Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)/Fonctions implicites

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Dans ce chapitre nous nous limitons aux fonctions implicites les plus couramment utilisées en physique à savoir des fonctions implicites entre variables réelles.

Définition d'une fonction implicite

Fonction implicite entre deux variables réelles

Définition d'une fonction implicite entre deux variables réelles

     Considérant «$\;\left(x\,,\,y\right)\in \mathbb {R} ^{2}\;$ un couple a priori quelconque de variables indépendantes » et
     Considérant «$\;f\;$ est une fonction de $\;\mathbb {R} ^{2}\;$ dans $\;\mathbb {R} \;$» définie par «$\;\forall \;\left(x\,,\,y\right)\in \mathbb {R} ^{2}\;:\;\left(x\,,\,y\right)\;{\overset {f}{\rightarrow }}\;f\left(x\,,\,y\right)\;\in \mathbb {R} \;$»,
     l'équation $\;f\left(x\,,\,y\right)=0\;$ définit une fonction implicite entre les variables $\;x\;$ et $\;y\;$ si on peut exprimer une des variables $\;x$ $\;{\big (}$ou $\;y{\big )}\;$ en fonction de l'autre $\;y$ $\;{\big (}$ou $\;x{\big )}\;$ pour tous les couples $\;\left(x\,,\,y\right)\;$ vérifiant l'équation soit mathématiquement
     «$\;f\left(x\,,\,y\right)=0\;$ définit une fonction implicite entre $\;x\;$ et $\;y\;$» « si $\;\exists \;\psi \;:\;\mathbb {R} \mapsto \mathbb {R} \;$ telle que $\;f\left(x\,,\,y\right)=0\;$ $\Leftrightarrow$ $\;y=\psi (x)\;$»
«$\;\color {transparent}{f\left(x\,,\,y\right)=0}\;$ définit une fonction implicite entre $\;\color {transparent}{x}\;$ et $\;\color {transparent}{y}\;$» ou « si $\;\exists \;\varphi \;:\;\mathbb {R} \mapsto \mathbb {R} \;$ telle que $\;f\left(x\,,\,y\right)=0\;$ $\Leftrightarrow$ $\;x=\varphi (y)\;$»,
«$\;\color {transparent}{f\left(x\,,\,y\right)=0}\;$ définit une fonction implicite entre $\;\color {transparent}{x}\;$ et $\;\color {transparent}{y}\;$» et ceci pour tous les couples $\;\left(x\,,\,y\right)\;$ vérifiant l'équation $\;f\left(x\,,\,y\right)=0$.

     Remarques : La fonction «$\;\psi \;:\;x\;{\overset {\psi }{\rightarrow }}\;y\;$» ou celle «$\;\varphi \;:\;y\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x\;$» définie pour tous les couples $\;\left(x\,,\,y\right)\;$ vérifiant l'équation $\;f\left(x\,,\,y\right)=0\;$ est appelée « fonction implicite » $\;{\big \{}f\left(x\,,\,y\right)=0\;$ étant, quant à elle, appelée « équation implicite » ${\big )}$ ;
     Remarques : «$\;y=\psi (x)\;$» ou «$\;x=\varphi (y)\;$» est l'équation du graphe de la fonction implicite «$\;\psi \;$ ou $\;\varphi \;$» $\;{\big \{}$mais, en général, il n'est pas nécessaire d'expliciter les fonctions «$\;\psi \;$ ou $\;\varphi \;$» pour représenter le graphe de la fonction implicite, lequel est une courbe en général continue ${\big \}}$.

Fonction implicite entre trois variables réelles ou plus

Définition d'une fonction implicite entre trois variables réelles

     Considérant «$\;\left(x\,,\,y\,,\,z\right)\in \mathbb {R} ^{3}\;$ un triplet a priori quelconque de variables indépendantes » et
     Considérant «$\;f\;$ est une fonction de $\;\mathbb {R} ^{3}\;$ dans $\;\mathbb {R} \;$» définie par «$\;\forall \;\left(x\,,\,y\,,\,z\right)\in \mathbb {R} ^{3}\;:\;\left(x\,,\,y\,,\,z\right)\;{\overset {f}{\rightarrow }}\;f\left(x\,,\,y\,,\,z\right)\;\in \mathbb {R} \;$»,
     l'équation $\;f\left(x\,,\,y\,,\,z\right)=0\;$ définit une fonction implicite entre les variables $\;x$, $\;y\;$ et $\;z\;$ si on peut exprimer une des variables $\;x$ $\;{\big [}$ou $\;y\;$ ou $\;z{\big ]}\;$ en fonction des deux autres $\;\left(y\,,\,z\right)$ $\;{\big [}$ou $\;\left(x\,,\,z\right)\;$ ou $\;\left(x\,,\,y\right){\big ]}\;$ pour tous les triplets $\;\left(x\,,\,y\,,\,z\right)\;$ vérifiant l'équation soit encore
     $\;f\left(x\,,\,y\,,\,z\right)=0\;$ définit une fonction implicite entre $\;x$, $\;y\;$ et $\;z\;$ « si $\;\exists \;\psi \;:\;\mathbb {R} ^{2}\mapsto \mathbb {R} \;$ telle que $\;f\left(x\,,\,y\,,\,z\right)=0\;$ $\Leftrightarrow$ $\;y=\psi (x\,,\,z)\;$»
$\;\color {transparent}{f\left(x\,,\,y\,,\,z\right)=0}\;$ définit une fonction implicite entre $\;\color {transparent}{x}$, $\;\color {transparent}{y}\;$ et $\;\color {transparent}{z}\;$ ou « si $\;\exists \;\varphi \,:\,\mathbb {R} ^{2}\mapsto \mathbb {R} \;$ telle que $\;f\left(x\,,\,y\,,\,z\right)=0\;$ $\Leftrightarrow$ $\;x=\varphi (y\,,\,z)\;$»,
$\;\color {transparent}{f\left(x\,,\,y\,,\,z\right)=0}\;$ définit une fonction implicite entre $\;\color {transparent}{x}$, $\;\color {transparent}{y}\;$ et $\;\color {transparent}{z}\;$ ou « si $\;\exists \;\zeta \;:\;\mathbb {R} ^{2}\mapsto \mathbb {R} \;$ telle que $\;f\left(x\,,\,y\,,\,z\right)=0\;$ $\Leftrightarrow$ $\;z=\zeta \,(x\,,\,y)\;$»
$\;\color {transparent}{f\left(x\,,\,y\,,\,z\right)=0}\;$ définit une fonction implicite entre $\;\color {transparent}{x}$, $\;\color {transparent}{y}\;$ et $\;\color {transparent}{z}\;$ et ceci pour tous les triplets $\;\left(x\,,\,y\,,\,z\right)\;$ vérifiant $\;f\left(x\,,\,y\,,\,z\right)=0$.

     Remarques 1 : La fonction «$\;\psi \;:\;(x\,,\,z)\;{\overset {\psi }{\rightarrow }}\;y\;$» ou celle «$\;\varphi \;:\;(y\,,\,z)\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x\;$» ou encore celle «$\;\zeta \;:\;(x\,,\,y)\;{\overset {\zeta }{\rightarrow }}\;z\;$» définie pour tous les triplets $\;\left(x\,,\,y\,,\,z\right)\;$ vérifiant l'équation $\;f\left(x\,,\,y\,,\,z\right)=0\;$ est appelée « fonction implicite » $\;{\big \{}f\left(x\,,\,y\,,\,z\right)=0\;$ étant, quant à elle, appelée « équation implicite » ${\big )}$ ;
     Remarques 1 : «$\;y=\psi (x,\,z)\;$» ou «$\;x=\varphi (y,\,z)\;$» ou «$\;z=\zeta \,(x,\,y)\;$» est l'équation du graphe de la fonction implicite «$\;\psi \;$ ou $\;\varphi \;$ ou $\;\zeta \;$» $\;{\big \{}$mais, en général, il n'est pas nécessaire d'expliciter les fonctions «$\;\psi \;$ ou $\;\varphi \;$ ou $\;\zeta \;$» pour représenter le graphe de la fonction implicite, lequel est une surface en général continue ${\big \}}$.

     Remarques 2 : La définition d'une fonction implicite entre quatre variables réelles $\;{\big (}$ou plus${\big )}\;$ se déduit aisément de celle exposée ci-dessus entre trois variables réelles,
                 Remarques 2 : La définition d'une fonction implicite entre quatre variables réelles elle est simplement évoquée ci-après :
     Remarques 2 : considérant «$\;\left(x\,,\,y\,,\,z\,,\,t\right)\in \mathbb {R} ^{4}\;$ un quadruplet a priori quelconque de variables indépendantes » et
     Remarques 2 : considérant «$\;f\;$ est une fonction de $\;\mathbb {R} ^{4}\;$ dans $\;\mathbb {R} \;$» définie par «$\;\forall \;\left(x\,,\,y\,,\,z\,,\,t\right)\in \mathbb {R} ^{4}\;:\;\left(x\,,\,y\,,\,z\,,\,t\right)\;{\overset {f}{\rightarrow }}\;f\left(x\,,\,y\,,\,z\,,\,t\right)\;\in \mathbb {R} \;$»,
     Remarques 2 : l'équation $\;f\left(x\,,\,y\,,\,z\,,\,t\right)=0\;$ définit une fonction implicite entre les variables $\;x$, $\;y$, $\;z\;$ et $\;t\;$ si on peut exprimer une des variables $\;x$ $\;{\big [}$ou $\;y\;$ ou $\;z\;$ ou $\;t{\big ]}\;$ en fonction des trois autres $\;\left(y\,,\,z\,,\,t\right)$ $\;{\big [}$ou $\;\left(x\,,\,z\,,\,t\right)\;$ ou $\;\left(x\,,\,y\,,\,t\right)\;$ ou $\;\left(x\,,\,y\,,\,z\right){\big ]}\;$ pour tous les quadruplets $\;\left(x\,,\,y\,,\,z\,,\,t\right)\;$ vérifiant l'équation soit, par exemple,
     Remarques 2 : considérant «$\;f\left(x\,,\,y\,,\,z\,,\,t\right)=0\;$ définit une fonction implicite entre $\;x$, $\;y$, $\;z\;$ et $\;t\;$» « si $\;\exists \;\psi \;:\;\mathbb {R} ^{3}\mapsto \mathbb {R} \;$ telle que $\;f\left(x\,,\,y\,,\,z\,,\,t\right)=0\;$ $\Leftrightarrow$ $\;y=\psi (x\,,\,z\,,\,t)\;$» ou $\;\ldots$

Exemples de fonctions implicites

Exemples de fonctions implicites entre deux variables réelles

     L'équation implicite «$\;x^{2}+y^{2}-1=0\;$» définit une fonction implicite «$\;\psi \;:\;x\in \left[-1\,,\,+1\right]\;{\overset {\psi }{\rightarrow }}\;y=\psi (x)=\pm {\sqrt {1-x^{2}}}\;$» ou
     L'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-1=0}\;$» définit une fonction implicite «$\;\varphi \;:\;y\in \left[-1\,,\,+1\right]\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x=\varphi (y)=\pm {\sqrt {1-y^{2}}}\;$»
     L'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-1=0}\;$» définit une fonction implicite toutes deux étant l'équation du cercle trigonométrique .

     L'équation implicite «$\;{\dfrac {x^{2}}{a'^{2}}}+{\dfrac {y^{2}}{b'^{2}}}-1=0\;$» définit une fonction implicite «$\;\psi \;:\;x\in \left[-a'\,,\,+a'\right]\;{\overset {\psi }{\rightarrow }}\;y=\psi (x)=\pm \,b'\;{\sqrt {1-{\dfrac {x^{2}}{a'^{2}}}}}\;$» ou
         L'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-1=0}\;$» définit une fonction implicite «$\;\varphi \;:\;y\in \left[-b'\,,\,+b'\right]\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x=\varphi (y)=\pm \,a'\;{\sqrt {1-{\dfrac {y^{2}}{b'^{2}}}}}\;$»
         L'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-1=0}\;$» définit une fonction implicite toutes deux étant l'équation de l'ellipse de centre $\;O$, d'axes $\;x'x\;$ et $\;y'y$, dont $\,a'\;$ est le demi-grand axe $\;{\big (}$ou le demi-petit axe${\big )}\;$ et
         L'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-1=0}\;$» définit une fonction implicite toutes deux étant l'équation de l'ellipse de centre $\;\color {transparent}{O}$, d'axes $\;\color {transparent}{x'x}\;$ et $\;\color {transparent}{y'y}$, dont $\,b'\;$ le demi-petit axe $\;{\big (}$ou le demi-grand axe${\big )}\;$ .

     L'équation implicite «$\;{\dfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\dfrac {y^{2}}{b^{2}}}-1=0\;$» définit une fonction implicite «$\;\psi \;:\;x\in \left]-\infty \,,\,-a\right]\cup \left[+a\,,\,+\infty \right[\;{\overset {\psi }{\rightarrow }}\;y=\psi (x)=\pm \,b\;{\sqrt {{\dfrac {x^{2}}{a^{2}}}-1}}\;$» ou
         L'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}-y^{2}-1=0}\;$» définit une fonction implicite «$\;\varphi \;:\;y\in \left]-\infty \,,\,+\infty \right[\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x=\varphi (y)=\pm \,a\;{\sqrt {{\dfrac {y^{2}}{b^{2}}}+1}}\;$»
         L'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}-y^{2}-1=0}\;$» définit une fonction implicite toutes deux étant l'équation de l'hyperbole de centre $\;O$, d'axes focal $\;x'x\;$ et non focal $\;y'y$, dont $\;a\;$ est le demi-axe focal et
         L'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}-y^{2}-1=0}\;$» définit une fonction implicite toutes deux étant l'équation de l'hyperbole de centre $\;\color {transparent}{O}$, d'axes focal $\;\color {transparent}{x'x}\;$ et non focal $\;\color {transparent}{y'y}$, dont $\;b\;$ le demi-axe non focal .

Exemples de fonctions implicites entre trois variables réelles

     L'équation implicite «$\;{\dfrac {x^{2}}{a'^{2}}}+{\dfrac {y^{2}}{b'^{2}}}+{\dfrac {z^{2}}{c'^{2}}}-1=0\;$» définit une fonction implicite «$\;\psi \;:\;\left(x\,,\,z\right)\in \left[-a'\,,\,+a'\right]\times \left[-c'\,,\,+c'\right]\;{\overset {\psi }{\rightarrow }}\;y=\psi (x,\,z)=\pm \,b'\;{\sqrt {1-{\dfrac {x^{2}}{a'^{2}}}-{\dfrac {z^{2}}{c'^{2}}}}}\;$» ou
     L'équation implicite «$\;\color {transparent}{{\dfrac {x^{2}}{a'^{2}}}+{\dfrac {y^{2}}{b'^{2}}}+{\dfrac {z^{2}}{c'^{2}}}-1=0}\;$» définit une fonction implicite «$\;\varphi \;:\;\left(y\,,\,z\right)\in \left[-b'\,,\,+b'\right]\times \left[-c'\,,\,+c'\right]\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x=\varphi (y,\,z)=\pm \,a'\;{\sqrt {1-{\dfrac {y^{2}}{b'^{2}}}-{\dfrac {z^{2}}{c'^{2}}}}}\;$» ou
     L'équation implicite «$\;\color {transparent}{{\dfrac {x^{2}}{a'^{2}}}+{\dfrac {y^{2}}{b'^{2}}}+{\dfrac {z^{2}}{c'^{2}}}-1=0}\;$» définit une fonction implicite «$\;\zeta \;:\;\left(x\,,\,y\right)\in \left[-a'\,,\,+a'\right]\times \left[-b'\,,\,+b'\right]\;{\overset {\zeta }{\rightarrow }}\;z=\zeta \,(x,\,y)=\pm \,c'\;{\sqrt {1-{\dfrac {x^{2}}{a'^{2}}}-{\dfrac {y^{2}}{b'^{2}}}}}\;$»
            L'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0}\;$» définit une fonction implicite toutes trois étant l'équation de l'ellipsoïde triaxial de centre $\;O$, d'axes $\;x'x$, $\;y'y\;$ et $\;z'z$, avec $\;a'$, $\;b'\;$ et $\;c'\;$ les demi-axes
            L'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0}\;$» définit une fonction implicite toutes trois étant ${\big (}$les demi-axes étant des paramètres positifs, deux à deux différents quand l'ellipsoïde est triaxial${\big )}\;$ .

     L'équation implicite «$\;{\dfrac {x^{2}}{a'^{2}}}+{\dfrac {y^{2}}{b'^{2}}}-{\dfrac {z^{2}}{c'^{2}}}-1=0\;$» définit une fonction implicite «$\;\psi \;:\;\left(x\,,\,z\right)\in \mathbb {R} ^{2}\;{\overset {\psi }{\rightarrow }}\;y=\psi (x,\,z)=\pm \,b'\;{\sqrt {1-{\dfrac {x^{2}}{a'^{2}}}+{\dfrac {z^{2}}{c'^{2}}}}}\;$» ou
     L'équation implicite «$\;\color {transparent}{{\dfrac {x^{2}}{a'^{2}}}+{\dfrac {y^{2}}{b'^{2}}}-{\dfrac {z^{2}}{c'^{2}}}-1=0}\;$» définit une fonction implicite «$\;\varphi \;:\;\left(y\,,\,z\right)\in \mathbb {R} ^{2}\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x=\varphi (y,\,z)=\pm \,a'\;{\sqrt {1-{\dfrac {y^{2}}{b'^{2}}}+{\dfrac {z^{2}}{c'^{2}}}}}\;$» ou
     L'équation implicite «$\;\color {transparent}{{\dfrac {x^{2}}{a'^{2}}}+{\dfrac {y^{2}}{b'^{2}}}-{\dfrac {z^{2}}{c'^{2}}}-1=0}\;$» définit une fonction implicite «$\;\zeta \;:\;\left(x\,,\,y\right)\in \mathbb {R} ^{2}\;{\overset {\zeta }{\rightarrow }}\;z=\zeta \,(x,\,y)=\pm \,c'\;{\sqrt {{\dfrac {x^{2}}{a'^{2}}}+{\dfrac {y^{2}}{b'^{2}}}-1}}\;$»
            L'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-z^{2}-1=0}\;$» définit une fonction implicite toutes trois étant l'équation de l'hyperboloïde à une nappe de centre $\;O$, d'axes $\;x'x$, $\;y'y\;$ et $\;z'z$, avec
            L'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-z^{2}-1=0}\;$» définit une fonction implicite $a'$, $\;b'\;$ et $\;c'\;$ les demi-axes $\,{\big (}$paramètres positifs${\big )}$, le caractère connexe de l'hyperboloïde $\,{\big (}$présence d'une seule nappe${\big )}\,$
            L'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-z^{2}-1=0}\;$» définit une fonction implicite $\color {transparent}{a'}$, $\;\color {transparent}{b'}\;$ et $\;\color {transparent}{c'}\;$ les demi-axes $\,\color {transparent}{\big (}$paramètres positifs$\color {transparent}{\big )}$, étant assuré par le fait que $\;z\;$ peut prendre toute valeur réelle alors que
            L'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-z^{2}-1=0}\;$» définit une fonction implicite $\color {transparent}{a'}$, $\;\color {transparent}{b'}\;$ et $\;\color {transparent}{c'}\;$ les demi-axes $\,\color {transparent}{\big (}$paramètres positifs$\color {transparent}{\big )}$, $x\;$ et $\;y\;$ prennent des valeurs telles que $\;{\dfrac {x^{2}}{a'^{2}}}+{\dfrac {y^{2}}{b'^{2}}}\geqslant 1\;$ .

