Notions sur les différentielles/Dérivées d'une fonction

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 Dérivée d’une fonction à une variable

Définition La dérivée en un point d’une fonction à une seule variable est définie, lorsqu'elle existe, par la formule suivante : $f{}^{\prime }(x)=\underset{u\to 0}{lim}\frac{f(x+u)-f(x)}{u}$.

Il s'agit de la limite quand $u$ tend vers 0 du taux d'accroissement de $f$.

Notations

En physique, on note couramment les dérivées sous la forme d'un rapport de différentielles (cf. chapitre n^o 2) :

• $f{}^{\prime }=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}$ si la grandeur représentée par la fonction $f=f(x)$ ne dépend que d'une dimension spatiale.
• $f{}^{\prime }=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}$ ou parfois $\dot{f}=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}$ si la grandeur représentée par la fonction $f=f(t)$ ne dépend que du temps.

Dérivée logarithmique

Définition On appelle la dérivée logarithmique d’une fonction à valeurs non nulles la dérivée du logarithme népérien de sa valeur absolue.

Autrement dit, la dérivée logarithmique de la fonction f est la dérivée de la fonction g définie par $g(x)=\ln |f(x)|$. Or comme on sait que la dérivée du logarithme népérien est la fonction inverse, on a : $g^{\prime }(x)=\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}$

Dérivée partielle d'une fonction à plusieurs variables

Lorsqu'une fonction dépend de plusieurs variables, couramment $x$, $y$, $z$, et $t$ en physique, il faut distinguer les dérivées selon ces différentes variables.

Définition La dérivée de la fonction $f=f(x,y,z,t)$ par rapport à la variable $x$ est définie par : $f_x^{{}^{\prime }}=\frac{\partial f}{\partial x}=\underset{\delta x\to 0}{lim}\frac{f(x+\delta x,y,z,t)-f(x,y,z,t)}{\delta x}$.

De même les dérivées par rapport aux autres variables s'écrivent :

$f_y^{{}^{\prime }}=\frac{\partial f}{\partial y}=\underset{\delta y\to 0}{lim}\frac{f(x,y+\delta y,z,t)-f(x,y,z,t)}{\delta y}$,

$f_z^{{}^{\prime }}=\frac{\partial f}{\partial z}=\underset{\delta z\to 0}{lim}\frac{f(x,y,z+\delta z,t)-f(x,y,z,t)}{\delta z}$,

$f_t^{{}^{\prime }}=\frac{\partial f}{\partial t}=\underset{\delta t\to 0}{lim}\frac{f(x,y,z,t+\delta t)-f(x,y,z,t)}{\delta t}$

De telles dérivées sont appelées dérivées partielles. On peut de nouveau dériver ces dérivées par rapport à $x$, $y$, $z$, ou $t$, ce qui nous donne les dérivées partielles secondes :

$f_{xx}^{{}^{″}}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}$, $f_{xy}^{{}^{″}}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}$, etc.