Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)/Fonctions implicites

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Dans ce chapitre nous nous limitons aux fonctions implicites les plus couramment utilisées en physique à savoir des fonctions implicites entre variables réelles.

Définition d'une fonction implicite

Fonction implicite entre deux variables réelles

Définition d'une fonction implicite entre deux variables réelles

     Considérant «$(x,y)\in {ℝ}^2$ un couple a priori quelconque de variables indépendantes » et
     Considérant «$f$ est une fonction de ${ℝ}^2$ dans $ℝ$» définie par «$\mathrm{\forall }(x,y)\in {ℝ}^2:(x,y)\stackrel{f}{\to }f(x,y)\in ℝ$»,
     l'équation $f(x,y)=0$ définit une fonction implicite entre les variables $x$ et $y$ si on peut exprimer une des variables $x$ $($ou $y)$ en fonction de l'autre $y$ $($ou $x)$ pour tous les couples $(x,y)$ vérifiant l'équation soit mathématiquement
     «$f(x,y)=0$ définit une fonction implicite entre $x$ et $y$» « si $\mathrm{\exists }\psi :ℝ\mapsto ℝ$ telle que $f(x,y)=0$ $\iff$ $y=\psi (x)$»
«$f(x,y)=0$ définit une fonction implicite entre $x$ et $y$» ou « si $\mathrm{\exists }\phi :ℝ\mapsto ℝ$ telle que $f(x,y)=0$ $\iff$ $x=\phi (y)$»,
«$f(x,y)=0$ définit une fonction implicite entre $x$ et $y$» et ceci pour tous les couples $(x,y)$ vérifiant l'équation $f(x,y)=0$.

     Remarques : La fonction «$\psi :x\stackrel{\psi }{\to }y$» ou celle «$\phi :y\stackrel{\phi }{\to }x$» définie pour tous les couples $(x,y)$ vérifiant l'équation $f(x,y)=0$ est appelée « fonction implicite » $\{f(x,y)=0$ étant, quant à elle, appelée « équation implicite »$)$ ;
     Remarques : «$y=\psi (x)$» ou «$x=\phi (y)$» est l'équation du graphe de la fonction implicite «$\psi$ ou $\phi$» $\{$mais, en général, il n'est pas nécessaire d'expliciter les fonctions «$\psi$ ou $\phi$» pour représenter le graphe de la fonction implicite, lequel est une courbe en général continue$\}$.

Fonction implicite entre trois variables réelles ou plus

Définition d'une fonction implicite entre trois variables réelles

     Considérant «$(x,y,z)\in {ℝ}^3$ un triplet a priori quelconque de variables indépendantes » et
     Considérant «$f$ est une fonction de ${ℝ}^3$ dans $ℝ$» définie par «$\mathrm{\forall }(x,y,z)\in {ℝ}^3:(x,y,z)\stackrel{f}{\to }f(x,y,z)\in ℝ$»,
     l'équation $f(x,y,z)=0$ définit une fonction implicite entre les variables $x$, $y$ et $z$ si on peut exprimer une des variables $x$ $[$ou $y$ ou $z]$ en fonction des deux autres $(y,z)$ $[$ou $(x,z)$ ou $(x,y)]$ pour tous les triplets $(x,y,z)$ vérifiant l'équation soit encore
     $f(x,y,z)=0$ définit une fonction implicite entre $x$, $y$ et $z$ « si $\mathrm{\exists }\psi :{ℝ}^2\mapsto ℝ$ telle que $f(x,y,z)=0$ $\iff$ $y=\psi (x,z)$»
$f(x,y,z)=0$ définit une fonction implicite entre $x$, $y$ et $z$ ou « si $\mathrm{\exists }\phi :{ℝ}^2\mapsto ℝ$ telle que $f(x,y,z)=0$ $\iff$ $x=\phi (y,z)$»,
$f(x,y,z)=0$ définit une fonction implicite entre $x$, $y$ et $z$ ou « si $\mathrm{\exists }\zeta :{ℝ}^2\mapsto ℝ$ telle que $f(x,y,z)=0$ $\iff$ $z=\zeta (x,y)$»
$f(x,y,z)=0$ définit une fonction implicite entre $x$, $y$ et $z$ et ceci pour tous les triplets $(x,y,z)$ vérifiant $f(x,y,z)=0$.

     Remarques 1 : La fonction «$\psi :(x,z)\stackrel{\psi }{\to }y$» ou celle «$\phi :(y,z)\stackrel{\phi }{\to }x$» ou encore celle «$\zeta :(x,y)\stackrel{\zeta }{\to }z$» définie pour tous les triplets $(x,y,z)$ vérifiant l'équation $f(x,y,z)=0$ est appelée « fonction implicite » $\{f(x,y,z)=0$ étant, quant à elle, appelée « équation implicite »$)$ ;
     Remarques 1 : «$y=\psi (x,z)$» ou «$x=\phi (y,z)$» ou «$z=\zeta (x,y)$» est l'équation du graphe de la fonction implicite «$\psi$ ou $\phi$ ou $\zeta$» $\{$mais, en général, il n'est pas nécessaire d'expliciter les fonctions «$\psi$ ou $\phi$ ou $\zeta$» pour représenter le graphe de la fonction implicite, lequel est une surface en général continue$\}$.

     Remarques 2 : La définition d'une fonction implicite entre quatre variables réelles $($ou plus$)$ se déduit aisément de celle exposée ci-dessus entre trois variables réelles,
                 Remarques 2 : La définition d'une fonction implicite entre quatre variables réelles elle est simplement évoquée ci-après :
     Remarques 2 : considérant «$(x,y,z,t)\in {ℝ}^4$ un quadruplet a priori quelconque de variables indépendantes » et
     Remarques 2 : considérant «$f$ est une fonction de ${ℝ}^4$ dans $ℝ$» définie par «$\mathrm{\forall }(x,y,z,t)\in {ℝ}^4:(x,y,z,t)\stackrel{f}{\to }f(x,y,z,t)\in ℝ$»,
     Remarques 2 : l'équation $f(x,y,z,t)=0$ définit une fonction implicite entre les variables $x$, $y$, $z$ et $t$ si on peut exprimer une des variables $x$ $[$ou $y$ ou $z$ ou $t]$ en fonction des trois autres $(y,z,t)$ $[$ou $(x,z,t)$ ou $(x,y,t)$ ou $(x,y,z)]$ pour tous les quadruplets $(x,y,z,t)$ vérifiant l'équation soit, par exemple,
     Remarques 2 : considérant «$f(x,y,z,t)=0$ définit une fonction implicite entre $x$, $y$, $z$ et $t$» « si $\mathrm{\exists }\psi :{ℝ}^3\mapsto ℝ$ telle que $f(x,y,z,t)=0$ $\iff$ $y=\psi (x,z,t)$» ou $\dots$

Exemples de fonctions implicites

Exemples de fonctions implicites entre deux variables réelles

     L'équation implicite «$x^2+y^2-1=0$» définit une fonction implicite «$\psi :x\in [-1,+1]\stackrel{\psi }{\to }y=\psi (x)=\pm \sqrt{1-x^2}$» ou
     L'équation implicite «$x^2+y^2-1=0$» définit une fonction implicite «$\phi :y\in [-1,+1]\stackrel{\phi }{\to }x=\phi (y)=\pm \sqrt{1-y^2}$»
     L'équation implicite «$x^2+y^2-1=0$» définit une fonction implicite toutes deux étant l'équation du cercle trigonométrique .

     L'équation implicite «$\frac{x^2}{a{\text{'}}^2}+\frac{y^2}{b{\text{'}}^2}-1=0$» définit une fonction implicite «$\psi :x\in [-a^{\prime },+a^{\prime }]\stackrel{\psi }{\to }y=\psi (x)=\pm b^{\prime }\sqrt{1-\frac{x^2}{a{\text{'}}^2}}$» ou
         L'équation implicite «$x^2+y^2-1=0$» définit une fonction implicite «$\phi :y\in [-b^{\prime },+b^{\prime }]\stackrel{\phi }{\to }x=\phi (y)=\pm a^{\prime }\sqrt{1-\frac{y^2}{b{\text{'}}^2}}$»
         L'équation implicite «$x^2+y^2-1=0$» définit une fonction implicite toutes deux étant l'équation de l'ellipse de centre $O$, d'axes $x^{\prime }x$ et $y^{\prime }y$, dont $a^{\prime }$ est le demi-grand axe $($ou le demi-petit axe$)$ et
         L'équation implicite «$x^2+y^2-1=0$» définit une fonction implicite toutes deux étant l'équation de l'ellipse de centre $O$, d'axes $x^{\prime }x$ et $y^{\prime }y$, dont $b^{\prime }$ le demi-petit axe $($ou le demi-grand axe$)$.

     L'équation implicite «$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-1=0$» définit une fonction implicite «$\psi :x\in ]-\mathrm{\infty },-a]\cup [+a,+\mathrm{\infty }[\stackrel{\psi }{\to }y=\psi (x)=\pm b\sqrt{\frac{x^2}{a^2}-1}$» ou
         L'équation implicite «$x^2-y^2-1=0$» définit une fonction implicite «$\phi :y\in ]-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }[\stackrel{\phi }{\to }x=\phi (y)=\pm a\sqrt{\frac{y^2}{b^2}+1}$»
         L'équation implicite «$x^2-y^2-1=0$» définit une fonction implicite toutes deux étant l'équation de l'hyperbole de centre $O$, d'axes focal $x^{\prime }x$ et non focal $y^{\prime }y$, dont $a$ est le demi-axe focal et
         L'équation implicite «$x^2-y^2-1=0$» définit une fonction implicite toutes deux étant l'équation de l'hyperbole de centre $O$, d'axes focal $x^{\prime }x$ et non focal $y^{\prime }y$, dont $b$ le demi-axe non focal.

Exemples de fonctions implicites entre trois variables réelles

     L'équation implicite «$\frac{x^2}{a{\text{'}}^2}+\frac{y^2}{b{\text{'}}^2}+\frac{z^2}{c{\text{'}}^2}-1=0$» définit une fonction implicite «$\psi :(x,z)\in [-a^{\prime },+a^{\prime }]\times [-c^{\prime },+c^{\prime }]\stackrel{\psi }{\to }y=\psi (x,z)=\pm b^{\prime }\sqrt{1-\frac{x^2}{a{\text{'}}^2}-\frac{z^2}{c{\text{'}}^2}}$» ou
     L'équation implicite «$\frac{x^2}{a{\text{'}}^2}+\frac{y^2}{b{\text{'}}^2}+\frac{z^2}{c{\text{'}}^2}-1=0$» définit une fonction implicite «$\phi :(y,z)\in [-b^{\prime },+b^{\prime }]\times [-c^{\prime },+c^{\prime }]\stackrel{\phi }{\to }x=\phi (y,z)=\pm a^{\prime }\sqrt{1-\frac{y^2}{b{\text{'}}^2}-\frac{z^2}{c{\text{'}}^2}}$» ou
     L'équation implicite «$\frac{x^2}{a{\text{'}}^2}+\frac{y^2}{b{\text{'}}^2}+\frac{z^2}{c{\text{'}}^2}-1=0$» définit une fonction implicite «$\zeta :(x,y)\in [-a^{\prime },+a^{\prime }]\times [-b^{\prime },+b^{\prime }]\stackrel{\zeta }{\to }z=\zeta (x,y)=\pm c^{\prime }\sqrt{1-\frac{x^2}{a{\text{'}}^2}-\frac{y^2}{b{\text{'}}^2}}$»
            L'équation implicite «$x^2+y^2+z^2-1=0$» définit une fonction implicite toutes trois étant l'équation de l'ellipsoïde triaxial de centre $O$, d'axes $x^{\prime }x$, $y^{\prime }y$ et $z^{\prime }z$, avec $a^{\prime }$, $b^{\prime }$ et $c^{\prime }$ les demi-axes
            L'équation implicite «$x^2+y^2+z^2-1=0$» définit une fonction implicite toutes trois étant $($les demi-axes étant des paramètres positifs, deux à deux différents quand l'ellipsoïde est triaxial$)$.

     L'équation implicite «$\frac{x^2}{a{\text{'}}^2}+\frac{y^2}{b{\text{'}}^2}-\frac{z^2}{c{\text{'}}^2}-1=0$» définit une fonction implicite «$\psi :(x,z)\in {ℝ}^2\stackrel{\psi }{\to }y=\psi (x,z)=\pm b^{\prime }\sqrt{1-\frac{x^2}{a{\text{'}}^2}+\frac{z^2}{c{\text{'}}^2}}$» ou
     L'équation implicite «$\frac{x^2}{a{\text{'}}^2}+\frac{y^2}{b{\text{'}}^2}-\frac{z^2}{c{\text{'}}^2}-1=0$» définit une fonction implicite «$\phi :(y,z)\in {ℝ}^2\stackrel{\phi }{\to }x=\phi (y,z)=\pm a^{\prime }\sqrt{1-\frac{y^2}{b{\text{'}}^2}+\frac{z^2}{c{\text{'}}^2}}$» ou
     L'équation implicite «$\frac{x^2}{a{\text{'}}^2}+\frac{y^2}{b{\text{'}}^2}-\frac{z^2}{c{\text{'}}^2}-1=0$» définit une fonction implicite «$\zeta :(x,y)\in {ℝ}^2\stackrel{\zeta }{\to }z=\zeta (x,y)=\pm c^{\prime }\sqrt{\frac{x^2}{a{\text{'}}^2}+\frac{y^2}{b{\text{'}}^2}-1}$»
            L'équation implicite «$x^2+y^2-z^2-1=0$» définit une fonction implicite toutes trois étant l'équation de l'hyperboloïde à une nappe de centre $O$, d'axes $x^{\prime }x$, $y^{\prime }y$ et $z^{\prime }z$, avec
            L'équation implicite «$x^2+y^2-z^2-1=0$» définit une fonction implicite $a^{\prime }$, $b^{\prime }$ et $c^{\prime }$ les demi-axes $($paramètres positifs$)$, le caractère connexe de l'hyperboloïde $($présence d'une seule nappe$)$
            L'équation implicite «$x^2+y^2-z^2-1=0$» définit une fonction implicite $a^{\prime }$, $b^{\prime }$ et $c^{\prime }$ les demi-axes $($paramètres positifs$)$, étant assuré par le fait que $z$ peut prendre toute valeur réelle alors que
            L'équation implicite «$x^2+y^2-z^2-1=0$» définit une fonction implicite $a^{\prime }$, $b^{\prime }$ et $c^{\prime }$ les demi-axes $($paramètres positifs$)$, $x$ et $y$ prennent des valeurs telles que $\frac{x^2}{a{\text{'}}^2}+\frac{y^2}{b{\text{'}}^2}⩾1$ .

     L'équation implicite «$\frac{x^2}{a{\text{'}}^2}+\frac{y^2}{b{\text{'}}^2}-\frac{z^2}{c{\text{'}}^2}+1=0$» définit une fonction implicite «$\psi :(x,z)\in ℝ\times \{]-\mathrm{\infty },-c^{\prime }]\cup [+c^{\prime },+\mathrm{\infty }[\}\stackrel{\psi }{\to }y=\psi (x,z)=\pm b^{\prime }\sqrt{\frac{z^2}{c{\text{'}}^2}-\frac{x^2}{a{\text{'}}^2}-1}$» ou
     L'équation implicite «$\frac{x^2}{a{\text{'}}^2}+\frac{y^2}{b{\text{'}}^2}-\frac{z^2}{c{\text{'}}^2}+1=0$» définit une fonction implicite «$\phi :(y,z)\in ℝ\times \{]-\mathrm{\infty },-c^{\prime }]\cup [+c^{\prime },+\mathrm{\infty }[\}\stackrel{\phi }{\to }x=\phi (y,z)=\pm a^{\prime }\sqrt{\frac{z^2}{c{\text{'}}^2}-\frac{y^2}{b{\text{'}}^2}-1}$» ou
     L'équation implicite «$\frac{x^2}{a{\text{'}}^2}+\frac{y^2}{b{\text{'}}^2}-\frac{z^2}{c{\text{'}}^2}+1=0$» définit une fonction implicite «$\zeta :(x,y)\in {ℝ}^2\stackrel{\zeta }{\to }z=\zeta (x,y)=\pm c^{\prime }\sqrt{1+\frac{x^2}{a{\text{'}}^2}+\frac{y^2}{b{\text{'}}^2}}$»
            L'équation implicite «$x^2+y^2-z^2+1=0$» définit une fonction implicite toutes trois étant l'équation de l'hyperboloïde à deux nappes de centre $O$, d'axes $x^{\prime }x$, $y^{\prime }y$ et $z^{\prime }z$, avec
            L'équation implicite «$x^2+y^2-z^2+1=0$» définit une fonction implicite $a^{\prime }$, $b^{\prime }$ et $c^{\prime }$ les demi-axes $($paramètres positifs$)$, le caractère non connexe de l'hyperboloïde $($présence de deux nappes$)$
            L'équation implicite «$x^2+y^2-z^2+1=0$» définit une fonction implicite $a^{\prime }$, $b^{\prime }$ et $c^{\prime }$ les demi-axes $($paramètres positifs$)$, étant assuré par le fait que $x$ et $y$ peuvent prendre toute valeur réelle
            L'équation implicite «$x^2+y^2-z^2+1=0$» définit une fonction implicite $a^{\prime }$, $b^{\prime }$ et $c^{\prime }$ les demi-axes $($paramètres positifs$)$, alors que $z$ prend des valeurs de la réunion de deux intervalles
            L'équation implicite «$x^2+y^2-z^2+1=0$» définit une fonction implicite $a^{\prime }$, $b^{\prime }$ et $c^{\prime }$ les demi-axes $($paramètres positifs$)$, alors que $z$ prend des valeurs de la réunion de deux disjoints .

