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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Résultant : Définition et premières propriétés Résultant/Définition et premières propriétés », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Dans toute cette leçon,
K
{\displaystyle K}
est un corps commutatif .
Définition
Le résultant
Res
(
P
,
Q
)
{\displaystyle \operatorname {Res} (P,Q)}
de deux polynômes non nuls scindés sur
K
{\displaystyle K}
,
P
=
a
∏
i
=
1
n
(
X
−
x
i
)
,
Q
=
b
∏
j
=
1
m
(
X
−
y
j
)
{\displaystyle P=a\prod _{i=1}^{n}(X-x_{i}),\;Q=b\prod _{j=1}^{m}(X-y_{j})}
(avec
x
1
,
…
,
x
n
,
y
1
,
…
,
y
m
∈
K
{\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n},y_{1},\dots ,y_{m}\in K}
et
a
,
b
∈
K
∗
{\displaystyle a,b\in K^{*}}
)
est défini par :
Res
(
P
,
Q
)
=
a
m
b
n
∏
i
,
j
(
x
i
−
y
j
)
{\displaystyle \operatorname {Res} (P,Q)=a^{m}b^{n}\prod _{i,j}(x_{i}-y_{j})}
.
Le résultant de deux polynômes non nuls quelconques à coefficients dans
K
{\displaystyle K}
est, par définition,
leur résultant en tant que polynômes à coefficients dans une extension
L
{\displaystyle L}
de
K
{\displaystyle K}
sur laquelle ces deux polynômes sont scindés
(par exemple
L
=
{\displaystyle L=}
la clôture algébrique de
K
{\displaystyle K}
, qui pour
K
=
R
{\displaystyle K=\mathbb {R} }
est égale à
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
).
Les notations de cette définition sont reprises dans la suite de ce chapitre.
Propriété 1
Res
(
Q
,
P
)
=
(
−
1
)
m
n
Res
(
P
,
Q
)
{\displaystyle \operatorname {Res} (Q,P)=(-1)^{mn}\operatorname {Res} (P,Q)}
.
Propriété 2
Res
(
P
,
Q
)
=
a
m
∏
i
=
1
n
Q
(
x
i
)
{\displaystyle \operatorname {Res} (P,Q)=a^{m}\prod _{i=1}^{n}Q(x_{i})}
.
Début de l'exemple
Exemple : n ≤ 1
Si
Q
(
X
)
=
b
m
X
m
+
b
m
−
1
X
m
−
1
+
⋯
+
b
1
X
+
b
0
{\displaystyle Q(X)=b_{m}X^{m}+b_{m-1}X^{m-1}+\dots +b_{1}X+b_{0}}
avec
b
m
≠
0
{\displaystyle b_{m}\neq 0}
, alors
Res
(
a
,
Q
)
=
a
m
{\displaystyle \operatorname {Res} (a,Q)=a^{m}}
;
Res
(
α
X
+
β
,
Q
)
=
b
0
α
m
−
b
1
α
m
−
1
β
+
b
2
α
m
−
2
β
2
−
⋯
+
(
−
1
)
m
b
m
β
m
{\displaystyle \operatorname {Res} (\alpha X+\beta ,Q)=b_{0}\alpha ^{m}-b_{1}\alpha ^{m-1}\beta +b_{2}\alpha ^{m-2}\beta ^{2}-\dots +(-1)^{m}b_{m}\beta ^{m}}
si
α
≠
0
{\displaystyle \alpha \neq 0}
,
en particulier,
Res
(
α
X
+
β
,
γ
X
+
δ
)
=
α
δ
−
β
γ
{\displaystyle \operatorname {Res} (\alpha X+\beta ,\gamma X+\delta )=\alpha \delta -\beta \gamma }
si
α
,
γ
≠
0
{\displaystyle \alpha ,\gamma \neq 0}
Fin de l'exemple
Début de l'exemple
Fin de l'exemple
Remarques
D'après les propriétés 1 et 2,
Res
(
P
,
Q
)
=
(
−
1
)
m
n
b
n
∏
j
=
1
m
P
(
y
j
)
{\displaystyle \operatorname {Res} (P,Q)=(-1)^{mn}b^{n}\prod _{j=1}^{m}P(y_{j})}
.
D'après la propriété 2,
Res
(
P
,
Q
1
Q
2
)
=
Res
(
P
,
Q
1
)
Res
(
P
,
Q
2
)
{\displaystyle \operatorname {Res} (P,Q_{1}Q_{2})=\operatorname {Res} (P,Q_{1})\operatorname {Res} (P,Q_{2})}
.
