Leçons de niveau 14

Notions sur les différentielles/Différentielle totale

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Différentielle totale
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Chapitre no 3
Leçon : Notions sur les différentielles
Chap. préc. :Notation différentielle
Chap. suiv. :Sommaire
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Notions sur les différentielles/Différentielle totale
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On a montré dans le chapitre précédent que la différentielle d’une fonction peut se décomposer en une somme de différentielles de ses variables. On se pose maintenant la question inverse : si l’on a une somme de différentielles de plusieurs variables, est-ce qu'on peut trouver une fonction dont la différentielle est égale à cette somme ? Avant d'y répondre on va poser le problème plus proprement.



On ne va pas démontrer la réponse à cette question ici, on se contente de la donner : l’expression précédente est une différentielle totale si et seulement si les trois relations suivantes sont vérifiées :

, , et ,
Conséquence 
relations entre dérivées partielles de fonctions implicites

On s'intéresse au cas d’une fonction f telle que . Dans ce cas, les variables x, y, et z sont implicitement liées entre elles : x(y,z), y(x,z), z(x,y). On a, d’après le chapitre précédent :

Or cela est valable pour tout dx et pour tout dz. On peut donc supposer successivement que dz = 0 puis que dx = 0 :

  • Pour dz = 0 on obtient la relation importante :



  • Pour dx = 0 on obtient une autre relation :
D'où :