Résultant/Exercices/Résultant

Exercice 1-1

Soit $P(X)=aX^{4}+bX^{3}+cX^{2}+dX+e$.

1. À l'aide de l'exercice 2-8 de la leçon sur l'équation du troisième degré, exprimer $P(X)P(Y)P(Z)$ en fonction des 5 coefficients de $P$ et des trois polynômes symétriques élémentaires en $X,Y,Z$.
2. Pour $Q(X)=pX^{3}+qX^{2}+rX+s=p(X-y_{1})(X-y_{2})(X-y_{3})$ avec $p\neq 0$, en déduire l'expression de $P(y_{1})P(y_{2})P(y_{3})$ en fonction des 9 coefficients de $P$ et $Q$.
3. En déduire l'expression de $\operatorname {Res} (Q,P)$ en fonction de ces 9 coefficients et du degré $n$ de $P$ ($0\leq n\leq 4$).
4. Dans le cas $a=b=0$ et $c\neq 0$, comparer avec l'exemple vu cours.

Solution de la question 1

${\begin{aligned}P(X)P(Y)P(Z)&=a^{3}\sigma _{3}^{4}+b^{3}\sigma _{3}^{3}+c^{3}\sigma _{3}^{2}+d^{3}\sigma _{3}+e^{3}\\&\;+a^{2}b\sigma _{3}^{3}\sigma _{2}+ab^{2}\sigma _{3}^{3}\sigma _{1}+a^{2}c\sigma _{3}^{2}S_{2,2,0}+ac^{2}\sigma _{3}^{2}p_{2}\\&\;+a^{2}d\sigma _{3}S_{3,3,0}+ad^{2}\sigma _{3}p_{3}+a^{2}eS_{4,4,0}+ae^{2}p_{4}\\&\;+b^{2}c\sigma _{3}^{2}\sigma _{2}+bc^{2}\sigma _{3}^{2}\sigma _{1}+b^{2}d\sigma _{3}S_{2,2,0}+bd^{2}\sigma _{3}p_{2}\\&\;+b^{2}eS_{3,3,0}+be^{2}p_{3}+c^{2}d\sigma _{3}\sigma _{2}+cd^{2}\sigma _{3}\sigma _{1}\\&\;+c^{2}eS_{2,2,0}+ce^{2}p_{2}+d^{2}e\sigma _{2}+de^{2}\sigma _{1}\\&\;+abc\sigma _{3}^{2}S_{2,1,0}+abd\sigma _{3}S_{3,2,0}+abeS_{4,3,0}\\&\;+acd\sigma _{3}S_{3,1,0}+aceS_{4,2,0}\\&\;+adeS_{4,1,0}+bcd\sigma _{3}S_{2,1,0}+bceS_{3,2,0}\\&\;+bdeS_{3,1,0}+cdeS_{2,1,0}\\&\\&=a^{3}\sigma _{3}^{4}+b^{3}\sigma _{3}^{3}+c^{3}\sigma _{3}^{2}+d^{3}\sigma _{3}+e^{3}\\&\;+a^{2}b\sigma _{3}^{3}\sigma _{2}+ab^{2}\sigma _{3}^{3}\sigma _{1}+a^{2}c\sigma _{3}^{2}(\sigma _{2}^{2}-2\sigma _{3}\sigma _{1})+ac^{2}\sigma _{3}^{2}(\sigma _{1}^{2}-2\sigma _{2})\\&\;+a^{2}d\sigma _{3}(\sigma _{2}^{3}-3\sigma _{3}\sigma _{1}\sigma _{2}+3\sigma _{3}^{2})+ad^{2}\sigma _{3}(\sigma _{1}^{3}-3\sigma _{1}\sigma _{2}+3\sigma _{3})+a^{2}e(\sigma _{2}^{4}-4\sigma _{3}\sigma _{1}\sigma _{2}^{2}+2\sigma _{3}^{2}\sigma _{1}^{2}+4\sigma _{3}^{2}\sigma _{2})+ae^{2}(\sigma _{1}^{4}-4\sigma _{1}^{2}\sigma _{2}+4\sigma _{3}\sigma _{1}+2\sigma _{2}^{2})\\&\;+b^{2}c\sigma _{3}^{2}\sigma _{2}+bc^{2}\sigma _{3}^{2}\sigma _{1}+b^{2}d\sigma _{3}(\sigma _{2}^{2}-2\sigma _{3}\sigma _{1})+bd^{2}\sigma _{3}(\sigma _{1}^{2}-2\sigma _{2})\\&\;+b^{2}e(\sigma _{2}^{3}-3\sigma _{3}\sigma _{1}\sigma _{2}+3\sigma _{3}^{2})+be^{2}(\sigma _{1}^{3}-3\sigma _{1}\sigma _{2}+3\sigma _{3})+c^{2}d\sigma _{3}\sigma _{2}+cd^{2}\sigma _{3}\sigma _{1}\\&\;+c^{2}e(\sigma _{2}^{2}-2\sigma _{3}\sigma _{1})+ce^{2}(\sigma _{1}^{2}-2\sigma _{2})+d^{2}e\sigma _{2}+de^{2}\sigma _{1}\\&\;+abc\sigma _{3}^{2}(\sigma _{1}\sigma _{2}-3\sigma _{3})+abd\sigma _{3}(\sigma _{1}\sigma _{2}^{2}-2\sigma _{3}\sigma _{1}^{2}-\sigma _{3}\sigma _{2})+abe(\sigma _{1}\sigma _{2}^{3}-3\sigma _{3}\sigma _{1}^{2}\sigma _{2}-\sigma _{3}\sigma _{2}^{2}+5\sigma _{3}^{2}\sigma _{1})\\&\;+acd\sigma _{3}(\sigma _{1}^{2}\sigma _{2}-2\sigma _{2}^{2}-\sigma _{3}\sigma _{1})+ace(\sigma _{1}^{2}\sigma _{2}^{2}-2\sigma _{3}\sigma _{1}^{3}+4\sigma _{3}\sigma _{1}\sigma _{2}-3\sigma _{3}^{2}-2\sigma _{2}^{3})\\&\;+ade(\sigma _{1}^{3}\sigma _{2}-3\sigma _{1}\sigma _{2}^{2}-\sigma _{3}\sigma _{1}^{2}+5\sigma _{3}\sigma _{2})+bcd\sigma _{3}(\sigma _{1}\sigma _{2}-3\sigma _{3})+bce(\sigma _{1}\sigma _{2}^{2}-2\sigma _{3}\sigma _{1}^{2}-\sigma _{3}\sigma _{2})\\&\;+bde(\sigma _{1}^{2}\sigma _{2}-2\sigma _{2}^{2}-\sigma _{3}\sigma _{1})+cde(\sigma _{1}\sigma _{2}-3\sigma _{3}).\end{aligned}}$

