Mécanique pour l'enseignement technique industriel/Mouvement de translation rectiligne

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Présentation

Nous étudions ici les mouvements « en ligne droite ».

Objectif

Le but de ce chapitre est de mettre en relation l'enregistrement du mouvement, les chronogrammes et les équations horaires. À la fin du chapitre, l'étudiant doit être capable :

• à partir d'un enregistrement, de déterminer la vitesse et l'accélération, de tracer les chronogrammes et d’établir les équations horaires ;
• à partir des chronogrammes, de déterminer la vitesse et l'accélération, de tracer l'enregistrement et d’établir les équations horaires ;
• à partir des équations horaires, de déterminer la vitesse et l'accélération, de tracer les chronogrammes et de tracer l'enregistrement.

Savoirs techniques

Connaissances (notions, concepts)	Niveau
	1	2	3	4
Cinématique du point d'un solide en mouvement de translation rectiligne par rapport à un repère donné : position, trajectoire, vitesse, accélération (solide en translation rectiligne). Pour des mouvements uniformes ou uniformément variés : représentation graphique (graphes des déplacements et des vitesses) ; expression analytique (relation entre déplacement, vitesse, accélération).		×

Technologie

Pour faire un mouvement précis, il faut séparer les pièces qui guident des pièces qui créent le mouvement :

• au football, c’est le même organe, le pied, qui crée le mouvement et détermine la trajectoire ; c’est ce qui rend le sport difficile, qui fait que l’on ne marque pas un but à chaque tir ;
• dans une voiture, les organes de direction se chargent du guidage, le moteur se charge de créer le mouvement.

Guidage en translation

Symbole de la liaison glissière

Queue d'aronde

Contact prismatique

L'arbre cannelé est guidé en translation par les cannelures

Glissière à aiguilles ; cliquer pour voir l'animation

Pour un guidage en translation précis, on utilise une liaison glissière :

• contact en queue d'aronde, ou de manière général prismatique ;
• glissière à galets ou à roulement ;
• douille à billes, guides à billes.

Les glissières présentent un risque de coincement, appelé « arc-boutement », que l’on peut constater avec un tiroir : en position ouverte, le tiroir en porte-à-faux se met « en travers » et on ne peut pas le refermer en poussant dessus ; il faut le lever pour pouvoir le rentrer. Par ailleurs, l'adhérence peut provoquer un phénomène de broutement, également appelé stick-slip (litt. « alternance collage-glissement »).

Pour éviter l'arc-boutement et le broutement sur les contacts prismatiques, on peut limiter le frottement en interposant une bande antifriction on polymère (PTFE/Téflon, POM/acétal, PA6-6/nylon, vernis) ou une pièce de bronze ou de laiton.

Vérin d'un cric hydraulique

Glissière associant plusieurs liaisons pivot-glissant ; cliquer pour voir l'animation

Dans de nombreux cas, on utilise une liaison pivot-glissant. Par exemple, pour un vérin et de manière général pour les pistons, une bonne étanchéité à moindre coût se fait avec des formes cylindriques, qui laisse une possibilité de rotation. On ne se sert pas de la possibilité de rotation en fonctionnement, mais elle permet de faciliter le montage de la machine : les deux extrémités du vérin n'ont pas besoin d’être parfaitement parallèles.

On peut aussi associer deux liaisons pivot-glissant pour créer une glissière ; la solution est alors hyperstatique.

Guidage pseudo-linéaire d'une suspension de train avec deux bielles (en jaune) sur pivots

Faites ces exercices : Mouvements de translation rectiligne > Suspension de train.

Dans un certain nombre de cas, on se contente d'un mouvement « à peu près linéaire » obtenu en combinant des rotations : si une rotation fait tourner vers la droite et qu'une autre fait tourner vers la gauche, on a un mouvement à peu près droit. Ce système a été découvert par James Watt. Dans l'exemple de la suspension ci-contre, lorsque la roue monte par rapport au châssis de la voiture, la bielle de gauche l'entraîne vers la gauche tandis que la bielle de droite l'entraîne vers la droite, le mouvement est à peu près vertical.

Actionneur en translation

Vérin à double-effet

Système pignon-crémaillère

Système vis-écrou avec une vis à billes (le système de recirculation des billes n’est pas représenté) ; le filet est normalement de profil rond

Vis à billes : système de recirculation des billes dans l'écrou

Came

Pour créer un mouvement en translation, on peut :

• utiliser un système créant directement une translation : un vérin, un ressort hélicoïdal ;
• utiliser un actionneur qui crée un mouvement de rotation — moteur, ressort de torsion —, puis transformer cette rotation en translation :
  • par un système pignon-crémaillère, ou entraînement par galet (c'est le principe du pneu de voiture qui transforme la rotation créée par le moteur en translation de la voiture),
  • par un système vis-écrou ; pour réduire le frottement et donc améliorer le rendement, on peut utiliser une vis à billes,
  • par une came : c’est un objet globalement cylindrique mais qui n'a pas un profil strictement circulaire, et sur lequel roule une tige guidée en translation, donc la tige se rapproche et s'éloigne du centre de rotation.