     L'équation implicite «$\;{\dfrac {x^{2}}{a'^{2}}}+{\dfrac {y^{2}}{b'^{2}}}-{\dfrac {z^{2}}{c'^{2}}}+1=0\;$» définit une fonction implicite «$\;\psi \;:\;\left(x\,,\,z\right)\in \mathbb {R} \times \left\lbrace \left]-\infty \,,\,-c'\right]\cup \left[+c'\,,\,+\infty \right[\right\rbrace \;{\overset {\psi }{\rightarrow }}\;y=\psi (x,\,z)=\pm \,b'\;{\sqrt {{\dfrac {z^{2}}{c'^{2}}}-{\dfrac {x^{2}}{a'^{2}}}-1}}\;$» ou
     L'équation implicite «$\;\color {transparent}{{\dfrac {x^{2}}{a'^{2}}}+{\dfrac {y^{2}}{b'^{2}}}-{\dfrac {z^{2}}{c'^{2}}}+1=0}\;$» définit une fonction implicite «$\;\varphi \;:\;\left(y\,,\,z\right)\in \mathbb {R} \times \left\lbrace \left]-\infty \,,\,-c'\right]\cup \left[+c'\,,\,+\infty \right[\right\rbrace \;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x=\varphi (y,\,z)=\pm \,a'\;{\sqrt {{\dfrac {z^{2}}{c'^{2}}}-{\dfrac {y^{2}}{b'^{2}}}-1}}\;$» ou
     L'équation implicite «$\;\color {transparent}{{\dfrac {x^{2}}{a'^{2}}}+{\dfrac {y^{2}}{b'^{2}}}-{\dfrac {z^{2}}{c'^{2}}}+1=0}\;$» définit une fonction implicite «$\;\zeta \;:\;\left(x\,,\,y\right)\in \mathbb {R} ^{2}\;{\overset {\zeta }{\rightarrow }}\;z=\zeta \,(x,\,y)=\pm \,c'\;{\sqrt {1+{\dfrac {x^{2}}{a'^{2}}}+{\dfrac {y^{2}}{b'^{2}}}}}\;$»
            L'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-z^{2}+1=0}\;$» définit une fonction implicite toutes trois étant l'équation de l'hyperboloïde à deux nappes de centre $\;O$, d'axes $\;x'x$, $\;y'y\;$ et $\;z'z$, avec
            L'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-z^{2}+1=0}\;$» définit une fonction implicite $a'$, $\;b'\;$ et $\;c'\;$ les demi-axes $\,{\big (}$paramètres positifs${\big )}$, le caractère non connexe de l'hyperboloïde $\,{\big (}$présence de deux nappes${\big )}$
            L'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-z^{2}+1=0}\;$» définit une fonction implicite $\color {transparent}{a'}$, $\;\color {transparent}{b'}\;$ et $\;\color {transparent}{c'}\;$ les demi-axes $\,\color {transparent}{\big (}$paramètres positifs$\color {transparent}{\big )}$, étant assuré par le fait que $\;x\;$ et $\;y\;$ peuvent prendre toute valeur réelle
            L'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-z^{2}+1=0}\;$» définit une fonction implicite $\color {transparent}{a'}$, $\;\color {transparent}{b'}\;$ et $\;\color {transparent}{c'}\;$ les demi-axes $\,\color {transparent}{\big (}$paramètres positifs$\color {transparent}{\big )}$, alors que $\;z\;$ prend des valeurs de la réunion de deux intervalles
            L'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-z^{2}+1=0}\;$» définit une fonction implicite $\color {transparent}{a'}$, $\;\color {transparent}{b'}\;$ et $\;\color {transparent}{c'}\;$ les demi-axes $\,\color {transparent}{\big (}$paramètres positifs$\color {transparent}{\big )}$, alors que $\;\color {transparent}{z}\;$ prend des valeurs de la réunion de deux disjoints .

Dérivée d'une fonction implicite

     Préliminaire : Dans ce paragraphe nous nous proposons d'exprimer la dérivée 1^ère $\,{\big (}$ou n'importe quelle des dérivées partielles 1^ères${\big )}\,$ d'une fonction implicite
      Préliminaire : Dans ce paragraphe nous nous proposons d'exprimer la dérivée 1^ère en utilisant les dérivées partielles du 1^er membre de l'équation implicite dont la fonction implicite est solution .

Dérivée première d'une fonction implicite entre deux variables réelles

Dérivée 1^ère d'une fonction implicite entre x et y

     Soit « l’équation implicite $\;f\left(x\,,\,y\right)=0\;$ des variables réelles $\;x\;$ et $\;y\;$ avec $\;f\;$ fonction continue et différentiable en $\;(x_{0}\,,\,y_{0})\;$» et
     Soit « la fonction implicite $\;\psi \;:\;x\;{\overset {\psi }{\rightarrow }}\;y\;$ solution de l'équation implicite » c.-à-d. telle que «$\;f\left(x\,,\,y\right)=0\;$ $\Leftrightarrow$ $\;y=\psi (x)\;$»,
     « la fonction implicite $\;\psi \;$ est, par suite, continue et différentiable en $\;x_{0}\;$»,
     « la valeur de sa dérivée 1^ère en $\;x_{0}\;$ peut se déterminer par «$\;\psi '(x_{0})=-{\dfrac {{f'}_{\!x}(x_{0},\,y_{0})}{{f'}_{\!y}(x_{0},\,y_{0})}}\;$» ou «$\;{\dfrac {d\psi }{dx}}(x_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y}(x_{0},\,y_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x}(x_{0},\,y_{0})}}\;$»
     « la valeur de sa dérivée 1^ère en $\;\color {transparent}{x_{0}}\;$ peut se déterminer si « la dérivée partielle 1^ère de $\;f\;$ par rapport à $\;y$ $\;{\big (}x\;$ étant figée${\big )}\;$
     « la valeur de sa dérivée 1^ère en $\;\color {transparent}{x_{0}}\;$ peut se déterminer si « la dérivée partielle 1^ère de $\;\color {transparent}{f}\;$ est telle que $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x}(x_{0},\,y_{0})\neq 0\;$».

     Démonstration : différenciant «$\;f\left(x\,,\,y\right)=0\;$ en $\;(x_{0}\,,\,y_{0})\;$» nous obtenons «$\;df(x_{0},\,y_{0})=0\;$ ou $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y}(x_{0},\,y_{0})\;dx+\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x}(x_{0},\,y_{0})\;dy=0\;$»
     Démonstration : différenciant «$\;\color {transparent}{f\left(x\,,\,y\right)=0}\;$ en $\;\color {transparent}{(x_{0}\,,\,y_{0})}\;$» nous obtenons dont nous déduisons, dans la mesure où $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x}(x_{0},\,y_{0})\neq 0$, «$\;{\dfrac {dy}{dx}}=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y}(x_{0},\,y_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x}(x_{0},\,y_{0})}}\;$ C.Q.F.D.  ».

     Remarque : à partir de « la fonction implicite $\;\varphi \;:\;y\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x\;$ solution de l'équation implicite $\;f\left(x\,,\,y\right)=0\;$ $\Leftrightarrow$ $\;x=\varphi (y)\;$», pour laquelle «$\;f\;$ est une fonction continue et différentiable en $\;(x_{0}\,,\,y_{0})\;$»
     Remarque : à partir de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\varphi \;:\;y\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « la fonction implicite $\;\varphi \;$ est continue et différentiable en $\;y_{0}\;$»,
     Remarque : à partir de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\varphi \;:\;y\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « la valeur de sa dérivée 1^ère en $\;y_{0}\;$ pouvant se déterminer par
     Remarque : à partir de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\varphi \;:\;y\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que «$\;\varphi '(y_{0})=-{\dfrac {{f'}_{\!y}(x_{0},\,y_{0})}{{f'}_{\!x}(x_{0},\,y_{0})}}\;$» ou «$\;{\dfrac {d\varphi }{dy}}(y_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x}(x_{0},\,y_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y}(x_{0},\,y_{0})}}\;$»
     Remarque : à partir de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\varphi \;:\;y\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que si « la dérivée partielle 1^ère de $\;f\;$ par rapport à $\;x$ $\;{\big (}$à $\;y\;$ figée${\big )}\;$ vérifie
     Remarque : à partir de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\varphi \;:\;y\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que si « la dérivée partielle 1^ère de $\;\color {transparent}{f}\;$ par rapport à $\;\color {transparent}{x}\;$ $\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y}(x_{0},\,y_{0})\neq 0\;$».

     Lien entre les dérivées des fonctions implicites d'une même équation implicite  : « les deux fonctions implicites “$\;\psi \;:\;x\;{\overset {\psi }{\rightarrow }}\;y\;$ et $\;\varphi \;:\;y\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x\;$” solutions de l'équation implicite $\;f\left(x\,,\,y\right)=0\;$
           Lien entre les dérivées des fonctions implicites d'une même équation implicite : pour laquelle $\;f\;$ est une fonction continue et différentiable en $\;(x_{0}\,,\,y_{0})\;$» étant elles-mêmes continues et différentiables,
           Lien entre les dérivées des fonctions implicites d'une même équation implicite : « ont une dérivée 1^ère finie, inverse l'une de l'autre dans la mesure où «$\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x}(x_{0},\,y_{0})\neq 0\;$ ainsi que
                 Lien entre les dérivées des fonctions implicites d'une même équation implicite : « ont une dérivée 1^ère finie, inverse l'une de l'autre dans la mesure où «$\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y}(x_{0},\,y_{0})\neq 0\;$»
           Lien entre les dérivées des fonctions implicites d'une même équation implicite : en effet «$\;{\dfrac {d\varphi }{dy}}(y_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x}(x_{0},\,y_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y}(x_{0},\,y_{0})}}\;$» et «$\;{\dfrac {d\psi }{dx}}(x_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y}(x_{0},\,y_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x}(x_{0},\,y_{0})}}\;$» $\Rightarrow$
           Lien entre les dérivées des fonctions implicites d'une même équation implicite : en effet «$\;{\dfrac {d\varphi }{dy}}(y_{0})\;{\dfrac {d\psi }{dx}}(x_{0})=\left[-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x}(x_{0},\,y_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y}(x_{0},\,y_{0})}}\right]\,\left[-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y}(x_{0},\,y_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x}(x_{0},\,y_{0})}}\right]=1\;$ d'où
           Lien entre les dérivées des fonctions implicites d'une même équation implicite : en effet «$\;{\dfrac {d\varphi }{dy}}(y_{0})\;{\dfrac {d\psi }{dx}}(x_{0})=1\;$ $\Leftrightarrow$ $\;{\dfrac {d\varphi }{dy}}(y_{0})={\dfrac {1}{{\dfrac {d\psi }{dx}}(x_{0})}}\;$» si $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\psi \;:\;x\;{\overset {\psi }{\rightarrow }}\;y\\\varphi \;:\;y\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x\end{array}}\right\rbrace \;$.

Dérivées partielles premières d'une fonction implicite entre trois variables réelles

Dérivées partielles 1^ères d'une fonction implicite entre x, y et z

     Soit « l’équation implicite $\;f\left(x\,,\,y\,,\,z\right)=0\;$ des variables réelles $\;x$, $\;y\;$ et $\;z$, $\;f\;$ étant continue et différentiable en $\;(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0})\;$» et
     Soit « la fonction implicite $\;\psi \;:\;(x\,,\,z)\;{\overset {\psi }{\rightarrow }}\;y\;$ solution de l'équation implicite » c.-à-d. telle que «$\;f\left(x\,,\,y\,,\,z\right)=0\;$ $\Leftrightarrow$ $\;y=\psi (x,\,z)\;$»,
     « la fonction implicite $\;\psi \;$ est, par suite, continue et différentiable en $\;(x_{0}\,,\,z_{0})\;$»,
     « sa dérivée partielle 1^ère par rapport à $\;x\;$ à $\;z\;$ figée évaluée au point $\;(x_{0}\,,\,z_{0})\;$
     « sa dérivée partielle 1^ère par rapport à $\;\color {transparent}{x}\;$ à $\;\color {transparent}{z}\;$ figée peut se déterminer par «$\;{\psi '}_{\!\!x}(x_{0},\,z_{0})=-{\dfrac {{f'}_{\!\!x}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}{{f'}_{\!\!y}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}}\;$» ou
     « sa dérivée partielle 1^ère par rapport à $\;\color {transparent}{x}\;$ à $\;\color {transparent}{z}\;$ figée peut se déterminer par «$\;\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial x}}\right)_{\!z}(x_{0},\,z_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}}\;$» et
     « sa dérivée partielle 1^ère par rapport à $\;z\;$ à $\;x\;$ figée évaluée au point $\;(x_{0}\,,\,z_{0})\;$
     « sa dérivée partielle 1^ère par rapport à $\;\color {transparent}{z}\;$ à $\;\color {transparent}{x}\;$ figée peut se déterminer par «$\;{\psi '}_{\!\!z}(x_{0},\,z_{0})=-{\dfrac {{f'}_{\!\!z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}{{f'}_{\!\!y}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}}\;$» ou
     « sa dérivée partielle 1^ère par rapport à $\;\color {transparent}{z}\;$ à $\;\color {transparent}{x}\;$ figée peut se déterminer par «$\;\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial z}}\right)_{\!x}(x_{0},\,z_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}}\;$»
     « sa dérivée partielle 1^ère par rapport à $\;\color {transparent}{z}\;$ à $\;\color {transparent}{x}\;$ figée peut se déterminer si « la dérivée partielle 1^ère de $\;f\;$ par rapport à $\;y$
     « sa dérivée partielle 1^ère par rapport à $\;\color {transparent}{z}\;$ à $\;\color {transparent}{x}\;$ figée peut se déterminer si «$\;{\big (}$à $\,x\,$ et $\,z\,$ figées${\big )}\,$ vérifie $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\neq 0\;$».

     Démonstration : différenciant, à $\;z\;$ figée, «$\;f\left(x\,,\,y\,,\,z\right)=0\;$ en $\;(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0})\;$» nous obtenons «$\;d_{z}f(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})=0\;$ ou $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\;d_{z}x+\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\;d_{z}y=0\;$»
     Démonstration : différenciant, à $\;\color {transparent}{z}\;$ figée, «$\;\color {transparent}{f\left(x\,,\,y\,,\,z\right)=0}\;$ en $\;\color {transparent}{(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0})}\;$» nous obtenons dont nous déduisons, dans la mesure où $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\neq 0$,
     Démonstration : différenciant, à $\;\color {transparent}{z}\;$ figée, «$\;\color {transparent}{f\left(x\,,\,y\,,\,z\right)=0}\;$ en $\;\color {transparent}{(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0})}\;$» nous obtenons dont nous déduisons, «$\;{\dfrac {d_{z}y}{d_{z}x}}=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}}\;$ C.Q.F.D.  » et
     Démonstration : différenciant, à $\;x\;$ figée, «$\;f\left(x\,,\,y\,,\,z\right)=0\;$ en $\;(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0})\;$» nous obtenons «$\;d_{x}f(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})=0\;$ ou $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\;d_{x}y+\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\;d_{x}z=0\;$»
     Démonstration : différenciant, à $\;\color {transparent}{x}\;$ figée, «$\;\color {transparent}{f\left(x\,,\,y\,,\,z\right)=0}\;$ en $\;\color {transparent}{(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0})}\;$» nous obtenons dont nous déduisons, dans la mesure où $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\neq 0$,
     Démonstration : différenciant, à $\;\color {transparent}{x}\;$ figée, «$\;\color {transparent}{f\left(x\,,\,y\,,\,z\right)=0}\;$ en $\;\color {transparent}{(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0})}\;$» nous obtenons dont nous déduisons, «$\;{\dfrac {d_{x}y}{d_{x}z}}=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}}\;$ C.Q.F.D.  ».

