Mécanique pour l'enseignement technique industriel/Mouvement de rotation

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Présentation

Nous étudions ici les mouvements de rotation.

Objectif

Le but de ce chapitre est de mettre en relation l'enregistrement du mouvement, les chronogrammes et les équations horaires. À la fin du chapitre, l'étudiant doit être capable :

• à partir d'un enregistrement, de déterminer la vitesse et l'accélération, de tracer les chronogrammes et d’établir les équations horaires ;
• à partir des chronogrammes, de déterminer la vitesse et l'accélération, de tracer l'enregistrement et d’établir les équations horaires ;
• à partir des équations horaires, de déterminer la vitesse et l'accélération, de tracer les chronogrammes et de tracer l'enregistrement.

Savoirs techniques

Connaissances (notions, concepts)	Niveau
	1	2	3	4
Cinématique du point d'un solide en mouvement de rotation par rapport à un repère donné : position, trajectoire, vitesse, accélération (solide en rotation autour d'un axe fixe). Pour des mouvements uniformes ou uniformément variés : représentation graphique (graphes des déplacements et des vitesses) ; expression analytique (relation entre déplacement, vitesse, accélération).		×

Technologie

De la même manière que pour les mouvements de translation rectiligne, pour faire un mouvement précis, il faut séparer les pièces qui guident des pièces qui créent le mouvement.

Guidage en rotation

Symbole de la liaison pivot

Pour un guidage en rotation précis, on utilise donc une liaison pivot. La liaison pivot est en général composée de plusieurs liaisons :

Gond de porte (paumelle) : articulation en porte-à-faux

Articulation en chape

Charnière : articulation en chape

Palier lisse à bague en bronze

Palier hydrodynamique : l'arbre flotte sur un film d'huile aux vitesses de rotation élevées

Liaison pivot-glissant et butée

• articulation en porte-à-faux : un centrage long avec un plan d'appui d'un côté ; de l'autre côté, la butée est en général limitée à un anneau élastique ou à une goupille ;
• articulation en chape (fourche) : deux centrages courts avec un appui plan, même remarque.

Pour limiter la résistance au pivotement (adhérence et frottement), on lubrifie les articulation : graissage, huilage. On utilise souvent des matériau tels que le bronze ou du PTFE (Téflon). Il s'agit de pièces d'usure, destinées à être changées lors d'arrêt de maintenance.

Pour les vitesses très élevées, on utilise des paliers lisses remplis d'huile ; lorsque la vitesse de rotation augmente, l'arbre « flotte » sur un film d'huile et n’est pas en contact avec l'alésage. On parle de palier hydrodynamique.

Montage classique de roulements à billes à contact radial, serré sur l'arbre : le roulement de gauche est bloqué en translation, le roulement de droite peut coulisser dans le moyeu

Montage de deux roulements à billes à contact radial (en rouge), serré sur l'arbre, avec un arbre court : les roulements peuvent coulisser vers l'extérieur dans le moyeu (deux demies rotules)

Support de couvercle pivotant, constitué d'un tube rep. 1 passant dans une plaque percée et pliée rep. 3 ; la butée est une rondelle soudée

Modèle cinématique du pivot ci-dessus : deux centrages courts et une butée, donc une linéaire annulaire et une rotule

Modélisation d'une liaison pivot à deux gonds : le jeu important (0,2 à 0,3 mm pour un ∅30 mm et une longueur de guidage de 105 mm) autorise le rotulage

Liaisons rotule et linéaire annulaire

• gonds d'une porte : bien que l’on ait un centrage long, le jeu important autorise le rotulage, on s'en aperçoit bien lorsque l’on veut remonter une porte et que l’on ne met qu'un gond ; et comme l'écartement des parties n’est pas exactement le même sur les montants et sur la porte, le poids porte sur un seul gond (liaisons rotule) tandis que l'autre se contente d'empêcher la porte de basculer mais ne supporte pas de poids (liaison linéaire annulaire) ;
• association de deux roulement à billes à contact radial, un des roulements n'étant pas bloqué en translation ; pour les arbres courts, on bloque la translation des deux roulements vers l'intérieur mais on laisse libre vers l'extérieur (deux demies rotules, mais la modélisation des liaisons reste la même).