Notons qu'un vérin électrique contient un moteur et un système de transformation intégré (vis-écrou ou pignon-crémaillère).

Transmission des efforts

Poulie renversée, divisant la charge par 2.

Mouflage utilisé pour lever des charges lourdes.

Mouflage sur une grue Kobelco.

L'actionneur est parfois distant de l'effecteur (outil), l'endroit qui produit l'effort est parfois distant de l'endroit où l’on en a besoin. Pour les efforts en translation, on peut utiliser :

• une barre rigide : barre de traction, bielle ;
• un lien souple lorsqu’il s'agit d'un effort de traction (on tire) : corde, câble, élingue, chaîne.

Lorsque l’on utilise un lien souple, on peut dévier la direction de l'effort en utilisant une poulie. Le principe de la poulie renversée, et par extension du mouflage, permet par ailleurs de démultiplier la force ou de multiplier le déplacement.

Il existe des chaînes que l’on peut utiliser en propulsion : les maillons s'imbriquent et forment une « barre rigide » (chaîne rigide Serapid par exemple [1]).

Principe du pantographe

Pantographe de locomotive, utilisé pour capter le courant de la ligne aérienne ; la géométrie permet d'assurer que le collecteur reste parallèle au toit

Pantographe permettant de graver un modèle en réduction

Mentionnons le pantographe qui est capable de reproduire un mouvement, notamment rectiligne, en l'amplifiant ou en le diminuant.

Champ des vitesses

La « photo floue » (image du haut) permet de voir que le déplacement ${\vec {u}}$ de chaque point du solide est le même ; ainsi, le champ de vecteur vitesse (bas) est uniforme.

Faisons une photographie de l’objet en mouvement : on a un léger flou. Ce flou est dû au « filage » des points : chaque point de l’objet bouge durant le temps de pose — la durée d'ouverture, pour un appareil argentique ou un numérique réflex, ou durant la durée d'acquisition, pour un appareil numérique non réflex. On peut ainsi avoir le vecteur déplacement ${\vec {u}}$ de chaque point : le segment de filage donne la direction du vecteur, son sens et sa longueur.

Soit t le temps de pose. À partir du vecteur déplacement, on peut déterminer le vecteur vitesse ${\vec {v}}$ de ce point :

• la direction et le sens sont le même ;
• l'intensité du vecteur $\|{\vec {v}}\|$ est la longueur du segment $\|{\vec {u}}\|$ divisée par t :

$\|{\vec {v}}\|={\frac {\|{\vec {u}}\|}{t}}$.

On a ainsi un vecteur vitesse pour chaque point de l'objet. On note ${\vec {v}}_{\mathrm {M} }$ le vecteur vitesse du point M.

Définition

L'ensemble des vecteurs vitesse d'un solide est appelé « champ de vitesse ».

Le terme de « champ » fait référence aux champs de blé : les vecteurs vitesse sont comme les tiges de blé.

Propriété

Pour un solide en translation, le champ des vecteurs vitesse est uniforme

c'est-à-dire que le vecteur vitesse est le même pour tous les points. Notons que ceci est vrai pour tous les mouvements de translation, qu’ils soient rectilignes ou pas.

Composition des vitesses

Composition des vitesses.

Lorsque l’on a une composition des mouvements, les vecteurs vitesse s'additionnent :

${\vec {v}}_{2/0}={\vec {v}}_{2/1}+{\vec {v}}_{1/0}$.

On remarque que dans cette addition de vecteurs, les indices s'enchaînent comme pour une relation de Chasle :

2/1 et 1/0 → 2/0, le « 1 » central est « absorbé ».

Concepts de base

Position

Coordonnées d'un point

La position d'un point dans l'espace est donnée par ses coordonnées x, y et z. Si le mouvement se passe sur un axe, par exemple l'axe x, il suffit d'une seule coordonnée (x en l’occurrence).

Si le mouvement se fait sur une courbe, on peut repérer le point par la distance parcourue par rapport à l'origine choisie sur la courbe. Cette distance est appelée « abscisse curviligne » et est notée s.

Compteur kilométrique sur le tableau de bord d'une voiture, au centre du compteur de vitesse

Panneau kilométrique

Sur une voiture, l'abscisse curviligne est la distance indiquée par le compteur kilométrique (odomètre). Sur les routes françaises, l'abscisse curviligne est le point kilométrique (pk) indiqué par des panneaux situés sur le côté de la route, à l'image des anciennes bornes kilométriques.