     Remarque : de « la fonction implicite $\;\varphi \;:\;(y\,,\,z)\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x\;$ solution de l'équation implicite $\;f\left(x\,,\,y\,,\,z\right)=0\;$ $\Leftrightarrow$ $\;x=\varphi (y,\,z)\;$», avec «$\;f\;$ fonction continue et différentiable en $\;(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0})\;$»
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\varphi \;:\;(y\,,\,z)\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « la fonction implicite $\;\varphi \;$ est continue et différentiable en $\;(y_{0},\,z_{0})\;$»,
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\varphi \;:\;(y\,,\,z)\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « sa dérivée partielle 1^ère par rapport à $\;y\;$ à $\;z\;$ figée évaluée au point $\;(y_{0}\,,\,z_{0})\;$ et
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\varphi \;:\;(y\,,\,z)\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « celle par rapport à $\;z\;$ à $\;y\;$ figée évaluée au même point $\;(y_{0}\,,\,z_{0})\;$ pouvant
      Remarque : de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\varphi \;:\;(y\,,\,z)\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « celle par rapport à $\;\color {transparent}{z}\;$ à $\;\color {transparent}{y}\;$ figée évaluée au même point se déterminer par
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\varphi \;:\;(y\,,\,z)\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que «$\;\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)_{\!z}(y_{0},\,z_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}}\;$» et
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\varphi \;:\;(y\,,\,z)\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que «$\;\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)_{\!y}(y_{0},\,z_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}}\;$»
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\varphi \;:\;(y\,,\,z)\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que si « la dérivée partielle 1^ère de $\;f\;$ par rapport à $\;x$ $\;{\big (}$à $\;y\;$ et $\;z\;$ figées${\big )}\;$ vérifie
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\varphi \;:\;(y\,,\,z)\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que si « la dérivée partielle 1^ère de $\;\color {transparent}{f}\;$ par rapport à $\;\color {transparent}{x}$ $\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\neq 0\;$» ;
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\zeta \;:\;(x\,,\,y)\;{\overset {\zeta }{\rightarrow }}\;z\;$ solution de l'équation implicite $\;f\left(x\,,\,y\,,\,z\right)=0\;$ $\Leftrightarrow$ $\;z=\zeta \,(x,\,y)\;$», avec «$\;f\;$ fonction continue et différentiable en $\;(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0})\;$»
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\zeta \;:\;(x\,,\,y)\;{\overset {\zeta }{\rightarrow }}\;z}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « la fonction implicite $\;\zeta \;$ est continue et différentiable en $\;(x_{0},\,y_{0})\;$»,
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\zeta \;:\;(x\,,\,y)\;{\overset {\zeta }{\rightarrow }}\;z}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « sa dérivée partielle 1^ère par rapport à $\;x\;$ à $\;y\;$ figée évaluée au point $\;(x_{0}\,,\,y_{0})\;$ et
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\zeta \;:\;(x\,,\,y)\;{\overset {\zeta }{\rightarrow }}\;z}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « celle par rapport à $\;y\;$ à $\;x\;$ figée évaluée au même point $\;(x_{0}\,,\,y_{0})\;$ pouvant
      Remarque : de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\zeta \;:\;(x\,,\,y)\;{\overset {\zeta }{\rightarrow }}\;z}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « celle par rapport à $\;\color {transparent}{y}\;$ à $\;\color {transparent}{x}\;$ figée évaluée au même point se déterminer par
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\zeta \;:\;(x\,,\,y)\;{\overset {\zeta }{\rightarrow }}\;z}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que «$\;\left({\dfrac {\partial \zeta }{\partial x}}\right)_{\!y}(x_{0},\,y_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}}\;$» et
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\zeta \;:\;(x\,,\,y)\;{\overset {\zeta }{\rightarrow }}\;z}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que «$\;\left({\dfrac {\partial \zeta }{\partial y}}\right)_{\!x}(y_{0},\,z_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}}\;$»
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\zeta \;:\;(x\,,\,y)\;{\overset {\zeta }{\rightarrow }}\;z}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que si « la dérivée partielle 1^ère de $\;f\;$ par rapport à $\;z$ $\;{\big (}$à $\;x\;$ et $\;y\;$ figées${\big )}\;$ vérifie
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\zeta \;:\;(x\,,\,y)\;{\overset {\zeta }{\rightarrow }}\;z}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que si « la dérivée partielle 1^ère de $\;\color {transparent}{f}\;$ par rapport à $\;\color {transparent}{z}$ $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\neq 0\;$».

     Liens entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite  : « les trois fonctions implicites “$\;\psi \;:\;(x,\,z)\;{\overset {\psi }{\rightarrow }}\;y$, $\;\varphi \;:\;(y,\,z)\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x\;$ et $\;\zeta \;:\;z\;{\overset {\zeta }{\rightarrow }}\;(x,\,y)\;$”
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : « les trois fonctions implicites “ solutions de l'équation implicite $\;f\left(x\,,\,y\,,\,z\right)=0\;$ pour laquelle $\;f\;$ est une fonction
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : « continue et différentiable en $\;(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0})\;$» étant elles-mêmes continues et différentiables,
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : « ont des dérivées partielles 1^ères liées deux à deux selon :
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet \;$«$\;\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial x}}\right)_{\!z}(x_{0},\,z_{0})={\dfrac {1}{\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)_{\!z}(y_{0},\,z_{0})}}\;$» dans la mesure où «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\neq 0\\\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\neq 0\end{array}}\right\rbrace \;$» $\Leftarrow$
              Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$« “$\;\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial x}}\right)_{\!z}(x_{0},\,z_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}}\;$ et $\;\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)_{\!z}(y_{0},\,z_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}}\;$” $\Rightarrow$
              Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$« $\;\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)_{\!z}(y_{0},\,z_{0})\;\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial x}}\right)_{\!z}(x_{0},\,z_{0})=\left[-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}}\right]\,\left[-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}}\right]=1\;$»,
              Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$« en physique $\;{\big (}$et par abus${\big )}\;$ on notera par la suite «$\;\left({\dfrac {\partial x}{\partial y}}\right)_{\!z}(x_{0},\,z_{0})\;\left({\dfrac {\partial y}{\partial x}}\right)_{\!z}(y_{0},\,z_{0})=1\;$» ,
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet \;$«$\;\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial z}}\right)_{\!x}(x_{0},\,z_{0})={\dfrac {1}{\left({\dfrac {\partial \zeta }{\partial y}}\right)_{\!x}(x_{0},\,y_{0})}}\;$» dans la mesure où «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\neq 0\\\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\neq 0\end{array}}\right\rbrace \;$» $\Leftarrow$
              Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$« “$\;\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial z}}\right)_{\!x}(x_{0},\,z_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}}\;$ et $\;\left({\dfrac {\partial \zeta }{\partial y}}\right)_{\!x}(x_{0},\,y_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}}\;$” $\Rightarrow$
              Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$« $\;\left({\dfrac {\partial \zeta }{\partial y}}\right)_{\!x}(x_{0},\,y_{0})\;\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial z}}\right)_{\!x}(x_{0},\,z_{0})=\left[-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}}\right]\,\left[-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}}\right]=1\;$»,
              Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$« en physique $\;{\big (}$et par abus${\big )}\;$ on notera par la suite «$\;\left({\dfrac {\partial z}{\partial y}}\right)_{\!x}(x_{0},\,y_{0})\;\left({\dfrac {\partial y}{\partial z}}\right)_{\!x}(y_{0},\,z_{0})=1\;$» et
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet \;$«$\;\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)_{\!y}(y_{0},\,z_{0})={\dfrac {1}{\left({\dfrac {\partial \zeta }{\partial x}}\right)_{\!y}(x_{0},\,y_{0})}}\;$» dans la mesure où «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\neq 0\\\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\neq 0\end{array}}\right\rbrace \;$» $\Leftarrow$
              Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$« “$\;\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)_{\!y}(y_{0},\,z_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}}\;$ et $\;\left({\dfrac {\partial \zeta }{\partial x}}\right)_{\!y}(y_{0},\,z_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}}\;$” $\Rightarrow$
              Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$« $\;\left({\dfrac {\partial \zeta }{\partial x}}\right)_{\!y}(y_{0},\,z_{0})\;\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)_{\!y}(y_{0},\,z_{0})=\left[-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}}\right]\,\left[-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}}\right]=1\;$»,
              Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$« en physique $\;{\big (}$et par abus${\big )}\;$ on notera par la suite «$\;\left({\dfrac {\partial z}{\partial x}}\right)_{\!y}(y_{0},\,z_{0})\;\left({\dfrac {\partial x}{\partial z}}\right)_{\!y}(y_{0},\,z_{0})=1\;$»  ;
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet \;$nous pouvons déduire des liens ci-dessus entre « les dérivées partielles 1^ères des trois fonctions implicites
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$$\psi \;:\;(x,\,z)\;{\overset {\psi }{\rightarrow }}\;y$, $\;\varphi \;:\;(y,\,z)\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x\;$ et $\;\zeta \;:\;(x,\,y)\;{\overset {\zeta }{\rightarrow }}\;z\;$ solutions de l'équation implicite $\;f\left(x\,,\,y\,,\,z\right)=0$
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$nous pouvons déduire des liens pour laquelle $\;f\;$ est une fonction continue et différentiable en $\;(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0})\;$»,
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$une relation liant trois des dérivées partielles 1^ères judicieusement choisies des fonctions implicites $\;\psi$, $\;\varphi \;$ et $\;\zeta$
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$une relation liant trois des dérivées partielles 1^ères judicieu solutions de l'équation implicite $\;f\left(x\,,\,y\,,\,z\right)=0\;$
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$une relation $\blacktriangleright \;$«$\;\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial x}}\right)_{\!z}(x_{0},\,z_{0})\;\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)_{\!y}(y_{0},\,z_{0})\;\left({\dfrac {\partial \zeta }{\partial y}}\right)_{\!x}(x_{0},\,y_{0})=-1\;$» $\Leftrightarrow$
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$une relation $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$«$\;\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial x}}\right)_{\!z}(x_{0},\,z_{0})\;\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)_{\!y}(y_{0},\,z_{0})=-{\dfrac {1}{\left({\dfrac {\partial \zeta }{\partial y}}\right)_{\!x}(x_{0},\,y_{0})}}\;$» $\Leftrightarrow$
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$une relation $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$«$\;\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial x}}\right)_{\!z}(x_{0},\,z_{0})\;\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)_{\!y}(y_{0},\,z_{0})=-\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial z}}\right)_{\!x}(x_{0},\,y_{0})\;$» ,
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$une relation $\blacktriangleright \;$«$\;\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial z}}\right)_{\!x}(x_{0},\,z_{0})\;\left({\dfrac {\partial \zeta }{\partial x}}\right)_{\!y}(y_{0},\,z_{0})\;\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)_{\!z}(x_{0},\,y_{0})=-1\;$» $\Leftrightarrow$
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$une relation $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$«$\;\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial z}}\right)_{\!x}(x_{0},\,z_{0})\;\left({\dfrac {\partial \zeta }{\partial x}}\right)_{\!y}(x_{0},\,y_{0})=-{\dfrac {1}{\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)_{\!z}(x_{0},\,y_{0})}}\;$» $\Leftrightarrow$
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$une relation $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$«$\;\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial z}}\right)_{\!x}(x_{0},\,z_{0})\;\left({\dfrac {\partial \zeta }{\partial x}}\right)_{\!y}(x_{0},\,y_{0})=-\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial x}}\right)_{\!z}(x_{0},\,y_{0})\;$» .

Dérivées partielles premières d'une fonction implicite entre quatre variables réelles

Dérivées partielles 1^ères d'une fonction implicite entre x, y, z et t

     Soit « l’équation implicite $\;f\left(x\,,\,y\,,\,z\,,\,t\right)=0\;$ des variables réelles $\;x$, $\;y$, $\;z\;$ et $\;t$, $\;f\;$ étant continue et
     Soit « l’équation implicite $\;\color {transparent}{f\left(x\,,\,y\,,\,z\,,\,t\right)=0}\;$ des variables réelles $\;\color {transparent}{x}$, $\;\color {transparent}{y}$, $\;\color {transparent}{z}\;$ et $\;\color {transparent}{t}$, $\;\color {transparent}{f}\;$ étant différentiable en $\;(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0}\,,\,t_{0})\;$» et
     Soit « la fonction implicite $\;\psi \;:\;(x\,,\,z\,,\,t)\;{\overset {\psi }{\rightarrow }}\;y\;$ solution de l'équation implicite $\;f\left(x\,,\,y\,,\,z\,,\,t\right)=0\;$ $\Leftrightarrow$ $\;y=\psi (x,\,z,\,t)\;$»,
     « la fonction implicite $\;\psi \;$ est, par suite, continue et différentiable en $\;(x_{0}\,,\,z_{0}\,,\,t_{0})\;$»,
     « sa dérivée partielle 1^ère par rapport à $\;x$, à $\;z\;$ et $\;t\;$ figées, évaluée au point $\;(x_{0}\,,\,z_{0}\,,\,t_{0})\;$
     « sa dérivée partielle 1^ère par rapport à $\;\color {transparent}{x}\;$ à $\;\color {transparent}{z}\;$ et $\;\color {transparent}{t}\;$ figées, peut se déterminer par «$\;{\psi '}_{\!\!x}(x_{0},\,z_{0},\,t_{0})=-{\dfrac {{f'}_{\!\!x}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}{{f'}_{\!\!y}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}}\;$» ou
          « sa dérivée partielle 1^ère par rapport à $\;\color {transparent}{x}\;$ à $\;\color {transparent}{z}\;$ et $\;\color {transparent}{t}\;$ figées, peut se «$\;\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial x}}\right)_{\!z,\,t}(x_{0},\,z_{0},\,t_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}}\;$»,
     « sa dérivée partielle 1^ère par rapport à $\;z$, à $\;x\;$ et $\;t\;$ figées, évaluée au point $\;(x_{0}\,,\,z_{0},\,t_{0})\;$
     « sa dérivée partielle 1^ère par rapport à $\;\color {transparent}{z}\;$ à $\;\color {transparent}{x}\;$ et $\;\color {transparent}{t}\;$ figées, peut se déterminer par «$\;{\psi '}_{\!\!z}(x_{0},\,z_{0},\,t_{0})=-{\dfrac {{f'}_{\!\!z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}{{f'}_{\!\!y}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}}\;$» ou
     « sa dérivée partielle 1^ère par rapport à $\;\color {transparent}{z}\;$ à $\;\color {transparent}{x}\;$ et $\;\color {transparent}{t}\;$ figées, peut se «$\;\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial z}}\right)_{\!x,\,t}(x_{0},\,z_{0},\,t_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}}\;$» et
     « sa dérivée partielle 1^ère par rapport à $\;t$, à $\;x\;$ et $\;z\;$ figées, évaluée au point $\;(x_{0}\,,\,z_{0},\,t_{0})\;$
     « sa dérivée partielle 1^ère par rapport à $\;\color {transparent}{t}\;$ à $\;\color {transparent}{x}\;$ et $\;\color {transparent}{z}\;$ figées, peut se déterminer par «$\;{\psi '}_{\!\!t}(x_{0},\,z_{0},\,t_{0})=-{\dfrac {{f'}_{\!\!t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}{{f'}_{\!\!y}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}}\;$» ou
          « sa dérivée partielle 1^ère par rapport à $\;\color {transparent}{t}\;$ à $\;\color {transparent}{x}\;$ et $\;\color {transparent}{z}\;$ figées, peut se «$\;\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial t}}\right)_{\!x,\,z}(x_{0},\,z_{0},\,t_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\!x,\,y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}}\;$»,
     « ces trois relations ci-dessus nécessitant que « la dérivée partielle 1^ère de $\;f\;$ par rapport à $\;y$ $\;{\big (}x$, $\;z\;$ et $\;t\;$ étant figées${\big )}\;$ vérifie
     « ces trois relations ci-dessus nécessitant que « la dérivée partielle 1^ère de $\;\color {transparent}{f}\;$ par rapport à $\;\color {transparent}{y}$ $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})\neq 0\;$».

     Démonstration : différenciant, à $\;z\;$ et $\;t\;$ figées, «$\;f\left(x\,,\,y\,,\,z\,,\,t\right)=0\;$ en $\;(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0}\,,\,t_{0})\;$» nous obtenons «$\;d_{z,\,t}f(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})=0\;$ soit, en explicitant la différentielle, à $\;z\;$ et $\;t\;$ figées, de $\;f$,
     Démonstration : différenciant, à $\;\color {transparent}{z}\;$ et $\;\color {transparent}{t}\;$ figées, «$\;\color {transparent}{f\left(x\,,\,y\,,\,z\,,\,t\right)=0}\;$ en $\;\color {transparent}{(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0}\,,\,t_{0})}\;$» nous obtenons $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})\;d_{z,\,t}x+\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})\;d_{z,\,t}y=0\;$» $\Rightarrow$
     Démonstration : différenciant, à $\;\color {transparent}{z}\;$ et $\;\color {transparent}{t}\;$ figées, «$\;\color {transparent}{f\left(x\,,\,y\,,\,z\,,\,t\right)=0}\;$ en $\;\color {transparent}{(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0}\,,\,t_{0})}\;$» nous obtenons «$\;{\dfrac {d_{z,\,t}y}{d_{z,\,t}x}}=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}}\;$ dans la mesure où
                                                                           Démonstration : différenciant, à $\;\color {transparent}{z}\;$ et $\;\color {transparent}{t}\;$ figées, «$\;\color {transparent}{f\left(x\,,\,y\,,\,z\,,\,t\right)=0}\;$ en $\;\color {transparent}{(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0}\,,\,t_{0})}\;$» nous obtenons $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})\neq 0\;$» C.Q.F.D. ,
     Démonstration : différenciant, à $\;\color {transparent}{z}\;$ et $\;\color {transparent}{t}\;$ figées, «$\;\color {transparent}{f\left(x\,,\,y\,,\,z\,,\,t\right)=0}\;$ en $\;\color {transparent}{(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0}\,,\,t_{0})}\;$» les expressions des deux autres dérivées partielles 1^ères se déterminant de la même façon $\;\ldots$