Roulements à rouleaux coniques, montage en X ou en O

Modélisation du montage

Deux liaisons rotule (solution hyperstatique, mais permettant d'encaisser des efforts axiaux)

roulements à rouleaux coniques montés en O ou en X ;

Un roulement à aiguilles constitue une liaison pivot

Deux liaisons pivot (solution hyperstatique)

deux roulements à aiguille (léger, prend peu de place en épaisseur).

L'utilisation d'éléments roulants (roulements) permet de réduire énormément la résistance au pivotement par rapport à des paliers lisses, mais augmente le coût du système.

Actionneur en rotation

Moteur à combustion interne

Moteur électrique

Turbine : les gaz de combustion poussent sur les ailettes

Vérin rotatif à système pignon-crémaillère

Il existe plusieurs types d'actionneurs en rotation. Le principe est d'imprimer un effort tangentiel à l'arbre de rotation. La nature de cet effort peut être :

• un poids : entretien du mouvement d'une pendule ;
• un effort manuel : manivelle, volant, levier, pédalier ;
• un effort créé par un courant de fluide naturel (vent, courant d'eau) ou forcé (barrage) : moulin, éolienne, hydraulienne, turbine ;
• un effort créé par la pression de gaz de combustion : moteur à combustion interne (moteur « a explosion »), turbine ;
• un effort créé par le mouvement d'un fluide lui-même créé par un compresseur : vérin rotatif, moteur hydraulique ;
• une force électromagnétique (aimants qui se repoussent) : moteur électrique.

Par ailleurs, la direction de l'effort peut être :

• tangentielle à un cercle centré sur l'arbre, l'effort étant alors transformé par un principe de levier : moulin à aubes, turbine à eau Pelton, moteur électrique, vérin rotatif (transformation du mouvement par système pignon-crémaillère) ;
• parallèle à l'arbre (axe de rotation), l'effort étant dévié par des ailes ou ailettes : moulin à vent, éolienne, turbine à gaz, turbines à eau Francis ou Kaplan (système d'hélice), certains moteurs hydrauliques ;
• axiale, cet effort faisant tourner une manivelle (villebrequin) par l'intermédiaire d'une bielle (barre de connexion) ou un plateau cyclique : moteur à combustion interne, certains moteurs hydrauliques.

Transmission du mouvement

Engrenage à axes parallèles

Engrenage à axes concourants

Transmission par courroies

Transmission par chaîne

Vis sans fin

Le système de vis sans fin est irréversible : on ne peut pas détendre la corde en tirant dessus

Transmission par arbre, les défauts d'alignement étant compensés par des cardans

Joint d'Oldham permettant d'ajuster les défauts d'alignement

Le joint d'Oldham permet de transmettre un mouvement de rotation entre deux arbres qui ne sont pas parfaitement alignés (liés aux disques verts).

Un mouvement de rotation peut être transmis de plusieurs manières :

• par roues dentées, engrenages : ce système permet de transmettre des efforts importants ;
• par des courroies tendues entre des poulies : c’est un système peu onéreux et silencieux, mais qui ne permet pas la transmission d'efforts importants (glissement de la courroie), ce système peut même être utilisé comme limiteur de couple (pour éviter la détérioration en cas de blocage) ;
• par des chaînes ;
• par un système de vis sans fin (vis-pignon) : c’est un système irréversible, mais avec un très mauvais rendement ;
• par un arbre : des systèmes permettent de pallier les défauts d'alignement (cardan, accouplement élastique, joint d'Oldham).

Fréquence et période

Faites ces exercices : Mouvements de rotation > Enregistrement de mouvements.

La fréquence, notée N, est le nombre de tours par seconde (tr/s) que fait la pièce étudiée.

La période, notée T, est la durée d'un tour exprimée en secondes.

On a :

N = 1/T.

