Mécanique pour l'enseignement technique industriel/Statique graphique - Méthode du funiculaire

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Présentation

Le cas d'un solide soumis à des forces parallèles — trois ou plus, à condition qu’il y ait au plus trois inconnues — peut se résoudre de manière graphique, avec la méthode du funiculaire.

Objectifs

Le but de ce chapitre est de savoir résoudre les problèmes de statiques dans le cas d'une pièce soumise à trois forces parallèles.

Savoirs techniques

Connaissances (notions, concepts)	Niveau
	1	2	3	4
Résolution graphique d'un problème de statique dans le cas d'un solide soumis à trois forces parallèles (actions mécaniques modélisables par des glisseurs)			×

Introduction

La méthode du funiculaire est une méthode de résolution graphique qui marche dans tous les cas de statique plane, et en particulier dans le cas des forces parallèles. Elle peut être aussi utilisée pour la recherche du centre de gravité d’un système.

Cette méthode consiste à remplacer la modélisation par un câble souple auquel sont suspendues les charges.

Présentation de la méthode

On peut remplacer une poutre (haut) par un câble (bas), cela ne change pas l’indication des dynamomètres.

Isolement de la poutre (haut) et du câble (bas).

Les forces sont des « glisseurs », cela signifie que l’on peut les déplacer sur la modélisation tant qu’elles gardent la même droite d’action. Ainsi, on peut remplacer une pièce par une autre tant que les points d’applications des actions de contact restent sur la même droite.

On peut ainsi remplacer une pièce par un câble.

L’avantage du câble est que si l’on isole le crochet où est suspendue la charge, on se retrouve dans le cas d’un problème à forces concourantes, et l’on connaît les directions de toutes les forces : ce sont les portions de câble, car chaque brin rectiligne est un solide soumis à deux forces (on néglige son poids propre).

De la même manière, on peut isoler les points d'accroche du câble, on se retrouve avec un système à trois forces concourantes : les actions des deux brins de câble et l'action du support. On a ainsi un triangle des forces par point d'application sur le câble.

Isolement des crochets avec les dynamiques relatifs, et dynamique global (en bas).

On peut alors regrouper les triangles des forces en accolant les côtés correspondant aux forces réciproques — et qui ont donc la même longueur. On obtient ainsi un dynamique avec des segments qui se rejoignent en un point appelé « pôle ».

La méthode du funiculaire consiste à construire un câble à partir de la modélisation et du dynamique. Le terme « funiculaire » désigne le câble fictif que l’on va tracer.

Méthode de résolution

La méthode consiste à « construire le câble » en parallèle du dynamique.

Comme on travaille avec des forces parallèles, tous les vecteurs sont superposés sur la même verticale sur le dynamique. Pour des raisons de clarté, on utilise deux verticales décalées : une pour les forces vers le haut, une pour les forces vers le bas.

Recherche de forces inconnues

Reprenons l’exemple du cuiseur hydrolyseur (voir Modélisation des actions mécaniques > Détermination du centre de gravité).

Cuiseur hydrolyseur de graisse.

Nous étudions un cuiseur hydrolyseur (voir figure ci-contre) : c’est un four rep. 1 utilisé pour transformer les carcasses d’animaux en farine. Il est doté d’un moteur rep. 2 permettant de faire circuler les produits, ce qui assure une production en continu. Il est en appuis en A et en D sur des plots antivibrations rep. 0.

Le four 1 a un poids de 780 N et son centre de gravité est G₁. Le moteur 2 a un poids de 920 N et son centre de gravité est G₂.

Cuiseur hydrolyseur : funiculaire et dynamique (vierge).

Question.

Déterminer graphiquement les actions en A et en D. Sur le modèle, M est le point de départ du funiculaire. Sur le dynamique, O est le point de départ du dynamique et P en est le pôle.

Caractéristiques des actions mécaniques extérieures,
avant et après l’application du PFS

Action mécanique	Point d'application	Direction	Sens		Intensité
			Avant	Après	Avant	Après
${\vec {\mathrm {P} }}_{1}$	G1	|	↓	…	780 N	…
${\vec {\mathrm {P} }}_{2}$	G2	|	↓	…	920 N	…
${\vec {\mathrm {A} }}_{0/1}$	A	|	?	…	?	…
${\vec {\mathrm {D} }}_{0/1}$	D	|	?	…	?	…

Réponse.