Vitesse

Un déplacement est une variation de la position.

La vitesse indique la rapidité à laquelle se fait ce changement. Sur une voiture, si le compteur kilométrique ne bouge pas, c’est que la vitesse est nulle. Si le compteur kilométrique s'incrémente (la valeur indiquée augmente), c’est que la vitesse est supérieure à 0.

La vitesse moyenne v_moy se définit comme étant la distance parcourue d divisée par le durée du parcours t :

$v_{\mathrm {moy} }={\frac {d}{t}}$

avec en unités internationales

• d en mètre (m) ;
• t en seconde (s) ;
• v_moy en mètre par seconde (m/s ou m⋅s^-1).

On peut aussi avoir, dans le domaine général :

• d en kilomètre (km) ;
• t en heure (h) ;
• v_moy en kilomètre par heure (km/h ou km⋅h^-1).

En usinage, on utilise :

• d en millmètre (mm) ;
• t en minute (min) ;
• v_moy en millimètre par minute (mm/min ou mm⋅min^-1).

Il faut respecter la cohérence des unités.

Activité 1

Convertir les valeurs.

Conversion des unités de vitesse vmoy km/h vmoy m/s 30 50 70 90 110 130

Conversion des unités de vitesse vmoy m/s vmoy km/h 1 5 10 50 100

Solution

Une des manières simples de faire la conversion sans se tromper consistes à transformer la fraction d'unités en fraction de quantités :

$30\ \mathrm {km/h} ={\frac {30\ \mathrm {km} }{1\ \mathrm {h} }}={\frac {30000\ \mathrm {m} }{3600\ \mathrm {s} }}=8,3\ \mathrm {m/s}$ ;

$100\ \mathrm {m/s} ={\frac {100\ \mathrm {m} }{1\ \mathrm {s} }}={\frac {0,1\ \mathrm {km} }{1/3600\ \mathrm {s} }}=360\ \mathrm {km/h}$.

On peut voir que pour 1 km/h :

$1\ \mathrm {km/h} ={\frac {1\ \mathrm {km} }{1\ \mathrm {h} }}={\frac {1000\ \mathrm {m} }{3600\ \mathrm {s} }}={\frac {1}{3,6}}\ \mathrm {m/s}$

il suffit donc de diviser les valeurs par 3,6 pour passer des km/h en m/s.

À l'inverse, pour passer de m/s aux km/h, il suffit de multiplier par 3,6.

Conversion des unités de vitesse vmoy km/h vmoy m/s 30 8,3 50 13,9 70 19,4 90 25 110 30,6 130 36,1

Conversion des unités de vitesse vmoy m/s vmoy km/h 1 3,6 5 18 10 36 50 180 100 360

La méthode utilisée par les auto-écoles consiste à multiplier le chiffre des dizaines par 3. Cela donne un bon ordre de grandeur.

 

Cette conversion est utile en sécurité routière : un accident se passe sur une fraction de secondes. Ainsi, lorsque l’on roule à 50 km/h, on voit que pendant une seconde d'inattention, on parcourt 14 m.

Si le mouvement se fait sur l'axe x, la distance est donnée par :

d = x_final - x_initial

où x_final et x_initial sont les valeurs relevées respectivement à la fin et au début du trajet.

Détecteur magnétique monté sur une roue de vélo

Au début du trajet, la voiture est à l'arrêt ; elle accélère puis ralentit et s'arrête au point de destination. On a donc une notion de vitesse instantanée. Sur une voiture elle est indiquée par le compteur de vitesse (tachymètre) ; elle est mesurée sur un tour de roue, ou sur un tour d'arbre de transmission : quand la roue fait un tour, la voiture avance du périmètre de la roue, il suffit de mesurer le temps que met une roue à faire un tour. Avant, cette mesure se faisait avec une roulette ; on utilise maintenant des systèmes sans contact :

• un aimant passe devant une bobine, ce qui crée un courant électrique induit, voir par exemple les systèmes sur les vélos ;
• une pastille réfléchissante renvoie la lumière d'une ampoule vers une capteur (cellule photoélectrique).

La vitesse instantanée v est en fait une vitesse moyenne calculée sur un petit trajet noté dx pendant une durée courte notée dt :

$v={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}$

En mathématique, la vitesse est la dérivée de la position : la dérivée est l'opération qui indique la variation d'une fonction.

Accélération

Dans le langage courant, on parle d'accélération lorsque la vitesse augmente. L'accélération est donc une variation de la vitesse : lorsque l'aiguille du compteur de vitesse bouge, c’est qu’il y a accélération.

En mécanique, une freinage est aussi une accélération, elle est simplement en sens inverse de la vitesse.

