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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Notions sur les différentielles : Notation différentielle
Notions sur les différentielles/Notation différentielle », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Le théorème de Taylor-Young assure qu'une fonction
, dérivable
fois au point
, admet un développement limité d'ordre
en ce point
(avec la notation o de Landau).
On se contente souvent du développement limité d'ordre 1 :
, c'est-à-dire
,
avec
.
Pour simplifier cette écriture, on introduit la notation différentielle. Pour cela, il faut remarquer que
est une toute petite variation de
. On note alors
la différentielle de
. De même,
est une toute petite variation de
. On note alors
la fonction différentielle de
. On obtient une relation entre ces différentielles :
.
|
|
Mais attention, ceci n'est valable que lorsque tend vers 0 : il faut toujours garder à l'esprit que et sont des grandeurs infinitésimales.
|
Si la fonction
dépend de deux variables, par exemple
et
, et en se limitant à un développement limité d'ordre 1[1] en un point
en lequel les deux dérivées partielles sont continues :
,
avec
.
En introduisant la notation différentielle, on peut exprimer la différentielle de
parfois nommée différentielle totale pour insister sur le fait qu'elle représente l'accroissement de
selon
et selon
:
.
|
Il est fréquent de rencontrer des grandeurs représentées par des fonctions de
,
,
et
. La différentielle de
s'écrit alors :
.
|
- ↑ « Fonctions de plusieurs variables », sur math.univ-toulouse.fr, p. 23 et 35, sous l'hypothèse supplémentaire que les deux dérivées partielles sont continues non seulement au point
,mais au voisinage de ce point. Pour une démonstration sans cette hypothèse, voir Calcul différentiel/Différentiabilité#Condition suffisante de différentiabilité d'une fonction définie sur un produit.