Mécanique pour l'enseignement technique industriel/Statique graphique - Trois forces concourantes

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Présentation

Le cas d'un solide soumis à trois forces concourantes peut se résoudre assez simplement de manière graphique. Il permet de traiter de nombreux cas réels.

Objectifs

Le but de ce chapitre est de savoir résoudre les problèmes de statiques dans le cas d'une pièce soumise à trois forces concourantes.

Savoirs techniques

Connaissances (notions, concepts)	Niveau
	1	2	3	4
Résolution graphique d'un problème de statique dans le cas d'un solide soumis à trois forces non parallèles (actions mécaniques modélisables par des glisseurs)			×

Système soumis à trois forces non parallèles

On se place dans l'hypothèse d'un problème plan.

Palonnier soumis à trois forces non parallèles.

Considérons un palonnier, une pièce servant à répartir un effort sur deux câbles ; la situation est représentée sur la figure ci-contre. Dans le cas à gauche, le palonnier tourne ; il est stable dans le cas à droite. Pour qu’il ne tourne pas, il faut que les droites d'action des trois forces se coupent en un point nommé « I ». On parle de « forces concourantes ».

Début d’un théorème

Théorème du moment résultant statique

Si un solide est soumis à trois forces, alors il est à l'équilibre en rotation si les droites d’action des forces sont concourantes.

Fin du théorème

Si le palonnier ne monte pas et ne descend pas, c’est que les forces qui tirent vers le haut compensent celles qui tirent vers le bas. Et s'il ne va ni vers la gauche, ni vers la droite, c’est que les forces qui tirent vers la gauche compensent celles qui tirent vers la droite.

La condition $\sum {\vec {\mathrm {F} }}_{\mathrm {ext} }={\vec {0}}$ s'écrit ici, pour les trois forces de traction ${\vec {\mathrm {T} }}_{1},{\vec {\mathrm {T} }}_{2},{\vec {\mathrm {T} }}_{3}$ :

${\vec {\mathrm {T} }}_{1}+{\vec {\mathrm {T} }}_{2}+{\vec {\mathrm {T} }}_{3}={\vec {0}}$

c'est-à-dire que si l’on met les flèches bout à bout, l'extrémité rejoint l'origine, on obtient un triangle fermé.

Début d’un théorème

Théorème de la résultante statique

Si un solide est soumis à trois forces, alors il est à l'équilibre en translation si, mises bout à bout en respectant le sens des flèches, les forces forment un triangle fermé.

Cette figure est appelée « le triangle des forces », ou encore « le dynamique des forces », ou tout simplement « le dynamique ».

Fin du théorème

Exemple

Reprenons l’exemple de l’échelle (voir Statique - Principes de la statique > Isolement d'un solide).

Étude d'une échelle : modélisation mécanique (gauche) et dynamique (droite).

Question.

Sur les diagrammes ci-contre, déterminer graphiquement les actions mécaniques en A et en B.

Compléter le tableau ci-dessous.

Caractéristiques des actions mécaniques,
avant et après l’application du PFS

Action mécanique	Point d’application	Direction		Sens		Intensité
		Avant	Après	Avant	Après	Avant	Après
${\vec {\mathrm {P} }}$	G	|	…	↑	…	1 370 N	…
${\vec {\mathrm {A} }}_{\mathrm {AC4/B3} }$	A	?	…	?	…	?	…
${\vec {\mathrm {A} }}_{\mathrm {AC4/B3'} }$	B	—	…	?	…	?	…

Réponse.

Solution du problème de l’échelle.

La méthode de résolution est la suivante (voir figure ci-contre).

