Leçons de niveau 12

Mécanique pour l'enseignement technique industriel/Statique - Principes de la statique

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Statique - Principes de la statique
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Chapitre no 13
Leçon : Mécanique pour l'enseignement technique industriel
Chap. préc. :Modélisation - Les actions mécaniques
Chap. suiv. :Statique - Pièce soumise à deux forces
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Mécanique pour l'enseignement technique industriel/Statique - Principes de la statique
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Présentation[modifier | modifier le wikicode]

Nous avons vu précédemment comment on « transforme » la réalité en nombres, en vecteurs ; c’est la modélisation. Cette modélisation permet ensuite de faire des calculs ou des tracés.

Le but de ceci est de déterminer les actions mécaniques inconnues (par exemple l’effort à fournir par un actionneur, les efforts sur les liaisons, …). Ceci se fait grâce aux principes de la statique. La démarche se décompose en quatre parties :

  1. Isolement d’un système.
  2. Simplification des problèmes plans.
  3. Bilan des actions mécaniques extérieures.
  4. Application du principe des actions réciproques.
  5. Application du principe fondamental de la statique.

Objectifs[modifier | modifier le wikicode]

Le but de ce chapitre est d’identifier les étapes de la résolution d'un problème de statique et d’en connaître les principes.

Savoirs techniques
Connaissances (notions, concepts) Niveau
1 2 3 4
Isolement d'un système. ×
Principe des actions mutuelles : expression vectorielle. ×
Bilan des actions mécaniques extérieures. ×
Principe fondamental de la statique : expression vectorielle. ×

Isolement d'un solide[modifier | modifier le wikicode]

On s’intéresse à l’équilibre d’un système. Il faut donc indiquer quel est le système étudié. Le mot « système » peut désigner une pièce ou un ensemble de pièce.




« Rigide » signifie que les points d’application des forces extérieures ne doivent pas bouger les uns par rapport aux autres. Mais le système peut présenter des pièces mobiles à l’intérieur (cas par exemple d’un moteur).

Exemple

Mise en situaiotn : échelle d'accès à la passerelle supérieure d'une cuve (mélangeur).
Plan de détail de l'échelle.

On considère une cuve utilisée pour la fabrication du sucre.

Sur la partie supérieure de la cuve, on peut avoir accès aux différents éléments de mise en service et de contrôle grâce à une passerelle composée de caillebotis. On accède à celle-ci grâce à une échelle fixés sur les longerons rep. C4 (voir figure ci-contre).

La modélisation de l’échelle est donnée sur la figure ci-dessous. La liaison en A (patte de fixation rep. B3) entre l’échelle rep. B et le longeron rep. C4 est modélisée par une liaison pivot d’axe . La liaison en B (patte de fixation rep. B3’) entre l’échelle rep. B et le longeron rep. C4 est modélisée par une liaison ponctuelle de normale .

C4 2 Longeron support de caillebotis S235
B3 4 Patte de fixation S235
B2 7 Barreau S235
B1 2 Montants S235
Rep. Nb. Désignation Matière Observations
Modélisation mécanique de l'échelle.

Question.

Isoler l’ensemble {échelle rep. B ; technicien de maintenance}, avec l’échelle rep. B = {B1 ; B2 ; B3 ; B3’}.

Isolement de l'échelle.

Réponse.

On représente schématiquement l’échelle avec les points et directions importants (voir figure ci-contre) :

  • centre de gravité G et sa verticale ;
  • centre de la liaison A (il n’y a pas de direction particulière pour une liaison pivot) ;
  • point de contact B et normale de contact.

La forme exacte de l’échelle — épaisseur des pièces, présence du technicien — n’a pas d’importance.


Image logo représentative de la faculté Voir les exercices sur : Isolement d'un solide.



Activité 3

Isoler une voiture en train de rouler sur une route horizontale. Le problème est symétrique dans le plan sagittal (plan vertical séparant la voiture en deux moitiés gauche-droite), et l’on supposera que la liaison entre les roues arrières (roues libres) et le sol est une liaison idéale.

