Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)/Fonctions implicites

Début de la boite de navigation du chapitre

fin de la boite de navigation du chapitre

Dans ce chapitre nous nous limitons aux fonctions implicites les plus couramment utilisées en physique à savoir des fonctions implicites entre variables réelles.

Définition d'une fonction implicite

Fonction implicite entre deux variables réelles

Définition d'une fonction implicite entre deux variables réelles

     Considérant «$\;\left(x\,,\,y\right)\in \mathbb {R} ^{2}\;$ un couple a priori quelconque de variables indépendantes » et
     Considérant «$\;f\;$ est une fonction de $\;\mathbb {R} ^{2}\;$ dans $\;\mathbb {R} \;$» définie par «$\;\forall \;\left(x\,,\,y\right)\in \mathbb {R} ^{2}\;:\;\left(x\,,\,y\right)\;{\overset {f}{\rightarrow }}\;f\left(x\,,\,y\right)\;\in \mathbb {R} \;$»,
     l'équation $\;f\left(x\,,\,y\right)=0\;$ définit une fonction implicite entre les variables $\;x\;$ et $\;y\;$ si on peut exprimer une des variables $\;x$ $\;{\big (}$ou $\;y{\big )}\;$ en fonction de l'autre $\;y$ $\;{\big (}$ou $\;x{\big )}\;$ pour tous les couples $\;\left(x\,,\,y\right)\;$ vérifiant l'équation soit mathématiquement
     «$\;f\left(x\,,\,y\right)=0\;$ définit une fonction implicite entre $\;x\;$ et $\;y\;$» « si $\;\exists \;\psi \;:\;\mathbb {R} \mapsto \mathbb {R} \;$ telle que $\;f\left(x\,,\,y\right)=0\;$ $\Leftrightarrow$ $\;y=\psi (x)\;$»
«$\;\color {transparent}{f\left(x\,,\,y\right)=0}\;$ définit une fonction implicite entre $\;\color {transparent}{x}\;$ et $\;\color {transparent}{y}\;$» ou « si $\;\exists \;\varphi \;:\;\mathbb {R} \mapsto \mathbb {R} \;$ telle que $\;f\left(x\,,\,y\right)=0\;$ $\Leftrightarrow$ $\;x=\varphi (y)\;$»,
«$\;\color {transparent}{f\left(x\,,\,y\right)=0}\;$ définit une fonction implicite entre $\;\color {transparent}{x}\;$ et $\;\color {transparent}{y}\;$» et ceci pour tous les couples $\;\left(x\,,\,y\right)\;$ vérifiant l'équation $\;f\left(x\,,\,y\right)=0$.

     Remarques : La fonction «$\;\psi \;:\;x\;{\overset {\psi }{\rightarrow }}\;y\;$» ou celle «$\;\varphi \;:\;y\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x\;$» définie pour tous les couples $\;\left(x\,,\,y\right)\;$ vérifiant l'équation $\;f\left(x\,,\,y\right)=0\;$ est appelée « fonction implicite » $\;{\big \{}f\left(x\,,\,y\right)=0\;$ étant, quant à elle, appelée « équation implicite » ${\big )}$ ;
     Remarques : «$\;y=\psi (x)\;$» ou «$\;x=\varphi (y)\;$» est l'équation du graphe de la fonction implicite «$\;\psi \;$ ou $\;\varphi \;$» $\;{\big \{}$mais, en général, il n'est pas nécessaire d'expliciter les fonctions «$\;\psi \;$ ou $\;\varphi \;$» pour représenter le graphe de la fonction implicite, lequel est une courbe en général continue ${\big \}}$.

Fonction implicite entre trois variables réelles ou plus

Définition d'une fonction implicite entre trois variables réelles

     Considérant «$\;\left(x\,,\,y\,,\,z\right)\in \mathbb {R} ^{3}\;$ un triplet a priori quelconque de variables indépendantes » et
     Considérant «$\;f\;$ est une fonction de $\;\mathbb {R} ^{3}\;$ dans $\;\mathbb {R} \;$» définie par «$\;\forall \;\left(x\,,\,y\,,\,z\right)\in \mathbb {R} ^{3}\;:\;\left(x\,,\,y\,,\,z\right)\;{\overset {f}{\rightarrow }}\;f\left(x\,,\,y\,,\,z\right)\;\in \mathbb {R} \;$»,
     l'équation $\;f\left(x\,,\,y\,,\,z\right)=0\;$ définit une fonction implicite entre les variables $\;x$, $\;y\;$ et $\;z\;$ si on peut exprimer une des variables $\;x$ $\;{\big [}$ou $\;y\;$ ou $\;z{\big ]}\;$ en fonction des deux autres $\;\left(y\,,\,z\right)$ $\;{\big [}$ou $\;\left(x\,,\,z\right)\;$ ou $\;\left(x\,,\,y\right){\big ]}\;$ pour tous les triplets $\;\left(x\,,\,y\,,\,z\right)\;$ vérifiant l'équation soit encore
     $\;f\left(x\,,\,y\,,\,z\right)=0\;$ définit une fonction implicite entre $\;x$, $\;y\;$ et $\;z\;$ « si $\;\exists \;\psi \;:\;\mathbb {R} ^{2}\mapsto \mathbb {R} \;$ telle que $\;f\left(x\,,\,y\,,\,z\right)=0\;$ $\Leftrightarrow$ $\;y=\psi (x\,,\,z)\;$»
$\;\color {transparent}{f\left(x\,,\,y\,,\,z\right)=0}\;$ définit une fonction implicite entre $\;\color {transparent}{x}$, $\;\color {transparent}{y}\;$ et $\;\color {transparent}{z}\;$ ou « si $\;\exists \;\varphi \,:\,\mathbb {R} ^{2}\mapsto \mathbb {R} \;$ telle que $\;f\left(x\,,\,y\,,\,z\right)=0\;$ $\Leftrightarrow$ $\;x=\varphi (y\,,\,z)\;$»,
$\;\color {transparent}{f\left(x\,,\,y\,,\,z\right)=0}\;$ définit une fonction implicite entre $\;\color {transparent}{x}$, $\;\color {transparent}{y}\;$ et $\;\color {transparent}{z}\;$ ou « si $\;\exists \;\zeta \;:\;\mathbb {R} ^{2}\mapsto \mathbb {R} \;$ telle que $\;f\left(x\,,\,y\,,\,z\right)=0\;$ $\Leftrightarrow$ $\;z=\zeta \,(x\,,\,y)\;$»
$\;\color {transparent}{f\left(x\,,\,y\,,\,z\right)=0}\;$ définit une fonction implicite entre $\;\color {transparent}{x}$, $\;\color {transparent}{y}\;$ et $\;\color {transparent}{z}\;$ et ceci pour tous les triplets $\;\left(x\,,\,y\,,\,z\right)\;$ vérifiant $\;f\left(x\,,\,y\,,\,z\right)=0$.

     Remarques 1 : La fonction «$\;\psi \;:\;(x\,,\,z)\;{\overset {\psi }{\rightarrow }}\;y\;$» ou celle «$\;\varphi \;:\;(y\,,\,z)\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x\;$» ou encore celle «$\;\zeta \;:\;(x\,,\,y)\;{\overset {\zeta }{\rightarrow }}\;z\;$» définie pour tous les triplets $\;\left(x\,,\,y\,,\,z\right)\;$ vérifiant l'équation $\;f\left(x\,,\,y\,,\,z\right)=0\;$ est appelée « fonction implicite » $\;{\big \{}f\left(x\,,\,y\,,\,z\right)=0\;$ étant, quant à elle, appelée « équation implicite » ${\big )}$ ;
     Remarques 1 : «$\;y=\psi (x,\,z)\;$» ou «$\;x=\varphi (y,\,z)\;$» ou «$\;z=\zeta \,(x,\,y)\;$» est l'équation du graphe de la fonction implicite «$\;\psi \;$ ou $\;\varphi \;$ ou $\;\zeta \;$» $\;{\big \{}$mais, en général, il n'est pas nécessaire d'expliciter les fonctions «$\;\psi \;$ ou $\;\varphi \;$ ou $\;\zeta \;$» pour représenter le graphe de la fonction implicite, lequel est une surface en général continue ${\big \}}$.

     Remarques 2 : La définition d'une fonction implicite entre quatre variables réelles $\;{\big (}$ou plus${\big )}\;$ se déduit aisément de celle exposée ci-dessus entre trois variables réelles,
                 Remarques 2 : La définition d'une fonction implicite entre quatre variables réelles elle est simplement évoquée ci-après :
     Remarques 2 : considérant «$\;\left(x\,,\,y\,,\,z\,,\,t\right)\in \mathbb {R} ^{4}\;$ un quadruplet a priori quelconque de variables indépendantes » et
     Remarques 2 : considérant «$\;f\;$ est une fonction de $\;\mathbb {R} ^{4}\;$ dans $\;\mathbb {R} \;$» définie par «$\;\forall \;\left(x\,,\,y\,,\,z\,,\,t\right)\in \mathbb {R} ^{4}\;:\;\left(x\,,\,y\,,\,z\,,\,t\right)\;{\overset {f}{\rightarrow }}\;f\left(x\,,\,y\,,\,z\,,\,t\right)\;\in \mathbb {R} \;$»,
     Remarques 2 : l'équation $\;f\left(x\,,\,y\,,\,z\,,\,t\right)=0\;$ définit une fonction implicite entre les variables $\;x$, $\;y$, $\;z\;$ et $\;t\;$ si on peut exprimer une des variables $\;x$ $\;{\big [}$ou $\;y\;$ ou $\;z\;$ ou $\;t{\big ]}\;$ en fonction des trois autres $\;\left(y\,,\,z\,,\,t\right)$ $\;{\big [}$ou $\;\left(x\,,\,z\,,\,t\right)\;$ ou $\;\left(x\,,\,y\,,\,t\right)\;$ ou $\;\left(x\,,\,y\,,\,z\right){\big ]}\;$ pour tous les quadruplets $\;\left(x\,,\,y\,,\,z\,,\,t\right)\;$ vérifiant l'équation soit, par exemple,
     Remarques 2 : considérant «$\;f\left(x\,,\,y\,,\,z\,,\,t\right)=0\;$ définit une fonction implicite entre $\;x$, $\;y$, $\;z\;$ et $\;t\;$» « si $\;\exists \;\psi \;:\;\mathbb {R} ^{3}\mapsto \mathbb {R} \;$ telle que $\;f\left(x\,,\,y\,,\,z\,,\,t\right)=0\;$ $\Leftrightarrow$ $\;y=\psi (x\,,\,z\,,\,t)\;$» ou $\;\ldots$

Exemples de fonctions implicites

Exemples de fonctions implicites entre deux variables réelles

     L'équation implicite «$\;x^{2}+y^{2}-1=0\;$» définit une fonction implicite «$\;\psi \;:\;x\in \left[-1\,,\,+1\right]\;{\overset {\psi }{\rightarrow }}\;y=\psi (x)=\pm {\sqrt {1-x^{2}}}\;$» ou
     L'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-1=0}\;$» définit une fonction implicite «$\;\varphi \;:\;y\in \left[-1\,,\,+1\right]\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x=\varphi (y)=\pm {\sqrt {1-y^{2}}}\;$»
     L'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-1=0}\;$» définit une fonction implicite toutes deux étant l'équation du cercle trigonométrique .

     L'équation implicite «$\;{\dfrac {x^{2}}{a'^{2}}}+{\dfrac {y^{2}}{b'^{2}}}-1=0\;$» définit une fonction implicite «$\;\psi \;:\;x\in \left[-a'\,,\,+a'\right]\;{\overset {\psi }{\rightarrow }}\;y=\psi (x)=\pm \,b'\;{\sqrt {1-{\dfrac {x^{2}}{a'^{2}}}}}\;$» ou
         L'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-1=0}\;$» définit une fonction implicite «$\;\varphi \;:\;y\in \left[-b'\,,\,+b'\right]\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x=\varphi (y)=\pm \,a'\;{\sqrt {1-{\dfrac {y^{2}}{b'^{2}}}}}\;$»
         L'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-1=0}\;$» définit une fonction implicite toutes deux étant l'équation de l'ellipse de centre $\;O$, d'axes $\;x'x\;$ et $\;y'y$, dont $\,a'\;$ est le demi-grand axe $\;{\big (}$ou le demi-petit axe${\big )}\;$ et
         L'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-1=0}\;$» définit une fonction implicite toutes deux étant l'équation de l'ellipse de centre $\;\color {transparent}{O}$, d'axes $\;\color {transparent}{x'x}\;$ et $\;\color {transparent}{y'y}$, dont $\,b'\;$ le demi-petit axe $\;{\big (}$ou le demi-grand axe${\big )}\;$ .