     Remarque : de « la fonction implicite $\;\varphi \;:\;(y\,,\,z\,,\,t)\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x\;$ solution de l'équation implicite $\;f\left(x\,,\,y\,,\,z\,,\,t\right)=0\;$ $\Leftrightarrow$ $\;x=\varphi (y,\,z,\,t)\;$», avec «$\;f\;$ fonction continue et différentiable en $\;(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0}\,,\,t_{0})\;$»
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\varphi \;:\;(y\,,\,z\,,\,t)\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « la fonction implicite $\;\varphi \;$ est continue et différentiable en $\;(y_{0},\,z_{0},\,t_{0})\;$»,
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\varphi \;:\;(y\,,\,z\,,\,t)\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « sa dérivée partielle 1^ère par rapport à $\;y\;$ à $\;z\;$ et $\;t\;$ figées en $\;(y_{0}\,,\,z_{0},\,t_{0})$,
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\varphi \;:\;(y\,,\,z\,,\,t)\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « celle par rapport à $\;z\;$ à $\;y\;$ et $\;t\;$ figées en $\;(y_{0}\,,\,z_{0}\,,\,t_{0})\;$ ainsi que
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\varphi \;:\;(y\,,\,z\,,\,t)\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « celle par rapport à $\;t\;$ à $\;y\;$ et $\;z\;$ figées en $\;(y_{0}\,,\,z_{0}\,,\,t_{0})\;$ pouvant
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\varphi \;:\;(y\,,\,z\,,\,t)\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « celle par rapport à $\;\color {transparent}{t}\;$ à $\;\color {transparent}{y}\;$ et $\;\color {transparent}{z}\;$ figées en $\;\color {transparent}{(y_{0}\,,\,z_{0}\,,\,t_{0})}\;$ se déterminer par
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\varphi \;:\;(y\,,\,z\,,\,t)\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que «$\;\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)_{\!z,\,t}(y_{0},\,z_{0},\,t_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}}\;$» ,
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\varphi \;:\;(y\,,\,z\,,\,t)\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que «$\;\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)_{\!y,\,t}(y_{0},\,z_{0},\,t_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}}\;$» et
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\varphi \;:\;(y\,,\,z\,,\,t)\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que «$\;\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial t}}\right)_{\!y,\,z}(y_{0},\,z_{0},\,t_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\!x,\,y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}}\;$»
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\varphi \;:\;(y\,,\,z\,,\,t)\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que si « la dérivée partielle 1^ère de $\;f\;$ par rapport à $\;x$ $\;{\big (}$à $\;y$, $\;z\;$ et $\;t\;$ figées${\big )}\;$
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\varphi \;:\;(y\,,\,z\,,\,t)\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que si « la dérivée partielle 1^ère de $\;\color {transparent}{f}\;$ vérifie $\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})\neq 0\;$» ;
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\zeta \;:\;(x\,,\,y\,,\,t)\;{\overset {\zeta }{\rightarrow }}\;z\;$ solution de l'équation implicite $\;f\left(x\,,\,y\,,\,z\,,\,t\right)=0\;$ $\Leftrightarrow$ $\;z=\zeta (x,\,y,\,t)\;$», avec «$\;f\;$ fonction continue et différentiable en $\;(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0}\,,\,t_{0})\;$»
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\zeta \;:\;(x\,,\,y\,,\,t)\;{\overset {\zeta }{\rightarrow }}\;z}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « la fonction implicite $\;\zeta \;$ est continue et différentiable en $\;(x_{0},\,y_{0},\,t_{0})\;$»,
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\zeta \;:\;(x\,,\,y\,,\,t)\;{\overset {\zeta }{\rightarrow }}\;z}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « sa dérivée partielle 1^ère par rapport à $\;x\;$ à $\;y\;$ et $\;t\;$ figées en $\;(x_{0}\,,\,y_{0},\,t_{0})$,
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\zeta \;:\;(x\,,\,y\,,\,t)\;{\overset {\zeta }{\rightarrow }}\;z}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « celle par rapport à $\;y\;$ à $\;x\;$ et $\;t\;$ figées en $\;(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,t_{0})\;$ ainsi que
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\zeta \;:\;(x\,,\,y\,,\,t)\;{\overset {\zeta }{\rightarrow }}\;z}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « celle par rapport à $\;t\;$ à $\;x\;$ et $\;y\;$ figées en $\;(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,t_{0})\;$ pouvant
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\zeta \;:\;(x\,,\,y\,,\,t)\;{\overset {\zeta }{\rightarrow }}\;z}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « celle par rapport à $\;\color {transparent}{t}\;$ à $\;\color {transparent}{x}\;$ et $\;\color {transparent}{y}\;$ figées en $\;\color {transparent}{(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,t_{0})}\;$ se déterminer par
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\zeta \;:\;(x\,,\,y\,,\,t)\;{\overset {\zeta }{\rightarrow }}\;z}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que «$\;\left({\dfrac {\partial \zeta }{\partial x}}\right)_{\!y,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,t_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}}\;$» ,
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\zeta \;:\;(x\,,\,y\,,\,t)\;{\overset {\zeta }{\rightarrow }}\;z}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que «$\;\left({\dfrac {\partial \zeta }{\partial y}}\right)_{\!x,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,t_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}}\;$» et
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\zeta \;:\;(x\,,\,y\,,\,t)\;{\overset {\zeta }{\rightarrow }}\;z}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que «$\;\left({\dfrac {\partial \zeta }{\partial t}}\right)_{\!x,\,y}(x_{0},\,y_{0},\,t_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\!x,\,y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}}\;$»
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\zeta \;:\;(x\,,\,y\,,\,t)\;{\overset {\zeta }{\rightarrow }}\;z}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que si « la dérivée partielle 1^ère de $\;f\;$ par rapport à $\;z$ $\;{\big (}$à $\;x$, $\;y\;$ et $\;t\;$ figées${\big )}\;$
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\zeta \;:\;(x\,,\,y\,,\,t)\;{\overset {\zeta }{\rightarrow }}\;z}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que si « la dérivée partielle 1^ère de $\;\color {transparent}{f}\;$ vérifie $\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})\neq 0\;$» ;
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\tau \;:\;(x\,,\,y\,,\,z)\;{\overset {\tau }{\rightarrow }}\;t\;$ solution de l'équation implicite $\;f\left(x\,,\,y\,,\,z\,,\,t\right)=0\;$ $\Leftrightarrow$ $\;t=\tau (x,\,y,\,z)\;$», avec «$\;f\;$ fonction continue et différentiable en $\;(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0}\,,\,t_{0})\;$»
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\tau \;:\;(x\,,\,y\,,\,z)\;{\overset {\tau }{\rightarrow }}\;t}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « la fonction implicite $\;\tau \;$ est continue et différentiable en $\;(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\;$»,
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\tau \;:\;(x\,,\,y\,,\,z)\;{\overset {\tau }{\rightarrow }}\;t}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « sa dérivée partielle 1^ère par rapport à $\;x\;$ à $\;y\;$ et $\;z\;$ figées en $\;(x_{0}\,,\,y_{0},\,z_{0})$,
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\tau \;:\;(x\,,\,y\,,\,z)\;{\overset {\tau }{\rightarrow }}\;t}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « celle par rapport à $\;y\;$ à $\;x\;$ et $\;z\;$ figées en $\;(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0})\;$ ainsi que
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\tau \;:\;(x\,,\,y\,,\,z)\;{\overset {\tau }{\rightarrow }}\;t}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « celle par rapport à $\;z\;$ à $\;x\;$ et $\;y\;$ figées en $\;(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0})\;$ pouvant
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\tau \;:\;(x\,,\,y\,,\,z)\;{\overset {\tau }{\rightarrow }}\;t}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « celle par rapport à $\;\color {transparent}{z}\;$ à $\;\color {transparent}{x}\;$ et $\;\color {transparent}{y}\;$ figées en $\;\color {transparent}{(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0})}\;$ se déterminer par
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\tau \;:\;(x\,,\,y\,,\,z)\;{\overset {\tau }{\rightarrow }}\;t}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que «$\;\left({\dfrac {\partial \tau }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\!x,\,y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}}\;$» ,
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\tau \;:\;(x\,,\,y\,,\,z)\;{\overset {\tau }{\rightarrow }}\;t}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que «$\;\left({\dfrac {\partial \tau }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\!x,\,y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}}\;$» et
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\tau \;:\;(x\,,\,y\,,\,z)\;{\overset {\tau }{\rightarrow }}\;t}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que «$\;\left({\dfrac {\partial \tau }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\!x,\,y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}}\;$»
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\tau \;:\;(x\,,\,y\,,\,z)\;{\overset {\tau }{\rightarrow }}\;t}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que si « la dérivée partielle 1^ère de $\;f\;$ par rapport à $\;t$ $\;{\big (}$à $\;x$, $\;y\;$ et $\;z\;$ figées${\big )}\;$
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\tau \;:\;(x\,,\,y\,,\,z)\;{\overset {\tau }{\rightarrow }}\;t}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que si « la dérivée partielle 1^ère de $\;\color {transparent}{f}\;$ vérifie $\left({\dfrac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\!x,\,y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})\neq 0\;$».

