Monoïde/Définition d’un monoïde

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Définition

Définition : monoïde

Un monoïde est un magma associatif unifère $(E,\ast ,e)$, c'est-à-dire un ensemble $E$ muni d’une loi de composition interne associative $\ast$ admettant un élément neutre $e$.

Début de l'exemple

Exemple

Tout groupe est un monoïde.

Fin de l'exemple

Définition : sous-monoïde

Un sous-monoïde de $(E,\ast ,e)$ est une partie $S$ de $E$ telle que :

• $e\in S$ ;
• $\forall x,y\in S\quad x\ast y\in S$.

La loi de composition de E induit alors sur S une loi de composition qui fait de S un monoïde.

Partie génératrice, base

Partie génératrice

Proposition

L'intersection d'une famille non vide de sous-monoïdes est un sous-monoïde.

Démonstration

C'est une conséquence immédiate de la propriété correspondante pour les magmas.

 

Définition

Soit P une partie de E. Le sous-monoïde engendré par P est l'intersection de tous les sous-monoïdes de E contenant P.

C'est ainsi le plus petit (au sens de l'inclusion) sous-monoïde de E contenant P. Il est noté $P^{*}$.

On dit que P est génératrice de E lorsque $P^{*}=E$.

Début d’un théorème

Théorème

Le sous-monoïde engendré par P est $P^{*}=\{x\in E\mid \exists n\in \mathbb {N} \quad \exists (a_{1},\cdots ,a_{n})\in P^{n}\quad x=a_{1}*\cdots *a_{n}\}$.

Fin du théorème

Base

Définition

Soit B une partie génératrice de E.

E est libre de base B lorsque tout élément de E peut s'écrire de manière unique comme composé d'éléments de B.

Morphisme de monoïdes

Définition

Soient $(E,\ast ,e)$ et $(F,\cdot ,f)$ deux monoïdes.

Une application $\varphi :E\to F$ est un morphisme de monoïdes si c'est un morphisme de magmas unifères, c'est-à-dire si :

${\begin{cases}\varphi (e)=f\\\forall (x,y)\in E^{2}\quad \varphi (x\ast y)=\varphi (x)\cdot \varphi (y).\end{cases}}$

Morphisme composé

Soient $f:E\to F$ et $g:F\to G$ deux morphismes de monoïdes.

Le morphisme de magmas composé $g\circ f:E\to G$ est un morphisme de monoïdes.

Images directes et réciproques de sous-monoïdes

Soit $f:E\to F$ un morphisme de monoïdes.

• L'image directe par $f$ de tout sous-monoïde de $E$ est un sous-monoïde de $F$.
• L'image réciproque par $f$ de tout sous-monoïde de $F$ est un sous-monoïde de $E$.

Démonstration

Conséquence immédiate de la propriété correspondante pour les morphismes de magmas.