     L'équation implicite «$\;{\dfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\dfrac {y^{2}}{b^{2}}}-1=0\;$» définit une fonction implicite «$\;\psi \;:\;x\in \left]-\infty \,,\,-a\right]\cup \left[+a\,,\,+\infty \right[\;{\overset {\psi }{\rightarrow }}\;y=\psi (x)=\pm \,b\;{\sqrt {{\dfrac {x^{2}}{a^{2}}}-1}}\;$» ou
         L'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}-y^{2}-1=0}\;$» définit une fonction implicite «$\;\varphi \;:\;y\in \left]-\infty \,,\,-b\right]\cup \left[+b\,,\,+\infty \right[\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x=\varphi (y)=\pm \,a\;{\sqrt {{\dfrac {y^{2}}{b^{2}}}+1}}\;$»
         L'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}-y^{2}-1=0}\;$» définit une fonction implicite toutes deux étant l'équation de l'hyperbole de centre $\;O$, d'axes focal $\;x'x\;$ et non focal $\;y'y$, dont $\;a\;$ est le demi-axe focal et
         L'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}-y^{2}-1=0}\;$» définit une fonction implicite toutes deux étant l'équation de l'hyperbole de centre $\;\color {transparent}{O}$, d'axes focal $\;\color {transparent}{x'x}\;$ et non focal $\;\color {transparent}{y'y}$, dont $\;b\;$ le demi-axe non focal .

Exemples de fonctions implicites entre trois variables réelles

     L'équation implicite «$\;{\dfrac {x^{2}}{a'^{2}}}+{\dfrac {y^{2}}{b'^{2}}}+{\dfrac {z^{2}}{c'^{2}}}-1=0\;$» définit une fonction implicite «$\;\psi \;:\;\left(x\,,\,z\right)\in \left[-a'\,,\,+a'\right]\times \left[-c'\,,\,+c'\right]\;{\overset {\psi }{\rightarrow }}\;y=\psi (x,\,z)=\pm \,b'\;{\sqrt {1-{\dfrac {x^{2}}{a'^{2}}}-{\dfrac {z^{2}}{c'^{2}}}}}\;$» ou
     L'équation implicite «$\;\color {transparent}{{\dfrac {x^{2}}{a'^{2}}}+{\dfrac {y^{2}}{b'^{2}}}+{\dfrac {z^{2}}{c'^{2}}}-1=0}\;$» définit une fonction implicite «$\;\varphi \;:\;\left(y\,,\,z\right)\in \left[-b'\,,\,+b'\right]\times \left[-c'\,,\,+c'\right]\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x=\varphi (y,\,z)=\pm \,a'\;{\sqrt {1-{\dfrac {y^{2}}{b'^{2}}}-{\dfrac {z^{2}}{c'^{2}}}}}\;$» ou
     L'équation implicite «$\;\color {transparent}{{\dfrac {x^{2}}{a'^{2}}}+{\dfrac {y^{2}}{b'^{2}}}+{\dfrac {z^{2}}{c'^{2}}}-1=0}\;$» définit une fonction implicite «$\;\zeta \;:\;\left(x\,,\,y\right)\in \left[-a'\,,\,+a'\right]\times \left[-b'\,,\,+b'\right]\;{\overset {\zeta }{\rightarrow }}\;z=\zeta \,(x,\,y)=\pm \,c'\;{\sqrt {1-{\dfrac {x^{2}}{a'^{2}}}-{\dfrac {y^{2}}{b'^{2}}}}}\;$»
            L'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0}\;$» définit une fonction implicite toutes trois étant l'équation de l'ellipsoïde triaxial de centre $\;O$, d'axes $\;x'x$, $\;y'y\;$ et $\;z'z$, avec $\;a'$, $\;b'\;$ et $\;c'\;$ les demi-axes
            L'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0}\;$» définit une fonction implicite toutes trois étant ${\big (}$les demi-axes étant des paramètres positifs, deux à deux différents quand l'ellipsoïde est triaxial${\big )}\;$ .

     L'équation implicite «$\;{\dfrac {x^{2}}{a'^{2}}}+{\dfrac {y^{2}}{b'^{2}}}-{\dfrac {z^{2}}{c'^{2}}}-1=0\;$» définit une fonction implicite «$\;\psi \;:\;\left(x\,,\,z\right)\in \left\lbrace \left]-\infty \,,\,-a'\right]\cup \left[+a'\,,\,+\infty \right[\right\rbrace \times \mathbb {R} \;{\overset {\psi }{\rightarrow }}\;y=\psi (x,\,z)=\pm \,b'\;{\sqrt {1-{\dfrac {x^{2}}{a'^{2}}}+{\dfrac {z^{2}}{c'^{2}}}}}\;$» ou
     L'équation implicite «$\;\color {transparent}{{\dfrac {x^{2}}{a'^{2}}}+{\dfrac {y^{2}}{b'^{2}}}-{\dfrac {z^{2}}{c'^{2}}}-1=0}\;$» définit une fonction implicite «$\;\varphi \;:\;\left(y\,,\,z\right)\in \left\lbrace \left]-\infty \,,\,-b'\right]\cup \left[+b'\,,\,+\infty \right[\right\rbrace \times \mathbb {R} \;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x=\varphi (y,\,z)=\pm \,a'\;{\sqrt {1-{\dfrac {y^{2}}{b'^{2}}}+{\dfrac {z^{2}}{c'^{2}}}}}\;$» ou
     L'équation implicite «$\;\color {transparent}{{\dfrac {x^{2}}{a'^{2}}}+{\dfrac {y^{2}}{b'^{2}}}-{\dfrac {z^{2}}{c'^{2}}}-1=0}\;$» définit une fonction implicite «$\;\zeta \;:\;\left(x\,,\,y\right)\in \left\lbrace \left]-\infty \,,\,-a'\right]\cup \left[+a'\,,\,+\infty \right[\right\rbrace \times \left\lbrace \left]-\infty \,,\,-b'\right]\cup \left[+b'\,,\,+\infty \right[\right\rbrace \;{\overset {\zeta }{\rightarrow }}\;z=\zeta \,(x,\,y)\;$ avec $\;\zeta \,(x,\,y)=$
     L'équation implicite «$\;\color {transparent}{{\dfrac {x^{2}}{a'^{2}}}+{\dfrac {y^{2}}{b'^{2}}}-{\dfrac {z^{2}}{c'^{2}}}-1=0}\;$» définit une fonction implicite «$\;\color {transparent}{\zeta \;:\;\left(x\,,\,y\right)\in \left\lbrace \left]-\infty \,,\,-a'\right]\cup \left[+a'\,,\,+\infty \right[\right\rbrace \times \left\lbrace \left]-\infty \,,\,-b'\right]\cup \left[+b'\,,\,+\infty \right[\right\rbrace \;{\overset {\zeta }{\rightarrow }}\;z=}$ $\pm \,c'\;{\sqrt {1-{\dfrac {x^{2}}{a'^{2}}}-{\dfrac {y^{2}}{b'^{2}}}}}\;$»
            L'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-z^{2}-1=0}\;$» définit une fonction implicite toutes trois étant l'équation de l'hyperboloïde à une nappe de centre $\;O$, d'axes $\;x'x$, $\;y'y\;$ et $\;z'z$, avec
            L'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-z^{2}-1=0}\;$» définit une fonction implicite $a'$, $\;b'\;$ et $\;c'\;$ les demi-axes $\,{\big (}$paramètres positifs${\big )}$, le caractère connexe de l'hyperboloïde $\,{\big (}$présence d'une seule nappe${\big )}\,$
            L'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-z^{2}-1=0}\;$» définit une fonction implicite $\color {transparent}{a'}$, $\;\color {transparent}{b'}\;$ et $\;\color {transparent}{c'}\;$ les demi-axes $\,\color {transparent}{\big (}$paramètres positifs$\color {transparent}{\big )}$, étant assuré par le fait que $\;z\;$ peut prendre toute valeur réelle alors que
            L'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-z^{2}-1=0}\;$» définit une fonction implicite $\color {transparent}{a'}$, $\;\color {transparent}{b'}\;$ et $\;\color {transparent}{c'}\;$ les demi-axes $\,\color {transparent}{\big (}$paramètres positifs$\color {transparent}{\big )}$, $\;x\;$ et $\;y\;$ prennent des valeurs de la réunion de deux intervalles
            L'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-z^{2}-1=0}\;$» définit une fonction implicite $\color {transparent}{a'}$, $\;\color {transparent}{b'}\;$ et $\;\color {transparent}{c'}\;$ les demi-axes $\,\color {transparent}{\big (}$paramètres positifs$\color {transparent}{\big )}$, alors que $\;\color {transparent}{x}\;$ et $\;\color {transparent}{y}\;$ prennent des valeurs de la réunion disjoints .

     L'équation implicite «$\;{\dfrac {x^{2}}{a'^{2}}}+{\dfrac {y^{2}}{b'^{2}}}-{\dfrac {z^{2}}{c'^{2}}}+1=0\;$» définit une fonction implicite «$\;\psi \;:\;\left(x\,,\,z\right)\in \mathbb {R} \times \left\lbrace \left]-\infty \,,\,-c'\right]\cup \left[+c'\,,\,+\infty \right[\right\rbrace \;{\overset {\psi }{\rightarrow }}\;y=\psi (x,\,z)=\pm \,b'\;{\sqrt {{\dfrac {z^{2}}{c'^{2}}}-{\dfrac {x^{2}}{a'^{2}}}-1}}\;$» ou
     L'équation implicite «$\;\color {transparent}{{\dfrac {x^{2}}{a'^{2}}}+{\dfrac {y^{2}}{b'^{2}}}-{\dfrac {z^{2}}{c'^{2}}}+1=0}\;$» définit une fonction implicite «$\;\varphi \;:\;\left(y\,,\,z\right)\in \mathbb {R} \times \left\lbrace \left]-\infty \,,\,-b'\right]\cup \left[+b'\,,\,+\infty \right[\right\rbrace \;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x=\varphi (y,\,z)=\pm \,a'\;{\sqrt {{\dfrac {z^{2}}{c'^{2}}}-{\dfrac {y^{2}}{b'^{2}}}-1}}\;$» ou
     L'équation implicite «$\;\color {transparent}{{\dfrac {x^{2}}{a'^{2}}}+{\dfrac {y^{2}}{b'^{2}}}-{\dfrac {z^{2}}{c'^{2}}}+1=0}\;$» définit une fonction implicite «$\;\zeta \;:\;\left(x\,,\,y\right)\in \mathbb {R} ^{2}\;{\overset {\zeta }{\rightarrow }}\;z=\zeta \,(x,\,y)=\pm \,c'\;{\sqrt {1+{\dfrac {x^{2}}{a'^{2}}}+{\dfrac {y^{2}}{b'^{2}}}}}\;$»
            L'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-z^{2}+1=0}\;$» définit une fonction implicite toutes trois étant l'équation de l'hyperboloïde à deux nappes de centre $\;O$, d'axes $\;x'x$, $\;y'y\;$ et $\;z'z$, avec
            L'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-z^{2}+1=0}\;$» définit une fonction implicite $a'$, $\;b'\;$ et $\;c'\;$ les demi-axes $\,{\big (}$paramètres positifs${\big )}$, le caractère non connexe de l'hyperboloïde $\,{\big (}$présence de deux nappes${\big )}$
            L'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-z^{2}+1=0}\;$» définit une fonction implicite $\color {transparent}{a'}$, $\;\color {transparent}{b'}\;$ et $\;\color {transparent}{c'}\;$ les demi-axes $\,\color {transparent}{\big (}$paramètres positifs$\color {transparent}{\big )}$, étant assuré par le fait que $\;x\;$ et $\;y\;$ peuvent prendre toute valeur réelle
            L'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-z^{2}+1=0}\;$» définit une fonction implicite $\color {transparent}{a'}$, $\;\color {transparent}{b'}\;$ et $\;\color {transparent}{c'}\;$ les demi-axes $\,\color {transparent}{\big (}$paramètres positifs$\color {transparent}{\big )}$, alors que $\;z\;$ prend des valeurs de la réunion de deux intervalles
            L'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-z^{2}+1=0}\;$» définit une fonction implicite $\color {transparent}{a'}$, $\;\color {transparent}{b'}\;$ et $\;\color {transparent}{c'}\;$ les demi-axes $\,\color {transparent}{\big (}$paramètres positifs$\color {transparent}{\big )}$, alors que $\;\color {transparent}{z}\;$ prend des valeurs de la réunion de deux disjoints .

