Matrice/Exercices/Matrice d'une application linéaire

Exercice 3-1

Soit $E$ un $\mathbb {R}$-espace vectoriel de dimension $4$. Soit ${\mathcal {B}}=(e_{1},e_{2},e_{3},e_{4})$ une base de $E$. On définit, pour $\alpha \in \mathbb {R}$, l'application linéaire $f_{\alpha }:E\to E$ par :

$f_{\alpha }(e_{1})=(1+4\alpha )e_{1}+(1-\alpha )e_{2}+e_{3}+3e_{4}$, $f_{\alpha }(e_{2})=(1+2\alpha )e_{1}+\alpha ^{2}e_{2}-e_{3}+3e_{4}$, $f_{\alpha }(e_{3})=\alpha e_{1}+e_{3}$, $f_{\alpha }(e_{4})=e_{2}-e_{3}+e_{4}$.

1. Donner la matrice $M_{\alpha }$ de $f_{\alpha }$ dans la base ${\mathcal {B}}$.
2. Calculer le déterminant de $M_{\alpha }$.
3. Déterminer les valeurs de $\alpha$ pour lesquelles $f_{\alpha }$ est inversible (c'est-à-dire bijective).

Solution

1. $M_{\alpha }={\begin{pmatrix}1+4\alpha &1+2\alpha &\alpha &0\\1-\alpha &\alpha ^{2}&0&1\\1&-1&1&-1\\3&3&0&1\end{pmatrix}}$.
2. Par $L_{1}\leftarrow L_{1}-\alpha L_{3}$, $\det(M_{\alpha })={\begin{vmatrix}1+3\alpha &1+3\alpha &0&\alpha \\1-\alpha &\alpha ^{2}&0&1\\1&-1&1&-1\\3&3&0&1\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1+3\alpha &1+3\alpha &\alpha \\1-\alpha &\alpha ^{2}&1\\3&3&1\end{vmatrix}}$.
   Puis, par $L_{1}\leftarrow L_{1}-\alpha L_{3}$ et $L_{2}\leftarrow L_{2}-L_{3}$, $\det(M_{\alpha })={\begin{vmatrix}1&1&0\\-2-\alpha &\alpha ^{2}-3&0\\3&3&1\end{vmatrix}}=\alpha ^{2}+\alpha -1$.
3. $f_{\alpha }$ est inversible si et seulement si $\det(M_{\alpha })\neq 0$, c'est-à-dire $\alpha \neq {\frac {-1\pm {\sqrt {5}}}{2}}$.

 

Mêmes questions pour

$g_{\alpha }(e_{1})=(2+4\alpha )e_{1}+(1-\alpha )e_{2}+e_{3}+3e_{4}$, $g_{\alpha }(e_{2})=2\alpha e_{1}+\alpha ^{2}e_{2}-e_{3}+3e_{4}$, $g_{\alpha }(e_{3})=(1+\alpha )e_{1}+e_{3}$, $g_{\alpha }(e_{4})=-e_{1}+e_{2}-e_{3}+e_{4}$.

Solution

$N_{\alpha }={\begin{pmatrix}2+4\alpha &2\alpha &1+\alpha &-1\\1-\alpha &\alpha ^{2}&0&1\\1&-1&1&-1\\3&3&0&1\end{pmatrix}}$ est le résultat obtenu en appliquant $L_{1}\leftarrow L_{1}+L_{3}$ à $M_{\alpha }$. Elle a donc même déterminant et les conclusions sont les mêmes pour $g_{\alpha }$ que pour $f_{\alpha }$.

 

Exercice 3-2

Soit $(e_{1},e_{2},e_{3})$ une base de $\mathbb {R} ^{3}$ et $e'_{1}=e_{1}+e_{2}-e_{3}$, $e'_{2}=e_{1}-e_{2}+e_{3}$, $e'_{3}=-e_{1}+e_{2}+e_{3}$.

1. Montrer que $(e'_{1},e'_{2},e'_{3})$ est une base de $\mathbb {R} ^{3}$.
2. Soit $f$ l'endomorphisme de $\mathbb {R} ^{3}$ qui, dans la base $(e_{1},e_{2},e_{3})$, est représenté par la matrice ${\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}a-b&a+c&c-b\\b-a&c-a&b+c\\a+b&a-c&b-c\end{pmatrix}}$. Calculer la matrice de $f$ dans la base $(e'_{1},e'_{2},e'_{3})$.

Solution

1. ${\begin{vmatrix}1&1&-1\\1&-1&1\\-1&1&1\end{vmatrix}}=-4\neq 0$.
2. Inutile de calculer l'inverse de la matrice de passage et d'appliquer la formule de changement de base :
   on trouve directement $f(e'_{1})=ae'_{2}$, $f(e'_{2})=be'_{3}$ et $f(e'_{3})=ce'_{1}$ donc la matrice de $f$ dans la base $(e'_{1},e'_{2},e'_{3})$ est ${\begin{pmatrix}0&0&c\\a&0&0\\0&b&0\end{pmatrix}}$.

