Recherche:Polynômes annulateurs de nombres sous la forme cosinus ou tangente/Polynômes annulateurs de nombres de la forme 2cos(2kπ╱n)

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Ci-dessous se trouvent, dans l’ordre croissant des degrés sur $\mathbb {Q}$ des nombres, les polynômes minimaux sur $\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})$ (ou sur $\mathbb {Q}$ lorsque rien n'est précisé) de quelques entiers algébriques de la forme

$2\cos(2k\pi /n)$ pour $0<k<n/2$ et k premier avec n.

Lorsque n est pair, la fraction $2k/n$ sera écrite simplifiée par 2.

Rappelons (cf. chap. 1) que le degré (sur $\mathbb {Q}$) de $\cos {\frac {2k\pi }{n}}$, avec $k$ et $n$ premiers entre eux et $n\geq 3$, vaut ${\frac {\varphi (n)}{2}}$ ($\neq 7,9$). Lorsque $\varphi (n)$ est divisible par 4, le polynôme minimal sur $\mathbb {Q}$ se factorisera en produit de deux polynômes de degré ${\frac {\varphi (n)}{4}}$ sur un $\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})$, d'autant de façons qu'il y a de sous-groupes d'indice 2 dans le groupe quotient $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }/\{\pm 1\}$ (donc une seule si et seulement si ce groupe est cyclique, donc plusieurs si n est divisible par 8). De plus, l'entier $d$ (positif et sans facteur carré) — et même $4d$, si $d\not \equiv 1{\bmod {4}}$ — divise $n$ car le discriminant de $\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})$ divise celui de l'extension cyclotomique ℚ(ζ_n).

Nous éviterons les redondances en remarquant que si

$X^{m}+a_{m-1}X^{m-1}+a_{m-2}X^{m-2}+\dots +a_{0}$ est le polynôme minimal sur K de $2\cos {\frac {2k\pi }{n}}$,

alors

$X^{m}-a_{m-1}X^{m-1}+a_{m-2}X^{m-2}+\dots +(-1)^{m}a_{0}$ est le polynôme minimal sur K de son opposé, $2\cos {\frac {(n-2k)\pi }{n}}$.

Le cas $n=2n'$ avec $n'$ impair se ramène ainsi au cas $n=n'$.

Exemple : n = 40

Le polynôme minimal (sur $\mathbb {Q}$) des nombres $2\cos {\frac {2k\pi }{40}}$ pour $k=1,3,7,9$ et de leurs opposés est

${\begin{aligned}P_{40}(X)&=P_{20}(X^{2}-2)\\&=P_{10}((X^{2}-2)^{2}-2)\\&=P_{5}(2-(X^{2}-2)^{2})\\&=P_{5}(-X^{4}+4X^{2}-2)\\&=(-X^{4}+4X^{2}-2)^{2}+(-X^{4}+4X^{2}-2)-1\\&=X^{8}-8X^{6}+19X^{4}-12X^{2}+1.\end{aligned}}$

En posant $x=y+2$, l'équation $x^{4}-8x^{3}+19x^{2}-12x+1=0$ devient $y^{4}-5y^{2}+5=0$. On trouve ainsi :

$2\cos {\frac {\pi }{20}}={\sqrt {2+{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}}},\quad 2\cos {\frac {3\pi }{20}}={\sqrt {2+{\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}}},\quad 2\cos {\frac {7\pi }{20}}={\sqrt {2-{\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}}},\quad 2\cos {\frac {9\pi }{20}}={\sqrt {2-{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}}}$,

soit

$2\cos {\frac {\pi }{20}}={\frac {1+{\sqrt {5}}+a-b}{2{\sqrt {2}}}},\quad 2\cos {\frac {3\pi }{20}}={\frac {-1+{\sqrt {5}}+a+b}{2{\sqrt {2}}}},\quad 2\cos {\frac {7\pi }{20}}={\frac {1-{\sqrt {5}}+a+b}{2{\sqrt {2}}}},\quad 2\cos {\frac {9\pi }{20}}={\frac {1+{\sqrt {5}}-a+b}{2{\sqrt {2}}}}$

avec

$a={\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}},\quad b={\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}$.

Le groupe $\left(\mathbb {Z} /40\mathbb {Z} \right)/\{1,-1\}$, d'ordre $\varphi (40)/2=8$, a trois sous groupes d'indice 2.