Dérivée d'une fonction implicite

     Préliminaire : Dans ce paragraphe nous nous proposons d'exprimer la dérivée 1^ère $($ou n'importe quelle des dérivées partielles 1^ères$)$ d'une fonction implicite
      Préliminaire : Dans ce paragraphe nous nous proposons d'exprimer la dérivée 1^ère en utilisant les dérivées partielles du 1^er membre de l'équation implicite dont la fonction implicite est solution.

Dérivée première d'une fonction implicite entre deux variables réelles

Dérivée 1^ère d'une fonction implicite entre x et y

     Soit « l’équation implicite $f(x,y)=0$ des variables réelles $x$ et $y$ avec $f$ fonction continue et différentiable en $(x_0,y_0)$» et
     Soit « la fonction implicite $\psi :x\stackrel{\psi }{\to }y$ solution de l'équation implicite » c.-à-d. telle que «$f(x,y)=0$ $\iff$ $y=\psi (x)$»,
     « la fonction implicite $\psi$ est, par suite, continue et différentiable en $x_0$»,
     « la valeur de sa dérivée 1^ère en $x_0$ peut se déterminer par «${\psi }^{\prime }(x_0)=-\frac{{f^{\prime }}_x(x_0,y_0)}{{f^{\prime }}_y(x_0,y_0)}$» ou «$\frac{d\psi }{dx}(x_0)=-\frac{{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_y(x_0,y_0)}{{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_x(x_0,y_0)}$»
     « la valeur de sa dérivée 1^ère en $x_0$ peut se déterminer si « la dérivée partielle 1^ère de $f$ par rapport à $y$ $(x$ étant figée$)$
     « la valeur de sa dérivée 1^ère en $x_0$ peut se déterminer si « la dérivée partielle 1^ère de $f$ est telle que ${\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_x(x_0,y_0)\ne 0$».

     Démonstration : différenciant «$f(x,y)=0$ en $(x_0,y_0)$» nous obtenons «$df(x_0,y_0)=0$ ou ${\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_y(x_0,y_0)dx+{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_x(x_0,y_0)dy=0$»
     Démonstration : différenciant «$f(x,y)=0$ en $(x_0,y_0)$» nous obtenons dont nous déduisons, dans la mesure où ${\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_x(x_0,y_0)\ne 0$, «$\frac{dy}{dx}=-\frac{{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_y(x_0,y_0)}{{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_x(x_0,y_0)}$ C.Q.F.D. ».

     Remarque : à partir de « la fonction implicite $\phi :y\stackrel{\phi }{\to }x$ solution de l'équation implicite $f(x,y)=0$ $\iff$ $x=\phi (y)$», pour laquelle «$f$ est une fonction continue et différentiable en $(x_0,y_0)$»
     Remarque : à partir de « la fonction implicite $\phi :y\stackrel{\phi }{\to }x$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « la fonction implicite $\phi$ est continue et différentiable en $y_0$»,
     Remarque : à partir de « la fonction implicite $\phi :y\stackrel{\phi }{\to }x$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « la valeur de sa dérivée 1^ère en $y_0$ pouvant se déterminer par
     Remarque : à partir de « la fonction implicite $\phi :y\stackrel{\phi }{\to }x$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que «${\phi }^{\prime }(y_0)=-\frac{{f^{\prime }}_y(x_0,y_0)}{{f^{\prime }}_x(x_0,y_0)}$» ou «$\frac{d\phi }{dy}(y_0)=-\frac{{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_x(x_0,y_0)}{{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_y(x_0,y_0)}$»
     Remarque : à partir de « la fonction implicite $\phi :y\stackrel{\phi }{\to }x$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que si « la dérivée partielle 1^ère de $f$ par rapport à $x$ $($à $y$ figée$)$ vérifie
     Remarque : à partir de « la fonction implicite $\phi :y\stackrel{\phi }{\to }x$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que si « la dérivée partielle 1^ère de $f$ par rapport à $x$ ${\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_y(x_0,y_0)\ne 0$».

     Lien entre les dérivées des fonctions implicites d'une même équation implicite : « les deux fonctions implicites “$\psi :x\stackrel{\psi }{\to }y$ et $\phi :y\stackrel{\phi }{\to }x$” solutions de l'équation implicite $f(x,y)=0$
           Lien entre les dérivées des fonctions implicites d'une même équation implicite : pour laquelle $f$ est une fonction continue et différentiable en $(x_0,y_0)$» étant elles-mêmes continues et différentiables,
           Lien entre les dérivées des fonctions implicites d'une même équation implicite : « ont une dérivée 1^ère finie, inverse l'une de l'autre dans la mesure où «${\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_x(x_0,y_0)\ne 0$ ainsi que
                 Lien entre les dérivées des fonctions implicites d'une même équation implicite : « ont une dérivée 1^ère finie, inverse l'une de l'autre dans la mesure où «${\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_y(x_0,y_0)\ne 0$»
           Lien entre les dérivées des fonctions implicites d'une même équation implicite : en effet «$\frac{d\phi }{dy}(y_0)=-\frac{{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_x(x_0,y_0)}{{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_y(x_0,y_0)}$» et «$\frac{d\psi }{dx}(x_0)=-\frac{{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_y(x_0,y_0)}{{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_x(x_0,y_0)}$» $\Rightarrow$
           Lien entre les dérivées des fonctions implicites d'une même équation implicite : en effet «$\frac{d\phi }{dy}(y_0)\frac{d\psi }{dx}(x_0)=[-\frac{{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_x(x_0,y_0)}{{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_y(x_0,y_0)}][-\frac{{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_y(x_0,y_0)}{{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_x(x_0,y_0)}]=1$ d'où
           Lien entre les dérivées des fonctions implicites d'une même équation implicite : en effet «$\frac{d\phi }{dy}(y_0)\frac{d\psi }{dx}(x_0)=1$ $\iff$ $\frac{d\phi }{dy}(y_0)=\frac{1}{\frac{d\psi }{dx}(x_0)}$» si $\left\{\begin{array}{c}\psi :x\stackrel{\psi }{\to }y\\ \phi :y\stackrel{\phi }{\to }x\end{array}\right\}$.

Dérivées partielles premières d'une fonction implicite entre trois variables réelles

Dérivées partielles 1^ères d'une fonction implicite entre x, y et z

     Soit « l’équation implicite $f(x,y,z)=0$ des variables réelles $x$, $y$ et $z$, $f$ étant continue et différentiable en $(x_0,y_0,z_0)$» et
     Soit « la fonction implicite $\psi :(x,z)\stackrel{\psi }{\to }y$ solution de l'équation implicite » c.-à-d. telle que «$f(x,y,z)=0$ $\iff$ $y=\psi (x,z)$»,
     « la fonction implicite $\psi$ est, par suite, continue et différentiable en $(x_0,z_0)$»,
     « sa dérivée partielle 1^ère par rapport à $x$ à $z$ figée évaluée au point $(x_0,z_0)$
     « sa dérivée partielle 1^ère par rapport à $x$ à $z$ figée peut se déterminer par «${{\psi }^{\prime }}_x(x_0,z_0)=-\frac{{f^{\prime }}_x(x_0,y_0,z_0)}{{f^{\prime }}_y(x_0,y_0,z_0)}$» ou
     « sa dérivée partielle 1^ère par rapport à $x$ à $z$ figée peut se déterminer par «${\left(\frac{\partial \psi }{\partial x}\right)}_z(x_0,z_0)=-\frac{{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_{y,z}(x_0,y_0,z_0)}{{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_{x,z}(x_0,y_0,z_0)}$» et
     « sa dérivée partielle 1^ère par rapport à $z$ à $x$ figée évaluée au point $(x_0,z_0)$
     « sa dérivée partielle 1^ère par rapport à $z$ à $x$ figée peut se déterminer par «${{\psi }^{\prime }}_z(x_0,z_0)=-\frac{{f^{\prime }}_z(x_0,y_0,z_0)}{{f^{\prime }}_y(x_0,y_0,z_0)}$» ou
     « sa dérivée partielle 1^ère par rapport à $z$ à $x$ figée peut se déterminer par «${\left(\frac{\partial \psi }{\partial z}\right)}_x(x_0,z_0)=-\frac{{\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)}_{x,y}(x_0,y_0,z_0)}{{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_{x,z}(x_0,y_0,z_0)}$»
     « sa dérivée partielle 1^ère par rapport à $z$ à $x$ figée peut se déterminer si « la dérivée partielle 1^ère de $f$ par rapport à $y$
     « sa dérivée partielle 1^ère par rapport à $z$ à $x$ figée peut se déterminer si «$($à $x$ et $z$ figées$)$ vérifie ${\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_{x,z}(x_0,y_0,z_0)\ne 0$».

     Démonstration : différenciant, à $z$ figée, «$f(x,y,z)=0$ en $(x_0,y_0,z_0)$» nous obtenons «$d_{z}f(x_0,y_0,z_0)=0$ ou ${\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_{y,z}(x_0,y_0,z_0)d_{z}x+{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_{x,z}(x_0,y_0,z_0)d_{z}y=0$»
     Démonstration : différenciant, à $z$ figée, «$f(x,y,z)=0$ en $(x_0,y_0,z_0)$» nous obtenons dont nous déduisons, dans la mesure où ${\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_{x,z}(x_0,y_0,z_0)\ne 0$,
     Démonstration : différenciant, à $z$ figée, «$f(x,y,z)=0$ en $(x_0,y_0,z_0)$» nous obtenons dont nous déduisons, «$\frac{d_{z}y}{d_{z}x}=-\frac{{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_{y,z}(x_0,y_0,z_0)}{{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_{x,z}(x_0,y_0,z_0)}$ C.Q.F.D. » et
     Démonstration : différenciant, à $x$ figée, «$f(x,y,z)=0$ en $(x_0,y_0,z_0)$» nous obtenons «$d_{x}f(x_0,y_0,z_0)=0$ ou ${\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_{x,z}(x_0,y_0,z_0)d_{x}y+{\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)}_{x,y}(x_0,y_0,z_0)d_{x}z=0$»
     Démonstration : différenciant, à $x$ figée, «$f(x,y,z)=0$ en $(x_0,y_0,z_0)$» nous obtenons dont nous déduisons, dans la mesure où ${\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_{x,z}(x_0,y_0,z_0)\ne 0$,
     Démonstration : différenciant, à $x$ figée, «$f(x,y,z)=0$ en $(x_0,y_0,z_0)$» nous obtenons dont nous déduisons, «$\frac{d_{x}y}{d_{x}z}=-\frac{{\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)}_{x,y}(x_0,y_0,z_0)}{{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_{x,z}(x_0,y_0,z_0)}$ C.Q.F.D. ».

     Remarque : de « la fonction implicite $\phi :(y,z)\stackrel{\phi }{\to }x$ solution de l'équation implicite $f(x,y,z)=0$ $\iff$ $x=\phi (y,z)$», avec «$f$ fonction continue et différentiable en $(x_0,y_0,z_0)$»
     Remarque : de « la fonction implicite $\phi :(y,z)\stackrel{\phi }{\to }x$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « la fonction implicite $\phi$ est continue et différentiable en $(y_0,z_0)$»,
     Remarque : de « la fonction implicite $\phi :(y,z)\stackrel{\phi }{\to }x$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « sa dérivée partielle 1^ère par rapport à $y$ à $z$ figée évaluée au point $(y_0,z_0)$ et
     Remarque : de « la fonction implicite $\phi :(y,z)\stackrel{\phi }{\to }x$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « celle par rapport à $z$ à $y$ figée évaluée au même point $(y_0,z_0)$ pouvant
      Remarque : de « la fonction implicite $\phi :(y,z)\stackrel{\phi }{\to }x$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « celle par rapport à $z$ à $y$ figée évaluée au même point se déterminer par
     Remarque : de « la fonction implicite $\phi :(y,z)\stackrel{\phi }{\to }x$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que «${\left(\frac{\partial \phi }{\partial y}\right)}_z(y_0,z_0)=-\frac{{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_{x,z}(x_0,y_0,z_0)}{{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_{y,z}(x_0,y_0,z_0)}$» et
     Remarque : de « la fonction implicite $\phi :(y,z)\stackrel{\phi }{\to }x$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que «${\left(\frac{\partial \phi }{\partial z}\right)}_y(y_0,z_0)=-\frac{{\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)}_{x,y}(x_0,y_0,z_0)}{{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_{y,z}(x_0,y_0,z_0)}$»
     Remarque : de « la fonction implicite $\phi :(y,z)\stackrel{\phi }{\to }x$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que si « la dérivée partielle 1^ère de $f$ par rapport à $x$ $($à $y$ et $z$ figées$)$ vérifie
     Remarque : de « la fonction implicite $\phi :(y,z)\stackrel{\phi }{\to }x$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que si « la dérivée partielle 1^ère de $f$ par rapport à $x$ ${\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_{y,z}(x_0,y_0,z_0)\ne 0$» ;
     Remarque : de « la fonction implicite $\zeta :(x,y)\stackrel{\zeta }{\to }z$ solution de l'équation implicite $f(x,y,z)=0$ $\iff$ $z=\zeta (x,y)$», avec «$f$ fonction continue et différentiable en $(x_0,y_0,z_0)$»
     Remarque : de « la fonction implicite $\zeta :(x,y)\stackrel{\zeta }{\to }z$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « la fonction implicite $\zeta$ est continue et différentiable en $(x_0,y_0)$»,
     Remarque : de « la fonction implicite $\zeta :(x,y)\stackrel{\zeta }{\to }z$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « sa dérivée partielle 1^ère par rapport à $x$ à $y$ figée évaluée au point $(x_0,y_0)$ et
     Remarque : de « la fonction implicite $\zeta :(x,y)\stackrel{\zeta }{\to }z$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « celle par rapport à $y$ à $x$ figée évaluée au même point $(x_0,y_0)$ pouvant
      Remarque : de « la fonction implicite $\zeta :(x,y)\stackrel{\zeta }{\to }z$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « celle par rapport à $y$ à $x$ figée évaluée au même point se déterminer par
     Remarque : de « la fonction implicite $\zeta :(x,y)\stackrel{\zeta }{\to }z$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que «${\left(\frac{\partial \zeta }{\partial x}\right)}_y(x_0,y_0)=-\frac{{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_{y,z}(x_0,y_0,z_0)}{{\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)}_{x,y}(x_0,y_0,z_0)}$» et
     Remarque : de « la fonction implicite $\zeta :(x,y)\stackrel{\zeta }{\to }z$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que «${\left(\frac{\partial \zeta }{\partial y}\right)}_x(y_0,z_0)=-\frac{{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_{x,z}(x_0,y_0,z_0)}{{\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)}_{x,y}(x_0,y_0,z_0)}$»
     Remarque : de « la fonction implicite $\zeta :(x,y)\stackrel{\zeta }{\to }z$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que si « la dérivée partielle 1^ère de $f$ par rapport à $z$ $($à $x$ et $y$ figées$)$ vérifie
     Remarque : de « la fonction implicite $\zeta :(x,y)\stackrel{\zeta }{\to }z$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que si « la dérivée partielle 1^ère de $f$ par rapport à $z$ ${\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)}_{x,y}(x_0,y_0,z_0)\ne 0$».