En effet :

• plus la pièce tourne lentement (N est petit), plus le tour dure longtemps (T est grand) ;
• à l'inverse, si la durée T d'un tour est petite, la fréquence de rotation N est élevée.

Vitesse tangentielle

Voitures sur un gyratoire

Considérons une voiture tournant autour d'un rond-point (gyratoire). Elle roule à une vitesse v_c = 30 km/h, et le rond-point fait 10 m de diamètre. Le périmètre parcouru vaut

p = π × d = π × 10 = 31,4 m = 0,0314 km.

Si la voiture tournait pendant une heure, elle ferait 30/0,0314 = 955 tours, la fréquence de rotation est donc N = 955 tr/h.

Calculons maintenant en mètres et en secondes. La voiture roule à 8,33 m/s, le périmètre fait 31,4 m, la fréquence de rotation est N = 8.33/31,4 = 0,265 tr/sec. La vitesse de la voiture v_c est appelée vitesse tangentielle, puisque le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire ; on parle aussi de vitesse circonférentielle, puisque la voiture parcourt une circonférence.

Meuleuse

Considérons une meule de diamètre 125 mm tournant à une fréquence N = 1 000 tr/min. En une seconde, la meule fait 1000/60 = 16,7 tr, et le périmètre vaut p = π × 0,125 = 0,39 m. En une seconde, un point de la circonférence de la meule parcourt 16,7 × 0,39 = 6,56 m, la vitesse tangentielle est donc v_c = 6,56 m/s.

De manière générale, la vitesse tangentielle v_c (m/s), la fréquence de rotation N (tr/s) et le diamètre d (m) sont liés par la relation

v_c = πdN

ce qui se transforme en

$\mathrm {N} ={\frac {v_{\mathrm {c} }}{\pi d}}$.

Faites ces exercices : Mouvements de rotation > Ram air turbine.

En usinage, on utilise :

$\mathrm {N} ={\frac {1000v_{\mathrm {c} }}{\pi d}}$

v_c est appelé vitesse de coupe et est exprimé en m/min, N est exprimé en tr/min, d est exprimé en mm ; le facteur 1 000 sert à transformer les 1/mm en 1/m.

Radians

Vitesse de rotation ω et vitesse tangentielle V.

L'unité internationale de l'angle est le radian, abréviation rad. Cette unité n’est pas utilisé dans le cadre général car elle est peu pratique pour se représenter les angles. Par contre, elle facilite grandement les calculs.

1 tour fait 2π rad.

On définit la vitesse de rotation ω (lettre grecque oméga), exprimée en radians par seconde (rad/s), par

$\omega =2\pi \mathrm {N}$.

La vitesse tangentielle devient alors

v_c = ωR.

Reprenons les exemple ci-dessus. Pour la voiture, on a

$\omega ={\frac {v_{\mathrm {c} }}{\mathrm {R} }}={\frac {13,9}{5}}=2,78\ \mathrm {rad/s}$

et

$\mathrm {N} ={\frac {\omega }{2\pi }}=0,442\ \mathrm {tr/s}$.

Pour la meule, on a

ω = 2πN = 2π × 16,7 = 105 rad/s

et

v_c = ωR = 105 × 0,0625 = 6,56 m/s.

Champ de vitesse

Rotation d'une barre autour d'un axe fixe Δ

Problème plan, l'axe Δ se réduit à un point, le centre de rotation O

On considère la rotation autour d'un arbre fixe. On se place dans le cas d'un mouvement plan ; l'arbre est vu en bout. L'axe de rotation est donc vu comme un point, appelé centre de rotation.

Les vecteurs vitesse forment un triangle.

La vitesse tangentielle dépend donc du rayon de rotation R. Donc, si l’on regarde un point sur une pièce donnée, sa vitesse dépend de R selon une loi linéaire (v = Rω). Le vitesse tangentielle du centre de rotation est nulle.

