Mécanique pour l'enseignement technique industriel/Exercices/Poids et centre de gravité

Élévateur à bande

Annale de sujet d'examen

Cet exercice est tombé au Bac pro ROC-SM en 2007.

Vue d'ensemble, et vue de haut en position basse de l'élévateur à bande

L'élévateur à bande représenté ci-contre fait partie d'une chaîne de tri du raisin qui permet d'obtenir à la sortie des grains prêts à être pressés (voir le Dossier de travail). Il sert à monter le raisins récolté dans un égrappoir. La bande transporteuse peut être inclinée pour s'adapter à la hauteur de l'égrappoir.

Question

On estime que l’ensemble élévateur à bande + raisin a une masse M = 250 kg. Calculer l'intensité $\|{\vec {\mathrm {P} }}\|$ du poids. Intensité de la pesanteur g = 9,81 m/s².

Solution

$\|{\vec {\mathrm {P} }}\|=\mathrm {M} \mathrm {g} =250\times 9,81=2\,453\ \mathrm {N}$.

 

Étude d'un tube de cuivre

Annale de sujet d'examen

Cet exercice est tombé au BEP Industriel secteur 2 en 2006.

Fig. 1 — Tube de cuivre sur une balance.

Fig. 2 — Suspension du tube de cuivre ; imprimer l'image à l'échelle 1.

La photo 1 ci-contre représente un tube de cuivre posé sur une balance.

1. Balance :
   1. Nommer la grandeur physique mesurée par la balance.
   2. Donner l’indication de la balance, puis la convertir en kg.
2. Calculer la valeur du poids P du poids du tube, en prenant g = 9,81 N/kg.
3. Indiquer, parmi les vecteurs dessinés sur la figure 2, celui qui représente le poids du tube.
4. On suspend le tube par un fil. Le tube est alors en équilibre dans la position représentée sur la figure 2. Indiquer, parmi les fils 1, 2, 3 ou 4, celui qui correspond à cette expérience, en justifiant le choix.
5. La masse d’un mètre de ce tube de cuivre pèse 363 g (on dit alors que sa masse linéaire est égale à 363 g/m). Calculer la longueur L du tube avant cintrage.

Solution

1. Balance :
   1. La grandeur physique est la masse.
   2. La balance indique m = 64,3 g, soit m = 0,0643 kg.
2. P = mg = 0,064,3 × 9,81 = 0,631 N.
3. Le poids est représenté par un vecteur vertical dirigé vers le bas, dont la longueur est 0,631/0,1 = 6,3 cm. C'est donc le vecteur ${\vec {\mathrm {P} }}_{2}$ qui convient.
4. Le point d'accroche du fil doit être à l'aplomb du centre de gravité. C'est donc le fil 3 qui convient.
5. On a une loi proportionnelle

   1 m → 363 g

   L → 64,3 g

   donc L = 64,3 × 1/363 = 0,177 m = 17,7 cm.

 

Porte d'une cuve à vin

Annale de sujet d'examen

Cet exercice est tombé au Bac pro ROC-SM en 2003.

Ensemble {Cuve à vin + Porte}

La cuve à vin sert à conserver le vin pendant sa fermentation. Le bras de manutention est en option. Il est amovible et est donc utilisable pour plusieurs cuves ; il facilite, grâce à un montage simple, l'ouverture et surtout le maintien de la porte de visite.

Sous-ensemble {Porte + Bras}

B1	1	Porte	X2CrNi19-11	tôle ép. 6
D8	1	Boulon	36NiCrMo16	HM10 × 55
D7	2	Goupilles élastiques	X30Cr13	ISO 8752 4 × 15
D6	2	Rondelles plates, normales	X2CrNi19-11	diamètre nominal ∅16
D5	2	Axe	X2CrNi19-11	usiné
D4	1	Chape cuve	X2CrNi19-11	tôle ép. 6
D3	1	Chape porte	X2CrNi19-11	tôle ép. 6
D2	1	Tube extérieur	X2CrNi19-11	tube 80 × 40 ép. 5
D1	1	Tube intérieur	X2CrNi19-11	tube 60 × 30 ép. 3 mm
Rep.	Nb.	Désignation	Matière	Observations

Question 1

Déterminer la masse (en kg) de la porte rep. B1. Vous négligerez :

• tous les perçages ;
• la semelle de fixation du bras rep. D ;
• les quatre arrondis.

Vous prendrez la valeur de 7,8 kg/dm³ pour la matière X2CrNi19-11.

Question 2

En déduire le poids (en N) de la porte rep. B1. Vous prendrez l'intensité de la pesanteur g = 9,81 m/s².

Modéliser le poids sur cette figure.

Question 3

Remplir le tableau des caractéristiques de l'action mécanique ci-dessous, et modéliser le poids sur la figure ci-contre.