On définit donc l'accélération moyenne a comme étant la différence de vitesse en fonction du temps :

$a={\frac {v_{\mathrm {finale} }-v_{\mathrm {initiale} }}{t}}$

avec

• v_initiale : vitesse initiale en m/s ;
• v_finale : vitesse finale en m/s ;
• t : durée du trajet en s ;
• a : accélération moyenne en mètre par seconde au carré (m/s²).

Une accélération de 1 m/s², c’est lorsque la vitesse augmente de 1 m/s par seconde

si la vitesse vaut 0 à l'instant initial (t = 0), elle vaut 1 m/s au bout d'1 s, 2 m/s au bout de 2 s, …

soit ${\frac {1\ \mathrm {m/s} }{\mathrm {s} }}$, d'où par transformation de fraction la notation de l'unité « m/s² ».

Exemple : une voiture accélère de 0 à 100 km/h en 4 s. On a :

• v_initiale = 0 ;
• v_finale = 100 km/h = 27,7 m/s ;
• t = 4 s

donc

$a={\frac {27,8-0}{4}}=6,9\ \mathrm {m/s^{2}}$.

On exprime souvent l'accélération en G ; G est l'accélération correspondant à une chute libre (sans parachute), soit

1 G = 9,81 m/s² ≃ 10 m/s².

Dans l'exemple ci-dessus, on a donc une accélération de 0,7 G.

L'accélération n’est pas toujours constante, on peut donc définir l'accélération instantanée comme étant une petite variation de vitesse dv sur un temps court dt

$a={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}$

l'accélération instantanée est donc la dérivée de la vitesse.

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Note

L'accélération est parfois notée γ (lettre grecque gamma).

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Ordres de grandeur

Ordres de grandeur d'accélérations

Événement	a (m.s-2)	a (G)
Démarrage/arrêt d'un pont (mouvement horizontal) || 0,1 à 0,5 || 0,01 à 0,05
Démarrage d'un funiculaire	0,2	0,02
Levage par une grue	3	0,3
Levage par un pont roulant	6	0,6
Départ d'un sprinteur	1,2	0,12
Limite d'accélération/freinage d'une voiture (route sèche) || 7 || 0,7
Catapultage d'un avion sur un porte-avions || 40 à 50 || 4 à 5
Accident de voiture à 30 km/h	83	8,3
Accident de voiture à 100 km/h	278	28
Maximum sur un essai humain	400 (pointe à 826)	40 (pointe à 83)

Explications

Pour la conception des appareils de levage (grues, ponts roulants), la Fédération européenne de manutention (FEM) prend en compte les valeurs suivantes :

• accélération au levage : 6 m.s^-2 (0,6 G) pour les ponts roulants, 3 m.s^-2 (0,3 G) pour les grues : la flèche des grues présente une certaine souplesse qui amortit le mouvement ;
• accélération horizontale (démarrage et arrêt) :
  • appareil avançant à une vitesse lente (v ≤ 0,4 m/s = 1,4 km/h) : accélération inférieure à 0,1 m.s^-2 (0,01 G),
  • appareil avançant à une vitesse moyenne (0,4 m/s ≤ v ≤ 2 m/s, soit 1,4 km/h ≤ v ≤ 7,2 m/s) avec une longue course : accélération de 0,1 à 0,2 m.s^-2 (0,01 à 0,02 G),
  • appareil avançant à une vitesse moyenne ou rapide (0,4 m/s ≤ v ≤ 4 m/s, soit 1,4 km/h ≤ v ≤ 14 km/h), applications courantes : accélération de 0,2 à 0,5 m.s^-2 (0,02 à 0,05 G),
  • appareil avançant à une vitesse rapide (1 m/s ≤ v ≤ 4 m/s, soit 3,6 km/h ≤ v ≤ 14 km/h), avec fortes accélérations : accélération de 0,3 à 0,7 m.s^-2 (0,03 à 0,07 G).

Le funiculaire de la Côte au Havre atteint sa vitesse de croisière de 2 m/s (7,2 km/h) en 10 s, soit une accélération de 0,2 m.s^-2 (0,02 G).

La limite d'accélération et de freinage d'une voiture est liée à l'adhérence des pneus (patinage au démarrage, blocage des roues au freinage), elle est au mieux de 7 m.s^-2 (0,7 G). Lors d'un accident de voiture, on estime que la durée du choc est d'environ 1/10 seconde, soit pour un véhicule roulant à 30 km/h (8,3 m/s) contre un obstacle fixe, une accélération de 83 m.s^-2 (8,3 G).

Un sprinteur a une accélération de l’ordre de 1,2 m.s^-2 (0,12 G).