Par ailleurs, la trajectoire d'un point est un cercle. Le vecteur vitesse étant tangent à la trajectoire, il est perpendiculaire au rayon du cercle. Par exemple :

• lorsqu'une voiture dérape dans un virage, la trajectoire de glissade est tangente à sa trajectoire courbe ;
• en lancer de marteau, lorsque l'athlète lâche la poignée, le marteau part selon une tangente au cercle qu’il décrivait ;
• idem pour une fronde.

Si l’on considère des points situés sur une droite passant par le centre de rotation et que l’on représente les vecteurs vitesse, alors :

• les vecteurs vitesse sont tous perpendiculaire à la droite ;
• si l’on choisit une échelle pour représenter les vitesses, les extrémités des sont sur une droite passant elle aussi par le centre de rotation : on a un triangle des vitesses ; la droite joignant les extrémités des vecteurs est appelée droite d'homothétie.

Les points B et B' ont des vecteurs vitesse de même longueur.

Par ailleurs, tous les points situés sur un cercle dont le centre est le centre de rotation vont à la même vitesse tangentielle, puisqu’ils ont le même rayon.

Orientation, vitesse angulaire et accélération angulaire

Traçons une droite Δ sur une pièce. Lorsque la pièce tourne, la droite devient Δ'. L'angle de rotation, noté θ (lettre grecque thêta), est l'angle que font les deux droites.

Pour des raisons de simplicité, nous considérerons des droites passant par le centre de rotation O.

Si le mouvement de rotation a une durée t, on définit la vitesse de rotation moyenne

$\omega _{\mathrm {moy} }={\frac {\theta }{t}}$.

La vitesse de rotation peut varier ; c'est notamment le cas lorsque l’on démarre ou que l’on arrête une machine tournante. La vitesse de rotation instantanée est définie comme la vitesse de rotation déterminée pour un petit angle dθ et une petite durée dt :

$\omega ={\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}$.

On définit la vitesse angulaire moyenne α_moy, en radians par second au carré (rad/s²), comme étant la variation de vitesse angulaire ω par rapport au temps :

$\alpha ={\frac {\omega }{t}}$.

Par exemple, si à l'allumage, une meule passe de 0 à 1 500 tr/min en une demie seconde, on a :

$\omega ={\frac {1\,500\ \mathrm {tr} }{1\ \mathrm {min} }}={\frac {1\,500\times 2\pi \ \mathrm {rad} }{60\ \mathrm {s} }}=157\ \mathrm {rad/s}$ :

t = 1 s ;

$\alpha ={\frac {157}{0,5}}=314\ \mathrm {rad/s^{2}}$.

Il y a une correspondance entre les mouvements de rotation et de translation.

Correspondance entre la rotation et la translation

translation	Rotation
position x (m)	orientation θ (rad)
vitesse v = dx/dt (m/s)	vitesse angulaire ω = dθ/dt (rad/s)
accélération a = dv/dt (m/s2)	accélération angulaire α = dω/dt (rad/s2)

Cas des engrenages

Pignon : définition du cylindre primitif.

Engrenage formé de pignons ayant 10 et 15 dents, et vitesse tangentielle commune au point de contact.

Un engrenage est l'association de roues dentées, ou pignons. Les tailles des dents doivent être identiques pour que le système fonctionne. Dans la normalisation ISO, on indique le module des dents m en millimètres (la largeur d'une dent vaut environ πm/2).

Un pignon est essentiellement caractérisé par son module m et son nombre de dents z. Il se comporte comme une roue de diamètre d, appelé diamètre primitif :

d = m⋅z.

Le rôle de l'engrenage est de faire varier la vitesse de rotation (ou dans certains cas le couple transmis). La vitesse tangentielle v sur le cylindre primitif est le même pour les deux roues.

Durant une minute, la roue 1 fait N₁ tours, et elle possède z₁ dent donc il défile N₁⋅z₁ dents au point de contact. De même, pour la roue 2, il défile N₂⋅z₂ dents au point de contact. Ce nombre de dents est bien évidemment identique, donc

$\mathrm {N} _{1}\cdot z_{1}=\mathrm {N} _{2}\cdot z_{2}$.

