Recherche:Polynômes annulateurs de nombres sous la forme cosinus ou tangente/Polynômes annulateurs de nombres de la forme 2cos(2kπ╱n)

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Ci-dessous se trouvent, dans l’ordre croissant des degrés sur $\mathbb{Q}$ des nombres, les polynômes minimaux sur $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ (ou sur $\mathbb{Q}$ lorsque rien n'est précisé) de quelques entiers algébriques de la forme

$2\cos (2k\pi /n)$ pour $0<k<n/2$ et k premier avec n.

Lorsque n est pair, la fraction $2k/n$ sera écrite simplifiée par 2.

Rappelons (cf. chap. 1) que le degré (sur $\mathbb{Q}$) de $\cos \frac{2k\pi }{n}$, avec $k$ et $n$ premiers entre eux et $n\ge 3$, vaut $\frac{\phi (n)}{2}$ ($\ne 7,9$). Lorsque $\phi (n)$ est divisible par 4, le polynôme minimal sur $\mathbb{Q}$ se factorisera en produit de deux polynômes de degré $\frac{\phi (n)}{4}$ sur un $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$, d'autant de façons qu'il y a de sous-groupes d'indice 2 dans le groupe quotient $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}{)}^{\times }/\{\pm 1\}$ (donc une seule si et seulement si ce groupe est cyclique, donc plusieurs si n est divisible par 8). De plus, l'entier $d$ (positif et sans facteur carré) — et même $4d$, si $d\equiv ̸1mod4$ — divise $n$ car le discriminant de $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ divise celui de l'extension cyclotomique ℚ(ζ_n).

Nous éviterons les redondances en remarquant que si

$X^m+a_{m-1}{X}^{m-1}+a_{m-2}{X}^{m-2}+\dots +a_0$ est le polynôme minimal sur K de $2\cos \frac{2k\pi }{n}$,

alors

$X^m-a_{m-1}{X}^{m-1}+a_{m-2}{X}^{m-2}+\dots +(-1{)}^m{a}_0$ est le polynôme minimal sur K de son opposé, $2\cos \frac{(n-2k)\pi }{n}$.

Le cas $n=2n^{\prime }$ avec $n^{\prime }$ impair se ramène ainsi au cas $n=n^{\prime }$.

Exemple : n = 40

Le polynôme minimal (sur $\mathbb{Q}$) des nombres $2\cos \frac{2k\pi }{40}$ pour $k=1,3,7,9$ et de leurs opposés est

$\begin{array}{cc}{P}_{40}(X)& =P_{20}(X^2-2)\\ & =P_{10}((X^2-2{)}^2-2)\\ & =P_5(2-(X^2-2{)}^2)\\ & =P_5(-X^4+4X^2-2)\\ & =(-X^4+4X^2-2{)}^2+(-X^4+4X^2-2)-1\\ & =X^8-8X^6+19X^4-12X^2+1.\end{array}$

En posant $x=y+2$, l'équation $x^4-8x^3+19x^2-12x+1=0$ devient $y^4-5y^2+5=0$. On trouve ainsi :

$2\cos \frac{\pi }{20}=\sqrt{2+\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}}},2\cos \frac{3\pi }{20}=\sqrt{2+\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{2}}},2\cos \frac{7\pi }{20}=\sqrt{2-\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{2}}},2\cos \frac{9\pi }{20}=\sqrt{2-\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}}}$,

soit

$2\cos \frac{\pi }{20}=\frac{1+\sqrt{5}+a-b}{2\sqrt{2}},2\cos \frac{3\pi }{20}=\frac{-1+\sqrt{5}+a+b}{2\sqrt{2}},2\cos \frac{7\pi }{20}=\frac{1-\sqrt{5}+a+b}{2\sqrt{2}},2\cos \frac{9\pi }{20}=\frac{1+\sqrt{5}-a+b}{2\sqrt{2}}$

avec

$a=\sqrt{5+2\sqrt{5}},b=\sqrt{5-2\sqrt{5}}$.