Dérivée d'une fonction implicite

     Préliminaire : Dans ce paragraphe nous nous proposons d'exprimer la dérivée 1^ère $\,{\big (}$ou n'importe quelle des dérivées partielles 1^ères${\big )}\,$ d'une fonction implicite
      Préliminaire : Dans ce paragraphe nous nous proposons d'exprimer la dérivée 1^ère en utilisant les dérivées partielles du 1^er membre de l'équation implicite dont la fonction implicite est solution .

Dérivée première d'une fonction implicite entre deux variables réelles

Dérivée 1^ère d'une fonction implicite entre x et y

     Soit « l’équation implicite $\;f\left(x\,,\,y\right)=0\;$ des variables réelles $\;x\;$ et $\;y\;$ avec $\;f\;$ fonction continue et différentiable en $\;(x_{0}\,,\,y_{0})\;$» et
     Soit « la fonction implicite $\;\psi \;:\;x\;{\overset {\psi }{\rightarrow }}\;y\;$ solution de l'équation implicite » c.-à-d. telle que «$\;f\left(x\,,\,y\right)=0\;$ $\Leftrightarrow$ $\;y=\psi (x)\;$»,
     « la fonction implicite $\;\psi \;$ est, par suite, continue et différentiable en $\;x_{0}\;$»,
     « la valeur de sa dérivée 1^ère en $\;x_{0}\;$ peut se déterminer par «$\;\psi '(x_{0})=-{\dfrac {{f'}_{\!x}(x_{0},\,y_{0})}{{f'}_{\!y}(x_{0},\,y_{0})}}\;$» ou «$\;{\dfrac {d\psi }{dx}}(x_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y}(x_{0},\,y_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x}(x_{0},\,y_{0})}}\;$»
     « la valeur de sa dérivée 1^ère en $\;\color {transparent}{x_{0}}\;$ peut se déterminer si « la dérivée partielle 1^ère de $\;f\;$ par rapport à $\;y$ $\;{\big (}x\;$ étant figée${\big )}\;$
     « la valeur de sa dérivée 1^ère en $\;\color {transparent}{x_{0}}\;$ peut se déterminer si « la dérivée partielle 1^ère de $\;\color {transparent}{f}\;$ est telle que $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x}(x_{0},\,y_{0})\neq 0\;$».

     Démonstration : différenciant «$\;f\left(x\,,\,y\right)=0\;$ en $\;(x_{0}\,,\,y_{0})\;$» nous obtenons «$\;df(x_{0},\,y_{0})=0\;$ ou $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y}(x_{0},\,y_{0})\;dx+\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x}(x_{0},\,y_{0})\;dy=0\;$»
     Démonstration : différenciant «$\;\color {transparent}{f\left(x\,,\,y\right)=0}\;$ en $\;\color {transparent}{(x_{0}\,,\,y_{0})}\;$» nous obtenons dont nous déduisons, dans la mesure où $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x}(x_{0},\,y_{0})\neq 0$, «$\;{\dfrac {dy}{dx}}=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y}(x_{0},\,y_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x}(x_{0},\,y_{0})}}\;$ C.Q.F.D.  ».

     Remarque : à partir de « la fonction implicite $\;\varphi \;:\;y\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x\;$ solution de l'équation implicite $\;f\left(x\,,\,y\right)=0\;$ $\Leftrightarrow$ $\;x=\varphi (y)\;$», pour laquelle «$\;f\;$ est une fonction continue et différentiable en $\;(x_{0}\,,\,y_{0})\;$»
     Remarque : à partir de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\varphi \;:\;y\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « la fonction implicite $\;\varphi \;$ est continue et différentiable en $\;y_{0}\;$»,
     Remarque : à partir de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\varphi \;:\;y\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « la valeur de sa dérivée 1^ère en $\;y_{0}\;$ pouvant se déterminer par
     Remarque : à partir de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\varphi \;:\;y\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que «$\;\varphi '(y_{0})=-{\dfrac {{f'}_{\!y}(x_{0},\,y_{0})}{{f'}_{\!x}(x_{0},\,y_{0})}}\;$» ou «$\;{\dfrac {d\varphi }{dy}}(y_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x}(x_{0},\,y_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y}(x_{0},\,y_{0})}}\;$»
     Remarque : à partir de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\varphi \;:\;y\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que si « la dérivée partielle 1^ère de $\;f\;$ par rapport à $\;x$ $\;{\big (}$à $\;y\;$ figée${\big )}\;$ vérifie
     Remarque : à partir de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\varphi \;:\;y\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que si « la dérivée partielle 1^ère de $\;\color {transparent}{f}\;$ par rapport à $\;\color {transparent}{x}\;$ $\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y}(x_{0},\,y_{0})\neq 0\;$».

     Lien entre les dérivées des fonctions implicites d'une même équation implicite  : « les deux fonctions implicites “$\;\psi \;:\;x\;{\overset {\psi }{\rightarrow }}\;y\;$ et $\;\varphi \;:\;y\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x\;$” solutions de l'équation implicite $\;f\left(x\,,\,y\right)=0\;$
           Lien entre les dérivées des fonctions implicites d'une même équation implicite : pour laquelle $\;f\;$ est une fonction continue et différentiable en $\;(x_{0}\,,\,y_{0})\;$» étant elles-mêmes continues et différentiables,
           Lien entre les dérivées des fonctions implicites d'une même équation implicite : « ont une dérivée 1^ère finie, inverse l'une de l'autre dans la mesure où «$\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x}(x_{0},\,y_{0})\neq 0\;$ ainsi que
                 Lien entre les dérivées des fonctions implicites d'une même équation implicite : « ont une dérivée 1^ère finie, inverse l'une de l'autre dans la mesure où «$\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y}(x_{0},\,y_{0})\neq 0\;$»
           Lien entre les dérivées des fonctions implicites d'une même équation implicite : en effet «$\;{\dfrac {d\varphi }{dy}}(y_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x}(x_{0},\,y_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y}(x_{0},\,y_{0})}}\;$» et «$\;{\dfrac {d\psi }{dx}}(x_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y}(x_{0},\,y_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x}(x_{0},\,y_{0})}}\;$» $\Rightarrow$
           Lien entre les dérivées des fonctions implicites d'une même équation implicite : en effet «$\;{\dfrac {d\varphi }{dy}}(y_{0})\;{\dfrac {d\psi }{dx}}(x_{0})=\left[-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x}(x_{0},\,y_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y}(x_{0},\,y_{0})}}\right]\,\left[-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y}(x_{0},\,y_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x}(x_{0},\,y_{0})}}\right]=1\;$ d'où
           Lien entre les dérivées des fonctions implicites d'une même équation implicite : en effet «$\;{\dfrac {d\varphi }{dy}}(y_{0})\;{\dfrac {d\psi }{dx}}(x_{0})=1\;$ $\Leftrightarrow$ $\;{\dfrac {d\varphi }{dy}}(y_{0})={\dfrac {1}{{\dfrac {d\psi }{dx}}(x_{0})}}\;$» si $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\psi \;:\;x\;{\overset {\psi }{\rightarrow }}\;y\\\varphi \;:\;y\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x\end{array}}\right\rbrace \;$.

Dérivées partielles premières d'une fonction implicite entre trois variables réelles

Dérivées partielles 1^ères d'une fonction implicite entre x, y et z

     Soit « l’équation implicite $\;f\left(x\,,\,y\,,\,z\right)=0\;$ des variables réelles $\;x$, $\;y\;$ et $\;z$, $\;f\;$ étant continue et différentiable en $\;(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0})\;$» et
     Soit « la fonction implicite $\;\psi \;:\;(x\,,\,z)\;{\overset {\psi }{\rightarrow }}\;y\;$ solution de l'équation implicite » c.-à-d. telle que «$\;f\left(x\,,\,y\,,\,z\right)=0\;$ $\Leftrightarrow$ $\;y=\psi (x,\,z)\;$»,
     « la fonction implicite $\;\psi \;$ est, par suite, continue et différentiable en $\;(x_{0}\,,\,z_{0})\;$»,
     « sa dérivée partielle 1^ère par rapport à $\;x\;$ à $\;z\;$ figée évaluée au point $\;(x_{0}\,,\,z_{0})\;$
     « sa dérivée partielle 1^ère par rapport à $\;\color {transparent}{x}\;$ à $\;\color {transparent}{z}\;$ figée peut se déterminer par «$\;{\psi '}_{\!\!x}(x_{0},\,z_{0})=-{\dfrac {{f'}_{\!\!x}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}{{f'}_{\!\!y}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}}\;$» ou
     « sa dérivée partielle 1^ère par rapport à $\;\color {transparent}{x}\;$ à $\;\color {transparent}{z}\;$ figée peut se déterminer par «$\;\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial x}}\right)_{\!z}(x_{0},\,z_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}}\;$» et
     « sa dérivée partielle 1^ère par rapport à $\;z\;$ à $\;x\;$ figée évaluée au point $\;(x_{0}\,,\,z_{0})\;$
     « sa dérivée partielle 1^ère par rapport à $\;\color {transparent}{z}\;$ à $\;\color {transparent}{x}\;$ figée peut se déterminer par «$\;{\psi '}_{\!\!z}(x_{0},\,z_{0})=-{\dfrac {{f'}_{\!\!z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}{{f'}_{\!\!y}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}}\;$» ou
     « sa dérivée partielle 1^ère par rapport à $\;\color {transparent}{z}\;$ à $\;\color {transparent}{x}\;$ figée peut se déterminer par «$\;\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial z}}\right)_{\!x}(x_{0},\,z_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}}\;$»
     « sa dérivée partielle 1^ère par rapport à $\;\color {transparent}{z}\;$ à $\;\color {transparent}{x}\;$ figée peut se déterminer si « la dérivée partielle 1^ère de $\;f\;$ par rapport à $\;y$
     « sa dérivée partielle 1^ère par rapport à $\;\color {transparent}{z}\;$ à $\;\color {transparent}{x}\;$ figée peut se déterminer si «$\;{\big (}$à $\,x\,$ et $\,z\,$ figées${\big )}\,$ vérifie $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\neq 0\;$».

     Démonstration : différenciant, à $\;z\;$ figée, «$\;f\left(x\,,\,y\,,\,z\right)=0\;$ en $\;(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0})\;$» nous obtenons «$\;d_{z}f(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})=0\;$ ou $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\;d_{z}x+\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\;d_{z}y=0\;$»
     Démonstration : différenciant, à $\;\color {transparent}{z}\;$ figée, «$\;\color {transparent}{f\left(x\,,\,y\,,\,z\right)=0}\;$ en $\;\color {transparent}{(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0})}\;$» nous obtenons dont nous déduisons, dans la mesure où $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\neq 0$,
     Démonstration : différenciant, à $\;\color {transparent}{z}\;$ figée, «$\;\color {transparent}{f\left(x\,,\,y\,,\,z\right)=0}\;$ en $\;\color {transparent}{(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0})}\;$» nous obtenons dont nous déduisons, «$\;{\dfrac {d_{z}y}{d_{z}x}}=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}}\;$ C.Q.F.D.  » et
     Démonstration : différenciant, à $\;x\;$ figée, «$\;f\left(x\,,\,y\,,\,z\right)=0\;$ en $\;(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0})\;$» nous obtenons «$\;d_{x}f(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})=0\;$ ou $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\;d_{x}y+\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\;d_{x}z=0\;$»
     Démonstration : différenciant, à $\;\color {transparent}{x}\;$ figée, «$\;\color {transparent}{f\left(x\,,\,y\,,\,z\right)=0}\;$ en $\;\color {transparent}{(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0})}\;$» nous obtenons dont nous déduisons, dans la mesure où $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\neq 0$,
     Démonstration : différenciant, à $\;\color {transparent}{x}\;$ figée, «$\;\color {transparent}{f\left(x\,,\,y\,,\,z\right)=0}\;$ en $\;\color {transparent}{(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0})}\;$» nous obtenons dont nous déduisons, «$\;{\dfrac {d_{x}y}{d_{x}z}}=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}}\;$ C.Q.F.D.  ».