« Modéliser » signifie représenter le vecteur force ; en absence d'échelle, la longueur est choisie arbitrairement, seuls la direction, le sens et le point d'application importent.

Caractéristiques de l'action mécanique

Action mécanique	Point d'application	Direction	Sens	Intensité
…	…	…	…	…

Solution

Question 1

La porte est donc assimilable à un parallélépipède rectangle. Le plan et la nomenclature nous donnent les dimensions en mm 600 × 500 × 6. Comme la masse volumique est en kg/dm³, on a intérêt à faire les calculs en dm. On a donc :

le volume : V = L × ℓ × e = 6 × 5 × 0,06 = 1,8 dm³ ;

la masse : m = ρ × V = 7,8 × 1,8 = 14,0 kg.

Dans les ateliers de chaudronnerie, on calcule souvent le volume en mm³, puis on divise par un million :

V = L × ℓ × e = 600 × 500 × 6 = 1 800 000 mm³ ;

m = ρ × V/1 000 000 = 7,8 × 1 800 000/1 000 000 = 14,0 kg.

Cette méthode permet d’utiliser les unités usuelles (mm pour les cotes, kg/dm³ pour la masse volumique — densité) mais augmente le risque d'erreur de recopiage d'un calcul à l'autre. Il n’est pas forcément pertinent de l'enseigner, mais l'enseignant doit la connaître afin de s'adapter à un public ayant une expérience professionnelle en chaudronnerie.

Question 2

On a

le poids : P = m × g = 14,0 × 9,81 = 137 N.

Modélisation du poids.

Question 3

Caractéristiques de l'action mécanique

Action mécanique	Point d'application	Direction	Sens	Intensité
${\vec {\mathrm {P} }}$	G	|	↓	137 N

Le vecteur doit être vertical, partir de G et dirigé vers le bas ; il faut indiquer ${\vec {\mathrm {P} }}$ à côté.

 

Support d'un filtre à vin

Mise en situation

Déplacement possible du filtre à vin au sein de l'entreprise

Le filtre à vin étudié est utilisé dans une entreprise de stockage et de distribution de vin en gros. L’entreprise dispose de nombreuses cuves d'une contenance variable entre 10,000 et 50,000 hℓ de vin. Le filtre est utilisé pour filtrer le vin entre deux cuves et stopper ainsi sa fermentation ; il supprime les impuretés contenues dans le vin en le faisant traverser sous pression une couche de terre calibrée. Il est donc nécessaire de pouvoir déplacer facilement l’ensemble filtre au pied de chaque cuve.

Mise en situation mécanique

Il nous faut calculer le poids de l’ensemble afin de choisir le type de roulette et de vérifier la résistance des pieds le supportant.

Dessin d'ensemble

Plan de détail d'une bride avant usinage des trous.

Le système comporte quatre grands sous-ensembles :

• sous-ensemble A (en bleu) : accessoires
  • A1 : pompe principale, 118 kg,
  • A2 : pompe doseuse, 68 kg,
  • A3 : mélangeur, 70 kg,
  • A4 : entraînement nettoyage : 68 kg,
  • ensemble tuyauterie, 55 kg ;
• sous-ensemble C (en violet) : cuve de mélange, 90 kg ;
  contenance de la cuve : 130 ℓ maxi (masse volumique du mélange ρ_{vin+terre+cellulose} = 1 kg/dm³) ;
• sous-ensemble F (en vert) : filtre et brides,
  • filtre : 250 kg,
    contenance du filtre : 900 ℓ maxi,
  • bride de filtre : voir figure ci-dessous, ρ_acier = 7,8 kg/dm³, il y a deux brides (une supérieure et une inférieure) ;
• sous-ensemble S (en noir) : support et pieds.

Question 1

Calculer le poids des éléments ci-dessus ; déterminer le poids des différents sous-ensembles et de l'ensemble. On donne g = 10 m/s².

Calcul des poids

sous-ensemble A
pompe principale A1	……………………………………………………	PA1 = …………………………
pompe doseuse A2	……………………………………………………	PA2 = …………………………
mélangeur A3	……………………………………………………	PA3 = …………………………
entraînement nettoyage A4	……………………………………………………	PA4 = …………………………
ensemble tuyauterie	……………………………………………………	Ptuy = …………………………
total		PA = …………………………
sous-ensemble C
cuve de mélange	……………………………………………………	Pcuve = …………………………
contenance de la cuve	…………………………………………………… ……………………………………………………	Pcont. cuve = …………………………
total		PC = …………………………
sous-ensemble F
filtre	……………………………………………………	Pfiltre = …………………………
contenance du filtre	…………………………………………………… ……………………………………………………	Pcont. filtre = …………………………
une bride	…………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… ……………………………………………………	Pbride = …………………………
total		PF = …………………………

Poids total : ……………………………………………………

Indication

Pour calculer le poids d'une bride, commencer par faire une vue en perspective cotée.

