Leçons de niveau 14

Produit vectoriel/Avancé

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Chapitre no 1
Leçon : Produit vectoriel
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Produit vectoriel/Avancé
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Orientation de l'espace[modifier | modifier le wikicode]

Orientation des bases[modifier | modifier le wikicode]


Cette « définition » est courante en physique mais n'a aucun sens mathématique. Il faut lui substituer la suivante :


Un tel choix revient à décider, pour une base particulière, si elle est directe ou indirecte. Lorsque l'espace possède une base canonique, l'« orientation canonique » est celle pour laquelle cette base est directe.

Exemples[modifier | modifier le wikicode]




  

Dans un repère orthonormé direct , donner les triplets qui forment une base directe.

Base directeBase indirecte


Produit vectoriel[modifier | modifier le wikicode]

Définition géométrique[modifier | modifier le wikicode]



Exemples[modifier | modifier le wikicode]




  

Dans un repère orthonormé direct , calculer avec cette définition :

Animation[modifier | modifier le wikicode]

Plus l'angle entre les deux vecteurs de départ est proche d'un angle droit, plus la norme du produit vectoriel est grande. Plus cet angle est petit, ou proche de 180°, plus le produit vectoriel est proche de zéro.

Cross product animation.gif

Premières propriétés[modifier | modifier le wikicode]




Caractérisation algébrique[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème


Fin du théorème
Remarque
Le nombre , appelé le produit mixte de , est indépendant du choix de la base orthonormée directe .

On déduit immédiatement du théorème :


La bilinéarité inclut aussi les propriétés et mais nous sommes dispensés de les énoncer dans le corollaire, puisqu'elles se déduisent de celui-ci et de l'antisymétrie.

Calcul pratique avec les coordonnées[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème


Fin du théorème

Méthode[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un principe


Fin du principe


Exemples[modifier | modifier le wikicode]

Les coordonnées sont données dans une base orthonormée directe. Calculez les produits vectoriels suivants.

Panneau d’avertissement Dans votre réponse, les éventuelles fractions doivent être entrées totalement simplifiées et présentées sous la forme a/b et le signe moins qui précède éventuellement les nombres ne doit pas en être séparé par une espace.







  

1

ux=

uy=

uz=

2

ux=

uy=

uz=

3

ux=

uy=

uz=

4

Calculer le résultat en fonction de R :

ux=

R +

uy=

R +

uz=

R +