Sur un porte-avions, le catapultage peut atteindre 40 à 50 m.s^-2 (4 à 5 G).

En 1958, l'US Air Force a fait des expérience d'accélération sur des volontaires humains. Eli Bleeding a participé à une expérience pour une accélération de 400 m.s^-2 (40 G), mais l'accéléromètre a révélé qu'elle avait atteint une pointe de 826 m.s^-2 (82,6 G). John Paul Stapp a lui subi des tests à 462 m.s^-2 (46,2 G), mais durant des durées plus longues (1,1 s).

Mouvement de translation rectiligne uniforme (MTRU)

Équations horaires

Comme indiqué précédemment, « uniforme » signifie que la vitesse ne change pas. On a donc

a(t ) = 0 ;

v(t ) = v_moy.

L'équation

$v_{\mathrm {moy} }={\frac {d}{t}}$

se transforme en

d = v_moy × t

soit

x_final = x_initial + v_moy × t.

Ceci constitue l'équation horaire de la position. En général, l'abscisse initiale est notée x₀ (« x zéro »), et la vitesse constante est notée v₀ (« v zéro »). L'équation s'écrit donc :

x(t ) = x₀ + v₀ × t.

Les trois équations horaires sont donc :

• a = 0 ;
• v = v₀ ;
• x = x₀ + v₀t.

On s'arrange souvent pour que la position initiale soit nulle. La dernière équation devient alors

• x = v₀t.

Travaux dirigés

Enregistrement d'un mouvement ; cliquez pour télécharger le fichier, et imprimez-le à l'échelle 1.

Chronogrammes vierges ; cliquez pour télécharger le fichier, et imprimez-le à l'échelle 1.

Activité 2

lecture d'un enregistrement

L'enregistrement ci-contre montre les positions d'un point d'un solide en translation rectiligne uniforme, relevées toutes le secondes (il s'écoule 1 s entre chaque point).

1. Dans le tableau suivant, relever les positions x des points en fonction du temps t.
2. Calculer les vitesses pour les points 2 à 10, et inscrivez-les dans le tableau.

   Pour calculer la vitesse instantanée v(t = 1 s), on prend la vitesse moyenne entre les points t = 0 s et t = 2 s ; de manière générale, pour calculer v(t), on prend la vitesse moyenne entre les points t - 1 s et t + 1 s.

3. Calculer les accélérations pour les points 3 à 9, et inscrivez-les dans le tableau.

   Pour calculer l'accélération instantanée a(t = 2 s), on prend l'accélération moyenne entre les points t = 1 s et t = 3 s ; de manière générale, pour calculer a(t), on prend la vitesse moyenne entre les points t - 1 s et t + 1 s

4. Tracez les chronogrammes.
5. Calculer la vitesse moyenne sur l’ensemble du mouvement.
6. Déterminez les équations horaires :
   • a(t ) = …
   • v(t ) = …
   • x(t ) = …

Relevé des points et calcul des vitesses et accélérations

Point	x (mm)	t (s)	v (mm/s)	a (mm/s2)
1		0
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11

Note

Si l’on calcule la vitesse moyenne entre les points 1 (t = 0) et 2 (t = 1 s)

v = (x(1 s) - x(0))/(1 - 0)

on obtient la vitesse entre t = 0 et t = 1 s, mais ce n'est ni la vitesse à t = 0, ni celle à t = 1 s. Pour avoir la vitesse à t = 1 s, on choisit de prendre la vitesse moyenne telle que le point t = 1 s soit au milieu de l'intervalle, soit

v(1 s) = (x(2 s) - x(0))/(2 - 0).

De même pour l'accélération.

Solution

Chronogrammes

Relevé des points et calcul des vitesses et accélérations

Point	x (mm)	t (s)	v (mm/s)	a (mm/s2)
1	8	0
2	20	1	(32-8)/(2-0) = 12
3	32	2	(44-20)/(3-1) = 12	(12-12)/(3-1) = 0
4	44	3	12	0
5	56	4	12	0
6	68	5	12	0
7	80	6	12	0
8	92	7	12	0
9	104	8	12	0
10	116	9	12
11	128	10

On peut admettre des valeurs légèrement différentes en raison des erreurs de mesure et d'impression.

La vitesse moyenne sur l’ensemble du mouvement vaut

$v_{\mathrm {moy} }={\frac {x(10\ \mathrm {s} )-x(0)}{10-0}}={\frac {128-8}{10-0}}=12\ \mathrm {mm/s}$.

Les équations horaire sont :

• a(t ) = 0 ;
• v(t ) = 12 ;
• x(t ) = 8 + 12 × t.

 

Enregistrement vierge ; cliquez pour télécharger le fichier, et imprimez-le à l'échelle 1.