On écrit en général cette formule sous la forme

${\frac {\mathrm {N} _{2}}{\mathrm {N} _{1}}}={\frac {z_{1}}{z_{2}}}$.

On parle de loi d'entrée-sortie : si le moteur est relié à la roue 1 — roue menante — et tourne à la fréquence N₁ — fréquence d'entrée —, alors la fréquence de rotation de la roue 2 — roue menée —, appelée fréquence de sortie N₂⋅z₂, vaut

$\mathrm {N} _{2}={\frac {z_{1}}{z_{2}}}\mathrm {N} _{1}$.

De la même manière, pour une système pignon-crémaillère, tout se passe comme si une roue lisse roulait sans glisser sur un plan, le diamètre de la roue lisse étant le diamètre primitif. On a la vitesse tangentielle

$v=\mathrm {R} \omega ={\frac {d}{2}}\omega ={\frac {mz}{2}}\omega =\pi mz\mathrm {N}$.

• 
  Vitesse de la crémaillère en supposant que l'axe du pignon est fixe.
• 
  Vitesse de l'axe de la roue en supposant que la crémaillère est fixe.

Cas des poulies-courroies et chaînes-pignons

Transmissions par courroies

Transmission par chaîne

Dans le cas de la transmission par lien souple — courroie ou chaîne —, la vitesse v du lien est égale à la vitesse tangentielle des roues — poulie ou pignon. On a deux roues 1 et 2, de diamètre respectif R₁ et R₂ ; on a

v = R₁⋅ω₁ = R₂⋅ω₂.

Le diamètre d étant proportionnel au rayon R, et la fréquence de rotation N étant proportionnelle à la vitesse angulaire ω, on peut écrire

d₁⋅N₁ = d₂⋅

Début d’une formule chimique

N₂

Fin d’une formule chimique

que l’on écrit plutôt

${\frac {\mathrm {N} _{2}}{\mathrm {N} _{1}}}={\frac {d_{1}}{d_{2}}}$.

Comme précédemment, cela constitue dune loi d'entrée-sortie : si la roue 1 est la roue menante et la roue 2 est la roue menée, on a

$\mathrm {N} _{2}={\frac {d_{1}}{d_{2}}}\mathrm {N} _{1}$.

Notons que pour les courroies lisses, il peut y avoir un glissement, la loi n'est donc pas toujours respectée ; on parle d'ailleurs de courroies « asynchrones », mais l'étude de ce cas sort du cadre de ce cours.

Mouvement de rotation uniforme (MRU)

Équations horaires

Les équations de mouvement et les chronogrammes sont identiques à celle de la translation :

• α = 0 ;
• ω = ω₀, c’est une constante ;
• θ = θ₀ + ω₀t.

On s'arrange en général pour que l'angle initial θ₀ soit nul, la dernière équation devient alors

• θ = ω₀t.

Travaux dirigés

Enregistrement d'un mouvement ; cliquez pour télécharger le fichier, et imprimez-le à l'échelle 1. Entre deux points consécutifs, il s'écoule 10 ms.

Papier millimétré pour tracer les chronogrammes ; cliquez pour télécharger le fichier, et imprimez-le à l'échelle 1.

Activité 1

lecture d'un enregistrement

Matériel nécessaire : règle, rapporteur, calculatrice, feuille avec l'enregistrement du mouvement.

1. Trouver le centre de la rotation.
2. Dans le tableau suivant, relever les angles θ des points par rapport à l'axe des x en fonction du temps t (on ne travaille que sur une partie du mouvement, les points 1 à 12).
3. Calculer les vitesses angulaires pour les points 2 à 11, et inscrivez-les dans le tableau.

   Pour calculer la vitesse instantanée ω(t = 0,01 s), on prend la vitesse angulaire moyenne entre les points t = 0 s et t = 0,02 s ; de manière générale, pour calculer ω(t), on prend la vitesse moyenne entre les points t - 0,01 s et t + 0,01 s.

