Mécanique pour l'enseignement technique industriel/Mouvement plan

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Présentation

Nous étudions ici les mouvements plans quelconques.

Objectif

Le but de ce chapitre est de savoir déterminer la vitesse d'un point d'un solide à partir de

• la vitesse d'un autre point de ce solide ;
• des liaisons cinématiques de ce solide avec les autres pièces.

Savoirs techniques

Connaissances (notions, concepts)	Niveau
	1	2	3	4
Mouvements plans entre solides : Équiprojectivité du champ des vecteurs vitesse ; centre instantané de rotation ; distribution linéaire des vitesses des points d'un solide ; composition des vitesses ; exploitations graphiques.			×

Technologie

Système pistons-bielles-vilebrequin

piston et bielle d'un moteur à combustion interne

Pompe à piston axial

Un mécanisme est composé de plusieurs pièces en contact les unes avec les autres. On a une notion de chaîne cinématique :

• à un bout de la chaîne, on a l'actionneur dont on maîtrise le mouvement : la partie commande gère l'énergie fournie (électricité pour un moteur électrique, mélange air/combustible pour un moteur à combustion interne, débit de fluide pour un vérin) ;
• à l'autre bout de la chaîne, on a l'effecteur dont le mouvement est imposé par le cahier des charges.

Il faut être capable, connaissant la vitesse de l'actionneur (commande), de déterminer la vitesse de l'effecteur (cahier des charges). Dans le cas général, l'actionneur a un mouvement simple (translation ou rotation), l'effecteur a lui aussi un mouvement simple mais différent de l'effecteur : ils n'ont pas les mêmes guidages. La pièce assurant la transmission de l'effort a donc un mouvement plan quelconque.

C'est le cas typique de la bielle (à l'exception des bielles formant un parallélogramme déformable). Dans le cas du système piston-bielle-manivelle (ou vilebrequin) :

• le piston est animé d'un mouvement de translation ;
• la manivelle (ou le vilebrequin) est animé d'un mouvement de rotation ;
• donc une des extrémités de la bielle a une trajectoire en ligne droite tandis que l'autre a une trajectoire circulaire.

Dans le cas d'un moteur, le piston est l'actionneur (l'explosion crée le mouvement) et le vilebrequin est l'effecteur (il entraîne les roues via la boîte de vitesses et la transmission). Dans le cas d'une pompe, la manivelle est l'actionneur (elle est entraînée par un moteur), le piston est l'effecteur (il aspire et refoule le fluide).

Cas de bielles transformant un mouvement de translation en un autre mouvement de translation

Représentation schématique du système ci-dessus

Une bielle peut aussi transformer un mouvement de translation en un autre mouvement de translation. Dans le cas représenté ci-contre :

• l'actionneur (le piston du vérin) a une mouvement de translation vertical ;
• l'effecteur (les pinces) a un mouvement de translation horizontale.

Vecteur vitesse, vecteur accélération

Dans le cas d'un mouvement de translation ou de rotation, on peut se contenter d'exprimer les grandeurs caractéristiques du mouvement — vitesse, accélération — par des nombres. Pour un mouvement plan, il faut utiliser des vecteurs : en effet, la direction d'avance varie en permanence.

Le vecteur vitesse ${\vec {v}}$ :

• a pour direction la tangente de la trajectoire ;
• a pour sens le sens du mouvement ;
• sa norme est déterminée de manière habituelle, en considérant la vitesse moyenne sur un court instant.

En effet, sur un court instant, l'arc courbe parcouru par l’objet est quasiment droit, et cette droite est la tangente à la courbe.

Le vecteur accélération ${\vec {a}}$, quant à lui, a deux composantes :

• une composante tangentielle au mouvement (parallèle au vecteur vitesse), qui indique si la norme de la vitesse $\|{\vec {v}}\|$ augmente ou diminue ;
• une composante normale au mouvement (perpendiculaire au vecteur vitesse), qui indique la variation de la direction du mouvement, le sens de la courbe de la trajectoire.