Simplification des problèmes plans[modifier | modifier le wikicode]


Nous considérerons par défaut que ce plan est le plan .

Cuiseur de graisse au lithium : mise en évidence du plan de symétrie.
Forces extérieures agissant sur le cuiseur de graisse au lithium (problème plan).

Exemple.

Le système représenté sur la figure ci-contre est une unité de fabrication de graisse au lithium. Le système présente un plan de symétrie ; on peut donc se contenter de travailler sur une vue projetée.

On considère que l’on n’a que trois actions mécaniques extérieures : le poids , l’action du sol sur le pied en B, et l’action du sol sur le pied en D. Cette dernière action regroupe en fait l’action du sol sur deux pieds symétriques, en D1 et D2 :

.
Équivalence des liaisons pour les problèmes plans : liaisons équivalentes à une sphère plan (gauche) et à une pivot d'axe z (droite).

Dans l'hypothèse des problèmes plans, on peut souvent se ramener à trois types de liaisons seulement : liaison sphère-plan, liaison pivot d'axe z, liaison encastrement :

  • équivalent à une liaison sphère-plan de normale  :
    • liaison linéaire rectiligne d'axe et de normale ,
    • liaison linéaire annulaire d'axe  ;
  • équivalent à une liaison pivot d'axe  :
    • liaison rotule,
    • liaison pivot glissant d'axe ,
    • liaison linéaire annulaire d'axe .

Bilan des actions mécaniques extérieures[modifier | modifier le wikicode]

L’étape suivante consiste à faire le bilan des actions mécaniques extérieures (BAME), c’est-à-dire de recenser les actions mécaniques extérieures au système qui agissent sur lui. Ce sont les « 3 P » :

  • poids ;
  • pressions ;
  • points de contact (actions de contact).

On détermine les caractéristiques connues des actions mécaniques, sous forme d’un tableau. On représente les forces sur le dessin de modélisation.

Exemple.

Reprenons le cas de l’échelle, {échelle rep. B ; technicien de maintenance}. Sa masse est estimée à 140 kg. Du fait de la symétrie du problème, nous considérons qu’il s'agit d'un problème plan dans le plan (X, Y).

Question.

Faire le bilan des actions mécaniques extérieures.

Modélisation des caractéristiques connues des actions mécaniques.

Réponse.

On a donc :

  • poids :  ;
  • pression : aucune, la pression atmosphérique s’exerce partout et a une résultante nulle ;
  • points de contact :
    • A : force ,
    • B : force , sa direction est horizontale (normale au plan d’appui de la liaison).
Caractéristiques des actions mécaniques (voir figure ci-contre)
Action
mécanique
Point
d’application
Direction Sens Intensité
G | 1 370 N
A ? ? ?
B ? ?

Principe des actions réciproques[modifier | modifier le wikicode]

Illustration du principe des actions réciproques : deux patineurs sur glace exercent mutuellement une action l'un sur l'autre.

Comme déjà énoncé précédemment (voir Modélisation des actions mécaniques > Actions de contact) : si une personne 1 pousse sur une personne 2 avec une force de 100 N, alors la personne 2 pousse sur une personne 1 avec une force de 100 N également.

Début d’un théorème


Fin du théorème


Ce principe est également appelé « principe des actions mutuelles » ou encore « 3e loi de Newton ». Ainsi, si l’on connaît l’une des deux forces, on en déduit l’autre.

Principe fondamental de la statique (PFS)[modifier | modifier le wikicode]



Si le système est à l'équilibre, alors nécessairement les actions mécaniques extérieures se compensent, s'annulent.

Début d’un théorème


Fin du théorème


Le PFS dérive de la deuxième loi de Newton.

Dans un certain nombre de cas, les équations peuvent se résoudre de manière graphique.

Colis posé sur une table à quatre pieds (haut), à laquelle on ajoute une barre de pivot (bas).