4. Calculer les accélérations angulaires pour les points 3 à 10, et inscrivez-les dans le tableau.

   Pour calculer l'accélération instantanée α(t = 0,02 s), on prend l'accélération moyenne entre les points t = 0,01 s et t = 0,03 s ; de manière générale, pour calculer α(t), on prend la vitesse moyenne entre les points t - 0,01 s et t + 0,01 s

5. Tracez les chronogrammes.
6. Calculer la vitesse de rotation moyenne sur l’ensemble du mouvement.
7. Déterminez les équations horaires :
   • α(t ) = …
   • ω(t ) = …
   • θ(t ) = …

Relevé des points et calcul des vitesses et accélérations

Point	θ (°)	θ (rad)	t (s)	ω (rad/s)	α (rad/s2)
1			0
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12

Solution

Médiatrice d'une corde d'un cercle

Chronogrammes

On sait que la médiatrice d'une corde passe par le centre du cercle. Il suffit donc de tracer deux segments non parallèles (passant chacun par deux points de l'enregistrement), et de tracer les médiatrices de ces cordes ; l'intersection de ces médiatrices est le centre.

Relevé des points et calcul des vitesses et accélérations

Point	θ (°)	θ (rad)	t (s)	ω (rad/s)	α (rad/s2)
1	90	1,57	0
2	108	1,88	0,01	31,5
3	126	2,20	0,02	31,5	0
4	144	2,51	0,03	31,5	0
5	162	2,83	0,04	31,5	0
6	180	3,14	0,05	31,5	0
7	198	3,46	0,06	31,5	-25
8	216	3,77	0,07	31	0
9	234	4,08	0,08	31,5	+25
10	252	4,40	0,09	31,5	0
11	270	4,71	0,10	31,5
12	288	5,03	0,11

On remarque qu'une faible erreur/approximation sur l'angle se traduit par un calcul d'accélération angulaire en raison de la faible durée t : on divise par 0,02 s pour avoir la vitesse de rotation, puis à nouveau par 0,02 s pour avoir l'accélération angulaire, soit 1/(0,02 × 0,02) = 2 500.

La vitesse de rotation moyenne vaut

$\omega _{\mathrm {moy} }={\frac {\theta _{1}2-\theta _{1}}{t_{1}2-t_{1}}}={\frac {5,03-1,57}{0,11-0}}=31,5\ \mathrm {rad/s}$.

Les équations horaires sont

• α(t ) = 0 ;
• ω(t ) = 31,5 rad/s ;
• θ(t ) = 1,57 + 31,5 × t.

 

Conclusion

Chronogrammes génériques et équations horaires.

Les chronogrammes sont les représentations graphiques des équations horaires. L'enregistrement du mouvement correspond à l'équation θ(t ).

La vitesse ω₀ est la pente de la droite θ = ƒ(t ). Nous pouvons distinguer deux cas :

1. ω₀ > 0 : le mouvement se fait dans le sens direct (sens trigonométrique, sens anti-horaire) ;
2. ω₀ < 0 : le mouvement se fait dans le sens indirect.

Mouvement de rotation uniformément varié (MRUV)

Équations de mouvement

Les équations de mouvement et les chronogrammes sont identiques à celle de la translation :

• α = α₀, c’est une constante ;
• ω = ω₀ + α₀t ;
• θ = θ₀ + ω₀t + 1/2⋅α₀t ².

Si l’on a θ₀ = 0 (position initiale prise comme référence) et ω₀ = 0 (départ arrêté), les équations se simplifient :

• α = α₀, c’est une constante ;
• ω = α₀t ;
• θ = 1/2⋅α₀t ².

Travaux dirigés

Enregistrement d'un mouvement ; cliquez pour télécharger le fichier, et imprimez-le à l'échelle 1. Entre deux points consécutifs, il s'écoule 20 ms.

Papier millimétré pour tracer les chronogrammes ; cliquez pour télécharger le fichier, et imprimez-le à l'échelle 1.

Activité 2

lecture d'un enregistrement

Matériel nécessaire : règle, rapporteur, calculatrice, feuille avec l'enregistrement du mouvement.

