Leçons de niveau 14

Notions sur les différentielles/Notation différentielle

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Notation différentielle
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Chapitre no 2
Leçon : Notions sur les différentielles
Chap. préc. :Dérivées d'une fonction
Chap. suiv. :Différentielle totale
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Notions sur les différentielles/Notation différentielle
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Différentielle d'une fonction à une seule variable[modifier | modifier le wikicode]

Le théorème de Taylor-Young assure qu'une fonction , dérivable fois au point , admet un développement limité d'ordre en ce point

(avec la notation o de Landau).

On se contente souvent du développement limité d'ordre 1 :

, c'est-à-dire
,

avec

.

Pour simplifier cette écriture, on introduit la notation différentielle. Pour cela, il faut remarquer que est une toute petite variation de . On note alors la différentielle de . De même, est une toute petite variation de . On note alors la fonction différentielle de . On obtient une relation entre ces différentielles :


.


Panneau d’avertissement Mais attention, ceci n'est valable que lorsque tend vers 0 : il faut toujours garder à l'esprit que et sont des grandeurs infinitésimales.

Différentielle d'une fonction à deux variables[modifier | modifier le wikicode]

Si la fonction dépend de deux variables, par exemple et , et en se limitant à un développement limité d'ordre 1[1] en un point en lequel les deux dérivées partielles sont continues :

,

avec

.

En introduisant la notation différentielle, on peut exprimer la différentielle de parfois nommée différentielle totale pour insister sur le fait qu'elle représente l'accroissement de selon et selon  :


.


Généralisation à plusieurs variables[modifier | modifier le wikicode]

Il est fréquent de rencontrer des grandeurs reprsentées par des fonctions de , , et . La différentielle de s'écrit alors :

.


Références[modifier | modifier le wikicode]

  1. « Fonctions de plusieurs variables », sur math.univ-toulouse.fr, p. 23 et 35, sous l'hypothèse supplémentaire que les deux dérivées partielles sont continues non seulement au point ,mais au voisinage de ce point. Pour une démonstration sans cette hypothèse, voir Calcul différentiel/Différentiabilité#Condition suffisante de différentiabilité d'une fonction définie sur un produit.