     Remarque : de « la fonction implicite $\;\varphi \;:\;(y\,,\,z)\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x\;$ solution de l'équation implicite $\;f\left(x\,,\,y\,,\,z\right)=0\;$ $\Leftrightarrow$ $\;x=\varphi (y,\,z)\;$», avec «$\;f\;$ fonction continue et différentiable en $\;(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0})\;$»
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\varphi \;:\;(y\,,\,z)\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « la fonction implicite $\;\varphi \;$ est continue et différentiable en $\;(y_{0},\,z_{0})\;$»,
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\varphi \;:\;(y\,,\,z)\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « sa dérivée partielle 1^ère par rapport à $\;y\;$ à $\;z\;$ figée évaluée au point $\;(y_{0}\,,\,z_{0})\;$ et
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\varphi \;:\;(y\,,\,z)\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « celle par rapport à $\;z\;$ à $\;y\;$ figée évaluée au même point $\;(y_{0}\,,\,z_{0})\;$ pouvant
      Remarque : de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\varphi \;:\;(y\,,\,z)\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « celle par rapport à $\;\color {transparent}{z}\;$ à $\;\color {transparent}{y}\;$ figée évaluée au même point se déterminer par
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\varphi \;:\;(y\,,\,z)\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que «$\;\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)_{\!z}(y_{0},\,z_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}}\;$» et
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\varphi \;:\;(y\,,\,z)\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que «$\;\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)_{\!y}(y_{0},\,z_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}}\;$»
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\varphi \;:\;(y\,,\,z)\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que si « la dérivée partielle 1^ère de $\;f\;$ par rapport à $\;x$ $\;{\big (}$à $\;y\;$ et $\;z\;$ figées${\big )}\;$ vérifie
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\varphi \;:\;(y\,,\,z)\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que si « la dérivée partielle 1^ère de $\;\color {transparent}{f}\;$ par rapport à $\;\color {transparent}{x}$ $\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\neq 0\;$» ;
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\zeta \;:\;(x\,,\,y)\;{\overset {\zeta }{\rightarrow }}\;z\;$ solution de l'équation implicite $\;f\left(x\,,\,y\,,\,z\right)=0\;$ $\Leftrightarrow$ $\;z=\zeta \,(x,\,y)\;$», avec «$\;f\;$ fonction continue et différentiable en $\;(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0})\;$»
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\zeta \;:\;(x\,,\,y)\;{\overset {\zeta }{\rightarrow }}\;z}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « la fonction implicite $\;\zeta \;$ est continue et différentiable en $\;(x_{0},\,y_{0})\;$»,
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\zeta \;:\;(x\,,\,y)\;{\overset {\zeta }{\rightarrow }}\;z}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « sa dérivée partielle 1^ère par rapport à $\;x\;$ à $\;y\;$ figée évaluée au point $\;(x_{0}\,,\,y_{0})\;$ et
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\zeta \;:\;(x\,,\,y)\;{\overset {\zeta }{\rightarrow }}\;z}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « celle par rapport à $\;y\;$ à $\;x\;$ figée évaluée au même point $\;(x_{0}\,,\,y_{0})\;$ pouvant
      Remarque : de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\zeta \;:\;(x\,,\,y)\;{\overset {\zeta }{\rightarrow }}\;z}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « celle par rapport à $\;\color {transparent}{y}\;$ à $\;\color {transparent}{x}\;$ figée évaluée au même point se déterminer par
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\zeta \;:\;(x\,,\,y)\;{\overset {\zeta }{\rightarrow }}\;z}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que «$\;\left({\dfrac {\partial \zeta }{\partial x}}\right)_{\!y}(x_{0},\,y_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}}\;$» et
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\zeta \;:\;(x\,,\,y)\;{\overset {\zeta }{\rightarrow }}\;z}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que «$\;\left({\dfrac {\partial \zeta }{\partial y}}\right)_{\!x}(y_{0},\,z_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}}\;$»
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\zeta \;:\;(x\,,\,y)\;{\overset {\zeta }{\rightarrow }}\;z}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que si « la dérivée partielle 1^ère de $\;f\;$ par rapport à $\;z$ $\;{\big (}$à $\;x\;$ et $\;y\;$ figées${\big )}\;$ vérifie
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\zeta \;:\;(x\,,\,y)\;{\overset {\zeta }{\rightarrow }}\;z}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que si « la dérivée partielle 1^ère de $\;\color {transparent}{f}\;$ par rapport à $\;\color {transparent}{z}$ $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\neq 0\;$».

     Liens entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite  : « les trois fonctions implicites “$\;\psi \;:\;(x,\,z)\;{\overset {\psi }{\rightarrow }}\;y$, $\;\varphi \;:\;(y,\,z)\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x\;$ et $\;\zeta \;:\;z\;{\overset {\zeta }{\rightarrow }}\;(x,\,y)\;$”
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : « les trois fonctions implicites “ solutions de l'équation implicite $\;f\left(x\,,\,y\,,\,z\right)=0\;$ pour laquelle $\;f\;$ est une fonction
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : « continue et différentiable en $\;(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0})\;$» étant elles-mêmes continues et différentiables,
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : « ont des dérivées partielles 1^ères liées deux à deux selon :
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet \;$«$\;\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial x}}\right)_{\!z}(x_{0},\,z_{0})={\dfrac {1}{\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)_{\!z}(y_{0},\,z_{0})}}\;$» dans la mesure où «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\neq 0\\\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\neq 0\end{array}}\right\rbrace \;$» $\Leftarrow$
              Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$« “$\;\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial x}}\right)_{\!z}(x_{0},\,z_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}}\;$ et $\;\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)_{\!z}(y_{0},\,z_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}}\;$” $\Rightarrow$
              Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$« $\;\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)_{\!z}(y_{0},\,z_{0})\;\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial x}}\right)_{\!z}(x_{0},\,z_{0})=\left[-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}}\right]\,\left[-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}}\right]=1\;$»,
              Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$« en physique $\;{\big (}$et par abus${\big )}\;$ on notera par la suite «$\;\left({\dfrac {\partial x}{\partial y}}\right)_{\!z}(x_{0},\,z_{0})\;\left({\dfrac {\partial y}{\partial x}}\right)_{\!z}(y_{0},\,z_{0})=1\;$» ,
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet \;$«$\;\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial z}}\right)_{\!x}(x_{0},\,z_{0})={\dfrac {1}{\left({\dfrac {\partial \zeta }{\partial y}}\right)_{\!x}(x_{0},\,y_{0})}}\;$» dans la mesure où «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\neq 0\\\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\neq 0\end{array}}\right\rbrace \;$» $\Leftarrow$
              Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$« “$\;\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial z}}\right)_{\!x}(x_{0},\,z_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}}\;$ et $\;\left({\dfrac {\partial \zeta }{\partial y}}\right)_{\!x}(x_{0},\,y_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}}\;$” $\Rightarrow$
              Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$« $\;\left({\dfrac {\partial \zeta }{\partial y}}\right)_{\!x}(x_{0},\,y_{0})\;\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial z}}\right)_{\!x}(x_{0},\,z_{0})=\left[-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}}\right]\,\left[-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}}\right]=1\;$»,
              Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$« en physique $\;{\big (}$et par abus${\big )}\;$ on notera par la suite «$\;\left({\dfrac {\partial z}{\partial y}}\right)_{\!x}(x_{0},\,y_{0})\;\left({\dfrac {\partial y}{\partial z}}\right)_{\!x}(y_{0},\,z_{0})=1\;$» et
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet \;$«$\;\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)_{\!y}(y_{0},\,z_{0})={\dfrac {1}{\left({\dfrac {\partial \zeta }{\partial x}}\right)_{\!y}(x_{0},\,y_{0})}}\;$» dans la mesure où «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\neq 0\\\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\neq 0\end{array}}\right\rbrace \;$» $\Leftarrow$
              Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$« “$\;\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)_{\!y}(y_{0},\,z_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}}\;$ et $\;\left({\dfrac {\partial \zeta }{\partial x}}\right)_{\!y}(y_{0},\,z_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}}\;$” $\Rightarrow$
              Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$« $\;\left({\dfrac {\partial \zeta }{\partial x}}\right)_{\!y}(y_{0},\,z_{0})\;\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)_{\!y}(y_{0},\,z_{0})=\left[-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}}\right]\,\left[-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}}\right]=1\;$»,
              Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$« en physique $\;{\big (}$et par abus${\big )}\;$ on notera par la suite «$\;\left({\dfrac {\partial z}{\partial x}}\right)_{\!y}(y_{0},\,z_{0})\;\left({\dfrac {\partial x}{\partial z}}\right)_{\!y}(y_{0},\,z_{0})=1\;$»  ;
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet \;$nous pouvons déduire des liens ci-dessus entre « les dérivées partielles 1^ères des trois fonctions implicites
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$$\psi \;:\;(x,\,z)\;{\overset {\psi }{\rightarrow }}\;y$, $\;\varphi \;:\;(y,\,z)\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x\;$ et $\;\zeta \;:\;z\;{\overset {\zeta }{\rightarrow }}\;(x,\,y)\;$ solutions de l'équation implicite $\;f\left(x\,,\,y\,,\,z\right)=0$
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$nous pouvons déduire des liens pour laquelle $\;f\;$ est une fonction continue et différentiable en $\;(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0})\;$»,
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$une relation liant trois des dérivées partielles 1^ères judicieusement choisies des fonctions implicites $\;\psi$, $\;\varphi \;$ et $\;\zeta$
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$une relation liant trois des dérivées partielles 1^ères judicieu solutions de l'équation implicite $\;f\left(x\,,\,y\,,\,z\right)=0\;$
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$une relation $\blacktriangleright \;$«$\;\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial x}}\right)_{\!z}(x_{0},\,z_{0})\;\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)_{\!y}(y_{0},\,z_{0})\;\left({\dfrac {\partial \zeta }{\partial y}}\right)_{\!x}(x_{0},\,y_{0})=-1\;$» $\Leftrightarrow$
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$une relation $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$«$\;\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial x}}\right)_{\!z}(x_{0},\,z_{0})\;\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)_{\!y}(y_{0},\,z_{0})=-{\dfrac {1}{\left({\dfrac {\partial \zeta }{\partial y}}\right)_{\!x}(x_{0},\,y_{0})}}\;$» $\Leftrightarrow$
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$une relation $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$«$\;\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial x}}\right)_{\!z}(x_{0},\,z_{0})\;\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)_{\!y}(y_{0},\,z_{0})=-\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial z}}\right)_{\!x}(x_{0},\,y_{0})\;$» ,
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$une relation $\blacktriangleright \;$«$\;\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial z}}\right)_{\!x}(x_{0},\,z_{0})\;\left({\dfrac {\partial \zeta }{\partial x}}\right)_{\!y}(y_{0},\,z_{0})\;\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)_{\!z}(x_{0},\,y_{0})=-1\;$» $\Leftrightarrow$
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$une relation $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$«$\;\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial z}}\right)_{\!x}(x_{0},\,z_{0})\;\left({\dfrac {\partial \zeta }{\partial x}}\right)_{\!y}(x_{0},\,y_{0})=-{\dfrac {1}{\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)_{\!z}(x_{0},\,y_{0})}}\;$» $\Leftrightarrow$
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$une relation $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$«$\;\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial z}}\right)_{\!x}(x_{0},\,z_{0})\;\left({\dfrac {\partial \zeta }{\partial x}}\right)_{\!y}(x_{0},\,y_{0})=-\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial x}}\right)_{\!z}(x_{0},\,y_{0})\;$» .