1. Trouver le centre de la rotation.
2. Dans le tableau suivant, relever les angles θ des points par rapport à l'axe des x en fonction du temps t.
3. Calculer les vitesses angulaires pour les points 2 à 14, et inscrivez-les dans le tableau.

   Pour calculer la vitesse instantanée ω(t = 0,02 s), on prend la vitesse angulaire moyenne entre les points t = 0 s et t = 0,04 s ; de manière générale, pour calculer ω(t), on prend la vitesse moyenne entre les points t - 0,02 s et t + 0,02 s.

4. Calculer les accélérations angulaires pour les points 3 à 13, et inscrivez-les dans le tableau.

   Pour calculer l'accélération instantanée α(t = 0,04 s), on prend l'accélération moyenne entre les points t = 0,02 s et t = 0,06 s ; de manière générale, pour calculer α(t), on prend la vitesse moyenne entre les points t - 0,02 s et t + 0,02 s

5. Tracez les chronogrammes.
6. Calculer l'accélération angulaire moyenne sur l’ensemble du mouvement.
7. Déterminez les équations horaires :
   • α(t ) = …
   • ω(t ) = …
   • θ(t ) = …

Relevé des points et calcul des vitesses et accélérations

Point	θ (°)	θ (rad)	t (s)	ω (rad/s)	α (rad/s2)
1			0
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15

Solution

Médiatrice d'une corde d'un cercle

On sait que la médiatrice d'une corde passe par le centre du cercle. Il suffit donc de tracer deux segments non parallèles (passant chacun par deux points de l'enregistrement), et de tracer les médiatrices de ces cordes ; l'intersection de ces médiatrices est le centre.

Relevé des points et calcul des vitesses et accélérations

Point	θ (°)	θ (rad)	t (s)	ω (rad/s)	α (rad/s2)
1	0	0	0
2	2	0,03	0,02	3
3	7	0,12	0,04	6,25	168,75
4	16	0,28	0,06	9,75	162,5
5	29	0,51	0,08	12,75	143,75
6	45	0,79	0,10	15,5	150
7	65	1,13	0,12	18,75	162,5
8	88	1,54	0,14	22	162,5
9	115	2,01	0,16	25,25	156,25
10	146	2,55	0,18	28,25	150
11	180	3,14	0,20	31,25	156,25
12	218	3,80	0,22	34,5	162,5
13	259	4,52	0,24	37,75	162,5
14	304	5,31	0,26	41
15	353	6,16	0,28

L'accélération angulaire moyenne vaut

$\alpha _{\mathrm {moy} }={\frac {\omega _{1}4-\theta _{1}}{t_{1}4-t_{1}}}={\frac {41-3}{0,26-0,02}}=158,3\ \mathrm {rad/s^{2}}$.

Les équations horaires sont

• α(t ) = 158,3 rad/s² ;
• ω(t ) = 0 + 158,3 × t ;
• θ(t ) = 79,2 × t².

 

Conclusion

Chronogrammes génériques et équations horaires.

Les chronogrammes sont les représentations graphiques des équations horaires. L'enregistrement du mouvement correspond à l'équation θ(t ).

La vitesse angulaire ω₀ est la pente de la tangente à l'origine de θ = ƒ(t ). Si la vitesse angulaire initiale est positive (mouvement dans le sens direct), nous pouvons distinguer deux cas :

1. α₀ > 0 : le mouvement est accéléré ;
2. α₀ < 0 : le mouvement est ralenti.

Si la vitesse angulaire initiale est négative (mouvement dans le sens indirect), c’est le contraire. De manière générale :

• si l'accélération et la vitesse angulaires sont de même signe, le mouvement est de plus en plus rapide (la valeur absolue de la vitesse angulaire augmente) ;
• si l'accélération et la vitesse angulaires sont de signe opposé, le mouvement est de plus en plus lent (la valeur absolue de la vitesse angulaire diminue).

Mouvement de rotation général

Mouvement avec phase de démarrage, phase d'utilisation à vitesse constante et phase d'arrêt

Un mouvement réel a un début et une fin. Il y a donc systématiquement une phase d'accélération et une phase de décélération (freinage).