Le premier, $H_{1}$, est l'ensemble des nombres (pris modulo 40 et au signe près) puissances de ±7 (ou, ce qui revient au même : de son inverse ±17 dans $\left(\mathbb {Z} /40\mathbb {Z} \right)/\{1,-1\}$), ce que nous noterons

• $H_{1}=\{\pm 1,\pm 7,\pm 9,\pm 17\}$.

Avec les mêmes notations, les deux autres sont :

• $H_{2}=\{\pm 1,\pm 3,\pm 9,\pm 13\}$ (cyclique comme le précédent)
• $H_{3}=\{\pm 1,\pm 9,\pm 11,\pm 19\}$ (de Klein).

Ils fournissent trois factorisations,

$P_{40}(X)=Q_{1}(X)Q_{1}(-X)=Q_{2}(X)Q_{2}(-X)=Q_{3}(X)Q_{4}(X)$,

avec

${\begin{aligned}Q_{1}(X)&=\left(X-2\cos {\frac {\pi }{20}}\right)\left(X-2\cos {\frac {7\pi }{20}}\right)\left(X-2\cos {\frac {9\pi }{20}}\right)\left(X-2\cos {\frac {17\pi }{20}}\right)\\&=\left(X-{\frac {1+{\sqrt {5}}+a-b}{2{\sqrt {2}}}}\right)\left(X-{\frac {1-{\sqrt {5}}+a+b}{2{\sqrt {2}}}}\right)\left(X-{\frac {1+{\sqrt {5}}-a+b}{2{\sqrt {2}}}}\right)\left(X+{\frac {-1+{\sqrt {5}}+a+b}{2{\sqrt {2}}}}\right)\\&=X^{4}-X^{3}{\sqrt {2}}-3X^{2}+3X{\sqrt {2}}-1\end{aligned}}$

et (par des calculs analogues) :

$Q_{2}(X)=X^{4}-{\sqrt {10}}X^{3}+X^{2}+{\sqrt {10}}X-1,\quad Q_{3}(X)=X^{4}-4X^{2}+{\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}},\quad Q_{4}(X)=X^{4}-4X^{2}+{\frac {3+{\sqrt {5}}}{2}}$.

Nombres rationnels

$\varphi (n)=2$ pour $n=3,4,6$.

Les polynômes minimaux des nombres

$2\cos {\frac {2\pi }{3}},\quad 2\cos {\frac {\pi }{2}}$

sont respectivement :

$X+1,\qquad X$.

Irrationnels quadratiques

$\varphi (n)=4$ pour $n=5,8,10,12$.

$X^{2}+X-1$ est le polynôme minimal des nombres : $2\cos {\frac {2\pi }{5}}$ et $2\cos {\frac {4\pi }{5}}$.	$X^{2}-2$ est le polynôme minimal des nombres : $2\cos {\frac {\pi }{4}}$ et son opposé.
$X^{2}-3$ est le polynôme minimal des nombres : $2\cos {\frac {\pi }{6}}$ et son opposé.

Nombres de degré 3

$\varphi (n)=6$ pour $n=7,9,14,18$.

$X^{3}+X^{2}-2X-1$ est le polynôme minimal des nombres : $2\cos {\frac {2\pi }{7}},\quad 2\cos {\frac {4\pi }{7}},\quad 2\cos {\frac {6\pi }{7}}$.

$X^{3}-3X+1$ est le polynôme minimal des nombres : $2\cos {\frac {2\pi }{9}},\quad 2\cos {\frac {4\pi }{9}},\quad 2\cos {\frac {8\pi }{9}}$.

Nombres de degré 4

$\varphi (n)=8$ pour $n=15,16,20,24,30$.

