Notions sur les différentielles/Différentielle totale

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On a montré dans le chapitre précédent que la différentielle d’une fonction peut se décomposer en une somme de différentielles de ses variables. On se pose maintenant la question inverse : si l’on a une somme de différentielles de plusieurs variables, est-ce qu'on peut trouver une fonction dont la différentielle est égale à cette somme ? Avant d'y répondre on va poser le problème plus proprement.

Définition

Soient trois fonctions $P$, $Q$ et $R$ dépendant chacune de trois variables $x$, $y$, et $z$. Existe-t-il une fonction $f$ telle que ${\frac {\partial f}{\partial x}}=P(x,y,z)$, ${\frac {\partial f}{\partial y}}=Q(x,y,z)$ et ${\frac {\partial f}{\partial z}}=R(x,y,z)$ ?

Si c’est le cas, on dit que la grandeur $\mathrm {d} f=P(x,y,z)\,\mathrm {d} x+Q(x,y,z)\,\mathrm {d} y+R(x,y,z)\mathrm {d} z$ est une différentielle totale.

On ne va pas démontrer la réponse à cette question ici, on se contente de la donner : l’expression précédente est une différentielle totale si et seulement si les trois relations suivantes sont vérifiées :

${\frac {\partial P}{\partial y}}={\frac {\partial Q}{\partial x}}$,
${\frac {\partial Q}{\partial z}}={\frac {\partial R}{\partial y}}$, et
${\frac {\partial R}{\partial x}}={\frac {\partial P}{\partial z}}$,

Conséquence sur les relations entre dérivées partielles de fonctions implicites

On s'intéresse au cas d’une fonction f telle que $f(x,y,z)=0$. Dans ce cas, les variables x, y, et z sont implicitement liées entre elles : x(y,z), y(x,z), z(x,y). On a, d’après le chapitre précédent :

$\displaystyle {\mathrm {d} x}$	$={\frac {\partial x}{\partial y}}\mathrm {d} y+{\frac {\partial x}{\partial z}}\mathrm {d} z$
	$={\frac {\partial x}{\partial y}}\left({\frac {\partial y}{\partial x}}\mathrm {d} x+{\frac {\partial y}{\partial z}}\mathrm {d} z\right)+{\frac {\partial x}{\partial z}}\mathrm {d} z$
	$={\frac {\partial x}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial x}}\mathrm {d} x+\left({\frac {\partial x}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial z}}+{\frac {\partial x}{\partial z}}\right)\mathrm {d} z$

Or cela est valable pour tout dx et pour tout dz. On peut donc supposer successivement que dz = 0 puis que dx = 0 :

• Pour dz = 0 on obtient la relation importante :

${\frac {\partial x}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial x}}=1$

• Pour dx = 0 on obtient une autre relation :

${\frac {\partial x}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial z}}+{\frac {\partial x}{\partial z}}=0$

D'où :

${\frac {\partial x}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial z}}{\frac {\partial z}{\partial x}}=-1$