     Liens entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite  : « les quatre fonctions implicites “$\;\psi \;:\;(x,\,z,\,t)\;{\overset {\psi }{\rightarrow }}\;y$, $\;\varphi \;:\;(y,\,z,\,t)\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x$, $\;\zeta \;:\;(x,\,y,\,t)\;{\overset {\zeta }{\rightarrow }}\;z\;$ et
           Liens entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : « les quatre fonctions implicites “$\;\color {transparent}{\psi \;:\;(x,\,z,\,t)\;{\overset {\psi }{\rightarrow }}\;y}$, $\;\color {transparent}{\varphi \;:\;(y,\,z,\,t)\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x}$, $\;\tau \;:\;(x,\,y,\,z)\;{\overset {\tau }{\rightarrow }}\;t\;$” solutions
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : « les quatre fonctions implicites “ de l'équation implicite $\;f\left(x\,,\,y\,,\,z\,,\,t\right)=0\;$ pour laquelle $\;f\;$ est une fonction
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : « continue et différentiable en $\;(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0}\,,\,t_{0})\;$» étant elles-mêmes continues et différentiables,
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : « ont des dérivées partielles 1^ères liées deux à deux selon :
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet \;$«$\;\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial x}}\right)_{\!z,\,t}(x_{0},\,z_{0},\,t_{0})={\dfrac {1}{\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)_{\!z,\,t}(y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}}\;$» si «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})\neq 0\\\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})\neq 0\end{array}}\right\rbrace \;$» $\Leftarrow$
              Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$« “$\;\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial x}}\right)_{\!z,\,t}(x_{0},\,z_{0},\,t_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}}\;$ ainsi que
              Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$« “$\,\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)_{\!z,\,t}\!\!(y_{0},\,z_{0},\,t_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z,\,t}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z,\,t}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}}\,$” $\Rightarrow$ $\,\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial x}}\right)_{\!z,\,t}\!\!(x_{0},\,z_{0},\,t_{0})\,\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)_{\!z,\,t}\!\!(y_{0},\,z_{0},\,t_{0})$
                                                            Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$« $=\left[-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z,\,t}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z,\,t}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}}\right]\left[-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z,\,t}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z,\,t}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}}\right]=1\;$»,
              Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$« en physique $\;{\big (}$et par abus${\big )}\;$ on notera par la suite «$\;\left({\dfrac {\partial y}{\partial x}}\right)_{\!z,\,t}(y_{0},\,z_{0},\,t_{0})\;\left({\dfrac {\partial x}{\partial y}}\right)_{\!z,\,t}(x_{0},\,z_{0},\,t_{0})=1\;$» ,
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet \;$«$\;\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial z}}\right)_{\!x,\,t}(x_{0},\,z_{0},\,t_{0})={\dfrac {1}{\left({\dfrac {\partial \zeta }{\partial y}}\right)_{\!x,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,t_{0})}}\;$» si «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})\neq 0\\\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})\neq 0\end{array}}\right\rbrace \;$» $\Leftarrow$
              Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$« “$\;\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial z}}\right)_{\!x,\,t}(x_{0},\,z_{0},\,t_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}}\;$ ainsi que
              Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$« “$\,\left({\dfrac {\partial \zeta }{\partial y}}\right)_{\!x,\,t}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,t_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z,\,t}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y,\,t}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}}\,$” $\Rightarrow$ $\,\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial z}}\right)_{\!x,\,t}\!\!(x_{0},\,z_{0},\,t_{0})\,\left({\dfrac {\partial \zeta }{\partial y}}\right)_{\!x,\,t}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,t_{0})$
                                                            Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$« $=\left[-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y,\,t}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z,\,t}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}}\right]\left[-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z,\,t}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y,\,t}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}}\right]=1\;$»,
              Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$« en physique $\;{\big (}$et par abus${\big )}\;$ on notera par la suite «$\;\left({\dfrac {\partial y}{\partial z}}\right)_{\!x,\,t}\!\!(x_{0},\,z_{0},\,t_{0})\;\left({\dfrac {\partial z}{\partial y}}\right)_{\!x,\,t}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,t_{0})=1\;$» ,
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet \;$«$\;\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial t}}\right)_{\!x,\,z}(x_{0},\,z_{0},\,t_{0})={\dfrac {1}{\left({\dfrac {\partial \tau }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}}\;$» si «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})\neq 0\\\left({\dfrac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\!x,\,y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})\neq 0\end{array}}\right\rbrace \;$» $\Leftarrow$
              Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$« “$\;\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial t}}\right)_{\!x,\,z}(x_{0},\,z_{0},\,t_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\!x,\,y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}}\;$ ainsi que
              Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$« “$\,\left({\dfrac {\partial \tau }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z,\,t}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\!x,\,y,\,z}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}}\,$” $\Rightarrow$ $\,\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial t}}\right)_{\!x,\,z}\!\!\!(x_{0},\,z_{0},\,t_{0})\,\left({\dfrac {\partial \tau }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})$
                                                            Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$« $=\left[-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\!x,\,y,\,z}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z,\,t}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}}\right]\left[-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z,\,t}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\!x,\,y,\,z}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}}\right]=1\;$»,
              Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$« en physique $\;{\big (}$et par abus${\big )}\;$ on notera par la suite «$\;\left({\dfrac {\partial y}{\partial t}}\right)_{\!x,\,z}\!\!(x_{0},\,z_{0},\,t_{0})\;\left({\dfrac {\partial t}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})=1\;$» ,
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet \;$«$\;\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)_{\!y,\,t}(y_{0},\,z_{0},\,t_{0})={\dfrac {1}{\left({\dfrac {\partial \zeta }{\partial x}}\right)_{\!y,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,t_{0})}}\;$» si «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})\neq 0\\\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})\neq 0\end{array}}\right\rbrace \;$» $\Leftarrow$
              Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$« “$\;\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)_{\!y,\,t}(y_{0},\,z_{0},\,t_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}}\;$ ainsi que
              Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$« “$\,\left({\dfrac {\partial \zeta }{\partial x}}\right)_{\!y,\,t}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,t_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z,\,t}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y,\,t}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}}\,$” $\Rightarrow$ $\,\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)_{\!y,\,t}\!\!\!(y_{0},\,z_{0},\,t_{0})\,\left({\dfrac {\partial \zeta }{\partial x}}\right)_{\!y,\,t}\!\!\!(x_{0},\,y_{0},\,t_{0})$
                                                            Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$« $=\left[-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y,\,t}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z,\,t}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}}\right]\left[-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z,\,t}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y,\,t}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}}\right]=1\;$»,
              Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$« en physique $\;{\big (}$et par abus${\big )}\;$ on notera par la suite «$\;\left({\dfrac {\partial x}{\partial z}}\right)_{\!y,\,t}\!\!(y_{0},\,z_{0},\,t_{0})\;\left({\dfrac {\partial z}{\partial x}}\right)_{\!y,\,t}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,t_{0})=1\;$» ,
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet \;$«$\;\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial t}}\right)_{\!y,\,z}(y_{0},\,z_{0},\,t_{0})={\dfrac {1}{\left({\dfrac {\partial \tau }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}}\;$» si «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})\neq 0\\\left({\dfrac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\!x,\,y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})\neq 0\end{array}}\right\rbrace \;$» $\Leftarrow$
              Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$« “$\;\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial t}}\right)_{\!y,\,z}(y_{0},\,z_{0},\,t_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\!x,\,y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}}\;$ ainsi que
              Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$« “$\,\left({\dfrac {\partial \tau }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z,\,t}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\!x,\,y,\,z}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}}\,$” $\Rightarrow$ $\,\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial t}}\right)_{\!y,\,z}\!\!\!(y_{0},\,z_{0},\,t_{0})\,\left({\dfrac {\partial \tau }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\!\!\!(x_{0},\,y_{0},\,t_{0})$
                                                            Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$« $=\left[-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\!x,\,y,\,z}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z,\,t}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}}\right]\left[-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z,\,t}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\!x,\,y,\,z}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}}\right]=1\;$»,
              Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$« en physique $\;{\big (}$et par abus${\big )}\;$ on notera par la suite «$\;\left({\dfrac {\partial x}{\partial t}}\right)_{\!y,\,z}\!\!(y_{0},\,z_{0},\,t_{0})\;\left({\dfrac {\partial t}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})=1\;$» ,
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet \;$«$\;\left({\dfrac {\partial \zeta }{\partial t}}\right)_{\!x,\,y}(x_{0},\,y_{0},\,t_{0})={\dfrac {1}{\left({\dfrac {\partial \tau }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}}\;$» si «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})\neq 0\\\left({\dfrac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\!x,\,y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})\neq 0\end{array}}\right\rbrace \;$» $\Leftarrow$
              Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$« “$\;\left({\dfrac {\partial \zeta }{\partial t}}\right)_{\!x,\,y}(x_{0},\,y_{0},\,t_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\!x,\,y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}}\;$ ainsi que
              Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$« “$\,\left({\dfrac {\partial \tau }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y,\,t}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\!x,\,y,\,z}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}}\,$” $\Rightarrow$ $\,\left({\dfrac {\partial \zeta }{\partial t}}\right)_{\!x,\,y}\!\!\!(x_{0},\,y_{0},\,t_{0})\,\left({\dfrac {\partial \tau }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\!\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})$
                                                            Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$« $=\left[-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\!x,\,y,\,z}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y,\,t}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}}\right]\left[-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y,\,t}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\!x,\,y,\,z}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}}\right]=1\;$»,
              Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$« en physique $\;{\big (}$et par abus${\big )}\;$ on notera par la suite «$\;\left({\dfrac {\partial z}{\partial t}}\right)_{\!x,\,y}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,t_{0})\;\left({\dfrac {\partial t}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})=1\;$» .
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet \;$nous pouvons déduire des liens ci-dessus entre « les dérivées partielles 1^ères des quatre fonctions implicites
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$$\psi \;:\;(x,\,z,\,t)\;{\overset {\psi }{\rightarrow }}\;y$, $\;\varphi \;:\;(y,\,z,\,t)\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x$, $\;\zeta \;:\;(x,\,y,\,t)\;{\overset {\zeta }{\rightarrow }}\;z\;$ et $\;\tau \;:\;(x,\,y,\,z)\;{\overset {\zeta }{\rightarrow }}\;t\;$ solutions de l'équation
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$implicite $\,f\left(x\,,\,y\,,\,z\,,\,t\right)=0\,$ pour laquelle $\,f\,$ est une fonction continue et différentiable en $\,(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0}\,,\,t_{0})\;$»,
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$une relation liant quatre des dérivées partielles 1^ères judicieusement choisies des fonctions implicites $\,\psi$, $\,\varphi$, $\,\zeta$, $\,\tau$
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$une relation liant quatre des dérivées partielles 1^ères solutions de l'équation implicite $\;f\left(x\,,\,y\,,\,z\,,\,t\right)=0\;$
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$une $\blacktriangleright \;$«$\;\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial x}}\right)_{\!z,\,t}\!\!\!\!\!(x_{0},\,z_{0},\,t_{0})\;\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)_{\!y,\,t}\!\!\!\!\!(y_{0},\,z_{0},\,t_{0})\;\left({\dfrac {\partial \zeta }{\partial t}}\right)_{\!x,\,y}\!\!\!\!\!(x_{0},\,y_{0},\,t_{0})\;\left({\dfrac {\partial \tau }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!\!\!\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})=1\;$»
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$une $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$$\Leftrightarrow$ «$\;\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial x}}\right)_{\!z,\,t}\!\!\!\!\!(x_{0},\,z_{0},\,t_{0})\;\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)_{\!y,\,t}\!\!\!\!\!(y_{0},\,z_{0},\,t_{0})\;\left({\dfrac {\partial \zeta }{\partial t}}\right)_{\!x,\,y}\!\!\!\!\!(x_{0},\,y_{0},\,t_{0})={\dfrac {1}{\left({\dfrac {\partial \tau }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!\!\!\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}}\;$
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$une $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$$\color {transparent}{\Leftrightarrow }$ «$\;\color {transparent}{\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial x}}\right)_{\!z,\,t}\!\!\!\!\!(x_{0},\,z_{0},\,t_{0})\;\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)_{\!y,\,t}\!\!\!\!\!(y_{0},\,z_{0},\,t_{0})\;\left({\dfrac {\partial \zeta }{\partial t}}\right)_{\!x,\,y}\!\!\!\!\!(x_{0},\,y_{0},\,t_{0})}$ $=\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial t}}\right)_{\!x,\,z}\!\!\!\!\!(x_{0},\,z_{0},\,t_{0})\;$»
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$une $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ainsi que trois autres relations équivalentes dont la détermination est laissée au bon soin du lecteur  ;
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$une $\blacktriangleright \;$il y a cinq autres relations du même type dont la détermination est laissée au bon soin du lecteur,
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$une $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$il y a cinq autres relations formées à partir de $\;\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial x}}\right)_{\!z,\,t}\!\!\!\!\!(x_{0},\,z_{0},\,t_{0})\;$ avec $\left\lbrace {\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial t}}\right)_{\!y,\,z}\!\!\!\!\!(y_{0},\,z_{0},\,t_{0})\\\left({\dfrac {\partial \tau }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\!\!\!\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\\\left({\dfrac {\partial \zeta }{\partial y}}\right)_{\!x,\,t}\!\!\!\!\!(x_{0},\,y_{0},\,t_{0})\end{array}}\right\rbrace \;$ ou
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$une $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$il y a cinq autres relations formées à partir de $\;\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial z}}\right)_{\!x,\,t}\!\!\!\!\!(x_{0},\,z_{0},\,t_{0})\;$ avec $\left\lbrace {\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial \zeta }{\partial x}}\right)_{\!y,\,t}\!\!\!\!\!(x_{0},\,y_{0},\,t_{0})\\\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial t}}\right)_{\!y,\,z}\!\!\!\!\!(y_{0},\,z_{0},\,t_{0})\\\left({\dfrac {\partial \tau }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!\!\!\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\end{array}}\right\rbrace \;$ ou
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$une $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$il y a cinq autres relations formées à partir de $\;\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial z}}\right)_{\!x,\,t}\!\!\!\!\!(x_{0},\,z_{0},\,t_{0})\;$ avec $\left\lbrace {\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial \zeta }{\partial t}}\right)_{\!x,\,y}\!\!\!\!\!(x_{0},\,y_{0},\,t_{0})\\\left({\dfrac {\partial \tau }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\!\!\!\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\\\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)_{\!z,\,t}\!\!\!\!\!(y_{0},\,z_{0},\,t_{0})\end{array}}\right\rbrace \;$ ou
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$une $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$il y a cinq autres relations formées à partir de $\;\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial t}}\right)_{\!x,\,z}\!\!\!\!\!(x_{0},\,z_{0},\,t_{0})\;$ avec $\left\lbrace {\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial \tau }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\!\!\!\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\\\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)_{\!y,\,t}\!\!\!\!\!(y_{0},\,z_{0},\,t_{0})\\\left({\dfrac {\partial \zeta }{\partial y}}\right)_{\!x,\,t}\!\!\!\!\!(x_{0},\,y_{0},\,t_{0})\end{array}}\right\rbrace \;$ ou
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$une $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$il y a cinq autres relations formées à partir de $\;\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial t}}\right)_{\!x,\,z}\!\!\!\!\!(x_{0},\,z_{0},\,t_{0})\;$ avec $\left\lbrace {\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial \tau }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\!\!\!\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\\\left({\dfrac {\partial \zeta }{\partial x}}\right)_{\!y,\,t}\!\!\!\!\!(x_{0},\,y_{0},\,t_{0})\\\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)_{\!z,\,t}\!\!\!\!\!(y_{0},\,z_{0},\,t_{0})\end{array}}\right\rbrace$ ;
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet \;$nous pouvons déduire des liens entre « les dérivées partielles 1^ères des quatre fonctions implicites
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$$\psi \;:\;(x,\,z,\,t)\;{\overset {\psi }{\rightarrow }}\;y$, $\;\varphi \;:\;(y,\,z,\,t)\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x$, $\;\zeta \;:\;(x,\,y,\,t)\;{\overset {\zeta }{\rightarrow }}\;z\;$ et $\;\tau \;:\;(x,\,y,\,z)\;{\overset {\zeta }{\rightarrow }}\;t\;$ solutions de l'équation
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$implicite $\,f\left(x\,,\,y\,,\,z\,,\,t\right)=0\,$ pour laquelle $\,f\,$ est une fonction continue et différentiable en $\,(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0}\,,\,t_{0})\;$»,
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$une relation liant trois des dérivées partielles 1^ères judicieusement choisies des fonctions implicites $\,\psi$, $\,\varphi$, $\,\zeta$, $\,\tau$
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$une relation liant quatre des dérivées partielles 1^ères solutions de l'équation implicite $\;f\left(x\,,\,y\,,\,z\,,\,t\right)=0\;$
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$une $\blacktriangleright \;$«$\;\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial x}}\right)_{\!z,\,t}\!\!\!\!\!(x_{0},\,z_{0},\,t_{0})\;\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)_{\!y,\,t}\!\!\!\!\!(y_{0},\,z_{0},\,t_{0})\;\left({\dfrac {\partial \zeta }{\partial y}}\right)_{\!x,\,t}\!\!\!\!\!(x_{0},\,y_{0},\,t_{0})=-1\;$» ,
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$une $\blacktriangleright \;$il y a sept autres relations du même type dont la détermination est laissée au bon soin du lecteur,
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$une $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$il y a sept autres relations formées à partir de $\;\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial x}}\right)_{\!z,\,t}\!\!\!\!\!(x_{0},\,z_{0},\,t_{0})\;$ avec $\left\lbrace {\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial t}}\right)_{\!y,\,z}\!\!\!\!\!(y_{0},\,z_{0},\,t_{0})\\\left({\dfrac {\partial \tau }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!\!\!\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\end{array}}\right\rbrace \;$ ou
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$une $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$il y a sept autres relations formées à partir de $\;\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial z}}\right)_{\!x,\,t}\!\!\!\!\!(x_{0},\,z_{0},\,t_{0})\;$ avec $\left\lbrace {\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial \zeta }{\partial x}}\right)_{\!y,\,t}\!\!\!\!\!(x_{0},\,y_{0},\,t_{0})\\\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)_{\!z,\,t}\!\!\!\!\!(y_{0},\,z_{0},\,t_{0})\end{array}}\right\rbrace \;$ ou
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$une $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$il y a sept autres relations formées à partir de $\;\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial z}}\right)_{\!x,\,t}\!\!\!\!\!(x_{0},\,z_{0},\,t_{0})\;$ avec $\left\lbrace {\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial \zeta }{\partial t}}\right)_{\!x,\,y}\!\!\!\!\!(x_{0},\,y_{0},\,t_{0})\\\left({\dfrac {\partial \tau }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!\!\!\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\end{array}}\right\rbrace \;$ ou
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$une $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$il y a sept autres relations formées à partir de $\;\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial t}}\right)_{\!x,\,z}\!\!\!\!\!(x_{0},\,z_{0},\,t_{0})\;$ avec $\left\lbrace {\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial \tau }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\!\!\!\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\\\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)_{\!z,\,t}\!\!\!\!\!(y_{0},\,z_{0},\,t_{0})\end{array}}\right\rbrace \;$ ou
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$une $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$il y a sept autres relations formées à partir de $\;\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial t}}\right)_{\!x,\,z}\!\!\!\!\!(x_{0},\,z_{0},\,t_{0})\;$ avec $\left\lbrace {\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial \tau }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\!\!\!\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\\\left({\dfrac {\partial \zeta }{\partial y}}\right)_{\!x,\,t}\!\!\!\!\!(x_{0},\,y_{0},\,t_{0})\end{array}}\right\rbrace \;$ ou
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$une $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$il y a sept autres relations formées à partir de $\;\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)_{\!y,\,t}\!\!\!\!\!(y_{0},\,z_{0},\,t_{0})\;$ avec $\left\lbrace {\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial \zeta }{\partial t}}\right)_{\!x,\,y}\!\!\!\!\!(x_{0},\,y_{0},\,t_{0})\\\left({\dfrac {\partial \tau }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\!\!\!\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\end{array}}\right\rbrace \;$ ou
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$une $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$il y a sept autres relations formées à partir de $\;\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial t}}\right)_{\!y,\,z}\!\!\!\!\!(y_{0},\,z_{0},\,t_{0})\;$ avec $\left\lbrace {\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial \tau }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\!\!\!\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\\\left({\dfrac {\partial \zeta }{\partial x}}\right)_{\!y,\,t}\!\!\!\!\!(x_{0},\,y_{0},\,t_{0})\end{array}}\right\rbrace$.

Dérivées partielles premières d'une fonction implicite entre plus de quatre variables réelles

     Soit l'équation implicite $\;f\left(x_{1}\,,\,..\,,\,x_{i}\,,\,..\,,\,x_{n}\right)=0\;$ des $\;n\;$ variables réelles $\;x_{1}\,,\;\ldots \,,\;x_{i}\,,\;\ldots \,,\;x_{n}\;$ avec $\;n\in \mathbb {N} ^{*}\,\backslash \left[\left[1\,,\,4\right]\right]\;$ avec $\;f\;$ continue et différentiable en $\;(x_{1,\,0}\,,\,..\,,\,x_{i,\,0}\,,\,..\,,\,x_{n,\,0})\;$ et
     Soit les $\;n\;$ fonctions implicites “$\;\varphi _{1}\;:\;(x_{2}\,,\,..\,,\,x_{j}\,,\,..\,,\,x_{n})\;{\overset {\varphi _{1}}{\rightarrow }}\;x_{1}\;$”, $\ldots$, “$\;\varphi _{i}\;:\;(x_{1}\,,\,..\,,\,x_{i-1}\,,\,x_{i+1}\,\,..\,,\,x_{n})\;{\overset {\varphi _{i}}{\rightarrow }}\;x_{i}\;$”, $\ldots$, “$\;\varphi _{n}\;:\;(x_{1}\,,\,..\,,\,x_{j}\,,\,x_{n-1})\;{\overset {\varphi _{n}}{\rightarrow }}\;x_{n}\;$”
     Soit les $\;\color {transparent}{n}\;$ fonctions implicites continues et différentiables respectivement en $\;(x_{2,\,0}\,,\,..\,,\,x_{j,\,0}\,,\,..\,,\,x_{n,\,0})$, $\;\ldots$, $\;(x_{1,\,0}\,,\,..\,,\,x_{i-1,\,0}\,,\,x_{i+1,\,0}\,\,..\,,\,x_{n,\,0})$, $\;\ldots$, $\;(x_{1,\,0}\,,\,..\,,\,x_{j,\,0}\,,\,..\,,\,x_{n-1,\,0})$,
     Soit la dérivée partielle 1^ère de la fonction implicite $\,\varphi _{i}\,:\,(x_{1}\,,\,..\,,\,x_{i-1}\,,\,x_{i+1}\,\,..\,,\,x_{n})\,{\overset {\varphi _{i}}{\rightarrow }}\,x_{i}\,$ par rapport à $\,x_{j}\;$, les $\,n-2\,$ autres variables figées, évaluée en $\,(x_{1,\,0}\,,\,..\,,\,x_{i-1,\,0}\,,\,x_{i+1,\,0}\,\,..\,,\,x_{n,\,0})$
      Soit la dérivée partielle 1^ère de la fonction implicite $\;\color {transparent}{\varphi _{i}}\;$ peut se déterminer à l'aide de «$\;{\dfrac {\partial \varphi _{i}}{\partial x_{j}}}(x_{1,\,0}\,,\,..\,,\,x_{i-1,\,0}\,,\,x_{i+1,\,0}\,\,..\,,\,x_{n,\,0})=-{\dfrac {{\dfrac {\partial f}{\partial x_{j}}}(x_{1,\,0}\,,\,..\,,\,x_{i,\,0}\,,\,..\,,\,x_{n,\,0})}{{\dfrac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x_{1,\,0}\,,\,..\,,\,x_{i,\,0}\,,\,..\,,\,x_{n,\,0})}}\;$» ,
      Soit la dérivée partielle 1^ère de la fonction implicite $\;\color {transparent}{\varphi _{i}}\;$ cette relation nécessitant que la dérivée partielle 1^ère de $\;f\;$ par rapport à $\,x_{i}$, les $\,n-1\,$ autres variables figées,
      Soit la dérivée partielle 1^ère de la fonction implicite $\;\color {transparent}{\varphi _{i}}\;$ cette relation nécessitant que la dérivée partielle 1^ère de $\;\color {transparent}{f}\;$ par rapport à $\,\color {transparent}{x_{i}}$, évaluée en $\;(x_{1,\,0}\,,\,..\,,\,x_{i,\,0}\,,\,..\,,\,x_{n,\,0})\;$ soit non nulle c.-à-d.
      Soit la dérivée partielle 1^ère de la fonction implicite $\;\color {transparent}{\varphi _{i}}\;$ cette relation nécessitant que «$\;{\dfrac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x_{1,\,0}\,,\,..\,,\,x_{i,\,0}\,,\,..\,,\,x_{n,\,0})\neq 0\;$» .

     Liens entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : « les fonctions implicites “$\;\varphi _{1}\,:\,(x_{2}\,,\,..\,,\,x_{j}\,,\,..\,,\,x_{n})\;{\overset {\varphi _{1}}{\rightarrow }}\;x_{1}\;$”, $\ldots$, “$\;\varphi _{i}\,:\,(x_{1}\,,\,..\,,\,x_{i-1}\,,\,x_{i+1}\,\,..\,,\,x_{n})\;{\overset {\varphi _{i}}{\rightarrow }}\;x_{i}\;$”,
      Liens entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : « les fonctions implicites “$\;\color {transparent}{\varphi _{1}\,:\,(x_{2}\,,\,..\,,\,x_{j}\,,\,..\,,\,x_{n})\;{\overset {\varphi _{1}}{\rightarrow }}\;x_{1}}\;$”, $\ldots$, “$\;\varphi _{n}\;:\;(x_{1}\,,\,..\,,\,x_{j}\,,\,x_{n-1})\;{\overset {\varphi _{n}}{\rightarrow }}\;x_{n}\;$” solutions
      Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : « les fonctions implicites “ de l'équation implicite $\;f\left(x_{1}\,,\,..\,,\,x_{i}\,,\,..\,,\,x_{n}\right)=0\;$ pour laquelle $\;f\;$ est une fonction
       Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : « les fonctions implicites “ de l'équation implicite continue et différentiable en $\;(x_{1,\,0}\,,\,..\,,\,x_{i,\,0}\,,\,..\,,\,x_{n,\,0})\;$»
      Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : « les fonctions implicites “ étant elles-mêmes continues et différentiables au point d'application étudié
      Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : « ont des dérivées partielles 1^ères liées entre elles de multiple façon et, en particulier, globalement
      Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : « il y a «$\;(n-1)\,!\;$ liens entre les dérivées partielles judicieusement choisies des $\;n\;$ fonctions implicites de
            Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : « il y a «$\;\color {transparent}{(n-1)\,!}\;$ liens entre les dérivées partielles l'équation implicite $\;f\left(x_{1}\,,\,..\,,\,x_{i}\,,\,..\,,\,x_{n}\right)=0\;$» soit
      Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : «$\;\prod \limits _{k\,=\,1\,..\,n}{\dfrac {\partial \varphi _{\sigma ^{k-1}(1)}}{\partial x_{\sigma ^{k}(1)}}}=(-1)^{n}\;$» où $\;\sigma \;$ une permutation de $\;S_{n}\;$ avec
                                                             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : « » où $\;\sigma ^{k}\;$ la puissance k de la permutation $\;\sigma \;$ telle que $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\sigma ^{0}(1)=1\\\sigma ^{n}(1)=1\end{array}}\right\rbrace \;$ et
                                                             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : « » où $\;\sigma \;$ telle que «$\;\sigma (1)\;$ est $\;\neq 1\;$» et
                                                             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : « » où $\;\color {transparent}{\sigma }\;$ telle que «$\;\sigma ^{k}(1)\notin \left\lbrace 1,\,..\,\sigma (1),\,..\,\sigma ^{k-1}(1)\right\rbrace \;$ $\;\forall \,k\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right]\;$» ,
      Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : « sous la condition qu'« aucune des dérivées partielles 1^ères de $\;f\;$ ne s'annule en $\;(x_{1,\,0}\,,\,..\,,\,x_{i,\,0}\,,\,..\,,\,x_{n,\,0})\;$».

