})$

donc

$P_{p^r}(X)=1+2\sum _{k=1}^q{T}_{p^{r-1}k}(X/2)=1+2\sum _{k=1}^q{T}_k\circ T_p^{\circ (r-1)}(X/2)$.

Applications numériques

$T_2(X)=2X^2-1,T_3(X)=4X^3-3X$.

1. Exemple $p=3,r=2$ :

   $q=1$, $\phi (3^2)/2=3$ et le polynôme minimal de

   $2\cos \frac{2\pi }{9},2\cos \frac{4\pi }{9},2\cos \frac{8\pi }{9}$

   est

   $P_9(X)=1+2(4(X/2{)}^3-3X/2))=X^3-3X+1$ ;

   celui de

   $\cos \frac{2\pi }{9},\cos \frac{4\pi }{9},\cos \frac{8\pi }{9}$

   est donc

   $C_9(X)=\frac{1}{8}{P}_9(2X)=X^3-\frac{3}{4}X+\frac{1}{8}$.

2. Exemple $p=7,r=1$ :

   $q=3$, $\phi (7)/2=3$ et le polynôme minimal de

   $2\cos \frac{2\pi }{7},2\cos \frac{4\pi }{7},2\cos \frac{6\pi }{7}$

   est

   $P_7(X)=1+2[X/2+(2(X/2{)}^2-1)+(4(X/2{)}^3-3X/2)]=X^3+X^2-2X-1$ ;

   celui de

   $\cos \frac{2\pi }{7},\cos \frac{4\pi }{7},\cos \frac{6\pi }{7}$

   est donc

   $C_7(X)=\frac{1}{8}{P}_7(2X)=X^3+\frac{1}{2}{X}^2-\frac{1}{2}X-\frac{1}{8}$.

On pourra comparer avec les exemples de Équation du troisième degré/Nombres algébriques de degré 3.

Fin de l'exemple

Début de l'exemple

Autre exemple : $n=33$

$\begin{array}{cc}{z}^{-\phi (33)/2}{\mathrm{\Phi }}_{33}(z)& =\frac{z^{-11}{\mathrm{\Phi }}_3(z^{11})}{z^{-1}{\mathrm{\Phi }}_3(z)}\\ & =\frac{z^{11}+1+z^{-11}}{z+1+z^{-1}}\\ & =z^{10}-z^9+z^7-z^6+z^4-z^3+z-1+z^{-1}-z^{-3}+z^{-4}-z^{-6}+z^{-7}-z^{-9}+z^{-10}\end{array}$

donc

$\begin{array}{ccccccccccccc}{P}_{33}(X)& =2& [T_{10}(X/2)& -T_9(X/2)& & +T_7(X/2)& -T_6(X/2)& & +T_4(X/2)& -T_3(X/2)& & +T_1(X/2)]& -1\\ & =& X^{10}& & -10X^8& & +35X^6& & -50X^4& & +25X^2& & -2\\ & & & -X^9& & +9X^7& & -27X^5& & +30X^3& & -9X& \\ & & & & & +X^7& & -7X^5& & +14X^3& & -7X& \\ & & & & & & -X^6& & +6X^4& & -9X^2& & +2\\ & & & & & & & & +X^4& & -4X^2& & +2\\ & & & & & & & & & -X^3& & +3X& \\ & & & & & & & & & & & +X& \\ & & & & & & & & & & & & -1\\ & =& X^{10}& -X^9& -10X^8& +10X^7& +34X^6& -34X^5& -43X^4& +43X^3& +12X^2& -12X& +1.\end{array}$

Fin de l'exemple

Conséquences pour sin(rπ)

Les degrés et polynômes minimaux des $\sin (r\pi )$ se déduisent de ceux des $\cos (r\pi )$ :

Début d’un théorème

Théorème

Soient $n$ et $k$ premiers entre eux, avec $n\ge 3$.

Le nombre $2\sin (k\pi /n)$ est un entier algébrique de degré :

• $\frac{\phi (n)}{2}$ si $n\equiv 2mod4$ ;
• $\phi (n)$ sinon.

Plus précisément, son polynôme minimal est :

$Q_n=\{\begin{array}{cc}{P}_{4n}& \text{ si }n\text{ est impair}\\ P_{2n}& \text{ si }4\mid n\\ P_n& \text{ si }n\equiv 4+2kmod8\\ P_{n/2}& \text{ si }n\equiv 2kmod8\end{array}$

et celui de $\sin (k\pi /n)$ est :

$S_n=\{\begin{array}{cc}{C}_{4n}& \text{ si }n\text{ est impair}\\ C_{2n}& \text{ si }4\mid n\\ C_n& \text{ si }n\equiv 4+2kmod8\\ C_{n/2}& \text{ si }n\equiv 2kmod8.\end{array}$

Fin du théorème

'Démonstration'

Soit $d$ le degré de $\sin \frac{k\pi }{n}=\cos \frac{(n-2k)2\pi }{4n}$.

• Si $n$ est impair, $n-2k$ et $4n$ sont premiers entre eux donc $d=\frac{\phi (4n)}{2}=\phi (n)$.
• Si $n=2m$, $k$ est impair et $\frac{n-2k}{4n}=\frac{m-k}{2n}$.
  • Si $m$ est pair alors $m-k$ et $2n$ sont premiers entre eux donc $d=\frac{\phi (2n)}{2}=\phi (n)$.
  • Si $m$ est impair, soit $j=\frac{m-k}{2}$.
    • Si $j$ est impair, il est premier avec $n$ et $\frac{m-k}{2n}=\frac{j}{n}$ donc $d=\frac{\phi (n)}{2}$.
    • Si $j$ est pair alors $j/2$ est premier avec $m$ et $\frac{m-k}{2n}=\frac{j/2}{m}$ donc $d=\frac{\phi (m)}{2}=\frac{\phi (n)}{2}$.

 

Si $n-2k$ n'est pas divisible par 8 (c'est-à-dire si $n\equiv ̸2kmod8$), $S_n$ peut donc se calculer à partir de $C_n$ (cf. remarque de la section précédente). Si $n-2k$ est divisible par 8 (c'est-à-dire si $n\equiv 2kmod8$), le polynôme minimal est $C_{n/2}=(-1{)}^{\phi (n)}{C}_n(-X)$.

Référence

Ivan Niven, Irrational Numbers, Cambridge University Press, 1956 [lire en ligne], p. 37-40