$X^{2}-{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}X-{\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}$ est le polynôme minimal sur $\mathbb {Q} ({\sqrt {5}})$ des nombres : $2\cos {\frac {2\pi }{15}},\quad 2\cos {\frac {8\pi }{15}}$.	$X^{2}+{\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}X-{\frac {3+{\sqrt {5}}}{2}}$ est le polynôme minimal sur $\mathbb {Q} ({\sqrt {5}})$ des nombres : $2\cos {\frac {4\pi }{15}},\quad 2\cos {\frac {14\pi }{15}}$.
$X^{2}-2-{\sqrt {2}}$ est le polynôme minimal sur $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ des nombres : $2\cos {\frac {\pi }{8}}$ et son opposé.	$X^{2}-2+{\sqrt {2}}$ est le polynôme minimal sur $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ des nombres : $2\cos {\frac {3\pi }{8}}$ et son opposé.
$X^{2}-{\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}$ est le polynôme minimal sur $\mathbb {Q} ({\sqrt {5}})$ des nombres : $2\cos {\frac {\pi }{10}}$ et son opposé.	$X^{2}-{\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}$ est le polynôme minimal sur $\mathbb {Q} ({\sqrt {5}})$ des nombres : $2\cos {\frac {3\pi }{10}}$ et son opposé.
$X^{2}-{\sqrt {2}}X-1$ est le polynôme minimal sur $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ des nombres : $2\cos {\frac {\pi }{12}}$ et $2\cos {\frac {7\pi }{12}}$.	$X^{2}-2-{\sqrt {3}}$ est le polynôme minimal sur $\mathbb {Q} ({\sqrt {3}})$ des nombres : $2\cos {\frac {\pi }{12}}$ et son opposé.
$X^{2}-{\sqrt {6}}X+1$ est le polynôme minimal sur $\mathbb {Q} ({\sqrt {6}})$ des nombres : $2\cos {\frac {\pi }{12}}$ et $2\cos {\frac {5\pi }{12}}$.

Nombres de degré 5

$\varphi (n)=10$ pour $n=11,22$.

$X^{5}+X^{4}-4X^{3}-3X^{2}+3X+1$ est le polynôme minimal des nombres : $2\cos {\frac {2^{k}\pi }{11}},\quad k=1,2,3,4,5$.

Nombres de degré 6

$\varphi (n)=12$ pour $n=13,21,26,28,36,42$.

$X^{3}+{\frac {1-{\sqrt {13}}}{2}}X^{2}-X-{\frac {3-{\sqrt {13}}}{2}}$ est le polynôme minimal sur $\mathbb {Q} ({\sqrt {13}})$ des nombres : $2\cos {\frac {2\pi }{13}},\quad 2\cos {\frac {6\pi }{13}},\quad 2\cos {\frac {8\pi }{13}}$.	$X^{3}+{\frac {1+{\sqrt {13}}}{2}}X^{2}-X-{\frac {3+{\sqrt {13}}}{2}}$ est le polynôme minimal sur $\mathbb {Q} ({\sqrt {13}})$ des nombres : $2\cos {\frac {4\pi }{13}},\quad 2\cos {\frac {10\pi }{13}},\quad 2\cos {\frac {12\pi }{13}}$.
$X^{3}-{\frac {1+{\sqrt {21}}}{2}}X^{2}-{\frac {1-{\sqrt {21}}}{2}}X-{\frac {5-{\sqrt {21}}}{2}}$ est le polynôme minimal sur $\mathbb {Q} ({\sqrt {21}})$ des nombres : $2\cos {\frac {2\pi }{21}},\quad 2\cos {\frac {8\pi }{21}},\quad 2\cos {\frac {10\pi }{21}}$.	$X^{3}-{\frac {1-{\sqrt {21}}}{2}}X^{2}-{\frac {1+{\sqrt {21}}}{2}}X-{\frac {5+{\sqrt {21}}}{2}}$ est le polynôme minimal sur $\mathbb {Q} ({\sqrt {21}})$ des nombres : $2\cos {\frac {4\pi }{21}},\quad 2\cos {\frac {16\pi }{21}},\quad 2\cos {\frac {20\pi }{21}}$.
$X^{3}-X^{2}{\sqrt {7}}+{\sqrt {7}}$ est le polynôme minimal sur $\mathbb {Q} ({\sqrt {7}})$ des nombres : $2\cos {\frac {\pi }{14}},\quad 2\cos {\frac {3\pi }{14}},\quad 2\cos {\frac {9\pi }{14}}$.	$X^{3}-3X-{\sqrt {3}}$ est le polynôme minimal sur $\mathbb {Q} ({\sqrt {3}})$ des nombres : $2\cos {\frac {\pi }{18}},\quad 2\cos {\frac {11\pi }{18}},\quad 2\cos {\frac {13\pi }{18}}$.

Nombres de degré 8

$\varphi (n)=16$ pour $n=17,32,34,40,48,60$.