Le groupe $(\mathbb{Z}/40\mathbb{Z})/\{1,-1\}$, d'ordre $\phi (40)/2=8$, a trois sous groupes d'indice 2.

Le premier, $H_1$, est l'ensemble des nombres (pris modulo 40 et au signe près) puissances de ±7 (ou, ce qui revient au même : de son inverse ±17 dans $(\mathbb{Z}/40\mathbb{Z})/\{1,-1\}$), ce que nous noterons

• $H_1=\{\pm 1,\pm 7,\pm 9,\pm 17\}$.

Avec les mêmes notations, les deux autres sont :

• $H_2=\{\pm 1,\pm 3,\pm 9,\pm 13\}$ (cyclique comme le précédent)
• $H_3=\{\pm 1,\pm 9,\pm 11,\pm 19\}$ (de Klein).

Ils fournissent trois factorisations,

$P_{40}(X)=Q_1(X)Q_1(-X)=Q_2(X)Q_2(-X)=Q_3(X)Q_4(X)$,

avec

$\begin{array}{cc}{Q}_1(X)& =(X-2\cos \frac{\pi }{20})(X-2\cos \frac{7\pi }{20})(X-2\cos \frac{9\pi }{20})(X-2\cos \frac{17\pi }{20})\\ & =(X-\frac{1+\sqrt{5}+a-b}{2\sqrt{2}})(X-\frac{1-\sqrt{5}+a+b}{2\sqrt{2}})(X-\frac{1+\sqrt{5}-a+b}{2\sqrt{2}})(X+\frac{-1+\sqrt{5}+a+b}{2\sqrt{2}})\\ & =X^4-X^3\sqrt{2}-3X^2+3X\sqrt{2}-1\end{array}$

et (par des calculs analogues) :

$Q_2(X)=X^4-\sqrt{10}{X}^3+X^2+\sqrt{10}X-1,Q_3(X)=X^4-4X^2+\frac{3-\sqrt{5}}{2},Q_4(X)=X^4-4X^2+\frac{3+\sqrt{5}}{2}$.

Nombres rationnels

$\phi (n)=2$ pour $n=3,4,6$.

Les polynômes minimaux des nombres

$2\cos \frac{2\pi }{3},2\cos \frac{\pi }{2}$

sont respectivement :

$X+1,X$.

Irrationnels quadratiques

$\phi (n)=4$ pour $n=5,8,10,12$.

$X^2+X-1$ est le polynôme minimal des nombres : $2\cos \frac{2\pi }{5}$ et $2\cos \frac{4\pi }{5}$.	$X^2-2$ est le polynôme minimal des nombres : $2\cos \frac{\pi }{4}$ et son opposé.
$X^2-3$ est le polynôme minimal des nombres : $2\cos \frac{\pi }{6}$ et son opposé.

Nombres de degré 3

$\phi (n)=6$ pour $n=7,9,14,18$.

$X^3+X^2-2X-1$ est le polynôme minimal des nombres : $2\cos \frac{2\pi }{7},2\cos \frac{4\pi }{7},2\cos \frac{6\pi }{7}$.

$X^3-3X+1$ est le polynôme minimal des nombres : $2\cos \frac{2\pi }{9},2\cos \frac{4\pi }{9},2\cos \frac{8\pi }{9}$.

Nombres de degré 4

$\phi (n)=8$ pour $n=15,16,20,24,30$.