Dérivées partielles premières d'une fonction implicite entre quatre variables réelles (ou plus)

Dérivées partielles 1^ères d'une fonction implicite entre x, y, z et t

     Soit « l’équation implicite $\;f\left(x\,,\,y\,,\,z\,,\,t\right)=0\;$ des variables réelles $\;x$, $\;y$, $\;z\;$ et $\;t$, $\;f\;$ étant continue et
     Soit « l’équation implicite $\;\color {transparent}{f\left(x\,,\,y\,,\,z\,,\,t\right)=0}\;$ des variables réelles $\;\color {transparent}{x}$, $\;\color {transparent}{y}$, $\;\color {transparent}{z}\;$ et $\;\color {transparent}{t}$, $\;\color {transparent}{f}\;$ étant différentiable en $\;(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0}\,,\,t_{0})\;$» et
     Soit « la fonction implicite $\;\psi \;:\;(x\,,\,z\,,\,t)\;{\overset {\psi }{\rightarrow }}\;y\;$ solution de l'équation implicite $\;f\left(x\,,\,y\,,\,z\,,\,t\right)=0\;$ $\Leftrightarrow$ $\;y=\psi (x,\,z,\,t)\;$»,
     « la fonction implicite $\;\psi \;$ est, par suite, continue et différentiable en $\;(x_{0}\,,\,z_{0}\,,\,t_{0})\;$»,
     « sa dérivée partielle 1^ère par rapport à $\;x$, à $\;z\;$ et $\;t\;$ figées, évaluée au point $\;(x_{0}\,,\,z_{0}\,,\,t_{0})\;$
     « sa dérivée partielle 1^ère par rapport à $\;\color {transparent}{x}\;$ à $\;\color {transparent}{z}\;$ et $\;\color {transparent}{t}\;$ figées, peut se déterminer par «$\;{\psi '}_{\!\!x}(x_{0},\,z_{0},\,t_{0})=-{\dfrac {{f'}_{\!\!x}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}{{f'}_{\!\!y}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}}\;$» ou
          « sa dérivée partielle 1^ère par rapport à $\;\color {transparent}{x}\;$ à $\;\color {transparent}{z}\;$ et $\;\color {transparent}{t}\;$ figées, peut se «$\;\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial x}}\right)_{\!z,\,t}(x_{0},\,z_{0},\,t_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}}\;$»,
     « sa dérivée partielle 1^ère par rapport à $\;z$, à $\;x\;$ et $\;t\;$ figées, évaluée au point $\;(x_{0}\,,\,z_{0},\,t_{0})\;$
     « sa dérivée partielle 1^ère par rapport à $\;\color {transparent}{z}\;$ à $\;\color {transparent}{x}\;$ et $\;\color {transparent}{t}\;$ figées, peut se déterminer par «$\;{\psi '}_{\!\!z}(x_{0},\,z_{0},\,t_{0})=-{\dfrac {{f'}_{\!\!z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}{{f'}_{\!\!y}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}}\;$» ou
     « sa dérivée partielle 1^ère par rapport à $\;\color {transparent}{z}\;$ à $\;\color {transparent}{x}\;$ et $\;\color {transparent}{t}\;$ figées, peut se «$\;\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial z}}\right)_{\!x,\,t}(x_{0},\,z_{0},\,t_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}}\;$» et
     « sa dérivée partielle 1^ère par rapport à $\;t$, à $\;x\;$ et $\;z\;$ figées, évaluée au point $\;(x_{0}\,,\,z_{0},\,t_{0})\;$
     « sa dérivée partielle 1^ère par rapport à $\;\color {transparent}{t}\;$ à $\;\color {transparent}{x}\;$ et $\;\color {transparent}{z}\;$ figées, peut se déterminer par «$\;{\psi '}_{\!\!t}(x_{0},\,z_{0},\,t_{0})=-{\dfrac {{f'}_{\!\!t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}{{f'}_{\!\!y}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}}\;$» ou
          « sa dérivée partielle 1^ère par rapport à $\;\color {transparent}{t}\;$ à $\;\color {transparent}{x}\;$ et $\;\color {transparent}{z}\;$ figées, peut se «$\;\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial t}}\right)_{\!x,\,z}(x_{0},\,z_{0},\,t_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\!x,\,y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}}\;$»,
     « ces trois relations ci-dessus nécessitant que « la dérivée partielle 1^ère de $\;f\;$ par rapport à $\;y$ $\;{\big (}x$, $\;z\;$ et $\;t\;$ étant figées${\big )}\;$ vérifie
     « ces trois relations ci-dessus nécessitant que « la dérivée partielle 1^ère de $\;\color {transparent}{f}\;$ par rapport à $\;\color {transparent}{y}$ $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})\neq 0\;$».

     Démonstration : différenciant, à $\;z\;$ et $\;t\;$ figées, «$\;f\left(x\,,\,y\,,\,z\,,\,t\right)=0\;$ en $\;(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0}\,,\,t_{0})\;$» nous obtenons «$\;d_{z,\,t}f(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})=0\;$ soit, en explicitant la différentielle, à $\;z\;$ et $\;t\;$ figées, de $\;f$,
     Démonstration : différenciant, à $\;\color {transparent}{z}\;$ et $\;\color {transparent}{t}\;$ figées, «$\;\color {transparent}{f\left(x\,,\,y\,,\,z\,,\,t\right)=0}\;$ en $\;\color {transparent}{(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0}\,,\,t_{0})}\;$» nous obtenons $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})\;d_{z,\,t}x+\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})\;d_{z,\,t}y=0\;$» $\Rightarrow$
     Démonstration : différenciant, à $\;\color {transparent}{z}\;$ et $\;\color {transparent}{t}\;$ figées, «$\;\color {transparent}{f\left(x\,,\,y\,,\,z\,,\,t\right)=0}\;$ en $\;\color {transparent}{(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0}\,,\,t_{0})}\;$» nous obtenons «$\;{\dfrac {d_{z,\,t}y}{d_{z,\,t}x}}=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}}\;$ dans la mesure où
                                                                           Démonstration : différenciant, à $\;\color {transparent}{z}\;$ et $\;\color {transparent}{t}\;$ figées, «$\;\color {transparent}{f\left(x\,,\,y\,,\,z\,,\,t\right)=0}\;$ en $\;\color {transparent}{(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0}\,,\,t_{0})}\;$» nous obtenons $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})\neq 0\;$» C.Q.F.D. ,
     Démonstration : différenciant, à $\;\color {transparent}{z}\;$ et $\;\color {transparent}{t}\;$ figées, «$\;\color {transparent}{f\left(x\,,\,y\,,\,z\,,\,t\right)=0}\;$ en $\;\color {transparent}{(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0}\,,\,t_{0})}\;$» les expressions des deux autres dérivées partielles 1^ères se déterminant de la même façon $\;\ldots$

     Remarque : de « la fonction implicite $\;\varphi \;:\;(y\,,\,z\,,\,t)\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x\;$ solution de l'équation implicite $\;f\left(x\,,\,y\,,\,z\,,\,t\right)=0\;$ $\Leftrightarrow$ $\;x=\varphi (y,\,z,\,t)\;$», avec «$\;f\;$ fonction continue et différentiable en $\;(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0}\,,\,t_{0})\;$»
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\varphi \;:\;(y\,,\,z\,,\,t)\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « la fonction implicite $\;\varphi \;$ est continue et différentiable en $\;(y_{0},\,z_{0},\,t_{0})\;$»,
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\varphi \;:\;(y\,,\,z\,,\,t)\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « sa dérivée partielle 1^ère par rapport à $\;y\;$ à $\;z\;$ et $\;t\;$ figées en $\;(y_{0}\,,\,z_{0},\,t_{0})$,
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\varphi \;:\;(y\,,\,z\,,\,t)\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « celle par rapport à $\;z\;$ à $\;y\;$ et $\;t\;$ figées en $\;(y_{0}\,,\,z_{0}\,,\,t_{0})\;$ ainsi que
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\varphi \;:\;(y\,,\,z\,,\,t)\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « celle par rapport à $\;t\;$ à $\;y\;$ et $\;z\;$ figées en $\;(y_{0}\,,\,z_{0}\,,\,t_{0})\;$ pouvant
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\varphi \;:\;(y\,,\,z\,,\,t)\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « celle par rapport à $\;\color {transparent}{t}\;$ à $\;\color {transparent}{y}\;$ et $\;\color {transparent}{z}\;$ figées en $\;\color {transparent}{(y_{0}\,,\,z_{0}\,,\,t_{0})}\;$ se déterminer par
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\varphi \;:\;(y\,,\,z\,,\,t)\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que «$\;\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)_{\!z,\,t}(y_{0},\,z_{0},\,t_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}}\;$» ,
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\varphi \;:\;(y\,,\,z\,,\,t)\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que «$\;\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)_{\!y,\,t}(y_{0},\,z_{0},\,t_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}}\;$» et
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\varphi \;:\;(y\,,\,z\,,\,t)\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que «$\;\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial t}}\right)_{\!y,\,z}(y_{0},\,z_{0},\,t_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\!x,\,y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}}\;$»
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\varphi \;:\;(y\,,\,z\,,\,t)\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que si « la dérivée partielle 1^ère de $\;f\;$ par rapport à $\;x$ $\;{\big (}$à $\;y$, $\;z\;$ et $\;t\;$ figées${\big )}\;$
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\varphi \;:\;(y\,,\,z\,,\,t)\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que si « la dérivée partielle 1^ère de $\;\color {transparent}{f}\;$ vérifie $\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})\neq 0\;$» ;
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\zeta \;:\;(x\,,\,y\,,\,t)\;{\overset {\zeta }{\rightarrow }}\;z\;$ solution de l'équation implicite $\;f\left(x\,,\,y\,,\,z\,,\,t\right)=0\;$ $\Leftrightarrow$ $\;z=\zeta (x,\,y,\,t)\;$», avec «$\;f\;$ fonction continue et différentiable en $\;(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0}\,,\,t_{0})\;$»
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\zeta \;:\;(x\,,\,y\,,\,t)\;{\overset {\zeta }{\rightarrow }}\;z}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « la fonction implicite $\;\zeta \;$ est continue et différentiable en $\;(x_{0},\,y_{0},\,t_{0})\;$»,
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\zeta \;:\;(x\,,\,y\,,\,t)\;{\overset {\zeta }{\rightarrow }}\;z}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « sa dérivée partielle 1^ère par rapport à $\;x\;$ à $\;y\;$ et $\;t\;$ figées en $\;(x_{0}\,,\,y_{0},\,t_{0})$,
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\zeta \;:\;(x\,,\,y\,,\,t)\;{\overset {\zeta }{\rightarrow }}\;z}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « celle par rapport à $\;y\;$ à $\;x\;$ et $\;t\;$ figées en $\;(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,t_{0})\;$ ainsi que
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\zeta \;:\;(x\,,\,y\,,\,t)\;{\overset {\zeta }{\rightarrow }}\;z}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « celle par rapport à $\;t\;$ à $\;x\;$ et $\;y\;$ figées en $\;(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,t_{0})\;$ pouvant
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\zeta \;:\;(x\,,\,y\,,\,t)\;{\overset {\zeta }{\rightarrow }}\;z}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « celle par rapport à $\;\color {transparent}{t}\;$ à $\;\color {transparent}{x}\;$ et $\;\color {transparent}{y}\;$ figées en $\;\color {transparent}{(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,t_{0})}\;$ se déterminer par
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\zeta \;:\;(x\,,\,y\,,\,t)\;{\overset {\zeta }{\rightarrow }}\;z}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que «$\;\left({\dfrac {\partial \zeta }{\partial x}}\right)_{\!y,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,t_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}}\;$» ,
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\zeta \;:\;(x\,,\,y\,,\,t)\;{\overset {\zeta }{\rightarrow }}\;z}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que «$\;\left({\dfrac {\partial \zeta }{\partial y}}\right)_{\!x,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,t_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}}\;$» et
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\zeta \;:\;(x\,,\,y\,,\,t)\;{\overset {\zeta }{\rightarrow }}\;z}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que «$\;\left({\dfrac {\partial \zeta }{\partial t}}\right)_{\!x,\,y}(x_{0},\,y_{0},\,t_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\!x,\,y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}}\;$»
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\zeta \;:\;(x\,,\,y\,,\,t)\;{\overset {\zeta }{\rightarrow }}\;z}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que si « la dérivée partielle 1^ère de $\;f\;$ par rapport à $\;z$ $\;{\big (}$à $\;x$, $\;y\;$ et $\;t\;$ figées${\big )}\;$
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\zeta \;:\;(x\,,\,y\,,\,t)\;{\overset {\zeta }{\rightarrow }}\;z}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que si « la dérivée partielle 1^ère de $\;\color {transparent}{f}\;$ vérifie $\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})\neq 0\;$» ;
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\tau \;:\;(x\,,\,y\,,\,z)\;{\overset {\tau }{\rightarrow }}\;t\;$ solution de l'équation implicite $\;f\left(x\,,\,y\,,\,z\,,\,t\right)=0\;$ $\Leftrightarrow$ $\;t=\tau (x,\,y,\,z)\;$», avec «$\;f\;$ fonction continue et différentiable en $\;(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0}\,,\,t_{0})\;$»
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\tau \;:\;(x\,,\,y\,,\,z)\;{\overset {\tau }{\rightarrow }}\;t}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « la fonction implicite $\;\tau \;$ est continue et différentiable en $\;(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\;$»,
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\tau \;:\;(x\,,\,y\,,\,z)\;{\overset {\tau }{\rightarrow }}\;t}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « sa dérivée partielle 1^ère par rapport à $\;x\;$ à $\;y\;$ et $\;z\;$ figées en $\;(x_{0}\,,\,y_{0},\,z_{0})$,
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\tau \;:\;(x\,,\,y\,,\,z)\;{\overset {\tau }{\rightarrow }}\;t}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « celle par rapport à $\;y\;$ à $\;x\;$ et $\;z\;$ figées en $\;(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0})\;$ ainsi que
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\tau \;:\;(x\,,\,y\,,\,z)\;{\overset {\tau }{\rightarrow }}\;t}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « celle par rapport à $\;z\;$ à $\;x\;$ et $\;y\;$ figées en $\;(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0})\;$ pouvant
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\tau \;:\;(x\,,\,y\,,\,z)\;{\overset {\tau }{\rightarrow }}\;t}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « celle par rapport à $\;\color {transparent}{z}\;$ à $\;\color {transparent}{x}\;$ et $\;\color {transparent}{y}\;$ figées en $\;\color {transparent}{(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0})}\;$ se déterminer par
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\tau \;:\;(x\,,\,y\,,\,z)\;{\overset {\tau }{\rightarrow }}\;t}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que «$\;\left({\dfrac {\partial \tau }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\!x,\,y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}}\;$» ,
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\tau \;:\;(x\,,\,y\,,\,z)\;{\overset {\tau }{\rightarrow }}\;t}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que «$\;\left({\dfrac {\partial \tau }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\!x,\,y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}}\;$» et
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\tau \;:\;(x\,,\,y\,,\,z)\;{\overset {\tau }{\rightarrow }}\;t}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que «$\;\left({\dfrac {\partial \tau }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\!x,\,y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}}\;$»
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\tau \;:\;(x\,,\,y\,,\,z)\;{\overset {\tau }{\rightarrow }}\;t}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que si « la dérivée partielle 1^ère de $\;f\;$ par rapport à $\;t$ $\;{\big (}$à $\;x$, $\;y\;$ et $\;z\;$ figées${\big )}\;$
     Remarque : de « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\tau \;:\;(x\,,\,y\,,\,z)\;{\overset {\tau }{\rightarrow }}\;t}\;$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que si « la dérivée partielle 1^ère de $\;\color {transparent}{f}\;$ vérifie $\left({\dfrac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\!x,\,y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})\neq 0\;$».