Dans les cas simples, l'accélération et le freinage sont uniformément variés, et l’on a entre les deux une phase uniforme. Le chronogramme α(t ) est en forme d'escalier, le chronogramme ω(t ) a une forme de trapèze :

• vitesse croissante au démarrage ;
• vitesse constante au milieu ;
• vitesse décroissante en phase d'arrêt ;

le chronogramme θ(t ) a une forme de S :

• parabole au démarrage ;
• partie droite au milieu ;
• parabole en phase d'arrêt.

Les machines tournantes (moteurs, meuleuses, hélices de propulsion, …) on souvent un fonctionnement uniforme sur plusieurs milliers de tours ; la partie centrale peut donc être très longue (plusieurs minutes, plusieurs heures, plusieurs jours, …).

Dans le cas général, les chronogrammes peuvent avoir n’importe quelle forme.

Note pour les enseignants

Mêmes remarques que pour le chapitre précédent.

Diplômes français

Unités des diplômes français concernées par ce chapitre :

• bac pro EDPI :
  • S4.2.1 : Mouvement relatif de deux solides en liaison glissière ou pivot — Caractérisation du mouvement d'un point d'un solide par rapport à un repère donné,
    • champs des vecteurs vitesse d'un solide,
    • représentation graphique (graphe des déplacements et des vitesses) pour un mouvement résultant de l'association de mouvements uniformes et uniformément variés,
    • expressions analytiques (relations entre déplacement, vitesse et accélération) dans le même cas,
  • S5.1.3: Les guidages, solutions associées au guidage en rotation par contact direct, par interposition d'éléments mécaniques (bagues de frottement, roulements, douilles, …) ;
• bac pro TU : S1.4.1 : Mouvement relatif de deux solides en liaison glissière ou pivot ou hélicoïdale ;
  • Cinématique du point d'un solide en mouvement de translation par rapport à un repère fixe donné : position, trajectoire, vitesse, accélération, champ des vecteurs vitesse (solide en translation rectiligne),
  • Pour des mouvements uniformes ou uniformément variés :
    • représentation graphique (graphes des déplacements et des vitesses),
    • expression analytique (relation entre déplacement, vitesse, accélération) ;
• bac pro MEI : S.1.3 : Cinématique — Solide en mouvement de rotation autour d'un axe fixe
  • vitesse angulaire du solide,
  • expression de la vitesse et de l'accélération d'un point du solide,
  • représentation de la vitesse et de l'accélération d'un point,
  • mouvement de rotation uniforme (lecture et interprétation de graphe, application),
  • mouvement de rotation uniformément accéléré (lecture et interprétation de graphe, application) ;
• bac pro ROC-SM : S2.1.2 : Cinématique — Solide en mouvement de rotation autour d'un axe fixe
  • vitesse constante,
  • vitesse uniformément accélérée ;
• bac pro TCI : S1.4.3 Cinématique — Solide en mouvement de rotation autour d'un axe fixe (mouvement uniforme uniquement)
  • vitesse angulaire du solide,
  • expression de la vitesse,
  • expression vectorielle de la vitesse, mouvement de rotation uniforme (lecture et interprétation de graphes, application).

Pour les baccalauréats non-professionnels :

• bac STI GM productique mécanique : A1-2.1 Mouvement relatif de deux solides en liaison glissière ou pivot
  • 2.1.2 : Caractérisation du mouvement d'un point d'un solide par rapport à un repère donné :
    • représentants vectoriels de la position, de la vitesse et de l'accélération,
    • champ des vecteurs vitesse d'un solide : en mouvement de rotation autour d'un axe fixe,
    • pour un mouvement résultant de l'association de mouvements uniformes et uniformément variés : représentation graphique (graphe des déplacements et des vitesses), expression analytique (relations entre déplacement, vitesse et accélération).

Note

Le programme est plus restreint pour le bac pro ROC-SM. Le niveau exigé est plus bas pour le bac pro TCI (niveau 2 au lieu de 3).

Voir aussi

• Cinématique/Mouvement de rotation