Théorème des fonctions implicites

Théorème des fonctions implicites en dimension deux

     Préliminaire : Le théorème des fonctions implicites en dimension deux précise à quelles conditions une équation implicite $\;f(x,\,y)=0\;$ des variables réelles $\;x\;$ et $\;y\;$ peut être résolue c.-à-d.
     Préliminaire : Le théorème des fonctions implicites en dimension deux précise à quelles conditions il est possible d'exprimer une des variables $\;x$ $\;{\big (}$ou $\;y{\big )}\;$ en fonction de l'autre $\;y$ $\;{\big (}$ou $\;x{\big )}\;$
     Préliminaire : Le théorème des fonctions implicites en dimension deux précise à quelles conditions il est possible d'exprimer pour tous les couples $\;\left(x\,,\,y\right)\;$ vérifiant l'équation.

Énoncé

Début d’un théorème

Théorème des fonctions implicites en dimension deux

     Soit «$\;f\;$ une fonction réelle de classe C^p $\;{\big (}p\,\in \,\mathbb {N} ^{*}{\big )}\;$ définie sur un ouvert $\;U\;$ de $\;\mathbb {R} ^{2}\;$» et
     Soit «$\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)\;$ un point de $\;U\;$ tel que $\;f\!\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)=0\;$ et
     Soit «$\;\color {transparent}{\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)}\;$ un point de $\;\color {transparent}{U}\;$ tel que la dérivée partielle 1^ère de $\;f\;$ par rapport à $\;y$ $\;{\big (}$à $\;x\;$ figée${\big )}\;$ y soit non nulle c.-à-d.
     Soit «$\;\color {transparent}{\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)}\;$ un point de $\;\color {transparent}{U}\;$ tel que $\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x}(x_{0},\,y_{0})\neq 0\;$»,
     il existe une fonction réelle $\;\psi \;$ de classe C^p , définie sur un intervalle ouvert réel $\;V\,\ni x_{0}\;$ et
     il existe un voisinage ouvert de $\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)\;$ dans $\;U$, noté $\;\Omega$,
     il existe tels que «$\;\forall \,\left(x\,,\,y\right)\in \Omega \;{\text{et}}\;f\!\left(x\,,\,y\right)=0\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;x\in V\;{\text{et}}\;y=\psi (x)\;$»,
     il existe tels que «$\;\psi \;$ définissant une fonction implicite solution de l'équation implicite $\;f\!\left(x\,,\,y\right)=0\;$».

Fin du théorème

Début d’un théorème

Théorème des fonctions implicites en dimension deux (autre version)

     Soit «$\;f\;$ une fonction réelle de classe C^p $\;{\big (}p\,\in \,\mathbb {N} ^{*}{\big )}\;$ définie sur un ouvert $\;U\;$ de $\;\mathbb {R} ^{2}\;$» et
     Soit «$\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)\;$ un point de $\;U\;$ tel que $\;f\!\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)=0\;$ et
     Soit «$\;\color {transparent}{\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)}\;$ un point de $\;\color {transparent}{U}\;$ tel que la dérivée partielle 1^ère de $\;f\;$ par rapport à $\;x$ $\;{\big (}$à $\;y\;$ figée${\big )}\;$ y soit non nulle c.-à-d.
     Soit «$\;\color {transparent}{\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)}\;$ un point de $\;\color {transparent}{U}\;$ tel que $\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y}(x_{0},\,y_{0})\neq 0\;$»,
     il existe une fonction réelle $\;\varphi \;$ de classe C^p , définie sur un intervalle ouvert réel $\;V'\,\ni y_{0}\;$ et
     il existe un voisinage ouvert de $\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)\;$ dans $\;U$, noté $\;\Omega '$,
     il existe tels que «$\;\forall \,\left(x\,,\,y\right)\in \Omega '\;{\text{et}}\;f\!\left(x\,,\,y\right)=0\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;y\in V'\;{\text{et}}\;x=\varphi (y)\;$»,
     il existe tels que «$\;\varphi \;$ définissant une fonction implicite solution de l'équation implicite $\;f\!\left(x\,,\,y\right)=0\;$».

Fin du théorème

     Remarque : nous admettons le théorème des fonctions implicites en dimension deux dans l'une ou l'autre version énoncée ci-dessus.

Exemples d'application

     Retour sur l'équation implicite «$\;x^{2}+y^{2}-1=0\;$» équation cartésienne $\;f(x\,,\,y)=0\;$ du cercle trigonométrique :
     Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-1=0}\;$» $\bullet \;$en tout point d'abscisse $\;x\in \left]-1\,,\,+1\right[\;$ il existe deux valeurs de $\;y\;$ possibles de signe contraire, aussi on considère deux ouverts de $\,\mathbb {R} ^{2}\,$ disjoints
     Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-1=0}\;$» $\color {transparent}{\bullet }\;$en tout point d'abscisse $\;\color {transparent}{x\in \left]-1\,,\,+1\right[}\;$ il existe deux valeurs de $\;\color {transparent}{y}\;$ possibles de signe contraire, aussi $\;U_{+}=\left\lbrace x\in \left]-1\,,\,+1\right[\;,\;y>0\right\rbrace \;$ et
     Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-1=0}\;$» $\color {transparent}{\bullet }\;$en tout point d'abscisse $\;\color {transparent}{x\in \left]-1\,,\,+1\right[}\;$ il existe deux valeurs de $\;\color {transparent}{y}\;$ possibles de signe contraire, aussi $\;U_{-}=\left\lbrace x\in \left]-1\,,\,+1\right[\;,\;y<0\right\rbrace \;$ pour
     Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-1=0}\;$» $\color {transparent}{\bullet }\;$en tout point d'abscisse $\;\color {transparent}{x\in \left]-1\,,\,+1\right[}\;$ appliquer, sur chacun d'eux, le théorème des fonctions implicites en dimension deux :
     Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-1=0}\;$» $\color {transparent}{\bullet }\;$en tout point d'abscisse $\;\color {transparent}{x\in \left]-1\,,\,+1\right[}\;$ appliquer, pour $\;(x_{0}\,,\,y_{0})\,\in \,U_{+}$, $\;f(x_{0}\,,\,y_{0})=0\;$ et $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x}(x_{0},\,y_{0})=2\;y_{0}\neq 0\;$ $\Rightarrow$ il existe
      Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-1=0}\;$» $\color {transparent}{\bullet }\;$en tout point d'abscisse $\;\color {transparent}{x\in \left]-1\,,\,+1\right[}\;$ appliquer, pour $\;\color {transparent}{(x_{0}\,,\,y_{0})\,\in \,U_{+}}$, une fonction réelle $\;\psi _{+}\;$ de classe C^p , définie sur $\;\left]-1\,,\,+1\right[\;$ et
      Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-1=0}\;$» $\color {transparent}{\bullet }\;$en tout point d'abscisse $\;\color {transparent}{x\in \left]-1\,,\,+1\right[}\;$ appliquer, pour $\;\color {transparent}{(x_{0}\,,\,y_{0})\,\in \,U_{+}}$, un voisinage ouvert de $\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)\;$ dans $\;U_{+}$, noté $\;\Omega _{+}$, tels que
      Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-1=0}\;$» $\color {transparent}{\bullet }\;$en tout point d'abscisse $\;\color {transparent}{x\in \left]-1\,,\,+1\right[}\;$ appliquer, pour $\;\color {transparent}{(x_{0}\,,\,y_{0})\,\in \,U_{+}}$, «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\forall \,\left(x\,,\,y\right)\in \Omega _{+}\\{\text{et}}\;f\!\left(x\,,\,y\right)=0\end{array}}\right\rbrace \;$» $\Leftrightarrow$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}x\in \left]-1\,,\,+1\right[\;{\text{et}}\\y=\psi _{+}(x)={\sqrt {1-x^{2}}}\end{array}}\right\rbrace \;$» ,
      Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-1=0}\;$» $\color {transparent}{\bullet }\;$en tout point d'abscisse $\;\color {transparent}{x\in \left]-1\,,\,+1\right[}\;$ appliquer, pour $\;\color {transparent}{(x_{0}\,,\,y_{0})\,\in \,U_{+}}$, «$\;{\dfrac {d\psi _{+}}{dx}}(x)=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y}(x,\,y)}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x}(x,\,y)}}=-{\dfrac {2\,x}{2\,y}}=-{\dfrac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\;$» ,
     Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-1=0}\;$» $\color {transparent}{\bullet }\;$en tout point d'abscisse $\;\color {transparent}{x\in \left]-1\,,\,+1\right[}\;$ appliquer, pour $\;(x_{0}\,,\,y_{0})\,\in \,U_{-}$, $\;f(x_{0}\,,\,y_{0})=0\;$ et $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x}(x_{0},\,y_{0})=2\;y_{0}\neq 0\;$ $\Rightarrow$ il existe
      Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-1=0}\;$» $\color {transparent}{\bullet }\;$en tout point d'abscisse $\;\color {transparent}{x\in \left]-1\,,\,+1\right[}\;$ appliquer, pour $\;\color {transparent}{(x_{0}\,,\,y_{0})\,\in \,U_{-}}$, une fonction réelle $\;\psi _{-}\;$ de classe C^p , définie sur $\;\left]-1\,,\,+1\right[\;$ et
      Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-1=0}\;$» $\color {transparent}{\bullet }\;$en tout point d'abscisse $\;\color {transparent}{x\in \left]-1\,,\,+1\right[}\;$ appliquer, pour $\;\color {transparent}{(x_{0}\,,\,y_{0})\,\in \,U_{-}}$, un voisinage ouvert de $\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)\;$ dans $\;U_{-}$, noté $\;\Omega _{-}$, tels que
      Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-1=0}\;$» $\color {transparent}{\bullet }\;$en tout point d'abscisse $\;\color {transparent}{x\in \left]-1\,,\,+1\right[}\;$ appliquer, pour $\;\color {transparent}{(x_{0}\,,\,y_{0})\,\in \,U_{-}}$, «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\forall \,\left(x\,,\,y\right)\in \Omega _{-}\\{\text{et}}\;f\!\left(x\,,\,y\right)=0\end{array}}\right\rbrace \;$» $\Leftrightarrow$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}x\in \left]-1\,,\,+1\right[\;{\text{et}}\\y=\psi _{-}(x)=-{\sqrt {1-x^{2}}}\end{array}}\right\rbrace \;$»
      Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-1=0}\;$» $\color {transparent}{\bullet }\;$en tout point d'abscisse $\;\color {transparent}{x\in \left]-1\,,\,+1\right[}\;$ appliquer, pour $\;\color {transparent}{(x_{0}\,,\,y_{0})\,\in \,U_{-}}$, «$\;{\dfrac {d\psi _{-}}{dx}}(x)=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y}(x,\,y)}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x}(x,\,y)}}=-{\dfrac {2\,x}{2\,y}}={\dfrac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\;$»  ;
     Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-1=0}\;$» $\bullet \;$en tout point d'ordonnée $\;y\in \left]-1\,,\,+1\right[\;$ il existe deux valeurs de $\;x\;$ possibles de signe contraire, aussi on considère deux ouverts de $\,\mathbb {R} ^{2}\,$ disjoints
     Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-1=0}\;$» $\color {transparent}{\bullet }\;$en tout point d'ordonnée $\;\color {transparent}{y\in \left]-1\,,\,+1\right[}\;$ il existe deux valeurs de $\;\color {transparent}{x}\;$ possibles de signe contraire, aussi $\;{U'}_{\!\!+}=\left\lbrace y\in \left]-1\,,\,+1\right[\;,\;x>0\right\rbrace \;$ et
     Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-1=0}\;$» $\color {transparent}{\bullet }\;$en tout point d'ordonnée $\;\color {transparent}{y\in \left]-1\,,\,+1\right[}\;$ il existe deux valeurs de $\;\color {transparent}{x}\;$ possibles de signe contraire, aussi $\;{U'}_{!-}=\left\lbrace y\in \left]-1\,,\,+1\right[\;,\;x<0\right\rbrace \;$ pour
     Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-1=0}\;$» $\color {transparent}{\bullet }\;$en tout point d'ordonnée $\;\color {transparent}{y\in \left]-1\,,\,+1\right[}\;$ appliquer, sur chacun d'eux, le théorème des fonctions implicites en dimension deux :
     Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-1=0}\;$» $\color {transparent}{\bullet }\;$en tout point d'ordonnée $\;\color {transparent}{y\in \left]-1\,,\,+1\right[}\;$ appliquer, pour $\;(x_{0}\,,\,y_{0})\,\in \,{U'}_{\!\!+}$, $\;f(x_{0}\,,\,y_{0})=0\;$ et $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y}(x_{0},\,y_{0})=2\;x_{0}\neq 0\;$ $\Rightarrow$ il existe
      Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-1=0}\;$» $\color {transparent}{\bullet }\;$en tout point d'ordonnée $\;\color {transparent}{y\in \left]-1\,,\,+1\right[}\;$ appliquer, pour $\;\color {transparent}{(x_{0}\,,\,y_{0})\,\in \,{U'}_{\!\!+}}$, une fonction réelle $\;\varphi _{+}\;$ de classe C^p , définie sur $\;\left]-1\,,\,+1\right[\;$ et
      Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-1=0}\;$» $\color {transparent}{\bullet }\;$en tout point d'ordonnée $\;\color {transparent}{y\in \left]-1\,,\,+1\right[}\;$ appliquer, pour $\;\color {transparent}{(x_{0}\,,\,y_{0})\,\in \,{U'}_{\!\!+}}$, un voisinage ouvert de $\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)\;$ dans $\;{U'}_{\!\!+}$, noté $\;{\Omega '}_{\!\!+}$, tels que
      Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-1=0}\;$» $\color {transparent}{\bullet }\;$en tout point d'ordonnée $\;\color {transparent}{y\in \left]-1\,,\,+1\right[}\;$ appliquer, pour $\;\color {transparent}{(x_{0}\,,\,y_{0})\,\in \,{U'}_{\!\!+}}$, «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\forall \,\left(x\,,\,y\right)\in {\Omega '}_{\!\!+}\\{\text{et}}\;f\!\left(x\,,\,y\right)=0\end{array}}\right\rbrace \;$» $\Leftrightarrow$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}y\in \left]-1\,,\,+1\right[\;{\text{et}}\\y=\varphi _{+}(y)={\sqrt {1-y^{2}}}\end{array}}\right\rbrace \;$» ,
      Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-1=0}\;$» $\color {transparent}{\bullet }\;$en tout point d'ordonnée $\;\color {transparent}{y\in \left]-1\,,\,+1\right[}\;$ appliquer, pour $\;\color {transparent}{(x_{0}\,,\,y_{0})\,\in \,{U'}_{\!\!+}}$, «$\;{\dfrac {d\varphi _{+}}{dy}}(y)=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x}(x,\,y)}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y}(x,\,y)}}=-{\dfrac {2\,y}{2\,x}}=-{\dfrac {y}{\sqrt {1-y^{2}}}}\;$» ,
     Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-1=0}\;$» $\color {transparent}{\bullet }\;$en tout point d'ordonnée $\;\color {transparent}{y\in \left]-1\,,\,+1\right[}\;$ appliquer, pour $\;(x_{0}\,,\,y_{0})\,\in \,{U'}_{\!\!-}$, $\;f(x_{0}\,,\,y_{0})=0\;$ et $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y}(x_{0},\,y_{0})=2\;x_{0}\neq 0\;$ $\Rightarrow$ il existe
      Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-1=0}\;$» $\color {transparent}{\bullet }\;$en tout point d'ordonnée $\;\color {transparent}{y\in \left]-1\,,\,+1\right[}\;$ appliquer, pour $\;\color {transparent}{(x_{0}\,,\,y_{0})\,\in \,{U'}_{\!\!-}}$, une fonction réelle $\;\varphi _{-}\;$ de classe C^p , définie sur $\;\left]-1\,,\,+1\right[\;$ et
      Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-1=0}\;$» $\color {transparent}{\bullet }\;$en tout point d'ordonnée $\;\color {transparent}{y\in \left]-1\,,\,+1\right[}\;$ appliquer, pour $\;\color {transparent}{(x_{0}\,,\,y_{0})\,\in \,{U'}_{\!\!-}}$, un voisinage ouvert de $\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)\;$ dans $\;{U'}_{\!\!-}$, noté $\;{\Omega '}_{\!\!-}$, tels que
      Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-1=0}\;$» $\color {transparent}{\bullet }\;$en tout point d'ordonnée $\;\color {transparent}{y\in \left]-1\,,\,+1\right[}\;$ appliquer, pour $\;\color {transparent}{(x_{0}\,,\,y_{0})\,\in \,{U'}_{\!\!-}}$, «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\forall \,\left(x\,,\,y\right)\in {\Omega '}_{\!\!-}\\{\text{et}}\;f\!\left(x\,,\,y\right)=0\end{array}}\right\rbrace \;$» $\Leftrightarrow$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}y\in \left]-1\,,\,+1\right[\;{\text{et}}\\x=\varphi _{-}(y)=-{\sqrt {1-y^{2}}}\end{array}}\right\rbrace \;$»
      Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-1=0}\;$» $\color {transparent}{\bullet }\;$en tout point d'ordonnée $\;\color {transparent}{y\in \left]-1\,,\,+1\right[}\;$ appliquer, pour $\;\color {transparent}{(x_{0}\,,\,y_{0})\,\in \,{U'}_{\!\!-}}$, «$\;{\dfrac {d\varphi _{-}}{dy}}(y)=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x}(x,\,y)}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y}(x,\,y)}}=-{\dfrac {2\,y}{2\,x}}={\dfrac {y}{\sqrt {1-y^{2}}}}\;$» .
     Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-1=0}\;$» $\bullet \;$Remarques : $\succ \;$aux points d'abscisse $\;x_{+}=+1\;$ ou $\;x_{-}=-1$, il existe une seule valeur de $\;y\;$ possible $\;y_{d}=0$, mais
     Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-1=0}\;$» $\color {transparent}{\bullet }\;$Remarques : $\color {transparent}{\succ }\;$aux points d'abscisse $\;\color {transparent}{x_{+}=+1}\;$ ou $\;\color {transparent}{x_{-}=-1}$, dans tout ouvert contenant l'un ou l'autre $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x}(x_{\pm },\,y_{d})=2\;y_{d}=0\;$ $\Rightarrow$
     Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-1=0}\;$» $\color {transparent}{\bullet }\;$Remarques : $\color {transparent}{\succ }\;$aux points d'abscisse $\;\color {transparent}{x_{+}=+1}\;$ ou $\;\color {transparent}{x_{-}=-1}\;$ le théorème des fonctions implicites en dimension deux ne peut s'y appliquer ;
     Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-1=0}\;$» $\color {transparent}{\bullet }\;$Remarques : $\succ \;$aux points d'ordonnée $\;y_{+}=+1\;$ ou $\;y_{-}=-1$, il existe une seule valeur de $\;x\;$ possible $\;x_{d}=0$, mais
     Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-1=0}\;$» $\color {transparent}{\bullet }\;$Remarques : $\color {transparent}{\succ }\;$aux points d'ordonnée $\;\color {transparent}{y_{+}=+1}\;$ ou $\;\color {transparent}{y_{-}=-1}$, dans tout ouvert contenant l'un ou l'autre $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y}(x_{d},\,y_{\pm })=2\;x_{d}=0\;$ $\Rightarrow$
     Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-1=0}\;$» $\color {transparent}{\bullet }\;$Remarques : $\color {transparent}{\succ }\;$aux points d'ordonnée $\;\color {transparent}{y_{+}=+1}\;$ ou $\;\color {transparent}{y_{-}=-1}\;$ le théorème des fonctions implicites en dimension deux ne peut s'y appliquer.