Chronogrammes pour l'activité 3 ; cliquez pour télécharger le fichier, et imprimez-le à l'échelle 1.

Activité 3

utilisation de chronogrammes

1. À partir du chronogramme x(t ), relever les positions x des points en fonction du temps t pour chaque seconde et remplissez le tableau ci-dessous.
2. Placez les points sur l’enregistrement vierge, en les numérotant.
3. Calculer les vitesses pour les points 2 à 10, et inscrivez-les dans le tableau. Comparer avec la vitesse moyenne.
4. Calculer les accélérations pour les points 3 à 9, et inscrivez-les dans le tableau.
5. Tracez les chronogrammes manquants.
6. Déterminez les équations horaires :
   • a(t ) = …
   • v(t ) = …
   • x(t ) = …

Relevé des points et calcul des vitesses et accélérations

Point	x (mm)	t (s)	v (mm/s)	a (mm/s2)
1		0
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11

Solution

Enregistrement du mouvement

Chronogrammes complétés

Relevé des points et calcul des vitesses et accélérations

Point	x (mm)	t (s)	v (mm/s)	a (mm/s2)
1	95	0
2	89	1	-6
3	83	2	-6	0
4	77	3	-6	0
5	71	4	-6	0
6	65	5	-6	0
7	59	6	-6	0
8	53	7	-6	0
9	47	8	-6	0
10	41	9	-6
11	35	10

Note

Les valeurs ci-dessus sont les valeurs utilisées pour réaliser la courbe ; elles sont impaires. Or, on a une échelle en y et 1 mm pour 2 mm/s ; il y a donc immanquablement des écarts entre les valeurs relevées et les valeurs de la correction. Ceci est l’occasion de discuter sur la notion de précision d'une mesure.

Les équations horaire sont :

• a(t ) = 0 ;
• v(t ) = -6 ;
• x(t ) = 95 - 6 × t.

Nous voyons ici qu'une vitesse négative signifie que le mouvement se fait de la droite vers la gauche.

 

Faites ces exercices : Mouvements de translation rectiligne > Chronogramme de position.

Conclusion

Chronogrammes génériques et équations horaires.

Les chronogrammes sont les représentations graphiques des équations horaires. L'enregistrement du mouvement correspond à l'équation x(t ).

La vitesse v₀ est la pente de la droite x = ƒ(t ). Nous pouvons distinguer deux cas :

1. v₀ > 0 : le mouvement se fait vers la droite ;
2. v₀ < 0 : le mouvement se fait vers la gauche.

Mouvement de translation rectiligne uniformément varié (MTRUV)

Équations horaires

« Uniformément varié » signifie que l'accélération est constante. En transformant la formule,

$a={\frac {v_{\mathrm {finale} }-v_{\mathrm {initiale} }}{t}}$

on obtient :

v_finale = v_initiale + a × t

c'est l'équation horaire de la vitesse. Traditionnellement, elle se note plutôt

v(t ) = v₀ + a₀t

L'équation horaire de la position est plus complexe :

x(t ) = x₀ + v₀t + 1/2⋅a₀ × t ²

ce qui est l'équation d'une parabole.

Si l’on a x₀ = 0 (position initiale prise comme référence) et v₀ = 0 (départ arrêté), les équations se simplifient :

• a = a₀ ;
• v = a₀t ;
• x = 1/2⋅a₀t ².

Travaux dirigés

Enregistrement d'un mouvement ; cliquez pour télécharger le fichier, et imprimez-le à l'échelle 1.

Papier millimétré pour tracer les chronogrammes ; cliquez pour télécharger le fichier, et imprimez-le à l'échelle 1.

Activité 4

lecture d'un enregistrement

L'enregistrement ci-contre montre les positions d'un point d'un solide en translation rectiligne uniformémetnt accéléré, relevées toutes le secondes (il s'écoule 1 s entre chaque point).

1. Dans le tableau suivant, relever les positions x des points en fonction du temps t.
2. Calculer les vitesses pour les points 2 à 10, et inscrivez-les dans le tableau.
3. Calculer les accélérations pour les points 3 à 9, et inscrivez-les dans le tableau.
4. Tracez les chronogrammes.
5. Calculer l'accélération moyenne sur l’ensemble du mouvement.
6. Déterminez les équations horaires :
   • a(t ) = …
   • v(t ) = …
   • x(t ) = …

Relevé des points et calcul des vitesses et accélérations

Point	x (mm)	t (s)	v (mm/s)	a (mm/s2)
1		0
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11

Solution

Chronogrammes

Relevé des points et calcul des vitesses et accélérations

Point	x (mm)	t (s)	v (mm/s)	a (mm/s2)
1	2	0
2	3	1	2,5
3	7	2	5	2,5
4	13	3	7,5	2,75
5	22	4	10,5	2,75
6	34	5	13	2,25
7	48	6	15	2,5
8	64	7	18	2,75
9	84	8	20,5	2,5
10	105	9	23
11	130	10

On a

$a_{\mathrm {moy} }={\frac {23-2,5}{9-1}}=2,6\ \mathrm {mm/s^{2}}$.