Cuiseur hydrolyseur : funiculaire et dynamique, mise en place des caractéristiques connues.

Cuiseur hydrolyseur : funiculaire et dynamique, recherche des caractéristiques inconnues.

Pour construire la figure, il faut agir méthodiquement : on progresse

• de gauche à droite sur le modèle ;
• de haut en bas sur le dynamique.

(cela n’est pas indispensable mais permet d’avoir une figure bien équilibrée). Donc :

1. On prend les forces connues de gauche à droite (${\vec {\mathrm {P} }}_{1}$, puis ${\vec {\mathrm {P} }}_{2}$) ; on les trace l’une derrière l’autre sur le dynamique (on en fait la somme) en partant de O.
   On ne peut pas encore tracer les vecteurs ${\vec {\mathrm {A} }}_{0/1}$ et ${\vec {\mathrm {D} }}_{0/1}$, mais on sait que l’on aura ${\vec {\mathrm {A} }}_{0/1}$ en haut (car il est à gauche) et ${\vec {\mathrm {D} }}_{0/1}$ en bas.
2. On trace les droites polaires, c’est-à-dire les droites reliant le point P (pôle) aux extrémités des vecteurs ; on les numérote de haut en bas en partant de 0.
3. Sur le dynamique, la droite polaire 0 sépare le vecteur ${\vec {\mathrm {P} }}_{1}$ du vecteur ${\vec {\mathrm {A} }}_{0/1}$ (qui n’est pas encore tracé) ; sur la modélisation, on appelle « 0’ » la zone séparant la droite d’action de ${\vec {\mathrm {P} }}_{1}$ de la droite d’action de ${\vec {\mathrm {A} }}_{0/1}$.
   Sur le dynamique, la droite polaire 1 sépare les vecteurs ${\vec {\mathrm {P} }}_{1}$ et ${\vec {\mathrm {P} }}_{2}$, sur la modélisation, on appelle « 1’ » la zone séparant les droites d’actions de ${\vec {\mathrm {P} }}_{1}$ et de ${\vec {\mathrm {P} }}_{2}$.
   De même pour la zone 2’. La zone 3’ est la zone séparant les droites d’action de ${\vec {\mathrm {A} }}_{0/1}$ et de ${\vec {\mathrm {D} }}_{0/1}$.
4. Sur la modélisation, on trace la parallèle à la droite polaire 0 en partant de M et en traversant la zone 0’ ; on l’arrête donc sur la droite d’action de ${\vec {\mathrm {P} }}_{1}$ ; ce segment est appelé « 0’ ».
   En partant de ce point, on trace dans la zone 1’ la parallèle à la droite polaire 1 ; ce segment est appelé « 1’ ».
   De même pour le segment 2’.
5. Pour fermer le polygone, il faut tracer une ligne traversant la zone 3’ ; c’est la « ligne de fermeture » LF = 3'.
6. On trace la droite polaire « 3 », qui part du pôle P et est parallèle à LF = 3'.
7. Cette droite polaire coupe le dynamique en deux parties, ce qui permet de déterminer ${\vec {\mathrm {D} }}_{0/1}$ (en bas) et ${\vec {\mathrm {A} }}_{0/1}$ (en haut). Pour des raisons de clarté, on décale les vecteurs remontant.
8. On mesure les longueurs de ${\vec {\mathrm {A} }}_{0/1}$ et de ${\vec {\mathrm {D} }}_{0/1}$ sur le dessin, et on détermine les normes en utilisant l’échelle.