     Liens entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite  : « les quatre fonctions implicites “$\;\psi \;:\;(x,\,z,\,t)\;{\overset {\psi }{\rightarrow }}\;y$, $\;\varphi \;:\;(y,\,z,\,t)\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x$, $\;\zeta \;:\;(x,\,y,\,t)\;{\overset {\zeta }{\rightarrow }}\;z\;$ et
           Liens entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : « les quatre fonctions implicites “$\;\color {transparent}{\psi \;:\;(x,\,z,\,t)\;{\overset {\psi }{\rightarrow }}\;y}$, $\;\color {transparent}{\varphi \;:\;(y,\,z,\,t)\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x}$, $\;\tau \;:\;(x,\,y,\,z)\;{\overset {\tau }{\rightarrow }}\;t\;$” solutions
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : « les quatre fonctions implicites “ de l'équation implicite $\;f\left(x\,,\,y\,,\,z\,,\,t\right)=0\;$ pour laquelle $\;f\;$ est une fonction
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : « continue et différentiable en $\;(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0}\,,\,t_{0})\;$» étant elles-mêmes continues et différentiables,
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : « ont des dérivées partielles 1^ères liées deux à deux selon :
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet \;$«$\;\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial x}}\right)_{\!z,\,t}(x_{0},\,z_{0},\,t_{0})={\dfrac {1}{\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)_{\!z,\,t}(y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}}\;$» si «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})\neq 0\\\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})\neq 0\end{array}}\right\rbrace \;$» $\Leftarrow$
              Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$« “$\;\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial x}}\right)_{\!z,\,t}(x_{0},\,z_{0},\,t_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}}\;$ ainsi que
              Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$« “$\,\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)_{\!z,\,t}\!\!(y_{0},\,z_{0},\,t_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z,\,t}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z,\,t}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}}\,$” $\Rightarrow$ $\,\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial x}}\right)_{\!z,\,t}\!\!(x_{0},\,z_{0},\,t_{0})\,\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)_{\!z,\,t}\!\!(y_{0},\,z_{0},\,t_{0})$
                                                            Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$« $=\left[-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z,\,t}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z,\,t}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}}\right]\left[-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z,\,t}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z,\,t}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}}\right]=1\;$»,
              Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$« en physique $\;{\big (}$et par abus${\big )}\;$ on notera par la suite «$\;\left({\dfrac {\partial y}{\partial x}}\right)_{\!z,\,t}(y_{0},\,z_{0},\,t_{0})\;\left({\dfrac {\partial x}{\partial y}}\right)_{\!z,\,t}(x_{0},\,z_{0},\,t_{0})=1\;$» ,
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet \;$«$\;\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial z}}\right)_{\!x,\,t}(x_{0},\,z_{0},\,t_{0})={\dfrac {1}{\left({\dfrac {\partial \zeta }{\partial y}}\right)_{\!x,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,t_{0})}}\;$» si «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})\neq 0\\\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})\neq 0\end{array}}\right\rbrace \;$» $\Leftarrow$
              Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$« “$\;\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial z}}\right)_{\!x,\,t}(x_{0},\,z_{0},\,t_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}}\;$ ainsi que
              Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$« “$\,\left({\dfrac {\partial \zeta }{\partial y}}\right)_{\!x,\,t}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,t_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z,\,t}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y,\,t}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}}\,$” $\Rightarrow$ $\,\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial z}}\right)_{\!x,\,t}\!\!(x_{0},\,z_{0},\,t_{0})\,\left({\dfrac {\partial \zeta }{\partial y}}\right)_{\!x,\,t}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,t_{0})$
                                                            Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$« $=\left[-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y,\,t}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z,\,t}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}}\right]\left[-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z,\,t}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y,\,t}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}}\right]=1\;$»,
              Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$« en physique $\;{\big (}$et par abus${\big )}\;$ on notera par la suite «$\;\left({\dfrac {\partial y}{\partial z}}\right)_{\!x,\,t}\!\!(x_{0},\,z_{0},\,t_{0})\;\left({\dfrac {\partial z}{\partial y}}\right)_{\!x,\,t}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,t_{0})=1\;$» ,
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet \;$«$\;\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial t}}\right)_{\!x,\,z}(x_{0},\,z_{0},\,t_{0})={\dfrac {1}{\left({\dfrac {\partial \tau }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}}\;$» si «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})\neq 0\\\left({\dfrac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\!x,\,y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})\neq 0\end{array}}\right\rbrace \;$» $\Leftarrow$
              Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$« “$\;\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial t}}\right)_{\!x,\,z}(x_{0},\,z_{0},\,t_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\!x,\,y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}}\;$ ainsi que
              Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$« “$\,\left({\dfrac {\partial \tau }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z,\,t}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\!x,\,y,\,z}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}}\,$” $\Rightarrow$ $\,\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial t}}\right)_{\!x,\,z}\!\!\!(x_{0},\,z_{0},\,t_{0})\,\left({\dfrac {\partial \tau }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})$
                                                            Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$« $=\left[-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\!x,\,y,\,z}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z,\,t}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}}\right]\left[-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z,\,t}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\!x,\,y,\,z}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}}\right]=1\;$»,
              Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$« en physique $\;{\big (}$et par abus${\big )}\;$ on notera par la suite «$\;\left({\dfrac {\partial y}{\partial t}}\right)_{\!x,\,z}\!\!(x_{0},\,z_{0},\,t_{0})\;\left({\dfrac {\partial t}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})=1\;$» ,
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet \;$«$\;\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)_{\!y,\,t}(y_{0},\,z_{0},\,t_{0})={\dfrac {1}{\left({\dfrac {\partial \zeta }{\partial x}}\right)_{\!y,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,t_{0})}}\;$» si «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})\neq 0\\\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})\neq 0\end{array}}\right\rbrace \;$» $\Leftarrow$
              Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$« “$\;\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)_{\!y,\,t}(y_{0},\,z_{0},\,t_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}}\;$ ainsi que
              Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$« “$\,\left({\dfrac {\partial \zeta }{\partial x}}\right)_{\!y,\,t}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,t_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z,\,t}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y,\,t}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}}\,$” $\Rightarrow$ $\,\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)_{\!y,\,t}\!\!\!(y_{0},\,z_{0},\,t_{0})\,\left({\dfrac {\partial \zeta }{\partial x}}\right)_{\!y,\,t}\!\!\!(x_{0},\,y_{0},\,t_{0})$
                                                            Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$« $=\left[-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y,\,t}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z,\,t}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}}\right]\left[-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z,\,t}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y,\,t}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}}\right]=1\;$»,
              Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$« en physique $\;{\big (}$et par abus${\big )}\;$ on notera par la suite «$\;\left({\dfrac {\partial x}{\partial z}}\right)_{\!y,\,t}\!\!(y_{0},\,z_{0},\,t_{0})\;\left({\dfrac {\partial z}{\partial x}}\right)_{\!y,\,t}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,t_{0})=1\;$» ,
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet \;$«$\;\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial t}}\right)_{\!y,\,z}(y_{0},\,z_{0},\,t_{0})={\dfrac {1}{\left({\dfrac {\partial \tau }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}}\;$» si «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})\neq 0\\\left({\dfrac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\!x,\,y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})\neq 0\end{array}}\right\rbrace \;$» $\Leftarrow$
              Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$« “$\;\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial t}}\right)_{\!y,\,z}(y_{0},\,z_{0},\,t_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\!x,\,y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}}\;$ ainsi que
              Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$« “$\,\left({\dfrac {\partial \tau }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z,\,t}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\!x,\,y,\,z}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}}\,$” $\Rightarrow$ $\,\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial t}}\right)_{\!y,\,z}\!\!\!(y_{0},\,z_{0},\,t_{0})\,\left({\dfrac {\partial \tau }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\!\!\!(x_{0},\,y_{0},\,t_{0})$
                                                            Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$« $=\left[-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\!x,\,y,\,z}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z,\,t}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}}\right]\left[-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z,\,t}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\!x,\,y,\,z}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}}\right]=1\;$»,
              Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$« en physique $\;{\big (}$et par abus${\big )}\;$ on notera par la suite «$\;\left({\dfrac {\partial x}{\partial t}}\right)_{\!y,\,z}\!\!(y_{0},\,z_{0},\,t_{0})\;\left({\dfrac {\partial t}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})=1\;$» ,
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet \;$«$\;\left({\dfrac {\partial \zeta }{\partial t}}\right)_{\!x,\,y}(x_{0},\,y_{0},\,t_{0})={\dfrac {1}{\left({\dfrac {\partial \tau }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}}\;$» si «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})\neq 0\\\left({\dfrac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\!x,\,y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})\neq 0\end{array}}\right\rbrace \;$» $\Leftarrow$
              Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$« “$\;\left({\dfrac {\partial \zeta }{\partial t}}\right)_{\!x,\,y}(x_{0},\,y_{0},\,t_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\!x,\,y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}}\;$ ainsi que
              Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$« “$\,\left({\dfrac {\partial \tau }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y,\,t}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\!x,\,y,\,z}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}}\,$” $\Rightarrow$ $\,\left({\dfrac {\partial \zeta }{\partial t}}\right)_{\!x,\,y}\!\!\!(x_{0},\,y_{0},\,t_{0})\,\left({\dfrac {\partial \tau }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\!\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})$
                                                            Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$« $=\left[-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\!x,\,y,\,z}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y,\,t}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}}\right]\left[-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y,\,t}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\!x,\,y,\,z}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}}\right]=1\;$»,
              Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$« en physique $\;{\big (}$et par abus${\big )}\;$ on notera par la suite «$\;\left({\dfrac {\partial z}{\partial t}}\right)_{\!x,\,y}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,t_{0})\;\left({\dfrac {\partial t}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\!\!(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})=1\;$» .