On peut se demander pourquoi on peut choisir le point A n’importe où. Considérons un colis posé sur une table à quatre pieds. C'est un problème plan. L'effort de poussée des pieds dépend de la position du colis sur la table.

Plaçons une barre de section circulaire à un endroit quelconque de la table ; cette barre touche la table, mais n'exerce pas d'effort dessus. Cette barre représente un pivot pour la table. La situation est similaire à celle de la table seule : l'effort fourni par les pieds et par le pivot ne dépendent que de la position du colis, et sont identique aux efforts de poussée des pieds dans le cas de la table.

Nous pouvons donc placer un pivot virtuel n’importe où, et appliquer la loi des leviers par rapport à ce pivot, ce qui donne le théorème du moment résultant statique.

Notes pour les enseignants[modifier | modifier le wikicode]

La réciprocité des actions mécaniques est générale, mais il vaut mieux se limiter au seul cas des actions de contact, qui est intuitif ; il n’est pas utile, voire peut-être contre-productif, de parler de l'attraction gravitationnelle qu'exerce un objet sur la Terre… Le principe des actions réciproques peut se montrer simplement en reproduisant le schéma (sans les patins) avec un élève : le professeur demande à un élève de tendre ses mains, il pousse dessus avec ses mains et demande « si je pousse sur prénom de l'élève avec une force de 100 N, avec quelle force pousse-t-il sur moi ? »

La notion de liaisons équivalente dans le cas de problèmes plans peut être introduite au cours d'exercices plutôt qu'en cours magistral.

La notion de moment transmissible n’est pas utile à tous les domaines.

La notion d'isolement d'un solide peut être mise en parallèle avec l’analyse des mécanismes. Le tracé de la frontière d'isolement peut alors se faire sur le graphe des liaisons, et la détermination des actions de contact peut se faire à partir du graphe des liaisons et du schéma cinématique.

Diplômes français[modifier | modifier le wikicode]

Unités des diplômes français concernées par ce chapitre :

  • bac pro EDPI :
    • S4.1.4 : Principe des actions mutuelles : mise en évidence expérimentale et traduction vectorielle ;
    • S4.3.2 : Principe fondamental de la statique : traduction vectorielle du principe fondamental de la statique, théorème de a résultante, théorème du moment ;
  • bac pro TU :
    • S1.3.2 : Modélisation des actions mécaniques :
      • principe des actions mutuelles.
      • isolement d'un système de solides (frontière, actions intérieures et extérieures) ;
    • S1.5.1 Principe fondamental de la statique : théorème de la résultante, théorème du moment ;
  • bac pro MEI : S.1.1.2 : Mécanique — Statique :
    • modélisation des actions mécaniques : principe des actions mutuelles, expression vectorielle ;
    • principe fondamental de la statique :
      • isolement d'un système ;
      • bilan des actions mécaniques extérieures ;
      • principe fondamental de la statique : théorème de la résultante, théorème du moment résultant ;
  • bac pro ROC-SM : S2.1.1 Statique :
    • statique du solide : condition d'équilibre d'un solide, postulat fondamental de la statique ;
    • statique des systèmes constitués de plusieurs solides : principe des actions réciproques ;
  • bac pro TCI : S1.4.1 Statique — Modélisation des actions mécaniques : principe fondamental de la statique.

Pour les baccalauréats non-professionnels :

  • bac STI GM productique mécanique :
    • A1-1.2.3 Principe des actions mutuelles ;
    • A1-1.3 Isolement d'un système de solides :
      • frontière d'isolement,
      • identification des actions extérieures s'exerçant sur le système.
    • A1-3.1 Principe fondamental de la statique : traduction vectorielle du principe fondamental de la statique :
      • théorème de la résultante,
      • théorème du moment.

Pour les post-baccalauréats scientifiques et sti:

  • DUT Génie Mécanique et Productique et CPGE: Tous les thèmes serviront

Voir aussi[modifier | modifier le wikicode]

Notes[modifier | modifier le wikicode]