Enregistrement du mouvement : cliquez sur l'image pour télécharger le fichier, puis imprimez-le à l'échelle 1:1

Travaux dirigés

Activité 1

Lecture d'un enregistrement

L'enregistrement ci-contre indique les positions du centre M d'une bille roulant sur un plan incliné de 30° par rapport à l'horizontale. Sur un plan horizontal, elle aurait eue une trajectoire rectiligne ; du fait de l'inclinaison, elle prend une trajectoire parabolique.

1. Tracer la corde entre les points M₁ et M₃ ; tracer la parallèle à cette corde au point 2, c’est la tangente de la trajectoire en ce point.
2. Mesurer les longueurs des segments [M₁M₂] et [M₂M₃] ; déterminer la vitesse instantanée en v₂, qui est la vitesse moyenne sur l'arc [M₁M₃] :
   $\|{\vec {v}}_{2}\|={\frac {\mathrm {M} _{1}\mathrm {M} _{2}+\mathrm {M} _{2}\mathrm {M} _{3}}{2t}}$.
3. Tracer le vecteur vitesse ${\vec {v}}_{2}$ à l'échelle.
4. Procéder ainsi pour chaque point.
5. Tracer le vecteur ${\vec {v}}_{3}-{\vec {v}}_{2}$ et déterminer sa longueur.
6. En déduire la norme du vecteur accélération ${\vec {a}}_{2\to 3}$ et tracer ce vecteur :
   $\|{\vec {a}}_{2\to 3}\|={\frac {\|{\vec {v}}_{3}-{\vec {v}}_{2}\|}{t}}$.
7. Refaire cette construction en plusieurs points ; que peut-on en déduire ?
8. Vérifier que l’on a $\|{\vec {a}}\|\simeq 9,81\times \sin(30^{\mathrm {o} })$.

• 
  Construction du vecteur vitesse ; cliquer pour agrandir
• 
  Construction du vecteur accélération ; cliquer pour agrandir

Solution

Résultat des constructions

On trouve que les vecteurs accélérations sont identiques : ils sont tous verticaux, de norme 5 m/s². On a donc

• un mouvement à accélération constante ;
• le vecteur accélération est dirigé vers la partie concave.

On a par ailleurs 9,81 × sin(30°) = 4,905 ≃ 5.

 

Champ des vecteurs vitesse

Comme précédemment, si l’on prend une photographie de la pièce considérée en mouvement, on a un flou qui permet de déterminer le déplacement de chaque point durant le temps d'exposition, et donc le vecteur vitesse de chaque point. Dans le cas d'un mouvement plan quelconque, chaque point du solide a un vecteur vitesse différent. Par ailleurs, à partir de l'analyse fonctionnelle (du schéma cinématique), on peut déterminer :

• la trajectoire des centres des liaisons glissière de la pièce avec le bâti (segments de droite) ;
• la trajectoire des centres des liaisons pivot ou rotule de la pièce avec le bâti (arc de cercle) ;
• pour les liaisons pivot glissant, on est soit dans le cas d'une glissière ou d'un pivot, selon que l'axe est dans le plan de la figure (glissière) ou perpendiculaire au plan de la figure (pivot).

Équiprojectivité

Équiprojectivité : la distance AB reste constante (solide indéformable).

L'équiprojectivité est une des manière de déterminer la vitesse d'un point d'un solide lorsque l’on connaît la vitesse d'un autre point.

Considérons un solide et deux points A et B sur ce solide. Si le solide est indéformable, la distance AB ne varie pas.

Prenons le cas où le solide est en translation rectiligne de direction (AB), figure du haut ci-contre. Les vecteurs vitesse ${\vec {v}}_{\mathrm {A} }$ et ${\vec {v}}_{\mathrm {B} }$ sont égaux, sinon, les points s'éloigneraient ou se rapprocheraient.