     Liens entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : « les trois fonctions implicites “$\psi :(x,z)\stackrel{\psi }{\to }y$, $\phi :(y,z)\stackrel{\phi }{\to }x$ et $\zeta :z\stackrel{\zeta }{\to }(x,y)$”
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : « les trois fonctions implicites “ solutions de l'équation implicite $f(x,y,z)=0$ pour laquelle $f$ est une fonction
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : « continue et différentiable en $(x_0,y_0,z_0)$» étant elles-mêmes continues et différentiables,
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : « ont des dérivées partielles 1^ères liées deux à deux selon :
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet$«${\left(\frac{\partial \psi }{\partial x}\right)}_z(x_0,z_0)=\frac{1}{{\left(\frac{\partial \phi }{\partial y}\right)}_z(y_0,z_0)}$» dans la mesure où «$\left\{\begin{array}{c}{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_{x,z}(x_0,y_0,z_0)\ne 0\\ {\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_{y,z}(x_0,y_0,z_0)\ne 0\end{array}\right\}$» $\Leftarrow$
              Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet$« “${\left(\frac{\partial \psi }{\partial x}\right)}_z(x_0,z_0)=-\frac{{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_{y,z}(x_0,y_0,z_0)}{{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_{x,z}(x_0,y_0,z_0)}$ et ${\left(\frac{\partial \phi }{\partial y}\right)}_z(y_0,z_0)=-\frac{{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_{x,z}(x_0,y_0,z_0)}{{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_{y,z}(x_0,y_0,z_0)}$” $\Rightarrow$
              Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet$« ${\left(\frac{\partial \phi }{\partial y}\right)}_z(y_0,z_0){\left(\frac{\partial \psi }{\partial x}\right)}_z(x_0,z_0)=[-\frac{{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_{x,z}(x_0,y_0,z_0)}{{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_{y,z}(x_0,y_0,z_0)}][-\frac{{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_{y,z}(x_0,y_0,z_0)}{{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_{x,z}(x_0,y_0,z_0)}]=1$»,
              Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet$« en physique $($et par abus$)$ on notera par la suite «${\left(\frac{\partial x}{\partial y}\right)}_z(x_0,z_0){\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)}_z(y_0,z_0)=1$»,
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet$«${\left(\frac{\partial \psi }{\partial z}\right)}_x(x_0,z_0)=\frac{1}{{\left(\frac{\partial \zeta }{\partial y}\right)}_x(x_0,y_0)}$» dans la mesure où «$\left\{\begin{array}{c}{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_{x,z}(x_0,y_0,z_0)\ne 0\\ {\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)}_{x,y}(x_0,y_0,z_0)\ne 0\end{array}\right\}$» $\Leftarrow$
              Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet$« “${\left(\frac{\partial \psi }{\partial z}\right)}_x(x_0,z_0)=-\frac{{\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)}_{x,y}(x_0,y_0,z_0)}{{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_{x,z}(x_0,y_0,z_0)}$ et ${\left(\frac{\partial \zeta }{\partial y}\right)}_x(x_0,y_0)=-\frac{{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_{x,z}(x_0,y_0,z_0)}{{\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)}_{x,y}(x_0,y_0,z_0)}$” $\Rightarrow$
              Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet$« ${\left(\frac{\partial \zeta }{\partial y}\right)}_x(x_0,y_0){\left(\frac{\partial \psi }{\partial z}\right)}_x(x_0,z_0)=[-\frac{{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_{x,z}(x_0,y_0,z_0)}{{\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)}_{x,y}(x_0,y_0,z_0)}][-\frac{{\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)}_{x,y}(x_0,y_0,z_0)}{{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_{x,z}(x_0,y_0,z_0)}]=1$»,
              Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet$« en physique $($et par abus$)$ on notera par la suite «${\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)}_x(x_0,y_0){\left(\frac{\partial y}{\partial z}\right)}_x(y_0,z_0)=1$» et
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet$«${\left(\frac{\partial \phi }{\partial z}\right)}_y(y_0,z_0)=\frac{1}{{\left(\frac{\partial \zeta }{\partial x}\right)}_y(x_0,y_0)}$» dans la mesure où «$\left\{\begin{array}{c}{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_{y,z}(x_0,y_0,z_0)\ne 0\\ {\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)}_{x,y}(x_0,y_0,z_0)\ne 0\end{array}\right\}$» $\Leftarrow$
              Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet$« “${\left(\frac{\partial \phi }{\partial z}\right)}_y(y_0,z_0)=-\frac{{\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)}_{x,y}(x_0,y_0,z_0)}{{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_{y,z}(x_0,y_0,z_0)}$ et ${\left(\frac{\partial \zeta }{\partial x}\right)}_y(y_0,z_0)=-\frac{{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_{y,z}(x_0,y_0,z_0)}{{\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)}_{x,y}(x_0,y_0,z_0)}$” $\Rightarrow$
              Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet$« ${\left(\frac{\partial \zeta }{\partial x}\right)}_y(y_0,z_0){\left(\frac{\partial \phi }{\partial z}\right)}_y(y_0,z_0)=[-\frac{{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_{y,z}(x_0,y_0,z_0)}{{\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)}_{x,y}(x_0,y_0,z_0)}][-\frac{{\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)}_{x,y}(x_0,y_0,z_0)}{{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_{y,z}(x_0,y_0,z_0)}]=1$»,
              Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet$« en physique $($et par abus$)$ on notera par la suite «${\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)}_y(y_0,z_0){\left(\frac{\partial x}{\partial z}\right)}_y(y_0,z_0)=1$» ;
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet$nous pouvons déduire des liens ci-dessus entre « les dérivées partielles 1^ères des trois fonctions implicites
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet$$\psi :(x,z)\stackrel{\psi }{\to }y$, $\phi :(y,z)\stackrel{\phi }{\to }x$ et $\zeta :(x,y)\stackrel{\zeta }{\to }z$ solutions de l'équation implicite $f(x,y,z)=0$
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet$nous pouvons déduire des liens pour laquelle $f$ est une fonction continue et différentiable en $(x_0,y_0,z_0)$»,
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet$une relation liant trois des dérivées partielles 1^ères judicieusement choisies des fonctions implicites $\psi$, $\phi$ et $\zeta$
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet$une relation liant trois des dérivées partielles 1^ères judicieu solutions de l'équation implicite $f(x,y,z)=0$
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet$une relation $▸$«${\left(\frac{\partial \psi }{\partial x}\right)}_z(x_0,z_0){\left(\frac{\partial \phi }{\partial z}\right)}_y(y_0,z_0){\left(\frac{\partial \zeta }{\partial y}\right)}_x(x_0,y_0)=-1$» $\iff$
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet$une relation $▸$«${\left(\frac{\partial \psi }{\partial x}\right)}_z(x_0,z_0){\left(\frac{\partial \phi }{\partial z}\right)}_y(y_0,z_0)=-\frac{1}{{\left(\frac{\partial \zeta }{\partial y}\right)}_x(x_0,y_0)}$» $\iff$
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet$une relation $▸$«${\left(\frac{\partial \psi }{\partial x}\right)}_z(x_0,z_0){\left(\frac{\partial \phi }{\partial z}\right)}_y(y_0,z_0)=-{\left(\frac{\partial \psi }{\partial z}\right)}_x(x_0,y_0)$»,
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet$une relation $▸$«${\left(\frac{\partial \psi }{\partial z}\right)}_x(x_0,z_0){\left(\frac{\partial \zeta }{\partial x}\right)}_y(y_0,z_0){\left(\frac{\partial \phi }{\partial y}\right)}_z(x_0,y_0)=-1$» $\iff$
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet$une relation $▸$«${\left(\frac{\partial \psi }{\partial z}\right)}_x(x_0,z_0){\left(\frac{\partial \zeta }{\partial x}\right)}_y(x_0,y_0)=-\frac{1}{{\left(\frac{\partial \phi }{\partial y}\right)}_z(x_0,y_0)}$» $\iff$
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet$une relation $▸$«${\left(\frac{\partial \psi }{\partial z}\right)}_x(x_0,z_0){\left(\frac{\partial \zeta }{\partial x}\right)}_y(x_0,y_0)=-{\left(\frac{\partial \psi }{\partial x}\right)}_z(x_0,y_0)$».

Dérivées partielles premières d'une fonction implicite entre quatre variables réelles

Dérivées partielles 1^ères d'une fonction implicite entre x, y, z et t

     Soit « l’équation implicite $f(x,y,z,t)=0$ des variables réelles $x$, $y$, $z$ et $t$, $f$ étant continue et
     Soit « l’équation implicite $f(x,y,z,t)=0$ des variables réelles $x$, $y$, $z$ et $t$, $f$ étant différentiable en $(x_0,y_0,z_0,t_0)$» et
     Soit « la fonction implicite $\psi :(x,z,t)\stackrel{\psi }{\to }y$ solution de l'équation implicite $f(x,y,z,t)=0$ $\iff$ $y=\psi (x,z,t)$»,
     « la fonction implicite $\psi$ est, par suite, continue et différentiable en $(x_0,z_0,t_0)$»,
     « sa dérivée partielle 1^ère par rapport à $x$, à $z$ et $t$ figées, évaluée au point $(x_0,z_0,t_0)$
     « sa dérivée partielle 1^ère par rapport à $x$ à $z$ et $t$ figées, peut se déterminer par «${{\psi }^{\prime }}_x(x_0,z_0,t_0)=-\frac{{f^{\prime }}_x(x_0,y_0,z_0,t_0)}{{f^{\prime }}_y(x_0,y_0,z_0,t_0)}$» ou
          « sa dérivée partielle 1^ère par rapport à $x$ à $z$ et $t$ figées, peut se «${\left(\frac{\partial \psi }{\partial x}\right)}_{z,t}(x_0,z_0,t_0)=-\frac{{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_{y,z,t}(x_0,y_0,z_0,t_0)}{{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_{x,z,t}(x_0,y_0,z_0,t_0)}$»,
     « sa dérivée partielle 1^ère par rapport à $z$, à $x$ et $t$ figées, évaluée au point $(x_0,z_0,t_0)$
     « sa dérivée partielle 1^ère par rapport à $z$ à $x$ et $t$ figées, peut se déterminer par «${{\psi }^{\prime }}_z(x_0,z_0,t_0)=-\frac{{f^{\prime }}_z(x_0,y_0,z_0,t_0)}{{f^{\prime }}_y(x_0,y_0,z_0,t_0)}$» ou
     « sa dérivée partielle 1^ère par rapport à $z$ à $x$ et $t$ figées, peut se «${\left(\frac{\partial \psi }{\partial z}\right)}_{x,t}(x_0,z_0,t_0)=-\frac{{\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)}_{x,y,t}(x_0,y_0,z_0,t_0)}{{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_{x,z,t}(x_0,y_0,z_0,t_0)}$» et
     « sa dérivée partielle 1^ère par rapport à $t$, à $x$ et $z$ figées, évaluée au point $(x_0,z_0,t_0)$
     « sa dérivée partielle 1^ère par rapport à $t$ à $x$ et $z$ figées, peut se déterminer par «${{\psi }^{\prime }}_t(x_0,z_0,t_0)=-\frac{{f^{\prime }}_t(x_0,y_0,z_0,t_0)}{{f^{\prime }}_y(x_0,y_0,z_0,t_0)}$» ou
          « sa dérivée partielle 1^ère par rapport à $t$ à $x$ et $z$ figées, peut se «${\left(\frac{\partial \psi }{\partial t}\right)}_{x,z}(x_0,z_0,t_0)=-\frac{{\left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)}_{x,y,z}(x_0,y_0,z_0,t_0)}{{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_{x,z,t}(x_0,y_0,z_0,t_0)}$»,
     « ces trois relations ci-dessus nécessitant que « la dérivée partielle 1^ère de $f$ par rapport à $y$ $(x$, $z$ et $t$ étant figées$)$ vérifie
     « ces trois relations ci-dessus nécessitant que « la dérivée partielle 1^ère de $f$ par rapport à $y$ ${\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_{x,z,t}(x_0,y_0,z_0,t_0)\ne 0$».

     Démonstration : différenciant, à $z$ et $t$ figées, «$f(x,y,z,t)=0$ en $(x_0,y_0,z_0,t_0)$» nous obtenons «$d_{z,t}f(x_0,y_0,z_0,t_0)=0$ soit, en explicitant la différentielle, à $z$ et $t$ figées, de $f$,
     Démonstration : différenciant, à $z$ et $t$ figées, «$f(x,y,z,t)=0$ en $(x_0,y_0,z_0,t_0)$» nous obtenons ${\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_{y,z,t}(x_0,y_0,z_0,t_0)d_{z,t}x+{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_{x,z,t}(x_0,y_0,z_0,t_0)d_{z,t}y=0$» $\Rightarrow$
     Démonstration : différenciant, à $z$ et $t$ figées, «$f(x,y,z,t)=0$ en $(x_0,y_0,z_0,t_0)$» nous obtenons «$\frac{d_{z,t}y}{d_{z,t}x}=-\frac{{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_{y,z,t}(x_0,y_0,z_0,t_0)}{{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_{x,z,t}(x_0,y_0,z_0,t_0)}$ dans la mesure où
                                                                           Démonstration : différenciant, à $z$ et $t$ figées, «$f(x,y,z,t)=0$ en $(x_0,y_0,z_0,t_0)$» nous obtenons ${\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_{x,z}(x_0,y_0,z_0,t_0)\ne 0$» C.Q.F.D.,
     Démonstration : différenciant, à $z$ et $t$ figées, «$f(x,y,z,t)=0$ en $(x_0,y_0,z_0,t_0)$» les expressions des deux autres dérivées partielles 1^ères se déterminant de la même façon $\dots$