Pour déterminer la vitesse initiale, on prolonge la droite v = ƒ(t ), et l’on lit l'ordonnée à l'origine

v₀ ≃ 0.

Pour une détermination plus rigoureuse, il faudrait faire une régression linéaire.

Les équations horaire sont donc :

• a(t ) = 2,6 ;
• v(t ) = 2,6 × t ;
• x(t ) = 2 + 1,3 × t².

 

Enregistrement vierge ; cliquez pour télécharger le fichier, et imprimez-le à l'échelle 1.

Chronogrammes pour l'activité 5 ; cliquez pour télécharger le fichier, et imprimez-le à l'échelle 1.

Activité 5

lecture de chronogrammes

1. À partir du chronogramme x(t ), relever les positions x des points en fonction du temps t pour chaque seconde et remplissez le tableau ci-dessous.
2. Placez les points sur l’enregistrement vierge, en les numérotant.
3. Calculer les vitesses pour les points 2 à 10, et inscrivez-les dans le tableau. Comparer avec la vitesse moyenne.
4. Calculer les accélérations pour les points 3 à 9, et inscrivez-les dans le tableau.
5. Tracez les chronogrammes manquants.
6. Déterminez les équations horaires :
   • a(t ) = …
   • v(t ) = …
   • x(t ) = …

Relevé des points et calcul des vitesses et accélérations

Point	x (mm)	t (s)	v (mm/s)	a (mm/s2)
1		0
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11

Solution

Enregistrement du mouvement

Chronogrammes complétés

Relevé des points et calcul des vitesses et accélérations

Point	x (mm)	t (s)	v (mm/s)	a (mm/s2)
1	0	0
2	19	1	18
3	36	2	16	-2
4	51	3	14	-2
5	64	4	12	-2
6	75	5	10	-2
7	84	6	8	-2
8	91	7	6	-2
9	96	8	4	-2
10	99	9	2
11	100	10

L'accélération moyenne vaut :

$a_{\mathrm {moy} }={\frac {2-18}{9-1}}=-2\ \mathrm {mm/s} ^{2}$

Sur le chronogramme v = ƒ(t ), on lit

v₀ = 20 mm/s

d'où les équations

• a(t ) = −2 mm/s² ;
• v(t ) = 20 - 2 × t ;
• x(t ) = 0 + 20 × t - 1 × t² = 20 × t - t².

 

Faites ces exercices : Mouvements de translation rectiligne > Chronogramme de vitesse.

Conclusion

Chronogrammes génériques et équations horaires.

Les chronogrammes sont les représentations graphiques des équations horaires. L'enregistrement du mouvement correspond à l'équation x(t ).

La vitesse v₀ est la pente de la tangente à l'origine de x = ƒ(t ). Si la vitesse initiale est positive (mouvement vers la droite), nous pouvons distinguer deux cas :

1. a₀ > 0 : le mouvement est accéléré ;
2. a₀ < 0 : le mouvement est ralenti.

Si la vitesse initiale est négative (mouvement vers la gauche), c’est le contraire. De manière générale :

• si l'accélération et la vitesse sont de même signe, le mouvement est de plus en plus rapide (la valeur absolue de la vitesse augmente) ;
• si l'accélération et la vitesse sont de signe opposé, le mouvement est de plus en plus lent (la valeur absolue de la vitesse diminue).

Mouvement de translation général

Mouvement avec phase de démarrage, phase d’utilisation à vitesse constante et phase d'arrêt

Un mouvement réel a un début et une fin. Il y a donc systématiquement une phase d'accélération et une phase de décélération (freinage).

Dans les cas simples, l'accélération et le freinage sont uniformément variés, et l’on a entre les deux une phase uniforme. Le chronogramme a(t ) est en forme d'escalier, le chronogramme v(t ) a une forme de trapèze :

• vitesse croissante au démarrage ;
• vitesse constante au milieu ;
• vitesse décroissante en phase d'arrêt ;

le chronogramme x(t ) a une forme de S :

• parabole au démarrage ;
• partie droite au milieu ;
• parabole en phase d'arrêt.

Dans le cas général, les chronogrammes peuvent avoir n’importe quelle forme.

Récapitulatif

Mouvement uniforme : chronogrammes génériques et équations horaires.

