Notions sur les différentielles/Notation différentielle

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Différentielle d'une fonction à une seule variable

Le théorème de Taylor-Young assure qu'une fonction $f$, dérivable $n$ fois au point $x$, admet un développement limité d'ordre $n$ en ce point

$f(x+u)=f(x)+f\,'(x)\,u+{\frac {f''(x)}{2!}}u^{2}+...+{\frac {f^{(n)}(x)}{n!}}u^{n}+o(u^{n})$ (avec la notation o de Landau).

On se contente souvent du développement limité d'ordre 1 :

$f(x+u)=f(x)+f\,'(x)\,u+o(u)$, c'est-à-dire

$f(x+u)-f(x)=f\,'(x)\,u+u\,\epsilon (u)$,

avec

$\lim _{u\to 0}\epsilon (u)=0$.

Pour simplifier cette écriture, on introduit la notation différentielle. Pour cela, il faut remarquer que $u$ est une toute petite variation de $x$. On note alors $\mathrm {d} x=u$ la différentielle de $x$. De même, $f(x+u)-f(x)$ est une toute petite variation de $f$. On note alors $\mathrm {d} f=f(x+u)-f(x)$ la fonction différentielle de $f$. On obtient une relation entre ces différentielles :

$\mathrm {d} f=f'(x)\,\mathrm {d} x$.

Mais attention, ceci n'est valable que lorsque $\mathrm {d} x$ tend vers 0 : il faut toujours garder à l'esprit que $\mathrm {d} f$ et $\mathrm {d} x$ sont des grandeurs infinitésimales.

Différentielle d'une fonction à deux variables

Si la fonction $f$ dépend de deux variables, par exemple $x$ et $t$, et en se limitant à un développement limité d'ordre 1 en un point $(x,t)$ en lequel les deux dérivées partielles sont continues :

$f(x+\delta x,t+\delta t)-f(x,t)={\frac {\partial f(x,t)}{\partial x}}~\delta x+{\frac {\partial f(x,t)}{\partial t}}~\delta t+\|(\delta x,\delta t)\|\epsilon (\delta x,\delta t)$,

avec

${\underset {\delta x\to 0}{\underset {\delta y\to 0}{\lim }}}\epsilon (\delta x,\delta t)=0$.

En introduisant la notation différentielle, on peut exprimer la différentielle de $f$ parfois nommée différentielle totale pour insister sur le fait qu'elle représente l'accroissement de $f$ selon $x$ et selon $t$ :

$\mathrm {d} f={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathrm {d} x+{\frac {\partial f}{\partial t}}\mathrm {d} t$.

Généralisation à plusieurs variables

Il est fréquent de rencontrer des grandeurs représentées par des fonctions de $x$, $y$, $z$ et $t$. La différentielle de $f$ s'écrit alors :

$\mathrm {d} f={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathrm {d} x+{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathrm {d} y+{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathrm {d} z+{\frac {\partial f}{\partial t}}\mathrm {d} t$.