1. Sur le dessin de modélisation/isolement : on détermine l’intersection des droites d’action connues (${\vec {\mathrm {P} }}$ et ${\vec {\mathrm {B} }}_{\mathrm {C4/B3'} }$) ; ce point s’appelle I.
2. Les forces sont concourantes, donc la droite d’action de ${\vec {\mathrm {A} }}_{\mathrm {C4/B3} }$ passe aussi par I ; cette droite est donc (AI), on la trace.
3. Sur le dynamique, on trace le vecteur ${\vec {\mathrm {P} }}$ avec l’échelle indiquée : longueur = 1 370/40 = 34 mm.
4. On sait que les vecteurs doivent faire un triangle. on connaît un côté du triangle, ${\vec {\mathrm {P} }}$, et les directionsdes deux autres côtés, horizontale et (AI). On trace les parallèles à ces directions à chacune des extrémités de ${\vec {\mathrm {P} }}$ ; l’intersection des droites donne le triangle des forces.
5. Sur le triangle des forces, on trace les flèches des vecteurs pour former un « circuit », et on place le nom des vecteurs.
6. On mesure la longueur des côtés du triangle pour déterminer l’intensité des forces avec l’échelle :
   $\|{\vec {\mathrm {A} }}_{\mathrm {C4/B3} }\|=52\times 40=2\,080\ \mathrm {N}$, et $\|{\vec {\mathrm {B} }}_{\mathrm {C4/B3'} }\|=39\times 40=1\,560\ \mathrm {N}$.
7. On complète le tableau des caractéristiques des forces.

Dans ce tableau, certaines colonnes sont séparées en 2 : la partie de gauche est ce que l’on connaît au début (résultat de l’isolement et du bilan des actions mécaniques extérieures), la partie de droite est le résultat final (après application du PFS).

Caractéristiques des actions mécaniques,
avant et après l’application du PFS

Action mécanique	Point d’application	Direction		Sens		Intensité
		Avant	Après	Avant	Après	Avant	Après
${\vec {\mathrm {P} }}$	G	|	…	↑	…	1 370 N	…
${\vec {\mathrm {A} }}_{\mathrm {AC4/B3} }$	A	?	(AI)	?	↗	?	2 080 N
${\vec {\mathrm {A} }}_{\mathrm {AC4/B3'} }$	B	—	…	?	←	?	1 560 N

Notes pour les enseignants

Nous nous limitons aux problèmes plans. De ce fait, la notion de forces coplanaires est inutile. Rappelons tout de même que dans le cas d'un solide à l'équilibre sous l'effet de trois forces, les forces sont toujours coplanaires, c'est-à-dire que les vecteurs force sont contenus dans le plan défini par les points d'application s'ils ne sont pas alignés, ou dans un plan contenant la droite joignant les points d'application s'ils sont alignés.

Diplômes français

Unités des diplômes français concernées par ce chapitre :

• bac pro EDPI :
  • S4.3.3 : Résolution d'un problème de statique — méthode graphique de résolution, traduction graphique du principe fondamental dans le cas d'un système solide soumis à trois actions modélisées par des glisseurs concourants ;
• bac pro TU : S1.5 : Résolution d'un problème de statique : solution graphique (traduction graphique du principe fondamental dans le cas d'un solide soumis à 3 actions mécaniques) ;
• bac pro MEI : S.1.1.2 : Mécanique — Statique : méthode graphique de résolution (dynamique seul), système en équilibre soumis à 3 actions mécaniques concourantes ;
• bac pro ROC-SM : S2.1.1 Statique — Statique du solide : condition d'équilibre d'un solide, forces coplanaires parallèles ou concourantes (2 inconnues maximum, poids et frottement négligés) ;
• bac pro TCI : S1.4.1 Statique — Modélisation des actions mécaniques : principe fondamental de la statique.

Pour les baccalauréats non-professionnels :

• bac STI GM productique mécanique — A1-1.3.2.4 Méthode graphique de résolution : traduction graphique du principe fondamental dans le cas d'un solide soumis à trois actions modélisées par des glisseurs (ce bac est remplacé par le bac STI2D Spécialité ITEC depuis 2011.