     Remarque : de « la fonction implicite $\phi :(y,z,t)\stackrel{\phi }{\to }x$ solution de l'équation implicite $f(x,y,z,t)=0$ $\iff$ $x=\phi (y,z,t)$», avec «$f$ fonction continue et différentiable en $(x_0,y_0,z_0,t_0)$»
     Remarque : de « la fonction implicite $\phi :(y,z,t)\stackrel{\phi }{\to }x$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « la fonction implicite $\phi$ est continue et différentiable en $(y_0,z_0,t_0)$»,
     Remarque : de « la fonction implicite $\phi :(y,z,t)\stackrel{\phi }{\to }x$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « sa dérivée partielle 1^ère par rapport à $y$ à $z$ et $t$ figées en $(y_0,z_0,t_0)$,
     Remarque : de « la fonction implicite $\phi :(y,z,t)\stackrel{\phi }{\to }x$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « celle par rapport à $z$ à $y$ et $t$ figées en $(y_0,z_0,t_0)$ ainsi que
     Remarque : de « la fonction implicite $\phi :(y,z,t)\stackrel{\phi }{\to }x$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « celle par rapport à $t$ à $y$ et $z$ figées en $(y_0,z_0,t_0)$ pouvant
     Remarque : de « la fonction implicite $\phi :(y,z,t)\stackrel{\phi }{\to }x$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « celle par rapport à $t$ à $y$ et $z$ figées en $(y_0,z_0,t_0)$ se déterminer par
     Remarque : de « la fonction implicite $\phi :(y,z,t)\stackrel{\phi }{\to }x$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que «${\left(\frac{\partial \phi }{\partial y}\right)}_{z,t}(y_0,z_0,t_0)=-\frac{{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_{x,z,t}(x_0,y_0,z_0,t_0)}{{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_{y,z,t}(x_0,y_0,z_0,t_0)}$»,
     Remarque : de « la fonction implicite $\phi :(y,z,t)\stackrel{\phi }{\to }x$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que «${\left(\frac{\partial \phi }{\partial z}\right)}_{y,t}(y_0,z_0,t_0)=-\frac{{\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)}_{x,y,t}(x_0,y_0,z_0,t_0)}{{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_{y,z,t}(x_0,y_0,z_0,t_0)}$» et
     Remarque : de « la fonction implicite $\phi :(y,z,t)\stackrel{\phi }{\to }x$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que «${\left(\frac{\partial \phi }{\partial t}\right)}_{y,z}(y_0,z_0,t_0)=-\frac{{\left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)}_{x,y,z}(x_0,y_0,z_0,t_0)}{{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_{y,z,t}(x_0,y_0,z_0,t_0)}$»
     Remarque : de « la fonction implicite $\phi :(y,z,t)\stackrel{\phi }{\to }x$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que si « la dérivée partielle 1^ère de $f$ par rapport à $x$ $($à $y$, $z$ et $t$ figées$)$
     Remarque : de « la fonction implicite $\phi :(y,z,t)\stackrel{\phi }{\to }x$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que si « la dérivée partielle 1^ère de $f$ vérifie ${\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_{y,z,t}(x_0,y_0,z_0,t_0)\ne 0$» ;
     Remarque : de « la fonction implicite $\zeta :(x,y,t)\stackrel{\zeta }{\to }z$ solution de l'équation implicite $f(x,y,z,t)=0$ $\iff$ $z=\zeta (x,y,t)$», avec «$f$ fonction continue et différentiable en $(x_0,y_0,z_0,t_0)$»
     Remarque : de « la fonction implicite $\zeta :(x,y,t)\stackrel{\zeta }{\to }z$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « la fonction implicite $\zeta$ est continue et différentiable en $(x_0,y_0,t_0)$»,
     Remarque : de « la fonction implicite $\zeta :(x,y,t)\stackrel{\zeta }{\to }z$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « sa dérivée partielle 1^ère par rapport à $x$ à $y$ et $t$ figées en $(x_0,y_0,t_0)$,
     Remarque : de « la fonction implicite $\zeta :(x,y,t)\stackrel{\zeta }{\to }z$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « celle par rapport à $y$ à $x$ et $t$ figées en $(x_0,y_0,t_0)$ ainsi que
     Remarque : de « la fonction implicite $\zeta :(x,y,t)\stackrel{\zeta }{\to }z$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « celle par rapport à $t$ à $x$ et $y$ figées en $(x_0,y_0,t_0)$ pouvant
     Remarque : de « la fonction implicite $\zeta :(x,y,t)\stackrel{\zeta }{\to }z$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « celle par rapport à $t$ à $x$ et $y$ figées en $(x_0,y_0,t_0)$ se déterminer par
     Remarque : de « la fonction implicite $\zeta :(x,y,t)\stackrel{\zeta }{\to }z$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que «${\left(\frac{\partial \zeta }{\partial x}\right)}_{y,t}(x_0,y_0,t_0)=-\frac{{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_{y,z,t}(x_0,y_0,z_0,t_0)}{{\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)}_{x,y,t}(x_0,y_0,z_0,t_0)}$»,
     Remarque : de « la fonction implicite $\zeta :(x,y,t)\stackrel{\zeta }{\to }z$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que «${\left(\frac{\partial \zeta }{\partial y}\right)}_{x,t}(x_0,y_0,t_0)=-\frac{{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_{x,z,t}(x_0,y_0,z_0,t_0)}{{\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)}_{x,y,t}(x_0,y_0,z_0,t_0)}$» et
     Remarque : de « la fonction implicite $\zeta :(x,y,t)\stackrel{\zeta }{\to }z$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que «${\left(\frac{\partial \zeta }{\partial t}\right)}_{x,y}(x_0,y_0,t_0)=-\frac{{\left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)}_{x,y,z}(x_0,y_0,z_0,t_0)}{{\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)}_{x,y,t}(x_0,y_0,z_0,t_0)}$»
     Remarque : de « la fonction implicite $\zeta :(x,y,t)\stackrel{\zeta }{\to }z$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que si « la dérivée partielle 1^ère de $f$ par rapport à $z$ $($à $x$, $y$ et $t$ figées$)$
     Remarque : de « la fonction implicite $\zeta :(x,y,t)\stackrel{\zeta }{\to }z$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que si « la dérivée partielle 1^ère de $f$ vérifie ${\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)}_{x,y,t}(x_0,y_0,z_0,t_0)\ne 0$» ;
     Remarque : de « la fonction implicite $\tau :(x,y,z)\stackrel{\tau }{\to }t$ solution de l'équation implicite $f(x,y,z,t)=0$ $\iff$ $t=\tau (x,y,z)$», avec «$f$ fonction continue et différentiable en $(x_0,y_0,z_0,t_0)$»
     Remarque : de « la fonction implicite $\tau :(x,y,z)\stackrel{\tau }{\to }t$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « la fonction implicite $\tau$ est continue et différentiable en $(x_0,y_0,z_0)$»,
     Remarque : de « la fonction implicite $\tau :(x,y,z)\stackrel{\tau }{\to }t$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « sa dérivée partielle 1^ère par rapport à $x$ à $y$ et $z$ figées en $(x_0,y_0,z_0)$,
     Remarque : de « la fonction implicite $\tau :(x,y,z)\stackrel{\tau }{\to }t$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « celle par rapport à $y$ à $x$ et $z$ figées en $(x_0,y_0,z_0)$ ainsi que
     Remarque : de « la fonction implicite $\tau :(x,y,z)\stackrel{\tau }{\to }t$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « celle par rapport à $z$ à $x$ et $y$ figées en $(x_0,y_0,z_0)$ pouvant
     Remarque : de « la fonction implicite $\tau :(x,y,z)\stackrel{\tau }{\to }t$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « celle par rapport à $z$ à $x$ et $y$ figées en $(x_0,y_0,z_0)$ se déterminer par
     Remarque : de « la fonction implicite $\tau :(x,y,z)\stackrel{\tau }{\to }t$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que «${\left(\frac{\partial \tau }{\partial x}\right)}_{y,z}(x_0,y_0,z_0)=-\frac{{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_{y,z,t}(x_0,y_0,z_0,t_0)}{{\left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)}_{x,y,z}(x_0,y_0,z_0,t_0)}$»,
     Remarque : de « la fonction implicite $\tau :(x,y,z)\stackrel{\tau }{\to }t$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que «${\left(\frac{\partial \tau }{\partial y}\right)}_{x,z}(x_0,y_0,z_0)=-\frac{{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_{x,z,t}(x_0,y_0,z_0,t_0)}{{\left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)}_{x,y,z}(x_0,y_0,z_0,t_0)}$» et
     Remarque : de « la fonction implicite $\tau :(x,y,z)\stackrel{\tau }{\to }t$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que «${\left(\frac{\partial \tau }{\partial z}\right)}_{x,y}(x_0,y_0,z_0)=-\frac{{\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)}_{x,y,t}(x_0,y_0,z_0,t_0)}{{\left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)}_{x,y,z}(x_0,y_0,z_0,t_0)}$»
     Remarque : de « la fonction implicite $\tau :(x,y,z)\stackrel{\tau }{\to }t$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que si « la dérivée partielle 1^ère de $f$ par rapport à $t$ $($à $x$, $y$ et $z$ figées$)$
     Remarque : de « la fonction implicite $\tau :(x,y,z)\stackrel{\tau }{\to }t$ nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que si « la dérivée partielle 1^ère de $f$ vérifie ${\left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)}_{x,y,z}(x_0,y_0,z_0,t_0)\ne 0$».