   $\|{\vec {\mathrm {A} }}_{0/1}\|=30\times 20=720\ \mathrm {N}$

   $\|{\vec {\mathrm {D} }}_{0/1}\|=49\times 20=980\ \mathrm {N}$

Caractéristiques des actions mécaniques extérieures,
avant et après l’application du PFS

Action mécanique	Point d'application	Direction	Sens		Intensité
			Avant	Après	Avant	Après
${\vec {\mathrm {P} }}_{1}$	G1	|	↓	…	780 N	…
${\vec {\mathrm {P} }}_{2}$	G2	|	↓	…	920 N	…
${\vec {\mathrm {A} }}_{0/1}$	A	|	?	↑	?	720 N
${\vec {\mathrm {D} }}_{0/1}$	D	|	?	↑	?	980 N

Si l’on suit le dynamique dans les sens des flèches (vecteurs force) en partant du point 0, on a (forces initialement connues en gras, forces initialement inconnues en police normale) :

$0-{\vec {\mathbf {P} }}_{\mathbf {1} }\to 1-{\vec {\mathbf {P} }}_{\mathbf {2} }\to 2-{\vec {\mathrm {D} }}_{0/1}\to 3-{\vec {\mathrm {A} }}_{0/1}\to 0{\text{ ;}}$

dans cette manière de décrire les forces, on va de gauche à droite pour les forces descendantes, et de droite à gauche pour les forces montantes. C’est cette succession qui définit la forme du dynamique et le zonage (définition des zones 0’, 1’, … sur la modélisation).

Une résolution analytique (voir ci-après Statique analytique) donne $\|{\vec {\mathrm {A} }}_{0/1}\|=713\ \mathrm {N}$ et $\|{\vec {\mathrm {D} }}_{0/1}\|=987\ \mathrm {N}$, soit un écart inférieur à 1 %, ce qui est largement suffisant pour nos applications.

Recherche du centre de gravité

Nous travaillons toujours sur le cuiseur hydrolyseur.

Cuiseur hydrolyseur : funiculaire et dynamique (vierge).

Question.

Déterminer graphiquement la position du centre de gravité des sous-ensembles 1 et 2.

Cuiseur hydrolyseur : funiculaire et dynamique, recherche du centre de gravité.

Réponse.

Le centre de gravité total G est là où l’on place le poids total ${\vec {\mathrm {P} }}={\vec {\mathrm {P} }}_{1}+{\vec {\mathrm {P} }}_{2}$. Sur le dynamique (voir figure ci-dessus), ${\vec {\mathrm {P} }}_{1}+{\vec {\mathrm {P} }}_{2}$ relie les droites polaires 0 et 2 ; sur le funiculaire, G est donc à l’intersection des droites 0’ et 2’. La procédure pour le trouver est donc (voir figure ci-contre) :

1. Comme précédemment.
2. Comme précédemment.
3. Comme précédemment.
4. Comme précédemment.
5. Sur le dynamique, les droites polaires 0 et 2 sont aux extrémités du poids, donc sur le funiculaire, elles se coupent sur la droite d’action du poids. On prolonge les droites 0’ et 2’ jusqu’à trouver leur intersection ; cela donne l’abscisse de G.
   On trace une ligne verticale jusqu’au modèle et on place une cote indiquant la position de G par rapport au point le plus à gauche.

   x_G = 51 × 20 = 1 020 mm.

Un calcul analytique (voir Modélisation des actions mécaniques > Détermination du centre de gravité) donne x_G = 1 011 mm soit une erreur de 0,9 %, ce qui est largement suffisant pour nos applications.

Notes pour les enseignants

Diplômes français

Unités des diplômes français concernées par ce chapitre :

• bac pro ROC-SM : S2.1.1 Statique — Statique du solide :
  • condition d'équilibre d'un solide, forces coplanaires parallèles ou concourantes (2 inconnues maximum, poids et frottement négligés) ;
  • position du centre de gravité ;
• bac pro TCI : S 1.41 Statique — Les études sont à appliquer à des systèmes soumis à des forces coplanaires parallèles (hypothèse : frottements négligés) ; n actions lorsqu'elles sont parallèles :
  • principe fondamental de la statique p
  • recherche de la position relative d’un centre de gravité.

Pour les baccalauréats non-professionnels :

• bac STI GM productique mécanique — A1-1.3.2.4 Méthode graphique de résolution : traduction graphique du principe fondamental dans le cas d'un solide soumis à trois actions modélisées par des glisseurs.