$X^2-\frac{\sqrt{5}+1}{2}X-\frac{3-\sqrt{5}}{2}$ est le polynôme minimal sur $\mathbb{Q}(\sqrt{5})$ des nombres : $2\cos \frac{2\pi }{15},2\cos \frac{8\pi }{15}$.	$X^2+\frac{\sqrt{5}-1}{2}X-\frac{3+\sqrt{5}}{2}$ est le polynôme minimal sur $\mathbb{Q}(\sqrt{5})$ des nombres : $2\cos \frac{4\pi }{15},2\cos \frac{14\pi }{15}$.
$X^2-2-\sqrt{2}$ est le polynôme minimal sur $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ des nombres : $2\cos \frac{\pi }{8}$ et son opposé.	$X^2-2+\sqrt{2}$ est le polynôme minimal sur $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ des nombres : $2\cos \frac{3\pi }{8}$ et son opposé.
$X^2-\frac{5+\sqrt{5}}{2}$ est le polynôme minimal sur $\mathbb{Q}(\sqrt{5})$ des nombres : $2\cos \frac{\pi }{10}$ et son opposé.	$X^2-\frac{5-\sqrt{5}}{2}$ est le polynôme minimal sur $\mathbb{Q}(\sqrt{5})$ des nombres : $2\cos \frac{3\pi }{10}$ et son opposé.
$X^2-\sqrt{2}X-1$ est le polynôme minimal sur $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ des nombres : $2\cos \frac{\pi }{12}$ et $2\cos \frac{7\pi }{12}$.	$X^2-2-\sqrt{3}$ est le polynôme minimal sur $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$ des nombres : $2\cos \frac{\pi }{12}$ et son opposé.
$X^2-\sqrt{6}X+1$ est le polynôme minimal sur $\mathbb{Q}(\sqrt{6})$ des nombres : $2\cos \frac{\pi }{12}$ et $2\cos \frac{5\pi }{12}$.

Nombres de degré 5

$\phi (n)=10$ pour $n=11,22$.

$X^5+X^4-4X^3-3X^2+3X+1$ est le polynôme minimal des nombres : $2\cos \frac{2^k\pi }{11},k=1,2,3,4,5$.

Nombres de degré 6

$\phi (n)=12$ pour $n=13,21,26,28,36,42$.

$X^3+\frac{1-\sqrt{13}}{2}{X}^2-X-\frac{3-\sqrt{13}}{2}$ est le polynôme minimal sur $\mathbb{Q}(\sqrt{13})$ des nombres : $2\cos \frac{2\pi }{13},2\cos \frac{6\pi }{13},2\cos \frac{8\pi }{13}$.	$X^3+\frac{1+\sqrt{13}}{2}{X}^2-X-\frac{3+\sqrt{13}}{2}$ est le polynôme minimal sur $\mathbb{Q}(\sqrt{13})$ des nombres : $2\cos \frac{4\pi }{13},2\cos \frac{10\pi }{13},2\cos \frac{12\pi }{13}$.
$X^3-\frac{1+\sqrt{21}}{2}{X}^2-\frac{1-\sqrt{21}}{2}X-\frac{5-\sqrt{21}}{2}$ est le polynôme minimal sur $\mathbb{Q}(\sqrt{21})$ des nombres : $2\cos \frac{2\pi }{21},2\cos \frac{8\pi }{21},2\cos \frac{10\pi }{21}$.	$X^3-\frac{1-\sqrt{21}}{2}{X}^2-\frac{1+\sqrt{21}}{2}X-\frac{5+\sqrt{21}}{2}$ est le polynôme minimal sur $\mathbb{Q}(\sqrt{21})$ des nombres : $2\cos \frac{4\pi }{21},2\cos \frac{16\pi }{21},2\cos \frac{20\pi }{21}$.
$X^3-X^2\sqrt{7}+\sqrt{7}$ est le polynôme minimal sur $\mathbb{Q}(\sqrt{7})$ des nombres : $2\cos \frac{\pi }{14},2\cos \frac{3\pi }{14},2\cos \frac{9\pi }{14}$.	$X^3-3X-\sqrt{3}$ est le polynôme minimal sur $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$ des nombres : $2\cos \frac{\pi }{18},2\cos \frac{11\pi }{18},2\cos \frac{13\pi }{18}$.

Nombres de degré 8

$\phi (n)=16$ pour $n=17,32,34,40,48,60$.