     Liens entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : « les quatre fonctions implicites “$\psi :(x,z,t)\stackrel{\psi }{\to }y$, $\phi :(y,z,t)\stackrel{\phi }{\to }x$, $\zeta :(x,y,t)\stackrel{\zeta }{\to }z$ et
           Liens entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : « les quatre fonctions implicites “$\psi :(x,z,t)\stackrel{\psi }{\to }y$, $\phi :(y,z,t)\stackrel{\phi }{\to }x$, $\tau :(x,y,z)\stackrel{\tau }{\to }t$” solutions
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : « les quatre fonctions implicites “ de l'équation implicite $f(x,y,z,t)=0$ pour laquelle $f$ est une fonction
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : « continue et différentiable en $(x_0,y_0,z_0,t_0)$» étant elles-mêmes continues et différentiables,
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : « ont des dérivées partielles 1^ères liées deux à deux selon :
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet$«${\left(\frac{\partial \psi }{\partial x}\right)}_{z,t}(x_0,z_0,t_0)=\frac{1}{{\left(\frac{\partial \phi }{\partial y}\right)}_{z,t}(y_0,z_0,t_0)}$» si «$\left\{\begin{array}{c}{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_{x,z,t}(x_0,y_0,z_0,t_0)\ne 0\\ {\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_{y,z,t}(x_0,y_0,z_0,t_0)\ne 0\end{array}\right\}$» $\Leftarrow$
              Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet$« “${\left(\frac{\partial \psi }{\partial x}\right)}_{z,t}(x_0,z_0,t_0)=-\frac{{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_{y,z,t}(x_0,y_0,z_0,t_0)}{{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_{x,z,t}(x_0,y_0,z_0,t_0)}$ ainsi que
              Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet$« “${\left(\frac{\partial \phi }{\partial y}\right)}_{z,t}(y_0,z_0,t_0)=-\frac{{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_{x,z,t}(x_0,y_0,z_0,t_0)}{{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_{y,z,t}(x_0,y_0,z_0,t_0)}$” $\Rightarrow$ ${\left(\frac{\partial \psi }{\partial x}\right)}_{z,t}(x_0,z_0,t_0){\left(\frac{\partial \phi }{\partial y}\right)}_{z,t}(y_0,z_0,t_0)$
                                                            Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet$« $=[-\frac{{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_{y,z,t}(x_0,y_0,z_0,t_0)}{{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_{x,z,t}(x_0,y_0,z_0,t_0)}][-\frac{{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_{x,z,t}(x_0,y_0,z_0,t_0)}{{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_{y,z,t}(x_0,y_0,z_0,t_0)}]=1$»,
              Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet$« en physique $($et par abus$)$ on notera par la suite «${\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)}_{z,t}(y_0,z_0,t_0){\left(\frac{\partial x}{\partial y}\right)}_{z,t}(x_0,z_0,t_0)=1$»,
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet$«${\left(\frac{\partial \psi }{\partial z}\right)}_{x,t}(x_0,z_0,t_0)=\frac{1}{{\left(\frac{\partial \zeta }{\partial y}\right)}_{x,t}(x_0,y_0,t_0)}$» si «$\left\{\begin{array}{c}{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_{x,z,t}(x_0,y_0,z_0,t_0)\ne 0\\ {\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)}_{x,y,t}(x_0,y_0,z_0,t_0)\ne 0\end{array}\right\}$» $\Leftarrow$
              Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet$« “${\left(\frac{\partial \psi }{\partial z}\right)}_{x,t}(x_0,z_0,t_0)=-\frac{{\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)}_{x,y,t}(x_0,y_0,z_0,t_0)}{{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_{x,z,t}(x_0,y_0,z_0,t_0)}$ ainsi que
              Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet$« “${\left(\frac{\partial \zeta }{\partial y}\right)}_{x,t}(x_0,y_0,t_0)=-\frac{{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_{x,z,t}(x_0,y_0,z_0,t_0)}{{\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)}_{x,y,t}(x_0,y_0,z_0,t_0)}$” $\Rightarrow$ ${\left(\frac{\partial \psi }{\partial z}\right)}_{x,t}(x_0,z_0,t_0){\left(\frac{\partial \zeta }{\partial y}\right)}_{x,t}(x_0,y_0,t_0)$
                                                            Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet$« $=[-\frac{{\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)}_{x,y,t}(x_0,y_0,z_0,t_0)}{{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_{x,z,t}(x_0,y_0,z_0,t_0)}][-\frac{{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_{x,z,t}(x_0,y_0,z_0,t_0)}{{\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)}_{x,y,t}(x_0,y_0,z_0,t_0)}]=1$»,
              Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet$« en physique $($et par abus$)$ on notera par la suite «${\left(\frac{\partial y}{\partial z}\right)}_{x,t}(x_0,z_0,t_0){\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)}_{x,t}(x_0,y_0,t_0)=1$»,
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet$«${\left(\frac{\partial \psi }{\partial t}\right)}_{x,z}(x_0,z_0,t_0)=\frac{1}{{\left(\frac{\partial \tau }{\partial y}\right)}_{x,z}(x_0,y_0,z_0)}$» si «$\left\{\begin{array}{c}{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_{x,z,t}(x_0,y_0,z_0,t_0)\ne 0\\ {\left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)}_{x,y,z}(x_0,y_0,z_0,t_0)\ne 0\end{array}\right\}$» $\Leftarrow$
              Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet$« “${\left(\frac{\partial \psi }{\partial t}\right)}_{x,z}(x_0,z_0,t_0)=-\frac{{\left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)}_{x,y,z}(x_0,y_0,z_0,t_0)}{{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_{x,z,t}(x_0,y_0,z_0,t_0)}$ ainsi que
              Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet$« “${\left(\frac{\partial \tau }{\partial y}\right)}_{x,z}(x_0,y_0,z_0)=-\frac{{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_{x,z,t}(x_0,y_0,z_0,t_0)}{{\left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)}_{x,y,z}(x_0,y_0,z_0,t_0)}$” $\Rightarrow$ ${\left(\frac{\partial \psi }{\partial t}\right)}_{x,z}(x_0,z_0,t_0){\left(\frac{\partial \tau }{\partial y}\right)}_{x,z}(x_0,y_0,z_0)$
                                                            Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet$« $=[-\frac{{\left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)}_{x,y,z}(x_0,y_0,z_0,t_0)}{{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_{x,z,t}(x_0,y_0,z_0,t_0)}][-\frac{{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_{x,z,t}(x_0,y_0,z_0,t_0)}{{\left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)}_{x,y,z}(x_0,y_0,z_0,t_0)}]=1$»,
              Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet$« en physique $($et par abus$)$ on notera par la suite «${\left(\frac{\partial y}{\partial t}\right)}_{x,z}(x_0,z_0,t_0){\left(\frac{\partial t}{\partial y}\right)}_{x,z}(x_0,y_0,z_0)=1$»,
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet$«${\left(\frac{\partial \phi }{\partial z}\right)}_{y,t}(y_0,z_0,t_0)=\frac{1}{{\left(\frac{\partial \zeta }{\partial x}\right)}_{y,t}(x_0,y_0,t_0)}$» si «$\left\{\begin{array}{c}{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_{y,z,t}(x_0,y_0,z_0,t_0)\ne 0\\ {\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)}_{x,y,t}(x_0,y_0,z_0,t_0)\ne 0\end{array}\right\}$» $\Leftarrow$
              Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet$« “${\left(\frac{\partial \phi }{\partial z}\right)}_{y,t}(y_0,z_0,t_0)=-\frac{{\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)}_{x,y,t}(x_0,y_0,z_0,t_0)}{{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_{y,z,t}(x_0,y_0,z_0,t_0)}$ ainsi que
              Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet$« “${\left(\frac{\partial \zeta }{\partial x}\right)}_{y,t}(x_0,y_0,t_0)=-\frac{{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_{y,z,t}(x_0,y_0,z_0,t_0)}{{\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)}_{x,y,t}(x_0,y_0,z_0,t_0)}$” $\Rightarrow$ ${\left(\frac{\partial \phi }{\partial z}\right)}_{y,t}(y_0,z_0,t_0){\left(\frac{\partial \zeta }{\partial x}\right)}_{y,t}(x_0,y_0,t_0)$
                                                            Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet$« $=[-\frac{{\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)}_{x,y,t}(x_0,y_0,z_0,t_0)}{{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_{y,z,t}(x_0,y_0,z_0,t_0)}][-\frac{{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_{y,z,t}(x_0,y_0,z_0,t_0)}{{\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)}_{x,y,t}(x_0,y_0,z_0,t_0)}]=1$»,
              Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet$« en physique $($et par abus$)$ on notera par la suite «${\left(\frac{\partial x}{\partial z}\right)}_{y,t}(y_0,z_0,t_0){\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)}_{y,t}(x_0,y_0,t_0)=1$»,
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet$«${\left(\frac{\partial \phi }{\partial t}\right)}_{y,z}(y_0,z_0,t_0)=\frac{1}{{\left(\frac{\partial \tau }{\partial x}\right)}_{y,z}(x_0,y_0,z_0)}$» si «$\left\{\begin{array}{c}{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_{y,z,t}(x_0,y_0,z_0,t_0)\ne 0\\ {\left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)}_{x,y,z}(x_0,y_0,z_0,t_0)\ne 0\end{array}\right\}$» $\Leftarrow$
              Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet$« “${\left(\frac{\partial \phi }{\partial t}\right)}_{y,z}(y_0,z_0,t_0)=-\frac{{\left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)}_{x,y,z}(x_0,y_0,z_0,t_0)}{{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_{y,z,t}(x_0,y_0,z_0,t_0)}$ ainsi que
              Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet$« “${\left(\frac{\partial \tau }{\partial x}\right)}_{y,z}(x_0,y_0,z_0)=-\frac{{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_{y,z,t}(x_0,y_0,z_0,t_0)}{{\left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)}_{x,y,z}(x_0,y_0,z_0,t_0)}$” $\Rightarrow$ ${\left(\frac{\partial \phi }{\partial t}\right)}_{y,z}(y_0,z_0,t_0){\left(\frac{\partial \tau }{\partial x}\right)}_{y,z}(x_0,y_0,t_0)$
                                                            Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet$« $=[-\frac{{\left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)}_{x,y,z}(x_0,y_0,z_0,t_0)}{{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_{y,z,t}(x_0,y_0,z_0,t_0)}][-\frac{{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_{y,z,t}(x_0,y_0,z_0,t_0)}{{\left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)}_{x,y,z}(x_0,y_0,z_0,t_0)}]=1$»,
              Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet$« en physique $($et par abus$)$ on notera par la suite «${\left(\frac{\partial x}{\partial t}\right)}_{y,z}(y_0,z_0,t_0){\left(\frac{\partial t}{\partial x}\right)}_{y,z}(x_0,y_0,z_0)=1$»,
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet$«${\left(\frac{\partial \zeta }{\partial t}\right)}_{x,y}(x_0,y_0,t_0)=\frac{1}{{\left(\frac{\partial \tau }{\partial z}\right)}_{x,y}(x_0,y_0,z_0)}$» si «$\left\{\begin{array}{c}{\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)}_{x,y,t}(x_0,y_0,z_0,t_0)\ne 0\\ {\left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)}_{x,y,z}(x_0,y_0,z_0,t_0)\ne 0\end{array}\right\}$» $\Leftarrow$
              Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet$« “${\left(\frac{\partial \zeta }{\partial t}\right)}_{x,y}(x_0,y_0,t_0)=-\frac{{\left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)}_{x,y,z}(x_0,y_0,z_0,t_0)}{{\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)}_{x,y,t}(x_0,y_0,z_0,t_0)}$ ainsi que
              Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet$« “${\left(\frac{\partial \tau }{\partial z}\right)}_{x,y}(x_0,y_0,z_0)=-\frac{{\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)}_{x,y,t}(x_0,y_0,z_0,t_0)}{{\left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)}_{x,y,z}(x_0,y_0,z_0,t_0)}$” $\Rightarrow$ ${\left(\frac{\partial \zeta }{\partial t}\right)}_{x,y}(x_0,y_0,t_0){\left(\frac{\partial \tau }{\partial z}\right)}_{x,y}(x_0,y_0,z_0)$
                                                            Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet$« $=[-\frac{{\left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)}_{x,y,z}(x_0,y_0,z_0,t_0)}{{\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)}_{x,y,t}(x_0,y_0,z_0,t_0)}][-\frac{{\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)}_{x,y,t}(x_0,y_0,z_0,t_0)}{{\left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)}_{x,y,z}(x_0,y_0,z_0,t_0)}]=1$»,
              Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet$« en physique $($et par abus$)$ on notera par la suite «${\left(\frac{\partial z}{\partial t}\right)}_{x,y}(x_0,y_0,t_0){\left(\frac{\partial t}{\partial z}\right)}_{x,y}(x_0,y_0,z_0)=1$».
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet$nous pouvons déduire des liens ci-dessus entre « les dérivées partielles 1^ères des quatre fonctions implicites
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet$$\psi :(x,z,t)\stackrel{\psi }{\to }y$, $\phi :(y,z,t)\stackrel{\phi }{\to }x$, $\zeta :(x,y,t)\stackrel{\zeta }{\to }z$ et $\tau :(x,y,z)\stackrel{\zeta }{\to }t$ solutions de l'équation
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet$implicite $f(x,y,z,t)=0$ pour laquelle $f$ est une fonction continue et différentiable en $(x_0,y_0,z_0,t_0)$»,
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet$une relation liant quatre des dérivées partielles 1^ères judicieusement choisies des fonctions implicites $\psi$, $\phi$, $\zeta$, $\tau$
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet$une relation liant quatre des dérivées partielles 1^ères solutions de l'équation implicite $f(x,y,z,t)=0$
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet$une $▸$«${\left(\frac{\partial \psi }{\partial x}\right)}_{z,t}(x_0,z_0,t_0){\left(\frac{\partial \phi }{\partial z}\right)}_{y,t}(y_0,z_0,t_0){\left(\frac{\partial \zeta }{\partial t}\right)}_{x,y}(x_0,y_0,t_0){\left(\frac{\partial \tau }{\partial y}\right)}_{x,z}(x_0,y_0,z_0)=1$»
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet$une $▸$$\iff$ «${\left(\frac{\partial \psi }{\partial x}\right)}_{z,t}(x_0,z_0,t_0){\left(\frac{\partial \phi }{\partial z}\right)}_{y,t}(y_0,z_0,t_0){\left(\frac{\partial \zeta }{\partial t}\right)}_{x,y}(x_0,y_0,t_0)=\frac{1}{{\left(\frac{\partial \tau }{\partial y}\right)}_{x,z}(x_0,y_0,z_0)}$
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet$une $▸$$\iff$ «${\left(\frac{\partial \psi }{\partial x}\right)}_{z,t}(x_0,z_0,t_0){\left(\frac{\partial \phi }{\partial z}\right)}_{y,t}(y_0,z_0,t_0){\left(\frac{\partial \zeta }{\partial t}\right)}_{x,y}(x_0,y_0,t_0)$ $={\left(\frac{\partial \psi }{\partial t}\right)}_{x,z}(x_0,z_0,t_0)$»
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet$une $▸$ainsi que trois autres relations équivalentes dont la détermination est laissée au bon soin du lecteur ;
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet$une $▸$il y a cinq autres relations du même type dont la détermination est laissée au bon soin du lecteur,
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet$une $▸$il y a cinq autres relations formées à partir de ${\left(\frac{\partial \psi }{\partial x}\right)}_{z,t}(x_0,z_0,t_0)$ avec $\left\{\begin{array}{c}{\left(\frac{\partial \phi }{\partial t}\right)}_{y,z}(y_0,z_0,t_0)\\ {\left(\frac{\partial \tau }{\partial z}\right)}_{x,y}(x_0,y_0,z_0)\\ {\left(\frac{\partial \zeta }{\partial y}\right)}_{x,t}(x_0,y_0,t_0)\end{array}\right\}$ ou
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet$une $▸$il y a cinq autres relations formées à partir de ${\left(\frac{\partial \psi }{\partial z}\right)}_{x,t}(x_0,z_0,t_0)$ avec $\left\{\begin{array}{c}{\left(\frac{\partial \zeta }{\partial x}\right)}_{y,t}(x_0,y_0,t_0)\\ {\left(\frac{\partial \phi }{\partial t}\right)}_{y,z}(y_0,z_0,t_0)\\ {\left(\frac{\partial \tau }{\partial y}\right)}_{x,z}(x_0,y_0,z_0)\end{array}\right\}$ ou
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet$une $▸$il y a cinq autres relations formées à partir de ${\left(\frac{\partial \psi }{\partial z}\right)}_{x,t}(x_0,z_0,t_0)$ avec $\left\{\begin{array}{c}{\left(\frac{\partial \zeta }{\partial t}\right)}_{x,y}(x_0,y_0,t_0)\\ {\left(\frac{\partial \tau }{\partial x}\right)}_{y,z}(x_0,y_0,z_0)\\ {\left(\frac{\partial \phi }{\partial y}\right)}_{z,t}(y_0,z_0,t_0)\end{array}\right\}$ ou
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet$une $▸$il y a cinq autres relations formées à partir de ${\left(\frac{\partial \psi }{\partial t}\right)}_{x,z}(x_0,z_0,t_0)$ avec $\left\{\begin{array}{c}{\left(\frac{\partial \tau }{\partial x}\right)}_{y,z}(x_0,y_0,z_0)\\ {\left(\frac{\partial \phi }{\partial z}\right)}_{y,t}(y_0,z_0,t_0)\\ {\left(\frac{\partial \zeta }{\partial y}\right)}_{x,t}(x_0,y_0,t_0)\end{array}\right\}$ ou
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet$une $▸$il y a cinq autres relations formées à partir de ${\left(\frac{\partial \psi }{\partial t}\right)}_{x,z}(x_0,z_0,t_0)$ avec $\left\{\begin{array}{c}{\left(\frac{\partial \tau }{\partial z}\right)}_{x,y}(x_0,y_0,z_0)\\ {\left(\frac{\partial \zeta }{\partial x}\right)}_{y,t}(x_0,y_0,t_0)\\ {\left(\frac{\partial \phi }{\partial y}\right)}_{z,t}(y_0,z_0,t_0)\end{array}\right\}$ ;
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet$nous pouvons déduire des liens entre « les dérivées partielles 1^ères des quatre fonctions implicites
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet$$\psi :(x,z,t)\stackrel{\psi }{\to }y$, $\phi :(y,z,t)\stackrel{\phi }{\to }x$, $\zeta :(x,y,t)\stackrel{\zeta }{\to }z$ et $\tau :(x,y,z)\stackrel{\zeta }{\to }t$ solutions de l'équation
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet$implicite $f(x,y,z,t)=0$ pour laquelle $f$ est une fonction continue et différentiable en $(x_0,y_0,z_0,t_0)$»,
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet$une relation liant trois des dérivées partielles 1^ères judicieusement choisies des fonctions implicites $\psi$, $\phi$, $\zeta$, $\tau$
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet$une relation liant quatre des dérivées partielles 1^ères solutions de l'équation implicite $f(x,y,z,t)=0$
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet$une $▸$«${\left(\frac{\partial \psi }{\partial x}\right)}_{z,t}(x_0,z_0,t_0){\left(\frac{\partial \phi }{\partial z}\right)}_{y,t}(y_0,z_0,t_0){\left(\frac{\partial \zeta }{\partial y}\right)}_{x,t}(x_0,y_0,t_0)=-1$»,
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet$une $▸$il y a sept autres relations du même type dont la détermination est laissée au bon soin du lecteur,
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet$une $▸$il y a sept autres relations formées à partir de ${\left(\frac{\partial \psi }{\partial x}\right)}_{z,t}(x_0,z_0,t_0)$ avec $\left\{\begin{array}{c}{\left(\frac{\partial \phi }{\partial t}\right)}_{y,z}(y_0,z_0,t_0)\\ {\left(\frac{\partial \tau }{\partial y}\right)}_{x,z}(x_0,y_0,z_0)\end{array}\right\}$ ou
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet$une $▸$il y a sept autres relations formées à partir de ${\left(\frac{\partial \psi }{\partial z}\right)}_{x,t}(x_0,z_0,t_0)$ avec $\left\{\begin{array}{c}{\left(\frac{\partial \zeta }{\partial x}\right)}_{y,t}(x_0,y_0,t_0)\\ {\left(\frac{\partial \phi }{\partial y}\right)}_{z,t}(y_0,z_0,t_0)\end{array}\right\}$ ou
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet$une $▸$il y a sept autres relations formées à partir de ${\left(\frac{\partial \psi }{\partial z}\right)}_{x,t}(x_0,z_0,t_0)$ avec $\left\{\begin{array}{c}{\left(\frac{\partial \zeta }{\partial t}\right)}_{x,y}(x_0,y_0,t_0)\\ {\left(\frac{\partial \tau }{\partial y}\right)}_{x,z}(x_0,y_0,z_0)\end{array}\right\}$ ou
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet$une $▸$il y a sept autres relations formées à partir de ${\left(\frac{\partial \psi }{\partial t}\right)}_{x,z}(x_0,z_0,t_0)$ avec $\left\{\begin{array}{c}{\left(\frac{\partial \tau }{\partial x}\right)}_{y,z}(x_0,y_0,z_0)\\ {\left(\frac{\partial \phi }{\partial y}\right)}_{z,t}(y_0,z_0,t_0)\end{array}\right\}$ ou
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet$une $▸$il y a sept autres relations formées à partir de ${\left(\frac{\partial \psi }{\partial t}\right)}_{x,z}(x_0,z_0,t_0)$ avec $\left\{\begin{array}{c}{\left(\frac{\partial \tau }{\partial z}\right)}_{x,y}(x_0,y_0,z_0)\\ {\left(\frac{\partial \zeta }{\partial y}\right)}_{x,t}(x_0,y_0,t_0)\end{array}\right\}$ ou
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet$une $▸$il y a sept autres relations formées à partir de ${\left(\frac{\partial \phi }{\partial z}\right)}_{y,t}(y_0,z_0,t_0)$ avec $\left\{\begin{array}{c}{\left(\frac{\partial \zeta }{\partial t}\right)}_{x,y}(x_0,y_0,t_0)\\ {\left(\frac{\partial \tau }{\partial x}\right)}_{y,z}(x_0,y_0,z_0)\end{array}\right\}$ ou
             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : $\bullet$une $▸$il y a sept autres relations formées à partir de ${\left(\frac{\partial \phi }{\partial t}\right)}_{y,z}(y_0,z_0,t_0)$ avec $\left\{\begin{array}{c}{\left(\frac{\partial \tau }{\partial z}\right)}_{x,y}(x_0,y_0,z_0)\\ {\left(\frac{\partial \zeta }{\partial x}\right)}_{y,t}(x_0,y_0,t_0)\end{array}\right\}$.

Dérivées partielles premières d'une fonction implicite entre plus de quatre variables réelles

     Soit l'équation implicite $f(x_1,\mathrm{..},x_i,\mathrm{..},x_n)=0$ des $n$ variables réelles $x_1,\dots ,x_i,\dots ,x_n$ avec $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\mathrm{\setminus }\left[[1,4]\right]$ avec $f$ continue et différentiable en $(x_{1,0},\mathrm{..},x_{i,0},\mathrm{..},x_{n,0})$ et
     Soit les $n$ fonctions implicites “${\phi }_1:(x_2,\mathrm{..},x_j,\mathrm{..},x_n)\stackrel{{\phi }_1}{\to }{x}_1$”, $\dots$, “${\phi }_i:(x_1,\mathrm{..},x_{i-1},x_{i+1}\mathrm{..},x_n)\stackrel{{\phi }_i}{\to }{x}_i$”, $\dots$, “${\phi }_n:(x_1,\mathrm{..},x_j,x_{n-1})\stackrel{{\phi }_n}{\to }{x}_n$”
     Soit les $n$ fonctions implicites continues et différentiables respectivement en $(x_{2,0},\mathrm{..},x_{j,0},\mathrm{..},x_{n,0})$, $\dots$, $(x_{1,0},\mathrm{..},x_{i-1,0},x_{i+1,0}\mathrm{..},x_{n,0})$, $\dots$, $(x_{1,0},\mathrm{..},x_{j,0},\mathrm{..},x_{n-1,0})$,
     Soit la dérivée partielle 1^ère de la fonction implicite ${\phi }_i:(x_1,\mathrm{..},x_{i-1},x_{i+1}\mathrm{..},x_n)\stackrel{{\phi }_i}{\to }{x}_i$ par rapport à $x_j$, les $n-2$ autres variables figées, évaluée en $(x_{1,0},\mathrm{..},x_{i-1,0},x_{i+1,0}\mathrm{..},x_{n,0})$
      Soit la dérivée partielle 1^ère de la fonction implicite ${\phi }_i$ peut se déterminer à l'aide de «$\frac{\partial {\phi }_i}{\partial x_j}(x_{1,0},\mathrm{..},x_{i-1,0},x_{i+1,0}\mathrm{..},x_{n,0})=-\frac{\frac{\partial f}{\partial x_j}(x_{1,0},\mathrm{..},x_{i,0},\mathrm{..},x_{n,0})}{\frac{\partial f}{\partial x_i}(x_{1,0},\mathrm{..},x_{i,0},\mathrm{..},x_{n,0})}$»,
      Soit la dérivée partielle 1^ère de la fonction implicite ${\phi }_i$ cette relation nécessitant que la dérivée partielle 1^ère de $f$ par rapport à $x_i$, les $n-1$ autres variables figées,
      Soit la dérivée partielle 1^ère de la fonction implicite ${\phi }_i$ cette relation nécessitant que la dérivée partielle 1^ère de $f$ par rapport à $x_i$, évaluée en $(x_{1,0},\mathrm{..},x_{i,0},\mathrm{..},x_{n,0})$ soit non nulle c.-à-d.
      Soit la dérivée partielle 1^ère de la fonction implicite ${\phi }_i$ cette relation nécessitant que «$\frac{\partial f}{\partial x_i}(x_{1,0},\mathrm{..},x_{i,0},\mathrm{..},x_{n,0})\ne 0$».