 

Solution de la question 2

En remplaçant $\sigma _{1}$ par $-{\frac {q}{p}}$, $\sigma _{2}$ par ${\frac {r}{p}}$ et $\sigma _{3}$ par $-{\frac {s}{p}}$, on obtient :

${\begin{aligned}p^{4}P(y_{1})P(y_{2})P(y_{3})&=a^{3}s^{4}-b^{3}s^{3}p+c^{3}s^{2}p^{2}-d^{3}sp^{3}+e^{3}p^{4}\\&\;-a^{2}bs^{3}r+ab^{2}s^{3}q+a^{2}cs^{2}(r^{2}-2sq)+ac^{2}s^{2}(q^{2}-2rp)\\&\;-a^{2}ds(r^{3}-3sqr+3s^{2}p)-ad^{2}s(-q^{3}+3qrp-3sp^{2})+a^{2}e(r^{4}-4sqr^{2}+2s^{2}q^{2}+4s^{2}rp)+ae^{2}(q^{4}-4q^{2}rp+4sqp^{2}+2r^{2}p^{2})\\&\;+b^{2}cs^{2}rp-bc^{2}s^{2}qp-b^{2}dsp(r^{2}-2sq)-bd^{2}sp(q^{2}-2rp)\\&\;+b^{2}ep(r^{3}-3sqr+3s^{2}p)+be^{2}p(-q^{3}+3qrp-3sp^{2})-c^{2}dsrp^{2}+cd^{2}sqp^{2}\\&\;+c^{2}ep^{2}(r^{2}-2sq)+ce^{2}p^{2}(q^{2}-2rp)+d^{2}erp^{3}-de^{2}qp^{3}\\&\;+abcs^{2}(-qr+3sp)-abds(-qr^{2}+2sq^{2}+srp)+abe(-qr^{3}+3sq^{2}r+sr^{2}p-5s^{2}qp)\\&\;-acds(q^{2}r-2r^{2}p-sqp)+ace(q^{2}r^{2}-2sq^{3}+4sqrp-3s^{2}p^{2}-2r^{3}p)\\&\;+ade(-q^{3}r+3qr^{2}p+sq^{2}p-5srp^{2})-bcdsp(-qr+3sp)+bcep(-qr^{2}+2sq^{2}+srp)\\&\;+bdep(q^{2}r-2r^{2}p-sqp)+cdep^{2}(-qr+3sp)\\&\\&=a^{3}s^{4}+a^{2}\left[-bs^{3}r+cs^{2}(r^{2}-2sq)-ds(r^{3}-3sqr+3s^{2}p)+e(r^{4}-4sqr^{2}+2s^{2}q^{2}+4s^{2}rp)\right]\\&\;+a\left[b^{2}s^{3}q+c^{2}s^{2}(q^{2}-2rp)-d^{2}s(-q^{3}+3qrp-3sp^{2})+e^{2}(q^{4}-4q^{2}rp+4sqp^{2}+2r^{2}p^{2})+bcs^{2}(-qr+3sp)-bds(-qr^{2}+2sq^{2}+srp)\right.\\&\qquad \left.+be(-qr^{3}+3sq^{2}r+sr^{2}p-5s^{2}qp)-cds(q^{2}r-2r^{2}p-sqp)+ce(q^{2}r^{2}-2sq^{3}+4sqrp-3s^{2}p^{2}-2r^{3}p)+de(-q^{3}r+3qr^{2}p+sq^{2}p-5srp^{2})\right]\\&\;-b^{3}ps^{3}+b^{2}p\left[cs^{2}r-ds(r^{2}-2sq)+e(r^{3}-3sqr+3s^{2}p)\right]\\&\;+bp\left[-c^{2}s^{2}q-d^{2}s(q^{2}-2rp)+e^{2}(-q^{3}+3qrp-3sp^{2})-cds(-qr+3sp)+ce(-qr^{2}+2sq^{2}+srp)+de(q^{2}r-2r^{2}p-sqp)\right]\\&\;+cp^{2}\left[c^{2}s^{2}-cdsr+d^{2}sq+ce(r^{2}-2sq)+e^{2}(q^{2}-2rp)+de(-qr+3sp)\right]\\&\;+dp^{3}\left[-d^{2}s+der-e^{2}q\right]+e^{3}p^{4}.\end{aligned}}$

 