             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet \;$nous pouvons déduire des liens ci-dessus entre « les dérivées partielles 1^ères des trois fonctions implicites
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$$\psi \;:\;(x,\,z)\;{\overset {\psi }{\rightarrow }}\;y$, $\;\varphi \;:\;(y,\,z)\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x\;$ et $\;\zeta \;:\;z\;{\overset {\zeta }{\rightarrow }}\;(x,\,y)\;$ solutions de l'équation implicite $\;f\left(x\,,\,y\,,\,z\right)=0$
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$nous pouvons déduire des liens pour laquelle $\;f\;$ est une fonction continue et différentiable en $\;(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0})\;$»,
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$une relation liant trois des dérivées partielles 1^ères judicieusement choisies des fonctions implicites $\;\psi$, $\;\varphi \;$ et $\;\zeta$
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$une relation liant trois des dérivées partielles 1^ères judicieu solutions de l'équation implicite $\;f\left(x\,,\,y\,,\,z\right)=0\;$
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$une relation $\blacktriangleright \;$«$\;\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial x}}\right)_{\!z}(x_{0},\,z_{0})\;\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)_{\!y}(y_{0},\,z_{0})\;\left({\dfrac {\partial \zeta }{\partial y}}\right)_{\!x}(x_{0},\,y_{0})=-1\;$» $\Leftrightarrow$
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$une relation $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$«$\;\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial x}}\right)_{\!z}(x_{0},\,z_{0})\;\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)_{\!y}(y_{0},\,z_{0})=-{\dfrac {1}{\left({\dfrac {\partial \zeta }{\partial y}}\right)_{\!x}(x_{0},\,y_{0})}}\;$» $\Leftrightarrow$
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$une relation $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$«$\;\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial x}}\right)_{\!z}(x_{0},\,z_{0})\;\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)_{\!y}(y_{0},\,z_{0})=-\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial z}}\right)_{\!x}(x_{0},\,y_{0})\;$» ,
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$une relation $\blacktriangleright \;$«$\;\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial z}}\right)_{\!x}(x_{0},\,z_{0})\;\left({\dfrac {\partial \zeta }{\partial x}}\right)_{\!y}(y_{0},\,z_{0})\;\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)_{\!z}(x_{0},\,y_{0})=-1\;$» $\Leftrightarrow$
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$une relation $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$«$\;\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial z}}\right)_{\!x}(x_{0},\,z_{0})\;\left({\dfrac {\partial \zeta }{\partial x}}\right)_{\!y}(x_{0},\,y_{0})=-{\dfrac {1}{\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)_{\!z}(x_{0},\,y_{0})}}\;$» $\Leftrightarrow$
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\color {transparent}{\bullet }\;$une relation $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$«$\;\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial z}}\right)_{\!x}(x_{0},\,z_{0})\;\left({\dfrac {\partial \zeta }{\partial x}}\right)_{\!y}(x_{0},\,y_{0})=-\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial x}}\right)_{\!z}(x_{0},\,y_{0})\;$» .

en procédant d'une façon analogue à celle utilisée pour les trois fonctions implicites d'une même équation implicite $\;f(x,\,y,\,z)=0$, nous déterminons les « liens entre dérivées partielles des quatre fonctions implicites de la même équation implicite $\;f(x,\,y,\,z,\,t)=0\;$» $\;{\bigg \{}$si aucune des dérivées partielles 1^ères de $\;f\;$ ne s'annule au point $\;(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})\;$ c.-à-d. «$\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})\neq 0\;$», «$\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})\neq 0\;$», «$\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})\neq 0\;$» et «$\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\!x,\,y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})\neq 0\;$»${\bigg \}}\;$ dont un lien est explicité ci-dessous :

«$\;\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial x}}\right)_{\!z,\,t}(x_{0},\,z_{0},\,t_{0})\;\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)_{\!y,\,t}(y_{0},\,z_{0},\,t_{0})\;\left({\dfrac {\partial \zeta }{\partial t}}\right)_{\!x,\,y}(x_{0},\,y_{0},\,t_{0})\;\left({\dfrac {\partial \tau }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})=(-1)^{4}=+1\;$»  ;

            Liens entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : il y a six relations du type précédent dont nous laissons l'explicitation au bon soin du lecteur $\;\ldots$

     Liens entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite entre plus de quatre variables : à partir de « l’équation implicite $\;f\left(x_{1}\,,\,..\,,\,x_{i}\,,\,..\,,\,x_{n}\right)=0\;$ des variables réelles $\;x_{1}$, $\ldots$, $\;x_{i}$, $\ldots$, $\;x_{n}\;$ avec $\;n\in \mathbb {N} ^{*}\,\backslash \left\lbrace 1\,,\,2\right\rbrace \;$ dans laquelle $\;f\;$ est continue et différentiable en $\;(x_{1,\,0}\,,\,..\,,\,x_{i,\,0}\,,\,..\,,\,x_{n,\,0})\;$», nous associons «$\;n\;$ fonctions implicites solutions de $\;f\left(x_{1}\,,\,..\,,\,x_{i}\,,\,..\,,\,x_{n}\right)$ $=0\;$ “$\;\varphi _{1}\;:\;(x_{2}\,,\,..\,,\,x_{j}\,,\,..\,,\,x_{n})\;{\overset {\varphi _{1}}{\rightarrow }}\;x_{1}\;$”, $\ldots$, “$\;\varphi _{i}\;:\;(x_{1}\,,\,..\,,\,x_{i-1}\,,\,x_{i+1}\,\,..\,,\,x_{n})\;{\overset {\varphi _{i}}{\rightarrow }}\;x_{i}\;$”, $\ldots$, “$\;\varphi _{n}\;:\;(x_{1}\,,\,..\,,\,x_{j}\,,\,x_{n-1})\;{\overset {\varphi _{n}}{\rightarrow }}\;x_{n}\;$” » continues et différentiables en $\;(x_{2,\,0}\,,\,..\,,\,x_{j,\,0}\,,\,..\,,\,x_{n,\,0})$, $\;\ldots$, $\;(x_{1,\,0}\,,\,..\,,\,x_{i-1,\,0}\,,\,x_{i+1,\,0}\,\,..\,,\,x_{n,\,0})$, $\;\ldots$, $\;(x_{1,\,0}\,,\,..\,,\,x_{j,\,0}\,,\,..\,,\,x_{n-1,\,0})\;$ et nous pouvons établir «$\;(n-1)\,!\;$ liens entre les dérivées partielles judicieusement choisies des $\;n\;$ fonctions implicites de l'équation $\;f\left(x_{1}\,,\,..\,,\,x_{i}\,,\,..\,,\,x_{n}\right)=0\;$» du type

«$\;\prod \limits _{k\,=\,1\,..\,n}{\dfrac {\partial \varphi _{\sigma ^{k-1}(1)}}{\partial x_{\sigma ^{k}(1)}}}=(-1)^{n}\;$»
dans lequel $\;\sigma \;$ une permutation de $\;S_{n}\;$ et $\;\sigma ^{k}\;$ la puissance k de la permutation $\;\sigma \;$ telle que $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\sigma ^{0}(1)=1\\\sigma ^{n}(1)=1\end{array}}\right\rbrace$,
$\;\sigma \;$ étant telle que «$\;\sigma (1)\;$ est $\;\neq 1\;$» et «$\;\sigma ^{k}(1)\notin \left\lbrace 1,\,..\,\sigma (1),\,..\,\sigma ^{k-1}(1)\right\rbrace \;$ $\;\forall \,k\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right]\;$» ,
sous la condition qu'« aucune des dérivées partielles 1^ères de $\;f\;$ ne s'annule en $\;(x_{1,\,0}\,,\,..\,,\,x_{i,\,0}\,,\,..\,,\,x_{n,\,0})\;$».

Théorème des fonctions implicites

Théorème des fonctions implicites en dimension deux

     Préliminaire : Le théorème des fonctions implicites en dimension deux précise à quelles conditions une équation implicite $\;f(x,\,y)=0\;$ des variables réelles $\;x\;$ et $\;y\;$ peut être résolue c.-à-d. à quelles conditions il est possible d'exprimer une des variables $\;x$ $\;{\big (}$ou $\;y{\big )}\;$ en fonction de l'autre $\;y$ $\;{\big (}$ou $\;x{\big )}\;$ pour tous les couples $\;\left(x\,,\,y\right)\;$ vérifiant l'équation.

Énoncé

Début d’un théorème

Théorème des fonctions implicites en dimension deux

     Soit «$\;f\;$ une fonction réelle de classe C^p $\;{\big (}p\,\in \,\mathbb {N} ^{*}{\big )}\;$ définie sur un ouvert $\;U\;$ de $\;\mathbb {R} ^{2}\;$» et
     Soit «$\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)\;$ un point de $\;U\;$ tel que $\;f\!\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)=0\;$ et que la dérivée partielle 1^ère de $\;f\;$ par rapport à $\;y$ $\;{\big (}$à $\;x\;$ figée${\big )}\;$ y soit non nulle c.-à-d. $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x}(x_{0},\,y_{0})\neq 0\;$»,
     il existe une fonction réelle $\;\psi \;$ de classe classe C^p , définie sur un intervalle ouvert réel $\;V\,\ni x_{0}\;$ et un voisinage ouvert de $\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)\;$ dans $\;U$, noté $\;\Omega$, tels que «$\;\forall \,\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)\in \Omega \;{\text{et}}\;f\!\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)=0\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;x\in V\;{\text{et}}\;y=\psi (x)\;$»,
«$\;\psi \;$ définissant une fonction implicite solution de l'équation implicite $\;f\!\left(x\,,\,y\right)=0\;$».

Fin du théorème

     Autre version du théorème des fonctions implicites en dimension deux : si « la dérivée partielle 1^ère de $\;f\;$ par rapport à $\;x$ $\;{\big (}$à $\;y\;$ figée${\big )}\;$ au point $\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)\;$ de l'ouvert $\;U\;$ de $\;\mathbb {R} ^{2}\;$ est non nulle c.-à-d. $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y}(x_{0},\,y_{0})\neq 0\;$» en plus de «$\;f\!\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)=0\;$», «$\;f\;$ étant une fonction réelle de classe C^p $\;{\big (}p\,\in \,\mathbb {N} ^{*}{\big )}\;$ définie sur l'ouvert $\;U\;$ de $\;\mathbb {R} ^{2}\;$», il existe une fonction réelle $\;\varphi \;$ de classe classe C^p , définie sur un intervalle ouvert réel $\;V'\,\ni y_{0}\;$ et un voisinage ouvert de $\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)\;$ dans $\;U$, noté $\;\Omega '$, tels que

«$\;\forall \,\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)\in \Omega '\;{\text{et}}\;f\!\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)=0\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;y\in V'\;{\text{et}}\;x=\varphi (y)\;$»,
«$\;\varphi \;$ définissant une fonction implicite solution de l'équation implicite $\;f\!\left(x\,,\,y\right)=0\;$».