     Liens entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : « les fonctions implicites “${\phi }_1:(x_2,\mathrm{..},x_j,\mathrm{..},x_n)\stackrel{{\phi }_1}{\to }{x}_1$”, $\dots$, “${\phi }_i:(x_1,\mathrm{..},x_{i-1},x_{i+1}\mathrm{..},x_n)\stackrel{{\phi }_i}{\to }{x}_i$”,
      Liens entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : « les fonctions implicites “${\phi }_1:(x_2,\mathrm{..},x_j,\mathrm{..},x_n)\stackrel{{\phi }_1}{\to }{x}_1$”, $\dots$, “${\phi }_n:(x_1,\mathrm{..},x_j,x_{n-1})\stackrel{{\phi }_n}{\to }{x}_n$” solutions
      Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : « les fonctions implicites “ de l'équation implicite $f(x_1,\mathrm{..},x_i,\mathrm{..},x_n)=0$ pour laquelle $f$ est une fonction
       Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : « les fonctions implicites “ de l'équation implicite continue et différentiable en $(x_{1,0},\mathrm{..},x_{i,0},\mathrm{..},x_{n,0})$»
      Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : « les fonctions implicites “ étant elles-mêmes continues et différentiables au point d'application étudié
      Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : « ont des dérivées partielles 1^ères liées entre elles de multiple façon et, en particulier, globalement
      Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : « il y a «$(n-1)!$ liens entre les dérivées partielles judicieusement choisies des $n$ fonctions implicites de
            Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : « il y a «$(n-1)!$ liens entre les dérivées partielles l'équation implicite $f(x_1,\mathrm{..},x_i,\mathrm{..},x_n)=0$» soit
      Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : «$\prod _{k=1\mathrm{..}n}\frac{\partial {\phi }_{{\sigma }^{k-1}(1)}}{\partial x_{{\sigma }^k(1)}}=(-1{)}^n$» où $\sigma$ une permutation de $S_n$ avec
                                                             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : « » où ${\sigma }^k$ la puissance k de la permutation $\sigma$ telle que $\left\{\begin{array}{c}{\sigma }^0(1)=1\\ {\sigma }^n(1)=1\end{array}\right\}$ et
                                                             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : « » où $\sigma$ telle que «$\sigma (1)$ est $\ne 1$» et
                                                             Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : « » où $\sigma$ telle que «${\sigma }^k(1)\notin \{1,\mathrm{..}\sigma (1),\mathrm{..}{\sigma }^{k-1}(1)\}$ $\mathrm{\forall }k\in \left[[1,n]\right]$»,
      Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : « sous la condition qu'« aucune des dérivées partielles 1^ères de $f$ ne s'annule en $(x_{1,0},\mathrm{..},x_{i,0},\mathrm{..},x_{n,0})$».

Théorème des fonctions implicites

Théorème des fonctions implicites en dimension deux

     Préliminaire : Le théorème des fonctions implicites en dimension deux précise à quelles conditions une équation implicite $f(x,y)=0$ des variables réelles $x$ et $y$ peut être résolue c.-à-d.
     Préliminaire : Le théorème des fonctions implicites en dimension deux précise à quelles conditions il est possible d'exprimer une des variables $x$ $($ou $y)$ en fonction de l'autre $y$ $($ou $x)$
     Préliminaire : Le théorème des fonctions implicites en dimension deux précise à quelles conditions il est possible d'exprimer pour tous les couples $(x,y)$ vérifiant l'équation.

Énoncé

Début d’un théorème

Théorème des fonctions implicites en dimension deux

     Soit «$f$ une fonction réelle de classe C^p $(p\in {\mathbb{N}}^{\ast })$ définie sur un ouvert $U$ de ${ℝ}^2$» et
     Soit «$(x_0,y_0)$ un point de $U$ tel que $f(x_0,y_0)=0$ et
     Soit «$(x_0,y_0)$ un point de $U$ tel que la dérivée partielle 1^ère de $f$ par rapport à $y$ $($à $x$ figée$)$ y soit non nulle c.-à-d.
     Soit «$(x_0,y_0)$ un point de $U$ tel que ${\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_x(x_0,y_0)\ne 0$»,
     il existe une fonction réelle $\psi$ de classe C^p, définie sur un intervalle ouvert réel $V\ni x_0$ et
     il existe un voisinage ouvert de $(x_0,y_0)$ dans $U$, noté $\Omega$,
     il existe tels que «$\mathrm{\forall }(x,y)\in \mathrm{\Omega }\text{et}f(x,y)=0$» $\iff$ «$x\in V\text{et}y=\psi (x)$»,
     il existe tels que «$\psi$ définissant une fonction implicite solution de l'équation implicite $f(x,y)=0$».

Fin du théorème

Début d’un théorème

Théorème des fonctions implicites en dimension deux (autre version)

     Soit «$f$ une fonction réelle de classe C^p $(p\in {\mathbb{N}}^{\ast })$ définie sur un ouvert $U$ de ${ℝ}^2$» et
     Soit «$(x_0,y_0)$ un point de $U$ tel que $f(x_0,y_0)=0$ et
     Soit «$(x_0,y_0)$ un point de $U$ tel que la dérivée partielle 1^ère de $f$ par rapport à $x$ $($à $y$ figée$)$ y soit non nulle c.-à-d.
     Soit «$(x_0,y_0)$ un point de $U$ tel que ${\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_y(x_0,y_0)\ne 0$»,
     il existe une fonction réelle $\phi$ de classe C^p, définie sur un intervalle ouvert réel $V^{\prime }\ni y_0$ et
     il existe un voisinage ouvert de $(x_0,y_0)$ dans $U$, noté ${\mathrm{\Omega }}^{\prime }$,
     il existe tels que «$\mathrm{\forall }(x,y)\in {\mathrm{\Omega }}^{\prime }\text{et}f(x,y)=0$» $\iff$ «$y\in V^{\prime }\text{et}x=\phi (y)$»,
     il existe tels que «$\phi$ définissant une fonction implicite solution de l'équation implicite $f(x,y)=0$».

Fin du théorème

     Remarque : nous admettons le théorème des fonctions implicites en dimension deux dans l'une ou l'autre version énoncée ci-dessus.

Exemples d'application

     Retour sur l'équation implicite «$x^2+y^2-1=0$» équation cartésienne $f(x,y)=0$ du cercle trigonométrique :
     Retour sur l'équation implicite «$x^2+y^2-1=0$» $\bullet$en tout point d'abscisse $x\in ]-1,+1[$ il existe deux valeurs de $y$ possibles de signe contraire, aussi on considère deux ouverts de ${ℝ}^2$ disjoints
     Retour sur l'équation implicite «$x^2+y^2-1=0$» $\bullet$en tout point d'abscisse $x\in ]-1,+1[$ il existe deux valeurs de $y$ possibles de signe contraire, aussi $U_{+}=\{x\in ]-1,+1[,y>0\}$ et
     Retour sur l'équation implicite «$x^2+y^2-1=0$» $\bullet$en tout point d'abscisse $x\in ]-1,+1[$ il existe deux valeurs de $y$ possibles de signe contraire, aussi $U_{-}=\{x\in ]-1,+1[,y<0\}$ pour
     Retour sur l'équation implicite «$x^2+y^2-1=0$» $\bullet$en tout point d'abscisse $x\in ]-1,+1[$ appliquer, sur chacun d'eux, le théorème des fonctions implicites en dimension deux :
     Retour sur l'équation implicite «$x^2+y^2-1=0$» $\bullet$en tout point d'abscisse $x\in ]-1,+1[$ appliquer, pour $(x_0,y_0)\in U_{+}$, $f(x_0,y_0)=0$ et ${\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_x(x_0,y_0)=2y_0\ne 0$ $\Rightarrow$ il existe
      Retour sur l'équation implicite «$x^2+y^2-1=0$» $\bullet$en tout point d'abscisse $x\in ]-1,+1[$ appliquer, pour $(x_0,y_0)\in U_{+}$, une fonction réelle ${\psi }_{+}$ de classe C^p, définie sur $]-1,+1[$ et
      Retour sur l'équation implicite «$x^2+y^2-1=0$» $\bullet$en tout point d'abscisse $x\in ]-1,+1[$ appliquer, pour $(x_0,y_0)\in U_{+}$, un voisinage ouvert de $(x_0,y_0)$ dans $U_{+}$, noté ${\Omega }_{+}$, tels que
      Retour sur l'équation implicite «$x^2+y^2-1=0$» $\bullet$en tout point d'abscisse $x\in ]-1,+1[$ appliquer, pour $(x_0,y_0)\in U_{+}$, «$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\forall }(x,y)\in {\mathrm{\Omega }}_{+}\\ \text{et}f(x,y)=0\end{array}\right\}$» $\iff$ «$\left\{\begin{array}{c}x\in ]-1,+1[\text{et}\\ y={\psi }_{+}(x)=\sqrt{1-x^2}\end{array}\right\}$»,
      Retour sur l'équation implicite «$x^2+y^2-1=0$» $\bullet$en tout point d'abscisse $x\in ]-1,+1[$ appliquer, pour $(x_0,y_0)\in U_{+}$, «$\frac{d{\psi }_{+}}{dx}(x)=-\frac{{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_y(x,y)}{{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_x(x,y)}=-\frac{2x}{2y}=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$»,
     Retour sur l'équation implicite «$x^2+y^2-1=0$» $\bullet$en tout point d'abscisse $x\in ]-1,+1[$ appliquer, pour $(x_0,y_0)\in U_{-}$, $f(x_0,y_0)=0$ et ${\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_x(x_0,y_0)=2y_0\ne 0$ $\Rightarrow$ il existe
      Retour sur l'équation implicite «$x^2+y^2-1=0$» $\bullet$en tout point d'abscisse $x\in ]-1,+1[$ appliquer, pour $(x_0,y_0)\in U_{-}$, une fonction réelle ${\psi }_{-}$ de classe C^p, définie sur $]-1,+1[$ et
      Retour sur l'équation implicite «$x^2+y^2-1=0$» $\bullet$en tout point d'abscisse $x\in ]-1,+1[$ appliquer, pour $(x_0,y_0)\in U_{-}$, un voisinage ouvert de $(x_0,y_0)$ dans $U_{-}$, noté ${\Omega }_{-}$, tels que
      Retour sur l'équation implicite «$x^2+y^2-1=0$» $\bullet$en tout point d'abscisse $x\in ]-1,+1[$ appliquer, pour $(x_0,y_0)\in U_{-}$, «$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\forall }(x,y)\in {\mathrm{\Omega }}_{-}\\ \text{et}f(x,y)=0\end{array}\right\}$» $\iff$ «$\left\{\begin{array}{c}x\in ]-1,+1[\text{et}\\ y={\psi }_{-}(x)=-\sqrt{1-x^2}\end{array}\right\}$»
      Retour sur l'équation implicite «$x^2+y^2-1=0$» $\bullet$en tout point d'abscisse $x\in ]-1,+1[$ appliquer, pour $(x_0,y_0)\in U_{-}$, «$\frac{d{\psi }_{-}}{dx}(x)=-\frac{{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_y(x,y)}{{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_x(x,y)}=-\frac{2x}{2y}=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$» ;
     Retour sur l'équation implicite «$x^2+y^2-1=0$» $\bullet$en tout point d'ordonnée $y\in ]-1,+1[$ il existe deux valeurs de $x$ possibles de signe contraire, aussi on considère deux ouverts de ${ℝ}^2$ disjoints
     Retour sur l'équation implicite «$x^2+y^2-1=0$» $\bullet$en tout point d'ordonnée $y\in ]-1,+1[$ il existe deux valeurs de $x$ possibles de signe contraire, aussi ${U^{\prime }}_{+}=\{y\in ]-1,+1[,x>0\}$ et
     Retour sur l'équation implicite «$x^2+y^2-1=0$» $\bullet$en tout point d'ordonnée $y\in ]-1,+1[$ il existe deux valeurs de $x$ possibles de signe contraire, aussi ${U^{\prime }}_{!-}=\{y\in ]-1,+1[,x<0\}$ pour
     Retour sur l'équation implicite «$x^2+y^2-1=0$» $\bullet$en tout point d'ordonnée $y\in ]-1,+1[$ appliquer, sur chacun d'eux, le théorème des fonctions implicites en dimension deux :
     Retour sur l'équation implicite «$x^2+y^2-1=0$» $\bullet$en tout point d'ordonnée $y\in ]-1,+1[$ appliquer, pour $(x_0,y_0)\in {U^{\prime }}_{+}$, $f(x_0,y_0)=0$ et ${\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_y(x_0,y_0)=2x_0\ne 0$ $\Rightarrow$ il existe
      Retour sur l'équation implicite «$x^2+y^2-1=0$» $\bullet$en tout point d'ordonnée $y\in ]-1,+1[$ appliquer, pour $(x_0,y_0)\in {U^{\prime }}_{+}$, une fonction réelle ${\phi }_{+}$ de classe C^p, définie sur $]-1,+1[$ et
      Retour sur l'équation implicite «$x^2+y^2-1=0$» $\bullet$en tout point d'ordonnée $y\in ]-1,+1[$ appliquer, pour $(x_0,y_0)\in {U^{\prime }}_{+}$, un voisinage ouvert de $(x_0,y_0)$ dans ${U^{\prime }}_{+}$, noté ${{\mathrm{\Omega }}^{\prime }}_{+}$, tels que
      Retour sur l'équation implicite «$x^2+y^2-1=0$» $\bullet$en tout point d'ordonnée $y\in ]-1,+1[$ appliquer, pour $(x_0,y_0)\in {U^{\prime }}_{+}$, «$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\forall }(x,y)\in {{\mathrm{\Omega }}^{\prime }}_{+}\\ \text{et}f(x,y)=0\end{array}\right\}$» $\iff$ «$\left\{\begin{array}{c}y\in ]-1,+1[\text{et}\\ y={\phi }_{+}(y)=\sqrt{1-y^2}\end{array}\right\}$»,
      Retour sur l'équation implicite «$x^2+y^2-1=0$» $\bullet$en tout point d'ordonnée $y\in ]-1,+1[$ appliquer, pour $(x_0,y_0)\in {U^{\prime }}_{+}$, «$\frac{d{\phi }_{+}}{dy}(y)=-\frac{{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_x(x,y)}{{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_y(x,y)}=-\frac{2y}{2x}=-\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}$»,
     Retour sur l'équation implicite «$x^2+y^2-1=0$» $\bullet$en tout point d'ordonnée $y\in ]-1,+1[$ appliquer, pour $(x_0,y_0)\in {U^{\prime }}_{-}$, $f(x_0,y_0)=0$ et ${\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_y(x_0,y_0)=2x_0\ne 0$ $\Rightarrow$ il existe
      Retour sur l'équation implicite «$x^2+y^2-1=0$» $\bullet$en tout point d'ordonnée $y\in ]-1,+1[$ appliquer, pour $(x_0,y_0)\in {U^{\prime }}_{-}$, une fonction réelle ${\phi }_{-}$ de classe C^p, définie sur $]-1,+1[$ et
      Retour sur l'équation implicite «$x^2+y^2-1=0$» $\bullet$en tout point d'ordonnée $y\in ]-1,+1[$ appliquer, pour $(x_0,y_0)\in {U^{\prime }}_{-}$, un voisinage ouvert de $(x_0,y_0)$ dans ${U^{\prime }}_{-}$, noté ${{\mathrm{\Omega }}^{\prime }}_{-}$, tels que
      Retour sur l'équation implicite «$x^2+y^2-1=0$» $\bullet$en tout point d'ordonnée $y\in ]-1,+1[$ appliquer, pour $(x_0,y_0)\in {U^{\prime }}_{-}$, «$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\forall }(x,y)\in {{\mathrm{\Omega }}^{\prime }}_{-}\\ \text{et}f(x,y)=0\end{array}\right\}$» $\iff$ «$\left\{\begin{array}{c}y\in ]-1,+1[\text{et}\\ x={\phi }_{-}(y)=-\sqrt{1-y^2}\end{array}\right\}$»
      Retour sur l'équation implicite «$x^2+y^2-1=0$» $\bullet$en tout point d'ordonnée $y\in ]-1,+1[$ appliquer, pour $(x_0,y_0)\in {U^{\prime }}_{-}$, «$\frac{d{\phi }_{-}}{dy}(y)=-\frac{{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_x(x,y)}{{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_y(x,y)}=-\frac{2y}{2x}=\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}$».
     Retour sur l'équation implicite «$x^2+y^2-1=0$» $\bullet$Remarques : $\succ$aux points d'abscisse $x_{+}=+1$ ou $x_{-}=-1$, il existe une seule valeur de $y$ possible $y_d=0$, mais
     Retour sur l'équation implicite «$x^2+y^2-1=0$» $\bullet$Remarques : $\succ$aux points d'abscisse $x_{+}=+1$ ou $x_{-}=-1$, dans tout ouvert contenant l'un ou l'autre ${\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_x(x_{\pm },y_d)=2y_d=0$ $\Rightarrow$
     Retour sur l'équation implicite «$x^2+y^2-1=0$» $\bullet$Remarques : $\succ$aux points d'abscisse $x_{+}=+1$ ou $x_{-}=-1$ le théorème des fonctions implicites en dimension deux ne peut s'y appliquer ;
     Retour sur l'équation implicite «$x^2+y^2-1=0$» $\bullet$Remarques : $\succ$aux points d'ordonnée $y_{+}=+1$ ou $y_{-}=-1$, il existe une seule valeur de $x$ possible $x_d=0$, mais
     Retour sur l'équation implicite «$x^2+y^2-1=0$» $\bullet$Remarques : $\succ$aux points d'ordonnée $y_{+}=+1$ ou $y_{-}=-1$, dans tout ouvert contenant l'un ou l'autre ${\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_y(x_d,y_{\pm })=2x_d=0$ $\Rightarrow$
     Retour sur l'équation implicite «$x^2+y^2-1=0$» $\bullet$Remarques : $\succ$aux points d'ordonnée $y_{+}=+1$ ou $y_{-}=-1$ le théorème des fonctions implicites en dimension deux ne peut s'y appliquer.