     Remarque : le lecteur pourra constater par lui-même, sur les autres exemples du paragraphe « exemples de fonctions implicites entre deux variables réelles » présentés plus haut dans ce chapitre,
     Remarque : le lecteur pourra constater par lui-même, que les conditions d'application du théorème des fonctions implicites en dimension deux sont vérifiées $\;\ldots$

Théorème des fonctions implicites en dimension trois

     Préliminaire : Le théorème des fonctions implicites en dimension trois précise à quelles conditions une équation implicite $\;f(x,\,y,|,z)=0\;$ des variables réelles $\;x$, $\;y\;$ et $\;z\;$ peut être résolue c.-à-d.
     Préliminaire : Le théorème des fonctions implicites en dimension trois précise à quelles conditions on peut exprimer une des variables $\;x$ $\;{\big \{}$ou $\;y\;$ ou $\;z{\big \}}\;$ en fonction des deux autres $\;(y\,,\,z)$
     Préliminaire : Le théorème des fonctions implicites en dimension trois précise à quelles conditions on peut exprimer une des variables $\;\color {transparent}{x}$ $\;\color {transparent}{\big \{}$ou $\;\color {transparent}{y}\;$ ou $\;\color {transparent}{z{\big \}}}\;$ en fonction de ${\big \{}$ou $\;(x\,,\,z)\;$ ou $\;(x\,,\,y{\big )}{\big \}}$
     Préliminaire : Le théorème des fonctions implicites en dimension trois précise à quelles conditions on peut exprimer pour tous les triplets $\;\left(x\,,\,y\,,\,z\right)\;$ vérifiant l'équation ;
     Préliminaire : il existe d'autres formulations $\;{\big (}$ou utilisations${\big )}\;$ de ce théorème que nous n'évoquerons pas .

Énoncé

Début d’un théorème

Théorème des fonctions implicites en dimension trois

     Soit «$\;f\;$ une fonction réelle de classe C^p $\;{\big (}p\,\in \,\mathbb {N} ^{*}{\big )}\;$ définie sur un ouvert $\;U\;$ de $\;\mathbb {R} ^{3}\;$» et
     Soit «$\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0}\right)\;$ un point de $\;U\;$ tel que $\;f\!\left(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0}\right)=0\;$ et
     Soit «$\;\color {transparent}{\left(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0}\right)}\;$ un point de $\;\color {transparent}{U}\;$ tel que la dérivée partielle 1^ère de $\;f\;$ par rapport à $\;y$ $\;{\big (}$à $\;x\;$ et $\;z\;$ figées${\big )}\;$ y soit non nulle c.-à-d.
     Soit «$\;\color {transparent}{\left(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0}\right)}\;$ un point de $\;\color {transparent}{U}\;$ tel que $\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\neq 0\;$»,
     il existe une fonction réelle $\;\psi \;$ de classe C^p , définie sur un intervalle ouvert de $\;\mathbb {R} ^{2}$ noté $\;V\,\ni (x_{0}\,,\,z_{0})\;$ et
     il existe un voisinage ouvert de $\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0}\right)\;$ dans $\;U$, noté $\;\Omega$,
     il existe tels que «$\;\forall \,\left(x\,,\,y\,,\,z\right)\in \Omega \;{\text{et}}\;f\!\left(x\,,\,y\,,\,z\right)=0\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;(x,\,z)\in V\;{\text{et}}\;y=\psi (x,\,z)\;$»,
     il existe tels que «$\;\psi \;$ définissant une fonction implicite solution de l'équation implicite $\;f\!\left(x\,,\,y\,,\,z\right)=0\;$».

Fin du théorème

Début d’un théorème

Théorème des fonctions implicites en dimension trois (1^ère autre version)

     Soit «$\;f\;$ une fonction réelle de classe C^p $\;{\big (}p\,\in \,\mathbb {N} ^{*}{\big )}\;$ définie sur un ouvert $\;U\;$ de $\;\mathbb {R} ^{3}\;$» et
     Soit «$\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0}\right)\;$ un point de $\;U\;$ tel que $\;f\!\left(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0}\right)=0\;$ et
     Soit «$\;\color {transparent}{\left(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0}\right)}\;$ un point de $\;\color {transparent}{U}\;$ tel que la dérivée partielle 1^ère de $\;f\;$ par rapport à $\;x$ $\;{\big (}$à $\;y\;$ et $\;z\;$ figées${\big )}\;$ y soit non nulle c.-à-d.
     Soit «$\;\color {transparent}{\left(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0}\right)}\;$ un point de $\;\color {transparent}{U}\;$ tel que $\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\neq 0\;$»,
     il existe une fonction réelle $\;\varphi \;$ de classe C^p , définie sur un intervalle ouvert $\;\mathbb {R} ^{2}$ noté $\;V'\,\ni (y_{0},\,z_{0})\;$ et
     il existe un voisinage ouvert de $\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0}\right)\;$ dans $\;U$, noté $\;\Omega '$,
     il existe tels que «$\;\forall \,\left(x\,,\,y\,,\,z\right)\in \Omega '\;{\text{et}}\;f\!\left(x\,,\,y\,,\,z\right)=0\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;(y,\,z)\in V'\;{\text{et}}\;x=\varphi (y,\,z)\;$»,
     il existe tels que «$\;\varphi \;$ définissant une fonction implicite solution de l'équation implicite $\;f\!\left(x\,,\,y\,,\,z\right)=0\;$».

Fin du théorème

Début d’un théorème

Théorème des fonctions implicites en dimension trois (2^ème autre version)

     Soit «$\;f\;$ une fonction réelle de classe C^p $\;{\big (}p\,\in \,\mathbb {N} ^{*}{\big )}\;$ définie sur un ouvert $\;U\;$ de $\;\mathbb {R} ^{3}\;$» et
     Soit «$\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0}\right)\;$ un point de $\;U\;$ tel que $\;f\!\left(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0}\right)=0\;$ et
     Soit «$\;\color {transparent}{\left(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0}\right)}\;$ un point de $\;\color {transparent}{U}\;$ tel que la dérivée partielle 1^ère de $\;f\;$ par rapport à $\;z$ $\;{\big (}$à $\;x\;$ et $\;y\;$ figées${\big )}\;$ y soit non nulle c.-à-d.
     Soit «$\;\color {transparent}{\left(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0}\right)}\;$ un point de $\;\color {transparent}{U}\;$ tel que $\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\neq 0\;$»,
     il existe une fonction réelle $\;\zeta \;$ de classe C^p , définie sur un intervalle ouvert $\;\mathbb {R} ^{2}$ noté $\;V''\,\ni (x_{0},\,y_{0})\;$ et
     il existe un voisinage ouvert de $\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0}\right)\;$ dans $\;U$, noté $\;\Omega ''$,
     il existe tels que «$\;\forall \,\left(x\,,\,y\,,\,z\right)\in \Omega ''\;{\text{et}}\;f\!\left(x\,,\,y\,,\,z\right)=0\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;(x,\,y)\in V''\;{\text{et}}\;z=\zeta (x,\,y)\;$»,
     il existe tels que «$\;\zeta \;$ définissant une fonction implicite solution de l'équation implicite $\;f\!\left(x\,,\,y\,,\,z\right)=0\;$».

Fin du théorème

     Remarque : nous admettons le théorème des fonctions implicites en dimension trois dans chaque version énoncée ci-dessus.