Prenons maintenant le cas d'un mouvement plan quelconque, figure du bas ci-contre. Les vecteurs vitesse ${\vec {v}}_{\mathrm {A} }$ et ${\vec {v}}_{\mathrm {B} }$ ne sont pas colinéaire ; par contre, on peut les décomposer en

• une vitesse selon (AB) ;
• une vitesse perpendiculaire à (AB).

De la même manière, comme la distance AB ne varie pas, la composante selon AB des deux vecteurs vitesse est identique. Cette composante est la projection orthogonale des vecteurs vitesse sur (AB). Cette composante est ici notée ${\vec {p}}$.

Début d’un théorème

Théorème de l'équiprojectivité

Si A et B sont deux points d'un solide indéformable en mouvement, alors la projection de ${\vec {v}}_{\mathrm {A} }$ sur la droite (AB) est égale à la projection de ${\vec {v}}_{\mathrm {B} }$ sur (AB).

Fin du théorème

Méthode de l'équiprojectivité

Si l’on connaît la vitesse de A, ${\vec {v}}_{\mathrm {A} }$, et que l’on connaît la direction du vecteur vitesse de B (car c’est le centre d'une liaison avec le bâti), Δ_B, alors on peut trouver ${\vec {v}}_{\mathrm {B} }$ :

1. on projette ${\vec {v}}_{\mathrm {A} }$ sur (AB), on obtient le vecteur ${\vec {p}}$ :
2. on reporte le vecteur ${\vec {p}}$ en B ;
3. on fait la projection inverse : on tire la perpendiculaire à (AB) passant par l'extrémité de ${\vec {p}}$, et l’on s'arrête sur Δ_B.

Cela donne le vecteur ${\vec {v}}_{\mathrm {B} }$.

Cette méthode ne marche pas si ${\vec {v}}_{\mathrm {A} }$ est perpendiculaire à (AB).

Dans ce cas-là, le vecteur projeté ${\vec {p}}$ est nul. Tout ce que l’on sait, c’est que ${\vec {v}}_{\mathrm {B} }$ est lui aussi perpendiculaire à (AB).

Faites ces exercices : Mouvements plans > Préhenseur de support de culasse.

Centre instantané de rotation

Centre instantané de rotation d'une bielle : pendant un court instant, un mouvement plan est similaire à une rotation.

Le centre instantané de rotation, ou CIR, est une autre manière de déterminer la vitesse d'un point d'un solide lorsque l’on connaît la vitesse d'un autre point.

Rappelons tout d’abord que l’on peut étendre artificiellement un solide : dans le cas d'un problème plan, on peut considérer qu'une pièce est dessinée sur un calque et que c’est tout le calque qui se déplace. On peut donc considérer le mouvement de n’importe quel point du calque (notion de point coïncident.)

Propriété

Si un solide n’est pas en translation, alors il existe un point du calque dont la vitesse est nulle.

Prenons une photographie d'un objet animé d'un tel mouvement. Le flou permet de déterminer le champ de vecteurs vitesse. Or, on remarque que l’on a le même champ de vitesse, le même flou, si l’on suppose que le solide tourne autour du point de vitesse nulle. Ceci n'est valable que pour un instant donné ; le point de vitesse nulle ne sera pas forcément le même quelques instants plus tard.

Définition

Le champ de vecteurs vitesse du solide est le même que s'il tournait autour du point de vitesse nul. Ce point de vitesse nulle porte le nom de centre instantané de rotation (CIR).

Bien évidemment, si le solide est animé d'un mouvement de rotation autour du point O, alors O sera le CIR.

Méthode du centre instantané de rotation.