     Remarque : nous admettons le théorème des fonctions implicites en dimension deux dans l'une ou l'autre version énoncée ci-dessus.

Exemples d'application

     Retour sur l'équation implicite «$\;x^{2}+y^{2}-1=0\;$» équation cartésienne du cercle trigonométrique :
     Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-1=0}\;$» en tout point d'abscisse $\;x\in \left]-1\,,\,+1\right[\;$ il existe deux valeurs de $\;y\;$ possibles, donc l'application du théorème des fonctions implicites en dimension deux étant local ne peut fournir qu'une fonction implicite dont le graphe ne décrit qu'une partie du cercle trigonométrique : «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c c l}y\!\!&=\psi _{+}(x)\!\!&={\sqrt {1-x^{2}}}\\y\!\!&=\psi _{-}(x)\!\!&=-{\sqrt {1-x^{2}}}\end{array}}\right\rbrace \;$», les fonctions implicites distinctes «$\;\psi _{+}\;$ étant de graphe décrivant le demi-cercle trigonométrique hors bornes strictement au-dessus de l'axe $\;x'x\;$» et «$\;\psi _{-}\;$ de graphe décrivant le demi-cercle trigonométrique hors bornes strictement au-dessous de l'axe $\;x'x\;$» $\;{\bigg \{}$chacune d'elles étant de classe C¹ c.-à-d. continûment dérivable sur l'intervalle ouvert correspondant, la dérivée $\;{\dfrac {d\psi _{+}}{dx}}(x)\;$ ou $\;{\dfrac {d\psi _{-}}{dx}}(x)\;$ ne s'y annulant pas${\bigg \}}$,
     Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-1=0}\;$» aux points d'abscisse $\;x_{+}=+1\;$ et $\;x_{-}=-1\;$ il existe une seule valeur de $\;y\;$ possible $\;y=0$, mais le théorème des fonctions implicites en dimension deux ne peut s'y appliquer car, pour tout intervalle ouvert $\;V_{+}\ni x_{+}\;$ ou $\;V_{-}\ni x_{-}$, aux points d'abscisse $\;\neq x_{+}\;$ ou $\;\neq x_{-}\;$ du cercle trigonométrique il existe deux valeurs de $\;y\;$ possibles rendant l'explicitation d'une fonction implicite définie sur l'intervalle ouvert $\;V_{+}\ni x_{+}\;$ ou $\;V_{-}\ni x_{-}\;$ impossible $\;{\Bigg \{}$une des hypothèses d'application du théorème des fonctions implicites en dimension deux n'étant pas vérifiée pour les points d'abscisse $\;x_{+}=+1\;$ et $\;x_{-}=-1\;$ car la dérivée partielle par rapport à $\;y$ $\;{\big (}$à $\;x\;$ figée${\big )}\;$ de $\;f(x,\,y)=x^{2}+y^{2}-1\;$ c.-à-d. $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x}(x,\,y)=2\;y\;$ s'y annulant${\Bigg \}}$,

     Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-1=0}\;$» en tout point d'ordonnée $\;y\in \left]-1\,,\,+1\right[\;$ il existe deux valeurs de $\;x\;$ possibles, donc l'application du théorème des fonctions implicites en dimension deux étant local ne peut fournir qu'une fonction implicite dont le graphe ne décrit qu'une partie du cercle trigonométrique : «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c c l}x\!\!&=\varphi _{+}(y)\!\!&={\sqrt {1-y^{2}}}\\x\!\!&=\varphi _{-}(y)\!\!&=-{\sqrt {1-y^{2}}}\end{array}}\right\rbrace \;$», les fonctions implicites distinctes «$\;\varphi _{+}\;$ étant de graphe décrivant le demi-cercle trigonométrique hors bornes strictement à droite de l'axe $\;y'y\;$» et «$\;\varphi _{-}\;$ de graphe décrivant le demi-cercle trigonométrique hors bornes strictement à gauche de l'axe $\;y'y\;$» $\;{\bigg \{}$chacune d'elles étant de classe C¹ c.-à-d. continûment dérivable sur l'intervalle ouvert correspondant, la dérivée $\;{\dfrac {d\varphi _{+}}{dy}}(y)\;$ ou $\;{\dfrac {d\varphi _{-}}{dy}}(y)\;$ ne s'y annulant pas${\bigg \}}$,
     Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-1=0}\;$» aux points d'ordonnée $\;y_{+}=+1\;$ et $\;y_{-}=-1\;$ il existe une seule valeur de $\;x\;$ possible $\;x=0$, mais le théorème des fonctions implicites en dimension deux ne peut s'y appliquer car, pour tout intervalle ouvert $\;{V'}_{\!\!+}\ni y_{+}\;$ ou $\;{V'}_{\!\!-}\ni y_{-}$, aux points d'abscisse $\;\neq y_{+}\;$ ou $\;\neq y_{-}\;$ du cercle trigonométrique il existe deux valeurs de $\;x\;$ possibles rendant l'explicitation d'une fonction implicite définie sur l'intervalle ouvert $\;{V'}_{\!\!+}\ni y_{+}\;$ ou $\;{V'}_{\!\!-}\ni y_{-}\;$ impossible $\;{\Bigg \{}$une des hypothèses d'application du théorème des fonctions implicites en dimension deux n'étant pas vérifiée pour les points d'ordonnée $\;y_{+}=+1\;$ et $\;y_{-}=-1\;$ car la dérivée partielle par rapport à $\;x$ $\;{\big (}$à $\;y\;$ figée${\big )}\;$ de $\;f(x,\,y)=x^{2}+y^{2}-1\;$ c.-à-d. $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y}(x,\,y)=2\;x\;$ s'y annulant${\Bigg \}}$.

     Remarque : le lecteur pourra constater par lui-même, sur les autres exemples du paragraphe « exemples de fonctions implicites entre deux variables réelles » présentés plus haut dans ce chapitre, que les conditions d'application du théorème des fonctions implicites en dimension deux sont vérifiées $\;\ldots$

Théorème des fonctions implicites en dimension trois

     Préliminaire : Le théorème des fonctions implicites en dimension trois précise à quelles conditions une équation implicite $\;f(x,\,y,|,z)=0\;$ des variables réelles $\;x$, $\;y\;$ et $\;z\;$ peut être résolue c.-à-d. à quelles conditions il est possible d'exprimer une des variables $\;x$ $\;{\big \{}$ou $\;y\;$ ou $\;z{\big \}}\;$ en fonction des deux autrex $\;(y\,,\,z)$ $\;{\big \{}$ou $\;(x\,,\,z)\;$ ou $\;(x\,,\,y{\big )}{\big \}}\;$ pour tous les triplets $\;\left(x\,,\,y\,,\,z\right)\;$ vérifiant l'équation ;
     Préliminaire : il existe d'autres formulations $\;{\big (}$ou utilisations${\big )}\;$ de ce théorème que nous n'évoquerons pas .

Énoncé

Début d’un théorème

Théorème des fonctions implicites en dimension trois

     Soit «$\;f\;$ une fonction réelle de classe C^p $\;{\big (}p\,\in \,\mathbb {N} ^{*}{\big )}\;$ définie sur un ouvert $\;U\;$ de $\;\mathbb {R} ^{3}\;$» et
     Soit «$\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0}\right)\;$ un point de $\;U\;$ tel que $\;f\!\left(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0}\right)=0\;$ et que la dérivée partielle 1^ère de $\;f\;$ par rapport à $\;y$ $\;{\big (}$à $\;x\;$ et $\;z\;$ figées${\big )}\;$ y soit non nulle c.-à-d. $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\neq 0\;$»,
     il existe une fonction réelle $\;\psi \;$ de classe classe C^p , définie sur un intervalle ouvert de $\;\mathbb {R} ^{2}\;$ noté $\;V\,\ni (x_{0}\,,\,z_{0})\;$ et un voisinage ouvert de $\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0}\right)\;$ dans $\;U$, noté $\;\Omega$, tels que «$\;\forall \,\left(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0}\right)\in \Omega \;{\text{et}}\;f\!\left(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0}\right)=0\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;(x,\,z)\in V\;{\text{et}}\;y=\psi (x,\,z)\;$»,
«$\;\psi \;$ définissant une fonction implicite solution de l'équation implicite $\;f\!\left(x\,,\,y\,,\,z\right)=0\;$».

Fin du théorème

     Autres versions du théorème des fonctions implicites en dimension trois : si « la dérivée partielle 1^ère de $\;f\;$ par rapport à $\;x$ $\;{\big (}$à $\;y\;$ et $\;z\;$ figées${\big )}\;$ au point $\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0}\right)\;$ de l'ouvert $\;U\;$ de $\;\mathbb {R} ^{3}\;$ est non nulle c.-à-d. $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\neq 0\;$» en plus de «$\;f\!\left(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0}\right)=0\;$», «$\;f\;$ étant une fonction réelle de classe C^p $\;{\big (}p\,\in \,\mathbb {N} ^{*}{\big )}\;$ définie sur l'ouvert $\;U\;$ de $\;\mathbb {R} ^{3}\;$», il existe une fonction réelle $\;\varphi \;$ de classe classe C^p , définie sur un intervalle ouvert de $\;\mathbb {R} ^{2}\;$ noté $\;V'\,\ni (y_{0},\,z_{0})\;$ et un voisinage ouvert de $\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0}\right)\;$ dans $\;U$, noté $\;\Omega '$, tels que

«$\;\forall \,\left(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0}\right)\in \Omega '\;{\text{et}}\;f\!\left(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0}\right)=0\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;(y,\,z)\in V'\;{\text{et}}\;x=\varphi (y,\,z)\;$»,
«$\;\varphi \;$ définissant une fonction implicite solution de l'équation implicite $\;f\!\left(x\,,\,y\,,\,z\right)=0\;$».

     Autres versions du théorème des fonctions implicites en dimension trois : si « la dérivée partielle 1^ère de $\;f\;$ par rapport à $\;z$ $\;{\big (}$à $\;x\;$ et $\;y\;$ figées${\big )}\;$ au point $\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0}\right)\;$ de l'ouvert $\;U\;$ de $\;\mathbb {R} ^{3}\;$ est non nulle c.-à-d. $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\neq 0\;$» en plus de «$\;f\!\left(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0}\right)=0\;$», «$\;f\;$ étant une fonction réelle de classe C^p $\;{\big (}p\,\in \,\mathbb {N} ^{*}{\big )}\;$ définie sur l'ouvert $\;U\;$ de $\;\mathbb {R} ^{3}\;$», il existe une fonction réelle $\;\zeta \;$ de classe classe C^p , définie sur un intervalle ouvert de $\;\mathbb {R} ^{2}\;$ noté $\;V''\,\ni (x_{0},\,y_{0})\;$ et un voisinage ouvert de $\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0}\right)\;$ dans $\;U$, noté $\;\Omega ''$, tels que

«$\;\forall \,\left(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0}\right)\in \Omega ''\;{\text{et}}\;f\!\left(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0}\right)=0\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;(x,\,y)\in V''\;{\text{et}}\;z=\zeta (x,\,y)\;$»,
«$\;\zeta \;$ définissant une fonction implicite solution de l'équation implicite $\;f\!\left(x\,,\,y\,,\,z\right)=0\;$».

     Remarque : nous admettons le théorème des fonctions implicites en dimension trois pour chaque version énoncée ci-dessus.

Exemples d'application

     Nous laissons le soin au lecteur de reproduire les explications du paragraphe « exemples d'application (du théorème des fonctions implicites de dimension deux) » exposées plus haut dans ce chapitre en les adaptant à la dimension trois $\;\ldots$

Théorème des fonctions implicites en dimension quatre ou plus

     Nous laissons le soin au lecteur de généraliser le « théorème des fonctions implicites de dimension trois » à toute dimension quatre ou plus,
     Nous laissons le soin au lecteur de généraliser le graphe des fonctions implicites représentant « des surfaces en dimension trois » et « des hypersurfaces en dimension quatre ou plus » $\;\ldots$