Notions sur les différentielles/Dérivées d'une fonction

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 Dérivée d’une fonction à une variable

Définition La dérivée en un point d’une fonction à une seule variable est définie, lorsqu'elle existe, par la formule suivante : $f\,'(x)=\lim _{u\to 0}{\frac {f(x+u)-f(x)}{u}}$.

Il s'agit de la limite quand $u$ tend vers 0 du taux d'accroissement de $f$.

Notations

En physique, on note couramment les dérivées sous la forme d'un rapport de différentielles (cf. chapitre n^o 2) :

• $f\,'={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}$ si la grandeur représentée par la fonction $f=f(x)$ ne dépend que d'une dimension spatiale.
• $f\,'={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}$ ou parfois ${\dot {f}}={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}$ si la grandeur représentée par la fonction $f=f(t)$ ne dépend que du temps.

Dérivée logarithmique

Définition On appelle la dérivée logarithmique d’une fonction à valeurs non nulles la dérivée du logarithme népérien de sa valeur absolue.

Autrement dit, la dérivée logarithmique de la fonction f est la dérivée de la fonction g définie par $g(x)=\ln |f(x)|$. Or comme on sait que la dérivée du logarithme népérien est la fonction inverse, on a : $g'(x)={\frac {f'(x)}{f(x)}}$

Dérivée partielle d'une fonction à plusieurs variables

Lorsqu'une fonction dépend de plusieurs variables, couramment $x$, $y$, $z$, et $t$ en physique, il faut distinguer les dérivées selon ces différentes variables.

Définition La dérivée de la fonction $f=f(x,y,z,t)$ par rapport à la variable $x$ est définie par : $f_{x}^{\,'}={\frac {\partial f}{\partial x}}=\lim _{\delta x\to 0}{\frac {f(x+\delta x,y,z,t)-f(x,y,z,t)}{\delta x}}$.

De même les dérivées par rapport aux autres variables s'écrivent :

$f_{y}^{\,'}={\frac {\partial f}{\partial y}}=\lim _{\delta y\to 0}{\frac {f(x,y+\delta y,z,t)-f(x,y,z,t)}{\delta y}}$,

$f_{z}^{\,'}={\frac {\partial f}{\partial z}}=\lim _{\delta z\to 0}{\frac {f(x,y,z+\delta z,t)-f(x,y,z,t)}{\delta z}}$,

$f_{t}^{\,'}={\frac {\partial f}{\partial t}}=\lim _{\delta t\to 0}{\frac {f(x,y,z,t+\delta t)-f(x,y,z,t)}{\delta t}}$

De telles dérivées sont appelées dérivées partielles. On peut de nouveau dériver ces dérivées par rapport à $x$, $y$, $z$, ou $t$, ce qui nous donne les dérivées partielles secondes :

$f_{xx}^{\,''}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}$, $f_{xy}^{\,''}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}}$, etc.