     Remarque : le lecteur pourra constater par lui-même, sur les autres exemples du paragraphe « exemples de fonctions implicites entre deux variables réelles » présentés plus haut dans ce chapitre,
     Remarque : le lecteur pourra constater par lui-même, que les conditions d'application du théorème des fonctions implicites en dimension deux sont vérifiées $\dots$

Théorème des fonctions implicites en dimension trois

     Préliminaire : Le théorème des fonctions implicites en dimension trois précise à quelles conditions une équation implicite $f(x,y,|,z)=0$ des variables réelles $x$, $y$ et $z$ peut être résolue c.-à-d.
     Préliminaire : Le théorème des fonctions implicites en dimension trois précise à quelles conditions on peut exprimer une des variables $x$ $\{$ou $y$ ou $z\}$ en fonction des deux autres $(y,z)$
     Préliminaire : Le théorème des fonctions implicites en dimension trois précise à quelles conditions on peut exprimer une des variables $x$ $\{$ou $y$ ou $z\}$ en fonction de $\{$ou $(x,z)$ ou $(x,y)\}$
     Préliminaire : Le théorème des fonctions implicites en dimension trois précise à quelles conditions on peut exprimer pour tous les triplets $(x,y,z)$ vérifiant l'équation ;
     Préliminaire : il existe d'autres formulations $($ou utilisations$)$ de ce théorème que nous n'évoquerons pas.

Énoncé

Début d’un théorème

Théorème des fonctions implicites en dimension trois

     Soit «$f$ une fonction réelle de classe C^p $(p\in {\mathbb{N}}^{\ast })$ définie sur un ouvert $U$ de ${ℝ}^3$» et
     Soit «$(x_0,y_0,z_0)$ un point de $U$ tel que $f(x_0,y_0,z_0)=0$ et
     Soit «$(x_0,y_0,z_0)$ un point de $U$ tel que la dérivée partielle 1^ère de $f$ par rapport à $y$ $($à $x$ et $z$ figées$)$ y soit non nulle c.-à-d.
     Soit «$(x_0,y_0,z_0)$ un point de $U$ tel que ${\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_{x,z}(x_0,y_0,z_0)\ne 0$»,
     il existe une fonction réelle $\psi$ de classe C^p, définie sur un intervalle ouvert de ${ℝ}^2$ noté $V\ni (x_0,z_0)$ et
     il existe un voisinage ouvert de $(x_0,y_0,z_0)$ dans $U$, noté $\Omega$,
     il existe tels que «$\mathrm{\forall }(x,y,z)\in \mathrm{\Omega }\text{et}f(x,y,z)=0$» $\iff$ «$(x,z)\in V\text{et}y=\psi (x,z)$»,
     il existe tels que «$\psi$ définissant une fonction implicite solution de l'équation implicite $f(x,y,z)=0$».

Fin du théorème

Début d’un théorème

Théorème des fonctions implicites en dimension trois (1^ère autre version)

     Soit «$f$ une fonction réelle de classe C^p $(p\in {\mathbb{N}}^{\ast })$ définie sur un ouvert $U$ de ${ℝ}^3$» et
     Soit «$(x_0,y_0,z_0)$ un point de $U$ tel que $f(x_0,y_0,z_0)=0$ et
     Soit «$(x_0,y_0,z_0)$ un point de $U$ tel que la dérivée partielle 1^ère de $f$ par rapport à $x$ $($à $y$ et $z$ figées$)$ y soit non nulle c.-à-d.
     Soit «$(x_0,y_0,z_0)$ un point de $U$ tel que ${\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_{y,z}(x_0,y_0,z_0)\ne 0$»,
     il existe une fonction réelle $\phi$ de classe C^p, définie sur un intervalle ouvert ${ℝ}^2$ noté $V^{\prime }\ni (y_0,z_0)$ et
     il existe un voisinage ouvert de $(x_0,y_0,z_0)$ dans $U$, noté ${\mathrm{\Omega }}^{\prime }$,
     il existe tels que «$\mathrm{\forall }(x,y,z)\in {\mathrm{\Omega }}^{\prime }\text{et}f(x,y,z)=0$» $\iff$ «$(y,z)\in V^{\prime }\text{et}x=\phi (y,z)$»,
     il existe tels que «$\phi$ définissant une fonction implicite solution de l'équation implicite $f(x,y,z)=0$».

Fin du théorème

Début d’un théorème

Théorème des fonctions implicites en dimension trois (2^ème autre version)

     Soit «$f$ une fonction réelle de classe C^p $(p\in {\mathbb{N}}^{\ast })$ définie sur un ouvert $U$ de ${ℝ}^3$» et
     Soit «$(x_0,y_0,z_0)$ un point de $U$ tel que $f(x_0,y_0,z_0)=0$ et
     Soit «$(x_0,y_0,z_0)$ un point de $U$ tel que la dérivée partielle 1^ère de $f$ par rapport à $z$ $($à $x$ et $y$ figées$)$ y soit non nulle c.-à-d.
     Soit «$(x_0,y_0,z_0)$ un point de $U$ tel que ${\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)}_{x,y}(x_0,y_0,z_0)\ne 0$»,
     il existe une fonction réelle $\zeta$ de classe C^p, définie sur un intervalle ouvert ${ℝ}^2$ noté $V^{″}\ni (x_0,y_0)$ et
     il existe un voisinage ouvert de $(x_0,y_0,z_0)$ dans $U$, noté ${\mathrm{\Omega }}^{″}$,
     il existe tels que «$\mathrm{\forall }(x,y,z)\in {\mathrm{\Omega }}^{″}\text{et}f(x,y,z)=0$» $\iff$ «$(x,y)\in V^{″}\text{et}z=\zeta (x,y)$»,
     il existe tels que «$\zeta$ définissant une fonction implicite solution de l'équation implicite $f(x,y,z)=0$».

Fin du théorème

     Remarque : nous admettons le théorème des fonctions implicites en dimension trois dans chaque version énoncée ci-dessus.