Positions des centres de gravité des sous-ensembles A, C et F.

Question 2

Les positions des centres de gravité des sous-ensembles A, C et F sont données sur la figure ci-contre.

Modéliser les poids sur cette figure. Remplir le tableau des caractéristiques des actions mécaniques.

Caractéristiques des actions mécaniques

Action mécanique	Point d'application	Direction	Sens	Intensité
${\vec {\mathrm {P} }}_{\mathrm {C} }$	…	…	…	…
${\vec {\mathrm {P} }}_{\mathrm {A} }$	…	…	…	…
${\vec {\mathrm {P} }}_{\mathrm {F} }$	…	…	…	…

Question 3

Déterminer la position du centre de gravité G de l’ensemble ; placez-le sur le dessin et donnez la cote par rapport au point G_C.

Question 4

La stabilité est-elle assurée ? Justifiez votre réponse.

Solution

Question 1

Calcul des poids

sous-ensemble A
pompe principale A1	PA1 = mA1g = 118 × 10	PA1 = 1 180 N
pompe doseuse A2	PA2 = mA2g = 68 × 10	PA2 = 680 N
mélangeur A3	PA3 = mA3g = 70 × 10	PA3 = 700 N
entraînement nettoyage A4	PA4 = mA4g = 68 × 10	PA4 = 680 N
ensemble tuyauterie	Ptuy = mtuyg = 55 × 10	Ptuy = 550 N
total		PA = 1 180 + 680 + 700 + 680 + 550 = 3 790 N
sous-ensemble C
cuve de mélange	Pcuve = mcuveg = 90 × 10	Pcuve = 900 N
contenance de la cuve	mcont. cuve = ρmélangeVcuve = 1 × 130 = 130 kg Pcont. cuve = mcont. cuveg = 130 × 10	Pcont. cuve = 1 300 N
total		PC = 900 + 1 300 = 2 200 N
sous-ensemble F
filtre	Pfiltre = mfiltreg = 250 × 10	Pfiltre = 2 500 N
contenance du filtre	mcont. filtre = ρmélangeVfiltre = 1 × 900 = 900 kg Pcont. filtre = mcont. filtreg = 900 × 10	Pcont. filtre = 9 000 N
une bride	Vbride = S × e = π(Rext corps2 - rint corps2 + 9 × rtenon2) × e = π(52 - 4,52 + 9 × 0,22) × 0,96 = 15,4 dm3 mbride = ρacierVbride = 7,8 × 15,4 = 120 kg Pbride = mbrideg = 120 × 10	Pbride = 1,200 N
total		PF = 2 500 + 9 000 + 2 × 1 200 = 13 900 N

Poids total : 3 790 + 2 200 + 13 900 = 198 900 N

Calcul du diamètre extérieur et vue en perspective

Détails sur le calcul du poids de la bride

La bride est composée d'un corps de volume V₁ et de 9 tenons de volume V₂. Les tenons sont des cylindres de ∅40 mm (soit 0,4 dm) et de hauteur 96 mm = 0,96 dm, soit

V₂ = (πr_tenon²) × e = π × 0,2² × 0,96 = 0,121 dm³.

Pour connaître le diamètre extérieur de la bride, il faut s'intéresser aux cotes encadrées : il s'agit de cotation géométrique, ou cotation GPS. La cible « ⊕ » indique qu’il s'agit d'une tolérance de positionnement : l'axe du tenon doit être à ± 1 mm par rapport au cercle en trait mixte de diamètre 1,040 mm, le repère étant construit à partir des éléments géométriques A et B. Donc, le cercle extérieur du corps de la bride est tangent au cercle du tenon de rayon 20 mm, dont le centre est situé à 1 040 mm du centre du corps. Le diamètre extérieur du corps est donc 1 040 - 2 × 20 = 1 000 mm = 10 dm.

On peut calculer le volume V₁ de deux manières :

V₁ = π(R_{ext corps}² - πr_{int corps}²) × h = π(5² - 4,5²) × 0,96 = 14,3 dm³

ou bien

V₁ = π × D_fn × e × h = π × 9,5 × 0,5 × 0,96 = 14,3 dm³

donc le volume total vaut

V = V₁ + 9 × V₂ = 14,3 + 9 × 0,121 = 15,4 dm³.

Donc

m = ρV = 7,8 × 15,4 = 120 kg

et

P = mg = 120 × 10 = 1,200 N.

Modélisation des poids

Question 2

Caractéristiques des actions mécaniques

Action mécanique	Point d'application	Direction	Sens	Intensité
${\vec {\mathrm {P} }}_{\mathrm {C} }$	GC	|	↓	2 200 N
${\vec {\mathrm {P} }}_{\mathrm {A} }$	GA	|	↓	3 790 N
${\vec {\mathrm {P} }}_{\mathrm {F} }$	GF	|	↓	13 900 N

Question 3

On repère les positions x par rapport à G_C.