$X^4+\frac{1-\sqrt{17}}{2}{X}^3-\frac{3+\sqrt{17}}{2}{X}^2+(2+\sqrt{17})X-1$ est le polynôme minimal sur $\mathbb{Q}(\sqrt{17})$ des nombres : $2\cos \frac{2^k\pi }{17},k=1,2,3,4$.	$X^4+\frac{1+\sqrt{17}}{2}{X}^3-\frac{3-\sqrt{17}}{2}{X}^2+(2-\sqrt{17})X-1$ est le polynôme minimal sur $\mathbb{Q}(\sqrt{17})$ des nombres : $2\cos \frac{2^k\times 3\pi }{17},k=1,2,3,4$.
$X^4-4X^2+2-\sqrt{2}$ est le polynôme minimal sur $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ des nombres : $2\cos \frac{\pi }{16},2\cos \frac{7\pi }{16}$ et leurs opposés.	$X^4-4X^2+2+\sqrt{2}$ est le polynôme minimal sur $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ des nombres : $2\cos \frac{3\pi }{16},2\cos \frac{5\pi }{16}$ et leurs opposés.
$X^4-X^3\sqrt{2}-3X^2+3X\sqrt{2}-1$ est le polynôme minimal sur $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ des nombres : $2\cos \frac{7^k\pi }{20},k=0,1,2,3$.	$X^4-\sqrt{10}{X}^3+X^2+\sqrt{10}X-1$ est le polynôme minimal sur $\mathbb{Q}(\sqrt{10})$ des nombres : $2\cos \frac{3^k\pi }{20},k=0,1,2,3$.
$X^4-4X^2+\frac{3-\sqrt{5}}{2}$ est le polynôme minimal sur $\mathbb{Q}(\sqrt{5})$ des nombres : $2\cos \frac{\pi }{20},2\cos \frac{9\pi }{20}$ et leurs opposés.	$X^4-4X^2+\frac{3+\sqrt{5}}{2}$ est le polynôme minimal sur $\mathbb{Q}(\sqrt{5})$ des nombres : $2\cos \frac{3\pi }{20},2\cos \frac{7\pi }{20}$ et leurs opposés.
$X^4-4X^2+2-\sqrt{3}$ est le polynôme minimal sur $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$ des nombres : $2\cos \frac{\pi }{24},2\cos \frac{11\pi }{24}$ et leurs opposés.	$X^4-4X^2+2+\sqrt{3}$ est le polynôme minimal sur $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$ des nombres : $2\cos \frac{5\pi }{24},2\cos \frac{7\pi }{24}$ et leurs opposés.
$X^4-X^3\sqrt{15}+4X^2-1$ est le polynôme minimal sur $\mathbb{Q}(\sqrt{15})$ des nombres : $2\cos \frac{7^k\pi }{30},k=0,1,2,3$.

Nombres de degré 10

$\phi (n)=20$ pour $n=25,33,44,50,66$.

$X^5-5X^3+5X-\frac{\sqrt{5}}{2}+\frac{1}{2}$ est le polynôme minimal sur $\mathbb{Q}(\sqrt{5})$ des nombres : $2\cos \frac{4^k\times 2\pi }{25},k=0,1,2,3,4$.	$X^5-5X^3+5X+\frac{\sqrt{5}}{2}+\frac{1}{2}$ est le polynôme minimal sur $\mathbb{Q}(\sqrt{5})$ des nombres : $2\cos \frac{4^k\times \pi }{25},k=1,2,3,4,5$.
$X^{10}-X^9-10X^8+10X^7+34X^6-34X^5-43X^4+43X^3+12X^2-12X+1$ est le polynôme minimal des nombres : $2\cos \frac{5^k\times 2\pi }{33},k=0,1,\dots ,9$ (à factoriser sur $\mathbb{Q}(\sqrt{33})$) Cette section est vide, insuffisamment détaillée ou incomplète. Votre aide est la bienvenue ! Comment faire ?	$X^5-X^4\sqrt{11}+3X^2\sqrt{11}-11X+\sqrt{11}$ est le polynôme minimal sur $\mathbb{Q}(\sqrt{11})$ des nombres : $2\cos \frac{5^k\pi }{22},k=0,1,2,3,4$.