Solution de la question 3

${\begin{aligned}\operatorname {Res} (Q,P)&=p^{n}P(y_{1})P(y_{2})P(y_{3})\\&=a^{3}p^{n-4}s^{4}+a^{2}p^{n-4}\left[-bs^{3}r+cs^{2}(r^{2}-2sq)-ds(r^{3}-3sqr+3s^{2}p)+e(r^{4}-4sqr^{2}+2s^{2}q^{2}+4s^{2}rp)\right]\\&\;+ap^{n-4}\left[b^{2}s^{3}q+c^{2}s^{2}(q^{2}-2rp)-d^{2}s(-q^{3}+3qrp-3sp^{2})+e^{2}(q^{4}-4q^{2}rp+4sqp^{2}+2r^{2}p^{2})+bcs^{2}(-qr+3sp)-bds(-qr^{2}+2sq^{2}+srp)\right.\\&\qquad \left.+be(-qr^{3}+3sq^{2}r+sr^{2}p-5s^{2}qp)-cds(q^{2}r-2r^{2}p-sqp)+ce(q^{2}r^{2}-2sq^{3}+4sqrp-3s^{2}p^{2}-2r^{3}p)+de(-q^{3}r+3qr^{2}p+sq^{2}p-5srp^{2})\right]\\&\;-b^{3}p^{n-3}s^{3}+b^{2}p^{n-3}\left[cs^{2}r-ds(r^{2}-2sq)+e(r^{3}-3sqr+3s^{2}p)\right]\\&\;+bp^{n-3}\left[-c^{2}s^{2}q-d^{2}s(q^{2}-2rp)+e^{2}(-q^{3}+3qrp-3sp^{2})-cds(-qr+3sp)+ce(-qr^{2}+2sq^{2}+srp)+de(q^{2}r-2r^{2}p-sqp)\right]\\&\;+cp^{n-2}\left[c^{2}s^{2}-cdsr+d^{2}sq+ce(r^{2}-2sq)+e^{2}(q^{2}-2rp)+de(-qr+3sp)\right]\\&\;+dp^{n-1}\left[-d^{2}s+der-e^{2}q\right]+e^{3}p^{n}.\end{aligned}}$

Pour $n=4$, on trouve le même résultat que dans l'exercice 3-1.

 

Solution de la question 4

Si $p,c\neq 0$, on a :

• d'après le calcul ci-dessus :

  ${\begin{aligned}\operatorname {Res} (pX^{3}+qX^{2}+rX+s,cX^{2}+dX+e)&=c\left[c^{2}s^{2}-cdsr+d^{2}sq+ce(r^{2}-2sq)+e^{2}(q^{2}-2rp)+de(-qr+3sp)\right]\\&\;+dp\left[-d^{2}s+der-e^{2}q\right]+e^{3}p^{2}~;\end{aligned}}$

• d'après le cours (en adaptant les notations) :

  ${\begin{aligned}\operatorname {Res} (pX^{3}+qX^{2}+rX+s,cX^{2}+dX+e)&=p\left[pe^{3}-qe^{2}d+r(ed^{2}-2e^{2}c)+s(3edc-d^{3})\right]\\&\;+qc\left[qe^{2}-red+s(d^{2}-2ec)\right]+rc^{2}\left[re-sd\right]+c^{3}s^{2}.\end{aligned}}$

On trouve le même résultat.

 

Exercice 1-2

1°) Soient des polynômes non nuls :

• $P$ de degré $n$ et de coefficient dominant $a$ ;
• $R$ de degré $m'$ ;
• $Q=bX^{m}+R$ avec $b\neq 0$ et $m>m'$.

Montrer que

$\operatorname {Res} (P,Q)=bx+a^{m-m'}\operatorname {Res} (P,R)$

pour un certain $x$, polynomial (à coefficients entiers) en les coefficients de $P$ et $Q$.

Solution

Soient $x_{1},\dots ,x_{n}$ les racines de $P$ et $a_{0},\dots ,a_{n}=a,b_{0},\dots ,b_{m}=b$ les coefficients de $P$ et $Q$. On a :

$\operatorname {Res} (P,Q)=a^{m}\prod _{i=1}^{n}(bx_{i}^{m}+R(x_{i}))$ et $a^{m-m'}\operatorname {Res} (P,R)=a^{m}\prod _{i=1}^{n}R(x_{i})$,

et (en développant le premier produit) la différence est (par le même raisonnement que dans le corollaire 1 du chapitre 1) de la forme $ba^{m}T\left(-{\frac {a_{n-1}}{a}},{\frac {-a_{n-2}}{a}},\dots ,{\frac {(-1)^{n}a_{0}}{a}}\right)$, où $T$ est à coefficients dans $\mathbb {Z} [b_{0},\dots ,b_{m-1},b_{m}]$ ; de plus, $T$ est de degré total inférieur ou égal à $m$ donc le facteur $a^{m}$ vient compenser les puissances de $a$ qui apparaissent aux dénominateurs quand on développe cette expression. Par conséquent,

$\operatorname {Res} (P,Q)-a^{m-m'}\operatorname {Res} (P,R)=bx$

avec

$x=a^{m}T\left(-{\frac {a_{n-1}}{a}},{\frac {-a_{n-2}}{a}},\dots ,{\frac {(-1)^{n}a_{0}}{a}}\right)\in \mathbb {Z} [b_{0},\dots ,b_{m-1},b_{m},a_{0},\dots ,a_{n}]$.