Centre de gravité

Sous-ensemble	P (N)	x (m)	Px (Nm)
C	2 200	0	0
A	3 790	0,1	379
F	13 900	1,45	20 155
Somme	19 890	—	20 534

$x_{\mathrm {G} }={\frac {20\,534}{19\,890}}=1,032\ \mathrm {m} =1\,032\ \mathrm {mm}$.

Question 4

On a

170 mm < x_G < 2 244 mm,

le centre de gravité G est situé entre les appuis C et E. La stabilité est donc assurée.

 

Centre de gravité d'une plateforme

Plateforme en caillebotis

On veut connaître le centre de gravité d’une plateforme de caillebotis. Cette plateforme est rectangulaire (1), mais elle est percée de deux ouvertures pour permettre le passage d’une canalisation (2) et l’arrivée d’un escalier (3) (cf. figure ci-contre).

Déterminer les coordonnées (x_G ; y_G) de son centre de gravité en supposant qu’il s’agit d’une tôle. Les ouvertures (2) et (3) seront considérées comme des pièces de masse négative.

solution

Forme de base rep. 1 : rectangle de 4 m × 3 m, d'aire S₁ = 4 × 3 = 12 m². Le centre se trouve au milieu, en x₁ = 4/2 = 2 m, y₁ = 3/2 = 1,5 m.

Ouverture circulaire rep. 2 de diamètre 0,8 m : aire S₂ = -π × 0,4² = −0,5027 m². Le centre se trouve en x₂ = 1 m, y₂ = 3 - 1 = 2 m.

Ouverture rectangulaire rep. 3 de 1,6 m × 1 m, d'aire S₃ = -1,6 × 1 = −1,6 m². Le centre se trouve en x₃ = 4 - 0,4 - 1,6/2 = 2,8 m, y₃ = 0,4 + 1/2 = 0,9 m.

Pièce	S (m2)	x (m)	y (m)	Sx (m3)	Sy (m3)
1	12	2	1,5	24	18
2	−0,502,7	1	2	−0,502,7	-1,005
3	-1,6	2,8	0,9	-4,48	-1,44
Somme	9,897	—	—	19,02	15,55

soit

$\left\{{\begin{matrix}x_{\mathrm {G} }=\ &{\frac {19,02}{9,897}}=1,922\ \mathrm {m} =1\,922\ \mathrm {mm} \\y_{\mathrm {G} }=\ &{\frac {15,55}{9,897}}=1,571\ \mathrm {m} =1\,571\ \mathrm {mm} \\\end{matrix}}\right.$

 

Poids et centre de gravité d'une tôle

Tôle de carter

Un carter comporte une tôle trapézoïdale rectangle représentée ci-contre. La tôle est en acier, de masse volumique ρ = 7 800 kg/m³, et d'épaisseur 0,5 mm.

Question 1

Déterminer la position du centre de gravité de la tôle.

Question 2

Calculer le poids de la tôle. On prendra g = 9,81 m/s².

Solution

Décomposition de la tôle et centres de gravité

Question 1

On peut décomposer la tôle en

• un rectangle rep. 1 de 300 mm × 400 mm (0,3 m × 0,4 m) : son aire vaut 0,12 m² et son centre de gravité se situé en G₁(0,15 ; 0,2) ;
• et un triangle rectangle rep. 2 dont les côtés de l'angle droit font 200 mm et 400 mm (0,2 m × 0,4 m) : son aire vaut ½ × 0,2 × 0,40,04 m², et son centre de gravité se situé en
  • x₂ = 0,3 + ⅓ × 0,2 = 0,367,
  • y₂ = ⅓ × 0,4 = 0,133.

Pièce	S (m2)	x (m)	y (m)	Sx (m3)	Sy (m3)
1	0,12	0,15	0,2	0,018	0,024
2	0,04	0,367	0,133	0,014,7	0,005,32
Somme	0,16	—	—	0,032,7	0,029,3

soit

$\left\{{\begin{matrix}x_{\mathrm {G} }=\ &{\frac {0,032\,7}{0,16}}=0,204\ \mathrm {m} =204\ \mathrm {mm} \\x_{\mathrm {G} }=\ &{\frac {0,029\,3}{0,16}}=0,183\ \mathrm {m} =183\ \mathrm {mm} \\\end{matrix}}\right.$

Question 2

• V = S × e = 0,16 × 0,000,5 = 8⋅10⁻⁵ m³ = 0,000 08 m³ ;
• m = ρ × V = 7,800 × 0,000,08 = 0,624 kg = 624 g ;
• P = mg = 0,624 × 9,81 = 6,12 N.