$X^{4}+{\frac {1-{\sqrt {17}}}{2}}X^{3}-{\frac {3+{\sqrt {17}}}{2}}X^{2}+(2+{\sqrt {17}})X-1$ est le polynôme minimal sur $\mathbb {Q} ({\sqrt {17}})$ des nombres : $2\cos {\frac {2^{k}\pi }{17}},\quad k=1,2,3,4$.	$X^{4}+{\frac {1+{\sqrt {17}}}{2}}X^{3}-{\frac {3-{\sqrt {17}}}{2}}X^{2}+(2-{\sqrt {17}})X-1$ est le polynôme minimal sur $\mathbb {Q} ({\sqrt {17}})$ des nombres : $2\cos {\frac {2^{k}\times 3\pi }{17}},\quad k=1,2,3,4$.
$X^{4}-4X^{2}+2-{\sqrt {2}}$ est le polynôme minimal sur $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ des nombres : $2\cos {\frac {\pi }{16}},\quad 2\cos {\frac {7\pi }{16}}$ et leurs opposés.	$X^{4}-4X^{2}+2+{\sqrt {2}}$ est le polynôme minimal sur $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ des nombres : $2\cos {\frac {3\pi }{16}},\quad 2\cos {\frac {5\pi }{16}}$ et leurs opposés.
$X^{4}-X^{3}{\sqrt {2}}-3X^{2}+3X{\sqrt {2}}-1$ est le polynôme minimal sur $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ des nombres : $2\cos {\frac {7^{k}\pi }{20}},\quad k=0,1,2,3$.	$X^{4}-{\sqrt {10}}X^{3}+X^{2}+{\sqrt {10}}X-1$ est le polynôme minimal sur $\mathbb {Q} ({\sqrt {10}})$ des nombres : $2\cos {\frac {3^{k}\pi }{20}},\quad k=0,1,2,3$.
$X^{4}-4X^{2}+{\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}$ est le polynôme minimal sur $\mathbb {Q} ({\sqrt {5}})$ des nombres : $2\cos {\frac {\pi }{20}},\quad 2\cos {\frac {9\pi }{20}}$ et leurs opposés.	$X^{4}-4X^{2}+{\frac {3+{\sqrt {5}}}{2}}$ est le polynôme minimal sur $\mathbb {Q} ({\sqrt {5}})$ des nombres : $2\cos {\frac {3\pi }{20}},\quad 2\cos {\frac {7\pi }{20}}$ et leurs opposés.
$X^{4}-4X^{2}+2-{\sqrt {3}}$ est le polynôme minimal sur $\mathbb {Q} ({\sqrt {3}})$ des nombres : $2\cos {\frac {\pi }{24}},\quad 2\cos {\frac {11\pi }{24}}$ et leurs opposés.	$X^{4}-4X^{2}+2+{\sqrt {3}}$ est le polynôme minimal sur $\mathbb {Q} ({\sqrt {3}})$ des nombres : $2\cos {\frac {5\pi }{24}},\quad 2\cos {\frac {7\pi }{24}}$ et leurs opposés.
$X^{4}-X^{3}{\sqrt {15}}+4X^{2}-1$ est le polynôme minimal sur $\mathbb {Q} ({\sqrt {15}})$ des nombres : $2\cos {\frac {7^{k}\pi }{30}},\quad k=0,1,2,3$.

Nombres de degré 10

$\varphi (n)=20$ pour $n=25,33,44,50,66$.

$X^{5}-5X^{3}+5X-{\frac {\sqrt {5}}{2}}+{\frac {1}{2}}$ est le polynôme minimal sur $\mathbb {Q} ({\sqrt {5}})$ des nombres : $2\cos {\frac {4^{k}\times 2\pi }{25}},\quad k=0,1,2,3,4$.	$X^{5}-5X^{3}+5X+{\frac {\sqrt {5}}{2}}+{\frac {1}{2}}$ est le polynôme minimal sur $\mathbb {Q} ({\sqrt {5}})$ des nombres : $2\cos {\frac {4^{k}\times \pi }{25}},\quad k=1,2,3,4,5$.
$X^{10}-X^{9}-10X^{8}+10X^{7}+34X^{6}-34X^{5}-43X^{4}+43X^{3}+12X^{2}-12X+1$ est le polynôme minimal des nombres : $2\cos {\frac {5^{k}\times 2\pi }{33}},\quad k=0,1,\dots ,9$ (à factoriser sur $\mathbb {Q} ({\sqrt {33}})$) Cette section est vide, insuffisamment détaillée ou incomplète. Votre aide est la bienvenue ! Comment faire ?	$X^{5}-X^{4}{\sqrt {11}}+3X^{2}{\sqrt {11}}-11X+{\sqrt {11}}$ est le polynôme minimal sur $\mathbb {Q} ({\sqrt {11}})$ des nombres : $2\cos {\frac {5^{k}\pi }{22}},\quad k=0,1,2,3,4$.