Exemples d'application

     Retour sur l'équation implicite «$\;{\dfrac {x^{2}}{a'^{2}}}+{\dfrac {y^{2}}{b'^{2}}}-{\dfrac {z^{2}}{c'^{2}}}-1=0\;$» équation cartésienne $\;f(x\,,\,y\,,\,z)=0\;$ de l'hyperboloïde à une nappe de centre $\;O$, d'axes $\;x'x$, $\;y'y\;$ et $\;z'z\;$
       Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-z^{2}-1=0}\;$» équation cartésienne $\;\color {transparent}{f(x\,,\,y\,,\,z)=0}\;$ de avec $\;a'$, $\;b'\;$ et $\;c'\;$ les demi-axes , l'hyperboloïde étant connexe  :
         Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-z^{2}-1=0}\;$» $\bullet \;$en tout point $\;\left(x\in \mathbb {R} \;,\;z\in \mathbb {R} ^{*}\right)\,$ il existe deux valeurs de $\;y\;$ possibles de signe contraire, aussi on considère
        Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-z^{2}-1=0}\;$» $\color {transparent}{\bullet }\;$en tout point $\;\color {transparent}{\left(x\in \mathbb {R} \;,\;z\in \mathbb {R} ^{*}\right)}\;$ deux ouverts de $\,\mathbb {R} ^{3}\,$ disjoints $\,U_{+}=\left\lbrace x\in \mathbb {R} \,,\,z\in \mathbb {R} ^{*}\,,\,y>0\right\rbrace \,$ et
        Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-z^{2}-1=0}\;$» $\color {transparent}{\bullet }\;$en tout point $\;\color {transparent}{\left(x\in \mathbb {R} \;,\;z\in \mathbb {R} ^{*}\right)}\;$ deux ouverts de $\,\color {transparent}{\mathbb {R} ^{3}}\,$ disjoints $\,U_{-}=\left\lbrace x\in \mathbb {R} \,,\,z\in \mathbb {R} ^{*}\,,\,y<0\right\rbrace \,$ pour
        Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-z^{2}-1=0}\;$» $\color {transparent}{\bullet }\;$en tout point $\;\color {transparent}{\left(x\in \mathbb {R} \;,\;z\in \mathbb {R} ^{*}\right)}\;$ appliquer, sur chacun, le théorème des fonctions implicites en dimension trois :
           Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-z^{2}-1=0}\;$» $\color {transparent}{\bullet }\;$en tout point pour $\;(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0})\,\in \,U_{+}$, $\;f(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0})=0\;$ et $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})={\dfrac {2\;y_{0}}{b'^{2}}}\neq 0\;$ $\Rightarrow$ il existe
             Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-z^{2}-1=0}\;$» $\color {transparent}{\bullet }\;$en tout point pour $\;\color {transparent}{(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0})\,\in \,U_{+}}$, une fonction réelle $\,\psi _{+}(x,\,z)\,$ de classe C^p , définie sur $\,\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{*}\,$ et
             Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-z^{2}-1=0}\;$» $\color {transparent}{\bullet }\;$en tout point pour $\;\color {transparent}{(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0})\,\in \,U_{+}}$, un voisinage ouvert de $\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0}\right)\;$ dans $\;U_{+}$, noté $\;\Omega _{+}$, tels que
             Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-z^{2}-1=0}\;$» $\color {transparent}{\bullet }\;$en tout point pour $\;\color {transparent}{(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0})\,\in \,U_{+}}$, «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\forall \,\left(x\,,\,y\,,\,z\right)\in \Omega _{+}\\{\text{et}}\;f\!\left(x\,,\,y\,,\,z\right)=0\end{array}}\right\rbrace \;$» $\Leftrightarrow$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}x\in \mathbb {R} \;,\;z\in \mathbb {R} ^{*}\;{\text{et}}\\y=\psi _{+}(x,\,z)=b'\;{\sqrt {1-{\dfrac {x^{2}}{a'^{2}}}+{\dfrac {z^{2}}{c'^{2}}}}}\end{array}}\right\rbrace \;$» ,
             Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-z^{2}-1=0}\;$» $\color {transparent}{\bullet }\;$en tout point pour $\;\color {transparent}{(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0})\,\in \,U_{+}}$, «$\;\left({\dfrac {\partial \psi _{+}}{\partial x}}\right)_{\!z}(x,\,z)=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(x,\,y,\,z)}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(x,\,y,\,z)}}=-{\dfrac {\dfrac {2\,x}{a'^{2}}}{\dfrac {2\,y}{b'^{2}}}}=-{\dfrac {b'}{a'^{2}}}\;{\dfrac {x}{\sqrt {1-{\dfrac {x^{2}}{a'^{2}}}+{\dfrac {z^{2}}{c'^{2}}}}}}\;$» et
             Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-z^{2}-1=0}\;$» $\color {transparent}{\bullet }\;$en tout point pour $\;\color {transparent}{(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0})\,\in \,U_{+}}$, «$\;\left({\dfrac {\partial \psi _{+}}{\partial z}}\right)_{\!x}(x,\,z)=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(x,\,y,\,z)}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(x,\,y,\,z)}}=-{\dfrac {\dfrac {-2\,z}{c'^{2}}}{\dfrac {2\,y}{b'^{2}}}}={\dfrac {b'}{c'^{2}}}\;{\dfrac {z}{\sqrt {1-{\dfrac {x^{2}}{a'^{2}}}+{\dfrac {z^{2}}{c'^{2}}}}}}\;$» ,
           Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-z^{2}-1=0}\;$» $\color {transparent}{\bullet }\;$en tout point pour $\;(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0})\,\in \,U_{-}$, $\;f(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0})=0\;$ et $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})={\dfrac {2\;y_{0}}{b'^{2}}}\neq 0\;$ $\Rightarrow$ il existe
             Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-z^{2}-1=0}\;$» $\color {transparent}{\bullet }\;$en tout point pour $\;\color {transparent}{(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0})\,\in \,U_{-}}$, une fonction réelle $\,\psi _{-}(x,\,z)\,$ de classe C^p , définie sur $\,\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{*}\,$ et
             Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-z^{2}-1=0}\;$» $\color {transparent}{\bullet }\;$en tout point pour $\;\color {transparent}{(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0})\,\in \,U_{-}}$, un voisinage ouvert de $\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0}\right)\;$ dans $\;U_{-}$, noté $\;\Omega _{-}$, tels que
             Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-z^{2}-1=0}\;$» $\color {transparent}{\bullet }\;$en tout point pour $\;\color {transparent}{(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0})\,\in \,U_{-}}$, «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\forall \,\left(x\,,\,y\,,\,z\right)\in \Omega _{-}\\{\text{et}}\;f\!\left(x\,,\,y\,,\,z\right)=0\end{array}}\right\rbrace \;$» $\Leftrightarrow$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}x\in \mathbb {R} \;,\;z\in \mathbb {R} ^{*}\;{\text{et}}\\y=\psi _{-}(x,\,z)=-b'\;{\sqrt {1-{\dfrac {x^{2}}{a'^{2}}}+{\dfrac {z^{2}}{c'^{2}}}}}\end{array}}\right\rbrace \;$» ,
             Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-z^{2}-1=0}\;$» $\color {transparent}{\bullet }\;$en tout point pour $\;\color {transparent}{(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0})\,\in \,U_{-}}$, «$\;\left({\dfrac {\partial \psi _{-}}{\partial x}}\right)_{\!z}(x,\,z)=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(x,\,y,\,z)}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(x,\,y,\,z)}}=-{\dfrac {\dfrac {2\,x}{a'^{2}}}{\dfrac {2\,y}{b'^{2}}}}={\dfrac {b'}{a'^{2}}}\;{\dfrac {x}{\sqrt {1-{\dfrac {x^{2}}{a'^{2}}}+{\dfrac {z^{2}}{c'^{2}}}}}}\;$» et
             Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-z^{2}-1=0}\;$» $\color {transparent}{\bullet }\;$en tout point pour $\;\color {transparent}{(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0})\,\in \,U_{-}}$, «$\;\left({\dfrac {\partial \psi _{-}}{\partial z}}\right)_{\!x}(x,\,z)=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(x,\,y,\,z)}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(x,\,y,\,z)}}=-{\dfrac {\dfrac {-2\,z}{c'^{2}}}{\dfrac {2\,y}{b'^{2}}}}=-{\dfrac {b'}{c'^{2}}}\;{\dfrac {z}{\sqrt {1-{\dfrac {x^{2}}{a'^{2}}}+{\dfrac {z^{2}}{c'^{2}}}}}}\;$» ,
          Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-z^{2}-1=0}\;$» $\bullet \;$en tout point $\,\left(y\in \mathbb {R} \,,\,z\in \mathbb {R} ^{*}\right)\,$ il existe deux valeurs de $\;x\;$ possibles de signe contraire, aussi on considère
        Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-z^{2}-1=0}\;$» $\color {transparent}{\bullet }\;$en tout point $\;\color {transparent}{\left(y\in \mathbb {R} \;,\;z\in \mathbb {R} ^{*}\right)}\;$ deux ouverts de $\,\mathbb {R} ^{3}\,$ disjoints $\,{U'}_{\!+}=\left\lbrace y\in \left]-\infty \,,\,-b'\right]\cup \left[+b'\,,\,+\infty \right[\,,\,z\in \mathbb {R} ^{*}\,,\,x>0\right\rbrace \,$ et
       Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-z^{2}-1=0}\;$» $\color {transparent}{\bullet }\;$en tout point $\;\color {transparent}{\left(y\in \mathbb {R} \;,\;z\in \mathbb {R} ^{*}\right)}\;$ deux ouverts disjoints $\,{U'}_{\!-}=\left\lbrace y\in \left]-\infty \,,\,-b'\right]\cup \left[+b'\,,\,+\infty \right[\,,\,z\in \mathbb {R} ^{*}\,,\,x<0\right\rbrace \,$ pour
        Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-z^{2}-1=0}\;$» $\color {transparent}{\bullet }\;$en tout point $\;\color {transparent}{\left(y\in \mathbb {R} \;,\;z\in \mathbb {R} ^{*}\right)}\;$ appliquer, sur chacun, le théorème des fonctions implicites en dimension trois :
           Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-z^{2}-1=0}\;$» $\color {transparent}{\bullet }\;$en tout point pour $\;(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0})\,\in \,{U'}_{\!+}$, $\;f(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0})=0\;$ et $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})={\dfrac {2\;x_{0}}{a'^{2}}}\neq 0\;$ $\Rightarrow$ il existe
             Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-z^{2}-1=0}\;$» $\color {transparent}{\bullet }\;$en tout point pour $\;\color {transparent}{(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0})\,\in \,{U'}_{\!+}}$, une fonction réelle $\,\varphi _{+}(y,\,z)\,$ de classe C^p , définie sur $\,\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{*}\,$ et
             Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-z^{2}-1=0}\;$» $\color {transparent}{\bullet }\;$en tout point pour $\;\color {transparent}{(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0})\,\in \,{U'}_{\!+}}$, un voisinage ouvert de $\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0}\right)\;$ dans $\;{U'}_{\!+}$, noté $\;{\Omega '}_{\!+}$, tels que
             Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-z^{2}-1=0}\;$» $\color {transparent}{\bullet }\;$en tout point pour $\;\color {transparent}{(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0})\,\in \,{U'}_{\!+}}$, «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\forall \,\left(x\,,\,y\,,\,z\right)\in {\Omega '}_{\!+}\\{\text{et}}\;f\!\left(x\,,\,y\,,\,z\right)=0\end{array}}\right\rbrace \;$» $\Leftrightarrow$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}y\in \mathbb {R} \;,\;z\in \mathbb {R} ^{*}\;{\text{et}}\\x=\varphi _{+}(y,\,z)=a'\;{\sqrt {1-{\dfrac {y^{2}}{b'^{2}}}+{\dfrac {z^{2}}{c'^{2}}}}}\end{array}}\right\rbrace \;$» ,
             Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-z^{2}-1=0}\;$» $\color {transparent}{\bullet }\;$en tout point pour $\;\color {transparent}{(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0})\,\in \,{U'}_{\!+}}$, «$\;\left({\dfrac {\partial \varphi _{+}}{\partial y}}\right)_{\!z}(y,\,z)=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(x,\,y,\,z)}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(x,\,y,\,z)}}=-{\dfrac {\dfrac {2\,y}{b'^{2}}}{\dfrac {2\,x}{a'^{2}}}}=-{\dfrac {a'}{b'^{2}}}\;{\dfrac {y}{\sqrt {1-{\dfrac {y^{2}}{b'^{2}}}+{\dfrac {z^{2}}{c'^{2}}}}}}\;$» et
             Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-z^{2}-1=0}\;$» $\color {transparent}{\bullet }\;$en tout point pour $\;\color {transparent}{(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0})\,\in \,{U'}_{\!+}}$, «$\;\left({\dfrac {\partial \varphi _{+}}{\partial z}}\right)_{\!y}(y,\,z)=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(x,\,y,\,z)}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(x,\,y,\,z)}}=-{\dfrac {\dfrac {-2\,z}{c'^{2}}}{\dfrac {2\,x}{a'^{2}}}}={\dfrac {a'}{c'^{2}}}\;{\dfrac {z}{\sqrt {1-{\dfrac {y^{2}}{b'^{2}}}+{\dfrac {z^{2}}{c'^{2}}}}}}\;$» ,
           Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-z^{2}-1=0}\;$» $\color {transparent}{\bullet }\;$en tout point pour $\;(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0})\,\in \,{U'}_{\!-}$, $\;f(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0})=0\;$ et $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})={\dfrac {2\;x_{0}}{b'^{2}}}\neq 0\;$ $\Rightarrow$ il existe
             Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-z^{2}-1=0}\;$» $\color {transparent}{\bullet }\;$en tout point pour $\;\color {transparent}{(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0})\,\in \,{U'}_{\!-}}$, une fonction réelle $\,\varphi _{-}(y,\,z)\,$ de classe C^p , définie sur $\,\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{*}\,$ et
             Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-z^{2}-1=0}\;$» $\color {transparent}{\bullet }\;$en tout point pour $\;\color {transparent}{(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0})\,\in \,{U'}_{\!-}}$, un voisinage ouvert de $\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0}\right)\;$ dans $\;{U'}_{\!-}$, noté $\;{\Omega '}_{\!-}$, tels que
             Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-z^{2}-1=0}\;$» $\color {transparent}{\bullet }\;$en tout point pour $\;\color {transparent}{(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0})\,\in \,{U'}_{\!-}}$, «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\forall \,\left(x\,,\,y\,,\,z\right)\in {\Omega '}_{\!-}\\{\text{et}}\;f\!\left(x\,,\,y\,,\,z\right)=0\end{array}}\right\rbrace \;$» $\Leftrightarrow$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}y\in \mathbb {R} \;,\;z\in \mathbb {R} ^{*};{\text{et}}\\x=\varphi _{-}(y,\,z)=-a'\;{\sqrt {1-{\dfrac {y^{2}}{b'^{2}}}+{\dfrac {z^{2}}{c'^{2}}}}}\end{array}}\right\rbrace \;$» ,
             Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-z^{2}-1=0}\;$» $\color {transparent}{\bullet }\;$en tout point pour $\;\color {transparent}{(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0})\,\in \,{U'}_{\!-}}$, «$\;\left({\dfrac {\partial \varphi _{-}}{\partial y}}\right)_{\!z}(y,\,z)=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(x,\,y,\,z)}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(x,\,y,\,z)}}=-{\dfrac {\dfrac {2\,y}{b'^{2}}}{\dfrac {2\,x}{a'^{2}}}}={\dfrac {a'}{b'^{2}}}\;{\dfrac {y}{\sqrt {1-{\dfrac {y^{2}}{b'^{2}}}+{\dfrac {z^{2}}{c'^{2}}}}}}\;$» et
             Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-z^{2}-1=0}\;$» $\color {transparent}{\bullet }\;$en tout point pour $\;\color {transparent}{(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0})\,\in \,{U'}_{\!-}}$, «$\;\left({\dfrac {\partial \varphi _{-}}{\partial z}}\right)_{\!y}(y,\,z)=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(x,\,y,\,z)}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(x,\,y,\,z)}}=-{\dfrac {\dfrac {-2\,z}{c'^{2}}}{\dfrac {2\,x}{a'^{2}}}}=-{\dfrac {a'}{c'^{2}}}\;{\dfrac {z}{\sqrt {1-{\dfrac {y^{2}}{b'^{2}}}+{\dfrac {z^{2}}{c'^{2}}}}}}\;$» ,
          Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-z^{2}-1=0}\;$» $\bullet \;$en tout point $\;\left(x\in \mathbb {R} \;,\;y\in \mathbb {R} \;,\;{\text{avec}}\;{\dfrac {x^{2}}{a'^{2}}}+{\dfrac {y^{2}}{b'^{2}}}>1\right)\;$ il existe deux valeurs de $\;z\;$ possibles de signe contraire, aussi on considère
                Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-z^{2}-1=0}\;$» $\color {transparent}{\bullet }\;$en tout point $\;\color {transparent}{\left(x\in \mathbb {R} \;,\;y\in \mathbb {R} \;,\;{\text{avec}}\;x^{2}+y^{2}>1\right)}\;$ deux ouverts de $\,\mathbb {R} ^{3}\,$ disjoints $\;{U''}_{\!\!+}=\left\lbrace x\in \mathbb {R} \;,\;y\in \mathbb {R} \;,\;z>0\right\rbrace \;$ et
                Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-z^{2}-1=0}\;$» $\color {transparent}{\bullet }\;$en tout point $\;\color {transparent}{\left(x\in \mathbb {R} \;,\;y\in \mathbb {R} \;,\;{\text{avec}}\;x^{2}+y^{2}>1\right)}\;$ deux ouverts de $\,\color {transparent}{\mathbb {R} ^{3}}\,$ disjoints $\;{U''}_{\!\!-}=\left\lbrace x\in \mathbb {R} \;,\;y\in \mathbb {R} \;,\;z<0\right\rbrace \;$ pour
                Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-z^{2}-1=0}\;$» $\color {transparent}{\bullet }\;$en tout point $\;\color {transparent}{\left(x\in \mathbb {R} \;,\;y\in \mathbb {R} \;,\;{\text{avec}}\;x^{2}+y^{2}>1\right)}\;$ appliquer, sur chacun, le théorème des fonctions implicites en dimension trois :
           Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-z^{2}-1=0}\;$» $\color {transparent}{\bullet }\;$en tout point pour $\;(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0})\,\in \,{U''}_{\!\!+}$, $\;f(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0})=0\;$ et $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})=-{\dfrac {2\;z_{0}}{c'^{2}}}\neq 0\;$ $\Rightarrow$ il existe
             Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-z^{2}-1=0}\;$» $\color {transparent}{\bullet }\;$en tout point pour $\;\color {transparent}{(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0})\,\in \,{U''}_{\!\!+}}$, une fonction réelle $\;\zeta _{+}(x,\,y)\;$ de classe C^p , définie sur $\;\mathbb {R} \times \mathbb {R} \;$ et
             Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-z^{2}-1=0}\;$» $\color {transparent}{\bullet }\;$en tout point pour $\;\color {transparent}{(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0})\,\in \,{U''}_{\!\!+}}$, un voisinage ouvert de $\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0}\right)\;$ dans $\;{U''}_{\!\!+}$, noté $\;{\Omega ''}_{\!\!+}$, tels que
             Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-z^{2}-1=0}\;$» $\color {transparent}{\bullet }\;$en tout point pour $\;\color {transparent}{(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0})\,\in \,{U''}_{\!\!+}}$, «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\forall \,\left(x\,,\,y\,,\,z\right)\in {\Omega ''}_{\!\!+}\\{\text{et}}\;f\!\left(x\,,\,y\,,\,z\right)=0\end{array}}\right\rbrace \;$» $\Leftrightarrow$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}x\in \mathbb {R} \;,\;y\in \mathbb {R} \;{\text{et}}\\z=\zeta _{+}(x,\,y)=c'\;{\sqrt {{\dfrac {x^{2}}{a'^{2}}}+{\dfrac {y^{2}}{b'^{2}}}-1}}\end{array}}\right\rbrace \;$» ,
             Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-z^{2}-1=0}\;$» $\color {transparent}{\bullet }\;$en tout point pour $\;\color {transparent}{(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0})\,\in \,{U''}_{\!\!+}}$, «$\;\left({\dfrac {\partial \zeta _{+}}{\partial x}}\right)_{\!y}(x,\,y)=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(x,\,y,\,z)}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(x,\,y,\,z)}}=-{\dfrac {\dfrac {2\,x}{a'^{2}}}{\dfrac {-2\,z}{c'^{2}}}}=-{\dfrac {c'}{a'^{2}}}\;{\dfrac {x}{\sqrt {{\dfrac {x^{2}}{a'^{2}}}+{\dfrac {y^{2}}{b'^{2}}}-1}}}\;$» ,
             Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-z^{2}-1=0}\;$» $\color {transparent}{\bullet }\;$en tout point pour $\;\color {transparent}{(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0})\,\in \,{U''}_{\!\!+}}$, «$\;\left({\dfrac {\partial \zeta _{+}}{\partial y}}\right)_{\!x}(x,\,y)=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(x,\,y,\,z)}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(x,\,y,\,z)}}=-{\dfrac {\dfrac {2\,y}{b'^{2}}}{\dfrac {-2\,z}{c'^{2}}}}={\dfrac {c'}{b'^{2}}}\;{\dfrac {y}{\sqrt {{\dfrac {x^{2}}{a'^{2}}}+{\dfrac {y^{2}}{b'^{2}}}-1}}}\;$» ,
           Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-z^{2}-1=0}\;$» $\color {transparent}{\bullet }\;$en tout point pour $\;(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0})\,\in \,{U''}_{\!\!-}$, $\;f(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0})=0\;$ et $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})=-{\dfrac {2\;z_{0}}{c'^{2}}}\neq 0\;$ $\Rightarrow$ il existe
             Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-z^{2}-1=0}\;$» $\color {transparent}{\bullet }\;$en tout point pour $\;\color {transparent}{(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0})\,\in \,{U''}_{\!\!-}}$, une fonction réelle $\;\zeta _{-}(x,\,y)\;$ de classe C^p , définie sur $\;\mathbb {R} \times \mathbb {R} \;$ et
             Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-z^{2}-1=0}\;$» $\color {transparent}{\bullet }\;$en tout point pour $\;\color {transparent}{(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0})\,\in \,{U''}_{\!\!-}}$, un voisinage ouvert de $\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0}\right)\;$ dans $\;{U''}_{\!\!-}$, noté $\;{\Omega ''}_{\!\!-}$, tels que
             Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-z^{2}-1=0}\;$» $\color {transparent}{\bullet }\;$en tout point pour $\;\color {transparent}{(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0})\,\in \,{U''}_{\!\!-}}$, «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\forall \,\left(x\,,\,y\,,\,z\right)\in {\Omega ''}_{\!\!-}\\{\text{et}}\;f\!\left(x\,,\,y\,,\,z\right)=0\end{array}}\right\rbrace \;$» $\Leftrightarrow$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}x\in \mathbb {R} \;,\;y\in \mathbb {R} \;{\text{et}}\\z=\zeta _{-}(x,\,y)=-c'\;{\sqrt {{\dfrac {x^{2}}{a'^{2}}}+{\dfrac {y^{2}}{b'^{2}}}-1}}\end{array}}\right\rbrace \;$» ,
             Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-z^{2}-1=0}\;$» $\color {transparent}{\bullet }\;$en tout point pour $\;\color {transparent}{(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0})\,\in \,{U''}_{\!\!-}}$, «$\;\left({\dfrac {\partial \zeta _{-}}{\partial x}}\right)_{\!y}(x,\,y)=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(x,\,y,\,z)}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(x,\,y,\,z)}}=-{\dfrac {\dfrac {2\,x}{a'^{2}}}{-{\dfrac {2\,z}{c'^{2}}}}}=-{\dfrac {c'}{a'^{2}}}\;{\dfrac {x}{\sqrt {{\dfrac {x^{2}}{a'^{2}}}+{\dfrac {y^{2}}{b'^{2}}}-1}}}\;$» ,
             Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-z^{2}-1=0}\;$» $\color {transparent}{\bullet }\;$en tout point pour $\;\color {transparent}{(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0})\,\in \,{U''}_{\!\!-}}$, «$\;\left({\dfrac {\partial \zeta _{-}}{\partial y}}\right)_{\!x}(x,\,y)=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(x,\,y,\,z)}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(x,\,y,\,z)}}=-{\dfrac {\dfrac {2\,y}{b'^{2}}}{\dfrac {-2\,z}{c'^{2}}}}=-{\dfrac {c'}{b'^{2}}}\;{\dfrac {y}{\sqrt {{\dfrac {x^{2}}{a'^{2}}}+{\dfrac {y^{2}}{b'^{2}}}-1}}}\;$» .
         Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-z^{2}-1=0}\;$» $\bullet \;$Remarque : en tout point tel que $\;{\dfrac {x^{2}}{a'^{2}}}+{\dfrac {y^{2}}{b'^{2}}}=1$, il existe une seule valeur de $\;z\;$ possible $\;z_{d}=0$, mais
            Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-z^{2}-1=0}\;$» $\color {transparent}{\bullet }\;$Remarque : en tout point tel que $\;\color {transparent}{a'^{2}+b'^{2}=1}$, dans tout ouvert contenant ces points $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(x,\,y,\,z_{d})={\dfrac {-2\,z_{d}}{c'^{2}}}=0\,$ $\Rightarrow$
            Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-z^{2}-1=0}\;$» $\color {transparent}{\bullet }\;$Remarque : en tout point tel que $\;\color {transparent}{a'^{2}+b'^{2}=1}$, le théorème des fonctions implicites en dimension trois ne peut s'y appliquer.

     Remarque : le lecteur pourra constater par lui-même, sur les autres exemples du paragraphe « exemples de fonctions implicites entre trois variables réelles » présentés plus haut dans ce chapitre,
     Remarque : le lecteur pourra constater par lui-même, que les conditions d'application du théorème des fonctions implicites en dimension trois sont vérifiées $\;\ldots$

Théorème des fonctions implicites en dimension quatre ou plus

     Nous laissons le soin au lecteur de généraliser le « théorème des fonctions implicites de dimension trois » à toute dimension quatre ou plus,
     Nous laissons le soin au lecteur de généraliser le graphe des fonctions implicites représentant « des surfaces en dimension trois » et « des hypersurfaces en dimension quatre ou plus » $\;\ldots$