 

Exercice 3-3

1. Soit $M\in \mathrm {M} _{2}(K)$. Montrer qu'il existe $\alpha ,\beta \in K$ — qu'on calculera en fonction des coefficients de $M$ — tels que

   $M^{2}=\alpha M+\beta \mathrm {I} _{2}$.

2. En déduire que si $f:K^{2}\to K^{2}$ est une application linéaire, alors la famille $(f^{2},f,\mathrm {id} _{K^{2}})$ est liée.

Solution

1. Si $M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$, la condition se traduit par : ${\begin{cases}\alpha a+\beta &=a^{2}+bc\\\alpha b&=(a+d)b\\\alpha c&=(a+d)c\\\alpha d+\beta &=d^{2}+bc.\end{cases}}$ Une solution est : $\alpha =a+d,\beta =bc-ad$.
2. Il suffit d'appliquer ce qui précède à la matrice de $f$ dans n'importe quelle base de $K^{2}$.

Remarque : cette propriété est le cas particulier le plus simple du théorème de Cayley-Hamilton.

 

Exercice 3-4

Donner la matrice dans les bases $B,C$ de $E,F$, et aussi dans les bases $B',C'$ le cas échéant, de l'application linéaire $f:E\to F$.

1. $E=F=K^{3}$, $f(x,y,z)=(y+z,x+z,x+y)$.
2. $E=F=K^{2}$, $B=C$ est la base canonique de $K^{2}$,
   $B'=C'=\left({\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}\right),\quad f{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}y\\x\end{pmatrix}}$.
3. $E=F=K^{2}$, $B=C$ est la base canonique de $K^{2}$,
   $B'=C'=\left({\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\right),\quad f{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-2x+4y\\-x+2y\end{pmatrix}}$.
4. $E=K^{3}$, $F=K^{2}$, $B,C$ sont les bases canoniques et
   $f{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}y+z\\x+z\end{pmatrix}}$.
   Donner aussi des bases $B',C'$ dans lesquelles la matrice de $f$ soit $J={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}$
   et en déduire des matrices inversibles $P\in \mathrm {M} _{2}(K)$, $Q\in \mathrm {M} _{3}(K)$ telles que $PMQ=J$, $M=\mathrm {Mat} _{B,C}(f)$.

Solution

1. ${\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{pmatrix}}$.
2. ${\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$, ${\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$.
3. ${\begin{pmatrix}-2&4\\-1&2\end{pmatrix}}$, ${\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}$.
4. ${\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&1\end{pmatrix}}$, $B'=\left({\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}}\right)$, $C'=\left({\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\right)$, $P={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$, $Q={\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\\0&0&-1\end{pmatrix}}$.

 

Exercice 3-5

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension 3 et ${\mathcal {E}}=(e_{1},e_{2},e_{3})$ une base de $E$.

On considère l'application linéaire $f:E\to E$ dont la matrice dans la base ${\mathcal {E}}$ est $[f]_{\mathcal {E}}^{\mathcal {E}}={\begin{pmatrix}1&0&3\\0&2&1\\2&-1&2\end{pmatrix}}$.

1. Déterminer l'image par $f$ d'un vecteur $v$ de coordonnées $(x,y,z)$ dans la base ${\mathcal {E}}$.
2. Écrire la matrice $[f]_{{\mathcal {E}}'}^{{\mathcal {E}}'}$ de $f$ dans la base ${\mathcal {E}}'=(e_{3},e_{2},e_{1})$.
3. Écrire la matrice $[f]_{\mathcal {F}}^{\mathcal {F}}$ de $f$ dans la base ${\mathcal {F}}=(e_{2}-e_{3},e_{1},e_{1}+e_{3})$.

Solution

1. Les coordonnées de $f(v)$ dans la base ${\mathcal {E}}$ sont $[f]_{\mathcal {E}}^{\mathcal {E}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x+3z\\2y+z\\2x-y+2z\end{pmatrix}}$.
2. $f(e_{3})=2e_{3}+e_{2}+3e_{1}$, $f(e_{2})=-e_{3}+2e_{2}+0e_{1}$ et $f(e_{1})=2e_{3}+0e_{2}+e_{1}$ donc $[f]_{{\mathcal {E}}'}^{{\mathcal {E}}'}={\begin{pmatrix}2&-1&2\\1&2&0\\3&0&1\end{pmatrix}}$.
3. $f(e_{2}-e_{3})=-3e_{1}+e_{2}-3e_{3}=(e_{2}-e_{3})-e_{1}-2(e_{1}+e_{3})$,
   $f(e_{1})=e_{1}+2e_{3}=-e_{1}+2(e_{1}+e_{3})$ et
   $f(e_{1}+e_{3})=4e_{1}+e_{2}+4e_{3}=(e_{2}-e_{3})-e_{1}+5(e_{1}+e_{3})$ donc
   

   $[f]_{\mathcal {F}}^{\mathcal {F}}={\begin{pmatrix}1&0&1\\-1&-1&-1\\-2&2&5\end{pmatrix}}$.