 

2°) Soient deux polynômes non nuls :

• $P(X)=aX^{4}+bX^{3}+cX^{2}+dX+e$, de degré $n$ ($\leq 4$)
• $Q(X)=pX^{3}+qX^{2}+rX+s$, de degré $m$ ($\leq 3$)

Grâce à la question précédente, déduire de exercice 1-1, pour les diverses valeurs du couple $(m,n)$, l'expression de $\operatorname {Res} (Q,P)$ en fonction des coefficients de $P$ et $Q$.

Solution

Si $n=4$, notons $aA(p,q,\dots )+pB(p,q,\dots )$ (où $A,B$ sont des polynômes en les coefficients de $P$ et $Q$) l'expression, obtenue dans l'exercice 1-1, égale à $\operatorname {Res} (P,Q)$ pour $m=3$.

Si maintenant $m=2$ ($Q=qX^{2}+rX+s$), on déduit de la question précédente :

${\begin{aligned}\operatorname {Res} (P,Q)&=A(0,q,\dots )\\&=a^{2}s^{4}+a\left[-bs^{3}r+cs^{2}(r^{2}-2sq)-ds(r^{3}-3sqr)+e(r^{4}-4sqr^{2}+2s^{2}q^{2})\right]\\&\;+q\left[b^{2}s^{3}+c^{2}s^{2}q+d^{2}sq^{2}+e^{2}q^{3}-bcs^{2}r+bds(r^{2}-2sq)+be(-r^{3}+3sqr)-cdsqr+ce(qr^{2}-2sq^{2})-deq^{2}r)\right],\end{aligned}}$

qui se décompose à son tour naturellement sous la forme $aC(q,r,\dots )+qD(q,r,\dots )$, etc. Dans chaque cas $n=3,2,1,0$, on trouve ainsi $\operatorname {Res} (P,Q)$ pour les valeurs décroissantes de $m$, par « troncatures » successives à partir du cas $m=3$ fourni dans l'exercice 1-1. Mais le cas $n=3$ est entièrement traité par l'exercice 1-1, par interversion des deux polynômes (avec changement de signe du résultant si les deux degrés sont impairs) et les cas $m$ ou $n$ égal à $0$ ou $1$ sont bien connus. Il ne reste donc plus qu'à traiter le cas $m=n=2$.

Si $n=2$ ($P=cX^{2}+dX+e$) et $m\leq 3$, on retrouve les résultats de l'exercice 2-2 de la leçon sur les équations de degré 3 :

• si $m=3$, d'après l'exercice 1-1 ci-dessus :

  ${\begin{aligned}\operatorname {Res} (P,Q)&=c\left[c^{2}s^{2}-cdsr+d^{2}sq+ce(r^{2}-2sq)+e^{2}(q^{2}-2rp)+de(-qr+3sp)\right]\\&\;+dp\left[-d^{2}s+der-e^{2}q\right]+e^{3}p^{2}\end{aligned}}$

• donc si $m=2$ ($Q=qX^{2}+rX+s$) :

  ${\begin{aligned}\operatorname {Res} (P,Q)&=c^{2}s^{2}-cdsr+d^{2}sq+ce(r^{2}-2sq)+e^{2}q^{2}-deqr.\end{aligned}}$

Cette expression est bien symétrique en $P$ et $Q$, et s'écrit aussi, par exemple : $(eq-cs)^{2}+{\frac {d}{c}}(eq-cs)(cr-dq)+{\frac {e}{c}}(cr-dq)^{2}$.