Res
(
P
(
X
+
λ
)
,
Q
(
X
+
λ
)
)
=
Res
(
P
(
X
)
,
Q
(
X
)
)
{\displaystyle \operatorname {Res} (P(X+\lambda ),Q(X+\lambda ))=\operatorname {Res} (P(X),Q(X))}
, pour tout
λ
∈
K
{\displaystyle \lambda \in K}
.
Res
(
P
,
Q
)
=
0
{\displaystyle \operatorname {Res} (P,Q)=0}
si et seulement si
P
{\displaystyle P}
et
Q
{\displaystyle Q}
ont une racine commune (dans
L
{\displaystyle L}
), c'est-à-dire s'ils ne sont pas premiers entre eux .
La remarque 4 est la raison d'être de la notion de résultant.
Corollaire 1
Le résultant de deux polynômes non nuls à coefficients dans
K
{\displaystyle K}
appartient à
K
{\displaystyle K}
. Plus précisément :
Res
(
∑
i
=
0
n
a
i
X
i
,
∑
j
=
0
m
b
j
X
j
)
∈
Z
[
a
0
,
…
,
a
n
,
b
0
,
…
,
b
m
]
{\displaystyle \operatorname {Res} \left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}X_{i},\sum _{j=0}^{m}b_{j}X_{j}\right)\in \mathbb {Z} [a_{0},\dots ,a_{n},b_{0},\dots ,b_{m}]}
.
Démonstration
D'après la propriété 2,
Res
(
P
,
Q
)
=
a
m
T
(
σ
1
,
…
,
σ
n
)
{\displaystyle \operatorname {Res} (P,Q)=a^{m}T(\sigma _{1},\dots ,\sigma _{n})}
, où les
σ
i
{\displaystyle \sigma _{i}}
sont les polynômes symétriques élémentaires en les racines de
P
{\displaystyle P}
et où
T
{\displaystyle T}
est un polynôme en n indéterminées à coefficients dans l'anneau
Z
[
b
0
,
…
,
b
m
−
1
,
b
m
]
{\displaystyle \mathbb {Z} [b_{0},\dots ,b_{m-1},b_{m}]}
. De plus, par construction,
T
{\displaystyle T}
est de degré total inférieur ou égal à m donc le facteur
a
m
{\displaystyle a^{m}}
vient compenser les puissances de
a
{\displaystyle a}
qui apparaissent au dénominateur dans
T
(
σ
1
,
…
,
σ
n
)
=
T
(
−
a
n
−
1
a
,
−
a
n
−
2
a
,
…
,
(
−
1
)
n
a
0
a
)
{\displaystyle T(\sigma _{1},\dots ,\sigma _{n})=T\left(-{\frac {a_{n-1}}{a}},{\frac {-a_{n-2}}{a}},\dots ,{\frac {(-1)^{n}a_{0}}{a}}\right)}
.
Nous redémontrerons ce corollaire 1 plus explicitement au chapitre 3.
Le corollaire suivant, joint à la propriété 1, est très utile pour calculer un résultant par un algorithme analogue à celui d'Euclide .
Corollaire 2
Si
Q
=
A
P
+
B
{\displaystyle Q=AP+B}
et
deg
B
=
k
∈
N
{\displaystyle \deg B=k\in \mathbb {N} }
alors
Res
(
P
,
Q
)
=
a
m
−
k
Res
(
P
,
B
)
{\displaystyle \operatorname {Res} (P,Q)=a^{m-k}\operatorname {Res} (P,B)}
.
Démonstration
D'après la propriété 2,
Res
(
P
,
Q
)
=
a
m
∏
i
=
1
n
(
A
P
+
B
)
(
x
i
)
=
a
m
−
k
a
k
∏
i
=
1
n
B
(
x
i
)
=
a
m
−
k
Res
(
P
,
B
)
{\displaystyle \operatorname {Res} (P,Q)=a^{m}\prod _{i=1}^{n}(AP+B)(x_{i})=a^{m-k}a^{k}\prod _{i=1}^{n}B(x_{i})=a^{m-k}\operatorname {Res} (P,B)}
.