Mouvement uniforme

la vitesse est constante donc

• les points de l'enregistrement sont espacés uniformément,
• a = 0 est représenté graphiquement par la droite des abscisses ;
• v(t ) = v₀ est représenté graphiquement par une droite horizontale ;
• x(t ) = x₀ + v₀t est représenté graphiquement par une droite de pente v₀ et d'ordonnée à l'origine x₀.

Mouvement uniformément varié : chronogrammes génériques et équations horaires.

Mouvement uniformément varié

l'accélération est constante donc

• les poitns de l'enregistrement s'éloignent (accélération) ou se rapprochent (ralentissement) au cours du temps ;
• a = a₀ est représenté graphiquement par une droite horizontale ;
• v(t ) = v₀ + a₀t est représenté graphiquement par une droite de pente a₀ et d'ordonnée à l'origine v₀ ;
• x(t ) = x₀ + v₀t + ½a₀t² est représenté par un arc de parabole.

Par ailleurs,

• v(t ) > 0 : le mouvement se fait vers la droite ;
• v(t ) < 0 : le mouvement se fait vers la gauche ;
• v et a sont de même signe : le mouvement s'accélère ;
• v et a sont de signe opposé : le mouvement ralentit.

Note pour les enseignants

Un certain nombre d'étudiants des domaines techniques et technologiques ont du mal à comprendre que le résultat d'un exercice soit d'obtenir une équation. Il s'attendent en effet à avoir une valeur numérique, et choisissent souvent une valeur arbitraire de t, en général la dernière (ici t = 10 s) pour obtenir un résultat chiffré.

Cette difficulté à l'abstraction est fondamentale à faire comprendre. Il peut être utile de se munir d'une montre à aiguilles pour illustrer que le temps n'a pas une valeur fixe mais passe en continu, et que donc dans le cas d'un mouvement, les valeurs — position, vitesse, accélération — ne sont pas uniques, mais ne sont pas pour autant aléatoires.

Diplômes français

Unités des diplômes français concernées par ce chapitre :

• bac pro EDPI :
  • S4.2.1 : Mouvement relatif de deux solides en liaison glissière ou pivot — Caractérisation du mouvement d'un point d'un solide par rapport à un repère donné,
    • champs des vecteurs vitesse d'un solide,
    • représentation graphique (graphe des déplacements et des vitesses) pour un mouvement résultant de l'association de mouvements uniformes et uniformément variés,
    • expressions analytiques (relations entre déplacement, vitesse et accélération) dans le même cas,
  • S5.1.3 : Les guidages, solutions associées au guidage en translation par contact direct, par interposition d'éléments mécaniques (patin de frottement, roulements, rail, …), par interposition d'éléments fluides ;
• bac pro TU : S1.4.1 : Mouvement relatif de deux solides en liaison glissière ou pivot ou hélicoïdale ;
  • Cinématique du point d'un solide en mouvement de translation par rapport à un repère fixe donné : position, trajectoire, vitesse, accélération, champ des vecteurs vitesse (solide en translation rectiligne),
  • Pour des mouvements uniformes ou uniformément variés :
    • représentation graphique (graphes des déplacements et des vitesses),
    • expression analytique (relation entre déplacement, vitesse, accélération) ;
• bac pro MEI : S.1.3 : Cinématique — Solide en mouvement de translation rectiligne
  • expression de la vitesse et de l'accélération,
  • représentation de la vitesse et de l'accélération,
  • mouvement de rectiligne uniforme (lecture et interprétation de graphe, application),
  • mouvement de rectiligne uniformément accéléré (lecture et interprétation de graphe, application) ;
• bac pro ROC-SM : S2.1.2 : Cinématique — Solide en mouvement de translation rectiligne
  • vitesse constante,
  • vitesse uniformément accélérée ;
• bac pro TCI : S1.4.3 Cinématique — Solide en mouvement de translation rectiligne (mouvement uniforme uniquement)
  • expression de la vitesse,
  • représentation vectorielle de la vitesse,
  • mouvement rectiligne uniforme (lecture et interprétation de graphe, application).

Pour les baccalauréats non-professionnels :

• bac STI GM productique mécanique : A1-2.1 Mouvement relatif de deux solides en liaison glissière ou pivot
  • 2.1.2 : Caractérisation du mouvement d'un point d'un solide par rapport à un repère donné :
    • représentants vectoriels de la position, de la vitesse et de l'accélération,
    • champ des vecteurs vitesse d'un solide : en mouvement de translation,
    • pour un mouvement résultant de l'association de mouvements uniformes et uniformément variés : représentation graphique (graphe des déplacements et des vitesses), expression analytique (relations entre déplacement, vitesse et accélération).

Note

Le programme est plus restreint pour le bac pro ROC-SM. Le niveau exigé est plus bas pour le bac pro TCI (niveau 2 au lieu de 3).

Voir aussi

• Cinématique/Mouvement de translation