Leçons de niveau 14

Notions sur les différentielles/Dérivées d'une fonction

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Dérivées d'une fonction
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Chapitre no 1
Leçon : Notions sur les différentielles
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 Dérivée d’une fonction à une variable[modifier | modifier le wikicode]

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Définition

La dérivée en un point d’une fonction à une seule variable est définie, lorsqu'elle existe, par la formule suivante :
.

Il s'agit de la limite quand tend vers 0 du taux d'accroissement de .

Notations[modifier | modifier le wikicode]

En physique, on note couramment les dérivées sous la forme d'un rapport de différentielles (cf. chapitre n°2) :

  • si la grandeur représentée par la fonction ne dépend que d'une dimension spatiale.
  • ou parfois si la grandeur représentée par la fonction ne dépend que du temps.

Dérivée logarithmique[modifier | modifier le wikicode]

30x-Checkmark.png

Définition

On appelle la dérivée logarithmique d’une fonction à valeurs non nulles la dérivée du logarithme népérien de sa valeur absolue.

Autrement dit, la dérivée logarithmique de la fonction f est la dérivée de la fonction g définie par . Or comme on sait que la dérivée du logarithme népérien est la fonction inverse, on a :

Dérivée partielle d'une fonction à plusieurs variables[modifier | modifier le wikicode]

Lorsqu'une fonction dépend de plusieurs variables, couramment , , , et en physique, il faut distinguer les dérivées selon ces différentes variables.

30x-Checkmark.png

Définition

La dérivée de la fonction par rapport à la variable est définie par :
.

De même les dérivées par rapport aux autres variables s'écrivent :

,
,

De telles dérivées sont appelées dérivées partielles. On peut de nouveau dériver ces dérivées par rapport à , , , ou , ce qui nous donne les dérivées partielles secondes :

, , etc.