Début de l'exemple
Exemple : nouveau calcul du cas n = 2 et m ≤ 3
Le corollaire 2 permet, si n = 2 et m ≤ 3, de retrouver la formule de l'exemple précédent
Démonstration
Soient :
P
=
p
X
2
+
q
X
+
r
avec
p
≠
0
{\displaystyle P=pX^{2}+qX+r{\text{ avec }}p\neq 0}
;
Q
=
b
3
X
3
+
b
2
X
2
+
b
1
X
+
b
0
{\displaystyle Q=b_{3}X^{3}+b_{2}X^{2}+b_{1}X+b_{0}}
;
m
=
deg
Q
{\displaystyle m=\deg Q}
.
La division euclidienne de
Q
{\displaystyle Q}
par
P
{\displaystyle P}
s'écrit
Q
=
A
P
+
α
X
+
β
{\displaystyle Q=AP+\alpha X+\beta }
avec
α
=
b
3
(
q
2
−
r
p
)
−
b
2
p
q
+
b
1
p
2
p
2
et
β
=
b
3
q
r
−
b
2
p
r
−
b
0
p
2
p
2
{\displaystyle \alpha ={\frac {b_{3}(q^{2}-rp)-b_{2}pq+b_{1}p^{2}}{p^{2}}}\quad {\text{et}}\quad \beta ={\frac {b_{3}qr-b_{2}pr-b_{0}p^{2}}{p^{2}}}}
.
On déduit alors du corollaire 2, de la propriété 1, et du premier exemple ci-dessus (cas n ≤ 1) :
si
α
≠
0
{\displaystyle \alpha \neq 0}
,
Res
(
P
,
Q
)
=
p
m
−
1
Res
(
P
,
α
X
+
β
)
=
p
m
−
1
(
−
1
)
2
×
1
Res
(
α
X
+
β
,
P
)
=
p
m
−
1
(
r
α
2
−
q
α
β
+
p
β
2
)
=
p
m
−
1
α
(
r
α
−
q
β
)
+
p
m
β
2
=
p
m
−
4
(
[
b
3
(
q
2
−
r
p
)
−
b
2
p
q
+
b
1
p
2
]
[
−
b
3
r
2
+
b
1
p
r
−
b
0
p
q
]
+
[
b
3
q
r
−
b
2
p
r
−
b
0
p
2
]
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Res} (P,Q)&=p^{m-1}\operatorname {Res} (P,\alpha X+\beta )\\&=p^{m-1}(-1)^{2\times 1}\operatorname {Res} (\alpha X+\beta ,P)\\&=p^{m-1}\left(r\alpha ^{2}-q\alpha \beta +p\beta ^{2}\right)\\&=p^{m-1}\alpha (r\alpha -q\beta )+p^{m}\beta ^{2}\\&=p^{m-4}\left([b_{3}(q^{2}-rp)-b_{2}pq+b_{1}p^{2}][-b_{3}r^{2}+b_{1}pr-b_{0}pq]+[b_{3}qr-b_{2}pr-b_{0}p^{2}]^{2}\right)\\\end{aligned}}}
et l'on trouve bien, en développant, l'expression calculée dans l'exemple précédent ;
si
α
=
0
{\displaystyle \alpha =0}
et
β
≠
0
{\displaystyle \beta \neq 0}
,
Res
(
P
,
Q
)
=
p
m
−
0
Res
(
P
,
β
)
=
p
m
(
−
1
)
2
×
0
Res
(
β
,
P
)
=
p
m
β
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Res} (P,Q)&=p^{m-0}\operatorname {Res} (P,\beta )\\&=p^{m}(-1)^{2\times 0}\operatorname {Res} (\beta ,P)\\&=p^{m}\beta ^{2}\end{aligned}}}
or l'expression calculée dans l'exemple précédent est, on l'a vu, égale à
p
m
−
1
(
r
α
2
−
q
α
β
+
p
β
2
)
{\displaystyle p^{m-1}\left(r\alpha ^{2}-q\alpha \beta +p\beta ^{2}\right)}
, donc ici à
p
m
β
2
{\displaystyle p^{m}\beta ^{2}}
;
si
α
=
β
=
0
{\displaystyle \alpha =\beta =0}
,
P
∣
Q
{\displaystyle P\mid Q}
donc
Res
(
P
,
Q
)
=
0
{\displaystyle \operatorname {Res} (P,Q)=0}
, or l'expression calculée dans l'exemple précédent est égale à
p
m
−
1
(
r
α
2
−
q
α
β
+
p
β
2
)
{\displaystyle p^{m-1}\left(r\alpha ^{2}-q\alpha \beta +p\beta ^{2}\right)}
, donc ici à
0
{\displaystyle 0}
.
Fin de l'exemple