Résultant/Discriminant d'un polynôme

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Définition

Soit $P\in K[X]$ un polynôme de degré $n>0$ et de coefficient dominant $a$.

On suppose de plus que son polynôme dérivé $P'$ est de degré $n-1$ (ce qui est garanti en caractéristique nulle).

Le discriminant $\Delta _{P}$ de $P$ est alors défini par :

$\Delta _{P}={\frac {(-1)^{n(n-1)/2}}{a}}\operatorname {Res} (P,P')=(-1)^{n(n-1)/2}n^{n}a^{2n-2}\prod _{1\leq i\leq n,1\leq k<n}(x_{i}-y_{k})$,

où $x_{1},\dots ,x_{n}$ sont les racines de $P$ et $y_{1},\dots ,y_{n-1}$ celles de $P'$ (dans une extension où $P$ et $P'$ sont scindés).

Les notations de cette définition sont reprises dans la suite de ce chapitre.

On déduit alors immédiatement du chapitre précédent :

Proposition

• $\Delta _{P}$ est aussi égal à :
  • $(-1)^{n(n-1)/2}n^{n}a^{2n-2}\prod _{1\leq i\leq n,1\leq k<n}(y_{k}-x_{i})$ ;
  • ${\frac {(-1)^{n(n-1)/2}}{a}}\operatorname {Res} (P',P)$ ;
  • $(-1)^{n(n-1)/2}a^{n-2}\prod _{i=1}^{n}P'(x_{i})$ ;
  • $(-1)^{n(n-1)/2}n^{n}a^{n-1}\prod _{k=1}^{n-1}P(y_{k})$.
• Il est nul si et seulement si $P$ a une racine multiple (dans une extension où il est scindé).

Début de l'exemple

Exemples

• n = 1 : $\Delta _{aX+b}=1$
• n = 2 : $\Delta _{aX^{2}+bX+c}=4a\left[a(-b/2a)^{2}+b(-b/2a)+c\right]=b^{2}-4ac$
• n = 3 : $\Delta _{aX^{3}+bX^{2}+cX+d}=-27a^{2}d^{2}+18abcd-4ac^{3}+b^{2}\Delta _{bX^{2}+cX+d}$
• n = 4 : $\Delta _{aX^{4}+bX^{3}+cX^{2}+dX+e}=256a^{3}e^{3}+a^{2}(-192bde^{2}-128c^{2}e^{2}+144cd^{2}e-27d^{4})+$

  $+a(144b^{2}ce^{2}-6b^{2}d^{2}e-80bc^{2}de+18bcd^{3}+16c^{4}e-4c^{3}d^{2})+b^{2}\Delta _{bX^{3}+cX^{2}+dX+e}$

Lien externe : Discriminant d'un Polynome - Calcul de Delta Δ en Ligne

Fin de l'exemple

De plus :

Début d’un théorème

Théorème

$\Delta _{P}=a^{2n-2}\prod _{1\leq i<j\leq n}(x_{i}-x_{j})^{2}$.

Fin du théorème

Démonstration

$P(X)=a\prod _{i}(X-x_{i})$

donc

$P'(X)=a\sum _{i}\prod _{j\neq i}(X-x_{j})$

donc pour tout $i$ de $1$ à $n$,

$P'(x_{i})=a\prod _{j\neq i}(x_{i}-x_{j})$.

Par conséquent,

${\begin{aligned}\Delta _{P}&=(-1)^{n(n-1)/2}a^{n-2}\prod _{i=1}^{n}P'(x_{i})\\&=(-1)^{n(n-1)/2}a^{n-2}\prod _{i=1}^{n}\left(a\prod _{j\neq i}(x_{i}-x_{j})\right)\\&=a^{2n-2}\prod _{1\leq i<j\leq n}(x_{i}-x_{j})(-1)^{n(n-1)/2}\prod _{1\leq j<i\leq n}(x_{i}-x_{j})\\&=a^{2n-2}\prod _{1\leq i<j\leq n}(x_{i}-x_{j})^{2}.\end{aligned}}$