Si l’on connaît la vitesse de A, ${\vec {v}}_{\mathrm {A} }$, et que l’on connaît la direction du vecteur vitesse de B (car c’est le centre d'une liaison avec le bâti), Δ_B, alors on peut trouver ${\vec {v}}_{\mathrm {B} }$ :

1. On trace la perpendiculaire à ${\vec {v}}_{\mathrm {A} }$ en A.
2. On trace la perpendiculaire à Δ_B en B.
3. Le CIR est à l'intersection de ces deux droites : en effet, comme on est dans le cas d'une rotation autour de CIR, on sait que les segments de droite [CIR, A] et [CIR, B] sont des rayons des trajectoires et qu’ils sont donc perpendiculaires aux vecteurs vitesse.
4. On applique la méthode utilisée pour les mouvements de rotation :
   1. on détermine le point B' de la droite (CIR, A) qui est sur le cercle de centre CIR passant par B ;
   2. on trace le triangle des vitesse des points de (CIR, A), ce qui nous donne ${\vec {v}}_{\mathrm {B'} }$ ;
   3. on fait tourner ${\vec {v}}_{\mathrm {B'} }$ pour le reporter en B.

Cette méthode ne marche pas si Δ_B est parallèle à ${\vec {v}}_{\mathrm {A} }$.

Mais on est alors dans le cas d'une translation, les vecteurs vitesse sont tous identiques donc ${\vec {v}}_{\mathrm {B} }={\vec {v}}_{\mathrm {A} }$…

Faites ces exercices : Mouvements plans > Préhenseur de support de culasse.

Composition des vitesses

Composition des vitesses.

Prenons le cas d'un vérin. Comme nous l'avons vu précédemment, le mouvement de la tige de vérin se compose de la rentrée de tige 3 par rapport au corps 2, et de la rotation du corps 2 par rapport au bâti 1. On a donc pour les vecteurs vitesse :

Loi de composition des vitesses

${\overrightarrow {\mathrm {V} }}_{\mathrm {B} \in \mathrm {3/1} }={\overrightarrow {\mathrm {V} }}_{\mathrm {B} \in \mathrm {3/2} }+{\overrightarrow {\mathrm {V} }}_{\mathrm {B} \in \mathrm {2/1} }$

C'est une relation similaire à la relation de Chasle : les indices s'enchaînent.

La relation vectorielle ci-dessus se traduit graphiquement par le fait que les trois vecteurs forment un triangle.

Faites ces exercices : Mouvements plans > Composition des vitesses.

Note pour les enseignants

Diplômes français

Unités des diplômes français concernées par ce chapitre :

• bac pro EDPI : S4.2.2 : Mouvements plans entre solides ;
  • champs des vecteurs vitesse d'un solide,
  • équiprojectivité,
  • centre instantané de rotation, distribution des vitesses des points d'un solide,
  • mouvements relatifs entre solides, composition des vecteurs vitesse,
  • cas particuliers de mouvements plans ;
• bac pro TU : S1.4.2 : Mouvements plans entre solides
  • équiprojectivité,
  • centre instantané de rotation,
  • composition des vitesses ;
• bac pro MEI : S.1.3 : Cinématique — Mouvements plans entre solides : le modèle étant fourni, faire l'analyse du mécanisme sous assistance informatique (caractéristiques des paramètres cinématiques) :
  • équiprojectivité du champ des vecteurs vitesse,
  • centre instantané de rotation,
  • distribution linéaire des vitesses des points d'un solide,
  • exploitations graphiques ;
• bac pro ROC-SM : ce chapitre n’est pas au programme ;
• bac pro TCI : ce chapitre n’est pas au programme ;
• bac pro mva : équiprojectivité
• bac pro care :équiprojectivité

Pour les baccalauréats non-professionnels :

• bac STI GM productique mécanique : A1-2.2 Mouvements plans entre solides
  • champs des vecteurs vitesse d'un solide,
  • équiprojectivité,
  • centre instantané de rotation
  • mouvement relatif, composition des vecteurs vitesse.

Note

Le programme est plus restreint pour le bac pro ROC-SM. Le niveau exigé est plus bas pour le bac pro TCI (niveau 2 au lieu de 3).

Voir aussi

• Cinématique/CIR
• Cinématique/TDE (Théorème de l'équiprojectivité)