Exemples d'application

     Retour sur l'équation implicite «$\frac{x^2}{a{\text{'}}^2}+\frac{y^2}{b{\text{'}}^2}-\frac{z^2}{c{\text{'}}^2}-1=0$» équation cartésienne $f(x,y,z)=0$ de l'hyperboloïde à une nappe de centre $O$, d'axes $x^{\prime }x$, $y^{\prime }y$ et $z^{\prime }z$
       Retour sur l'équation implicite «$x^2+y^2-z^2-1=0$» équation cartésienne $f(x,y,z)=0$ de avec $a^{\prime }$, $b^{\prime }$ et $c^{\prime }$ les demi-axes, l'hyperboloïde étant connexe :
         Retour sur l'équation implicite «$x^2+y^2-z^2-1=0$» $\bullet$en tout point $(x\in ℝ,z\in {ℝ}^{\ast })$ il existe deux valeurs de $y$ possibles de signe contraire, aussi on considère
        Retour sur l'équation implicite «$x^2+y^2-z^2-1=0$» $\bullet$en tout point $(x\in ℝ,z\in {ℝ}^{\ast })$ deux ouverts de ${ℝ}^3$ disjoints $U_{+}=\{x\in ℝ,z\in {ℝ}^{\ast },y>0\}$ et
        Retour sur l'équation implicite «$x^2+y^2-z^2-1=0$» $\bullet$en tout point $(x\in ℝ,z\in {ℝ}^{\ast })$ deux ouverts de ${ℝ}^3$ disjoints $U_{-}=\{x\in ℝ,z\in {ℝ}^{\ast },y<0\}$ pour
        Retour sur l'équation implicite «$x^2+y^2-z^2-1=0$» $\bullet$en tout point $(x\in ℝ,z\in {ℝ}^{\ast })$ appliquer, sur chacun, le théorème des fonctions implicites en dimension trois :
           Retour sur l'équation implicite «$x^2+y^2-z^2-1=0$» $\bullet$en tout point pour $(x_0,y_0,z_0)\in U_{+}$, $f(x_0,y_0,z_0)=0$ et ${\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_{x,z}(x_0,y_0,z_0)=\frac{2y_0}{b{\text{'}}^2}\ne 0$ $\Rightarrow$ il existe
             Retour sur l'équation implicite «$x^2+y^2-z^2-1=0$» $\bullet$en tout point pour $(x_0,y_0,z_0)\in U_{+}$, une fonction réelle ${\psi }_{+}(x,z)$ de classe C^p, définie sur $ℝ\times {ℝ}^{\ast }$ et
             Retour sur l'équation implicite «$x^2+y^2-z^2-1=0$» $\bullet$en tout point pour $(x_0,y_0,z_0)\in U_{+}$, un voisinage ouvert de $(x_0,y_0,z_0)$ dans $U_{+}$, noté ${\Omega }_{+}$, tels que
             Retour sur l'équation implicite «$x^2+y^2-z^2-1=0$» $\bullet$en tout point pour $(x_0,y_0,z_0)\in U_{+}$, «$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\forall }(x,y,z)\in {\mathrm{\Omega }}_{+}\\ \text{et}f(x,y,z)=0\end{array}\right\}$» $\iff$ «$\left\{\begin{array}{c}x\in ℝ,z\in {ℝ}^{\ast }\text{et}\\ y={\psi }_{+}(x,z)=b^{\prime }\sqrt{1-\frac{x^2}{a{\text{'}}^2}+\frac{z^2}{c{\text{'}}^2}}\end{array}\right\}$»,
             Retour sur l'équation implicite «$x^2+y^2-z^2-1=0$» $\bullet$en tout point pour $(x_0,y_0,z_0)\in U_{+}$, «${\left(\frac{\partial {\psi }_{+}}{\partial x}\right)}_z(x,z)=-\frac{{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_{y,z}(x,y,z)}{{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_{x,z}(x,y,z)}=-\frac{\frac{2x}{a{\text{'}}^2}}{\frac{2y}{b{\text{'}}^2}}=-\frac{b^{\prime }}{a{\text{'}}^2}\frac{x}{\sqrt{1-\frac{x^2}{a{\text{'}}^2}+\frac{z^2}{c{\text{'}}^2}}}$» et
             Retour sur l'équation implicite «$x^2+y^2-z^2-1=0$» $\bullet$en tout point pour $(x_0,y_0,z_0)\in U_{+}$, «${\left(\frac{\partial {\psi }_{+}}{\partial z}\right)}_x(x,z)=-\frac{{\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)}_{x,y}(x,y,z)}{{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_{x,z}(x,y,z)}=-\frac{\frac{-2z}{c{\text{'}}^2}}{\frac{2y}{b{\text{'}}^2}}=\frac{b^{\prime }}{c{\text{'}}^2}\frac{z}{\sqrt{1-\frac{x^2}{a{\text{'}}^2}+\frac{z^2}{c{\text{'}}^2}}}$»,
           Retour sur l'équation implicite «$x^2+y^2-z^2-1=0$» $\bullet$en tout point pour $(x_0,y_0,z_0)\in U_{-}$, $f(x_0,y_0,z_0)=0$ et ${\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_{x,z}(x_0,y_0,z_0)=\frac{2y_0}{b{\text{'}}^2}\ne 0$ $\Rightarrow$ il existe
             Retour sur l'équation implicite «$x^2+y^2-z^2-1=0$» $\bullet$en tout point pour $(x_0,y_0,z_0)\in U_{-}$, une fonction réelle ${\psi }_{-}(x,z)$ de classe C^p, définie sur $ℝ\times {ℝ}^{\ast }$ et
             Retour sur l'équation implicite «$x^2+y^2-z^2-1=0$» $\bullet$en tout point pour $(x_0,y_0,z_0)\in U_{-}$, un voisinage ouvert de $(x_0,y_0,z_0)$ dans $U_{-}$, noté ${\Omega }_{-}$, tels que
             Retour sur l'équation implicite «$x^2+y^2-z^2-1=0$» $\bullet$en tout point pour $(x_0,y_0,z_0)\in U_{-}$, «$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\forall }(x,y,z)\in {\mathrm{\Omega }}_{-}\\ \text{et}f(x,y,z)=0\end{array}\right\}$» $\iff$ «$\left\{\begin{array}{c}x\in ℝ,z\in {ℝ}^{\ast }\text{et}\\ y={\psi }_{-}(x,z)=-b^{\prime }\sqrt{1-\frac{x^2}{a{\text{'}}^2}+\frac{z^2}{c{\text{'}}^2}}\end{array}\right\}$»,
             Retour sur l'équation implicite «$x^2+y^2-z^2-1=0$» $\bullet$en tout point pour $(x_0,y_0,z_0)\in U_{-}$, «${\left(\frac{\partial {\psi }_{-}}{\partial x}\right)}_z(x,z)=-\frac{{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_{y,z}(x,y,z)}{{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_{x,z}(x,y,z)}=-\frac{\frac{2x}{a{\text{'}}^2}}{\frac{2y}{b{\text{'}}^2}}=\frac{b^{\prime }}{a{\text{'}}^2}\frac{x}{\sqrt{1-\frac{x^2}{a{\text{'}}^2}+\frac{z^2}{c{\text{'}}^2}}}$» et
             Retour sur l'équation implicite «$x^2+y^2-z^2-1=0$» $\bullet$en tout point pour $(x_0,y_0,z_0)\in U_{-}$, «${\left(\frac{\partial {\psi }_{-}}{\partial z}\right)}_x(x,z)=-\frac{{\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)}_{x,y}(x,y,z)}{{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_{x,z}(x,y,z)}=-\frac{\frac{-2z}{c{\text{'}}^2}}{\frac{2y}{b{\text{'}}^2}}=-\frac{b^{\prime }}{c{\text{'}}^2}\frac{z}{\sqrt{1-\frac{x^2}{a{\text{'}}^2}+\frac{z^2}{c{\text{'}}^2}}}$»,
          Retour sur l'équation implicite «$x^2+y^2-z^2-1=0$» $\bullet$en tout point $(y\in ℝ,z\in {ℝ}^{\ast })$ il existe deux valeurs de $x$ possibles de signe contraire, aussi on considère
        Retour sur l'équation implicite «$x^2+y^2-z^2-1=0$» $\bullet$en tout point $(y\in ℝ,z\in {ℝ}^{\ast })$ deux ouverts de ${ℝ}^3$ disjoints ${U^{\prime }}_{+}=\{y\in ]-\mathrm{\infty },-b^{\prime }]\cup [+b^{\prime },+\mathrm{\infty }[,z\in {ℝ}^{\ast },x>0\}$ et
       Retour sur l'équation implicite «$x^2+y^2-z^2-1=0$» $\bullet$en tout point $(y\in ℝ,z\in {ℝ}^{\ast })$ deux ouverts disjoints ${U^{\prime }}_{-}=\{y\in ]-\mathrm{\infty },-b^{\prime }]\cup [+b^{\prime },+\mathrm{\infty }[,z\in {ℝ}^{\ast },x<0\}$ pour
        Retour sur l'équation implicite «$x^2+y^2-z^2-1=0$» $\bullet$en tout point $(y\in ℝ,z\in {ℝ}^{\ast })$ appliquer, sur chacun, le théorème des fonctions implicites en dimension trois :
           Retour sur l'équation implicite «$x^2+y^2-z^2-1=0$» $\bullet$en tout point pour $(x_0,y_0,z_0)\in {U^{\prime }}_{+}$, $f(x_0,y_0,z_0)=0$ et ${\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_{y,z}(x_0,y_0,z_0)=\frac{2x_0}{a{\text{'}}^2}\ne 0$ $\Rightarrow$ il existe
             Retour sur l'équation implicite «$x^2+y^2-z^2-1=0$» $\bullet$en tout point pour $(x_0,y_0,z_0)\in {U^{\prime }}_{+}$, une fonction réelle ${\phi }_{+}(y,z)$ de classe C^p, définie sur $ℝ\times {ℝ}^{\ast }$ et
             Retour sur l'équation implicite «$x^2+y^2-z^2-1=0$» $\bullet$en tout point pour $(x_0,y_0,z_0)\in {U^{\prime }}_{+}$, un voisinage ouvert de $(x_0,y_0,z_0)$ dans ${U^{\prime }}_{+}$, noté ${{\mathrm{\Omega }}^{\prime }}_{+}$, tels que
             Retour sur l'équation implicite «$x^2+y^2-z^2-1=0$» $\bullet$en tout point pour $(x_0,y_0,z_0)\in {U^{\prime }}_{+}$, «$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\forall }(x,y,z)\in {{\mathrm{\Omega }}^{\prime }}_{+}\\ \text{et}f(x,y,z)=0\end{array}\right\}$» $\iff$ «$\left\{\begin{array}{c}y\in ℝ,z\in {ℝ}^{\ast }\text{et}\\ x={\phi }_{+}(y,z)=a^{\prime }\sqrt{1-\frac{y^2}{b{\text{'}}^2}+\frac{z^2}{c{\text{'}}^2}}\end{array}\right\}$»,
             Retour sur l'équation implicite «$x^2+y^2-z^2-1=0$» $\bullet$en tout point pour $(x_0,y_0,z_0)\in {U^{\prime }}_{+}$, «${\left(\frac{\partial {\phi }_{+}}{\partial y}\right)}_z(y,z)=-\frac{{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_{x,z}(x,y,z)}{{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_{y,z}(x,y,z)}=-\frac{\frac{2y}{b{\text{'}}^2}}{\frac{2x}{a{\text{'}}^2}}=-\frac{a^{\prime }}{b{\text{'}}^2}\frac{y}{\sqrt{1-\frac{y^2}{b{\text{'}}^2}+\frac{z^2}{c{\text{'}}^2}}}$» et
             Retour sur l'équation implicite «$x^2+y^2-z^2-1=0$» $\bullet$en tout point pour $(x_0,y_0,z_0)\in {U^{\prime }}_{+}$, «${\left(\frac{\partial {\phi }_{+}}{\partial z}\right)}_y(y,z)=-\frac{{\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)}_{x,y}(x,y,z)}{{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_{y,z}(x,y,z)}=-\frac{\frac{-2z}{c{\text{'}}^2}}{\frac{2x}{a{\text{'}}^2}}=\frac{a^{\prime }}{c{\text{'}}^2}\frac{z}{\sqrt{1-\frac{y^2}{b{\text{'}}^2}+\frac{z^2}{c{\text{'}}^2}}}$»,
           Retour sur l'équation implicite «$x^2+y^2-z^2-1=0$» $\bullet$en tout point pour $(x_0,y_0,z_0)\in {U^{\prime }}_{-}$, $f(x_0,y_0,z_0)=0$ et ${\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_{y,z}(x_0,y_0,z_0)=\frac{2x_0}{b{\text{'}}^2}\ne 0$ $\Rightarrow$ il existe
             Retour sur l'équation implicite «$x^2+y^2-z^2-1=0$» $\bullet$en tout point pour $(x_0,y_0,z_0)\in {U^{\prime }}_{-}$, une fonction réelle ${\phi }_{-}(y,z)$ de classe C^p, définie sur $ℝ\times {ℝ}^{\ast }$ et
             Retour sur l'équation implicite «$x^2+y^2-z^2-1=0$» $\bullet$en tout point pour $(x_0,y_0,z_0)\in {U^{\prime }}_{-}$, un voisinage ouvert de $(x_0,y_0,z_0)$ dans ${U^{\prime }}_{-}$, noté ${{\mathrm{\Omega }}^{\prime }}_{-}$, tels que
             Retour sur l'équation implicite «$x^2+y^2-z^2-1=0$» $\bullet$en tout point pour $(x_0,y_0,z_0)\in {U^{\prime }}_{-}$, «$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\forall }(x,y,z)\in {{\mathrm{\Omega }}^{\prime }}_{-}\\ \text{et}f(x,y,z)=0\end{array}\right\}$» $\iff$ «$\left\{\begin{array}{c}y\in ℝ,z\in {ℝ}^{\ast };\text{et}\\ x={\phi }_{-}(y,z)=-a^{\prime }\sqrt{1-\frac{y^2}{b{\text{'}}^2}+\frac{z^2}{c{\text{'}}^2}}\end{array}\right\}$»,
             Retour sur l'équation implicite «$x^2+y^2-z^2-1=0$» $\bullet$en tout point pour $(x_0,y_0,z_0)\in {U^{\prime }}_{-}$, «${\left(\frac{\partial {\phi }_{-}}{\partial y}\right)}_z(y,z)=-\frac{{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_{x,z}(x,y,z)}{{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_{y,z}(x,y,z)}=-\frac{\frac{2y}{b{\text{'}}^2}}{\frac{2x}{a{\text{'}}^2}}=\frac{a^{\prime }}{b{\text{'}}^2}\frac{y}{\sqrt{1-\frac{y^2}{b{\text{'}}^2}+\frac{z^2}{c{\text{'}}^2}}}$» et
             Retour sur l'équation implicite «$x^2+y^2-z^2-1=0$» $\bullet$en tout point pour $(x_0,y_0,z_0)\in {U^{\prime }}_{-}$, «${\left(\frac{\partial {\phi }_{-}}{\partial z}\right)}_y(y,z)=-\frac{{\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)}_{x,y}(x,y,z)}{{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_{y,z}(x,y,z)}=-\frac{\frac{-2z}{c{\text{'}}^2}}{\frac{2x}{a{\text{'}}^2}}=-\frac{a^{\prime }}{c{\text{'}}^2}\frac{z}{\sqrt{1-\frac{y^2}{b{\text{'}}^2}+\frac{z^2}{c{\text{'}}^2}}}$»,
          Retour sur l'équation implicite «$x^2+y^2-z^2-1=0$» $\bullet$en tout point $(x\in ℝ,y\in ℝ,\text{avec}\frac{x^2}{a{\text{'}}^2}+\frac{y^2}{b{\text{'}}^2}>1)$ il existe deux valeurs de $z$ possibles de signe contraire, aussi on considère
                Retour sur l'équation implicite «$x^2+y^2-z^2-1=0$» $\bullet$en tout point $(x\in ℝ,y\in ℝ,\text{avec}{x}^2+y^2>1)$ deux ouverts de ${ℝ}^3$ disjoints ${U^{″}}_{+}=\{x\in ℝ,y\in ℝ,z>0\}$ et
                Retour sur l'équation implicite «$x^2+y^2-z^2-1=0$» $\bullet$en tout point $(x\in ℝ,y\in ℝ,\text{avec}{x}^2+y^2>1)$ deux ouverts de ${ℝ}^3$ disjoints ${U^{″}}_{-}=\{x\in ℝ,y\in ℝ,z<0\}$ pour
                Retour sur l'équation implicite «$x^2+y^2-z^2-1=0$» $\bullet$en tout point $(x\in ℝ,y\in ℝ,\text{avec}{x}^2+y^2>1)$ appliquer, sur chacun, le théorème des fonctions implicites en dimension trois :
           Retour sur l'équation implicite «$x^2+y^2-z^2-1=0$» $\bullet$en tout point pour $(x_0,y_0,z_0)\in {U^{″}}_{+}$, $f(x_0,y_0,z_0)=0$ et ${\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)}_{x,y}(x_0,y_0,z_0)=-\frac{2z_0}{c{\text{'}}^2}\ne 0$ $\Rightarrow$ il existe
             Retour sur l'équation implicite «$x^2+y^2-z^2-1=0$» $\bullet$en tout point pour $(x_0,y_0,z_0)\in {U^{″}}_{+}$, une fonction réelle ${\zeta }_{+}(x,y)$ de classe C^p, définie sur $ℝ\times ℝ$ et
             Retour sur l'équation implicite «$x^2+y^2-z^2-1=0$» $\bullet$en tout point pour $(x_0,y_0,z_0)\in {U^{″}}_{+}$, un voisinage ouvert de $(x_0,y_0,z_0)$ dans ${U^{″}}_{+}$, noté ${{\mathrm{\Omega }}^{″}}_{+}$, tels que
             Retour sur l'équation implicite «$x^2+y^2-z^2-1=0$» $\bullet$en tout point pour $(x_0,y_0,z_0)\in {U^{″}}_{+}$, «$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\forall }(x,y,z)\in {{\mathrm{\Omega }}^{″}}_{+}\\ \text{et}f(x,y,z)=0\end{array}\right\}$» $\iff$ «$\left\{\begin{array}{c}x\in ℝ,y\in ℝ\text{et}\\ z={\zeta }_{+}(x,y)=c^{\prime }\sqrt{\frac{x^2}{a{\text{'}}^2}+\frac{y^2}{b{\text{'}}^2}-1}\end{array}\right\}$»,
             Retour sur l'équation implicite «$x^2+y^2-z^2-1=0$» $\bullet$en tout point pour $(x_0,y_0,z_0)\in {U^{″}}_{+}$, «${\left(\frac{\partial {\zeta }_{+}}{\partial x}\right)}_y(x,y)=-\frac{{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_{y,z}(x,y,z)}{{\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)}_{x,y}(x,y,z)}=-\frac{\frac{2x}{a{\text{'}}^2}}{\frac{-2z}{c{\text{'}}^2}}=-\frac{c^{\prime }}{a{\text{'}}^2}\frac{x}{\sqrt{\frac{x^2}{a{\text{'}}^2}+\frac{y^2}{b{\text{'}}^2}-1}}$»,
             Retour sur l'équation implicite «$x^2+y^2-z^2-1=0$» $\bullet$en tout point pour $(x_0,y_0,z_0)\in {U^{″}}_{+}$, «${\left(\frac{\partial {\zeta }_{+}}{\partial y}\right)}_x(x,y)=-\frac{{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_{x,z}(x,y,z)}{{\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)}_{x,y}(x,y,z)}=-\frac{\frac{2y}{b{\text{'}}^2}}{\frac{-2z}{c{\text{'}}^2}}=\frac{c^{\prime }}{b{\text{'}}^2}\frac{y}{\sqrt{\frac{x^2}{a{\text{'}}^2}+\frac{y^2}{b{\text{'}}^2}-1}}$»,
           Retour sur l'équation implicite «$x^2+y^2-z^2-1=0$» $\bullet$en tout point pour $(x_0,y_0,z_0)\in {U^{″}}_{-}$, $f(x_0,y_0,z_0)=0$ et ${\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)}_{x,y}(x_0,y_0,z_0)=-\frac{2z_0}{c{\text{'}}^2}\ne 0$ $\Rightarrow$ il existe
             Retour sur l'équation implicite «$x^2+y^2-z^2-1=0$» $\bullet$en tout point pour $(x_0,y_0,z_0)\in {U^{″}}_{-}$, une fonction réelle ${\zeta }_{-}(x,y)$ de classe C^p, définie sur $ℝ\times ℝ$ et
             Retour sur l'équation implicite «$x^2+y^2-z^2-1=0$» $\bullet$en tout point pour $(x_0,y_0,z_0)\in {U^{″}}_{-}$, un voisinage ouvert de $(x_0,y_0,z_0)$ dans ${U^{″}}_{-}$, noté ${{\mathrm{\Omega }}^{″}}_{-}$, tels que
             Retour sur l'équation implicite «$x^2+y^2-z^2-1=0$» $\bullet$en tout point pour $(x_0,y_0,z_0)\in {U^{″}}_{-}$, «$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\forall }(x,y,z)\in {{\mathrm{\Omega }}^{″}}_{-}\\ \text{et}f(x,y,z)=0\end{array}\right\}$» $\iff$ «$\left\{\begin{array}{c}x\in ℝ,y\in ℝ\text{et}\\ z={\zeta }_{-}(x,y)=-c^{\prime }\sqrt{\frac{x^2}{a{\text{'}}^2}+\frac{y^2}{b{\text{'}}^2}-1}\end{array}\right\}$»,
             Retour sur l'équation implicite «$x^2+y^2-z^2-1=0$» $\bullet$en tout point pour $(x_0,y_0,z_0)\in {U^{″}}_{-}$, «${\left(\frac{\partial {\zeta }_{-}}{\partial x}\right)}_y(x,y)=-\frac{{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_{y,z}(x,y,z)}{{\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)}_{x,y}(x,y,z)}=-\frac{\frac{2x}{a{\text{'}}^2}}{-\frac{2z}{c{\text{'}}^2}}=-\frac{c^{\prime }}{a{\text{'}}^2}\frac{x}{\sqrt{\frac{x^2}{a{\text{'}}^2}+\frac{y^2}{b{\text{'}}^2}-1}}$»,
             Retour sur l'équation implicite «$x^2+y^2-z^2-1=0$» $\bullet$en tout point pour $(x_0,y_0,z_0)\in {U^{″}}_{-}$, «${\left(\frac{\partial {\zeta }_{-}}{\partial y}\right)}_x(x,y)=-\frac{{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_{x,z}(x,y,z)}{{\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)}_{x,y}(x,y,z)}=-\frac{\frac{2y}{b{\text{'}}^2}}{\frac{-2z}{c{\text{'}}^2}}=-\frac{c^{\prime }}{b{\text{'}}^2}\frac{y}{\sqrt{\frac{x^2}{a{\text{'}}^2}+\frac{y^2}{b{\text{'}}^2}-1}}$».
         Retour sur l'équation implicite «$x^2+y^2-z^2-1=0$» $\bullet$Remarque : en tout point tel que $\frac{x^2}{a{\text{'}}^2}+\frac{y^2}{b{\text{'}}^2}=1$, il existe une seule valeur de $z$ possible $z_d=0$, mais
            Retour sur l'équation implicite «$x^2+y^2-z^2-1=0$» $\bullet$Remarque : en tout point tel que $a{\text{'}}^2+b{\text{'}}^2=1$, dans tout ouvert contenant ces points ${\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)}_{x,y}(x,y,z_d)=\frac{-2z_d}{c{\text{'}}^2}=0$ $\Rightarrow$
            Retour sur l'équation implicite «$x^2+y^2-z^2-1=0$» $\bullet$Remarque : en tout point tel que $a{\text{'}}^2+b{\text{'}}^2=1$, le théorème des fonctions implicites en dimension trois ne peut s'y appliquer.

     Remarque : le lecteur pourra constater par lui-même, sur les autres exemples du paragraphe « exemples de fonctions implicites entre trois variables réelles » présentés plus haut dans ce chapitre,
     Remarque : le lecteur pourra constater par lui-même, que les conditions d'application du théorème des fonctions implicites en dimension trois sont vérifiées $\dots$

Théorème des fonctions implicites en dimension quatre ou plus

     Nous laissons le soin au lecteur de généraliser le « théorème des fonctions implicites de dimension trois » à toute dimension quatre ou plus,
     Nous laissons le soin au lecteur de généraliser le graphe des fonctions implicites représentant « des surfaces en dimension trois » et « des hypersurfaces en dimension quatre ou plus » $\dots$