Introduction aux suites numériques/Exercices/Suites géométriques

Suites géométriques

1. Soit $(U_{n})$ la suite géométrique de raison $1{,}5$ et de premier terme $U_{0}=2$.

a. Calculer $(U_{7})$.

b. Calculer $S_{7}=U_{0}+U_{1}+\dots +U_{7}$.

2. Soit $(V_{n})$ une suite géométrique telle que $V_{7}=15\,309$ et $V_{9}=137\,781$.

a. Calculer le premier terme $V_{0}$ et la raison $q$, en supposant $q\geq 0$.

b. Même question, en ne supposant plus $q\geq 0$.

Solution

1.

a. $U_{7}=2\times 1{,}5^{7}=34{,}171875$.

b. $S_{7}=2\;{\frac {1{,}5^{8}-1}{1{,}5-1}}=4\left(1{,}5^{8}-1\right)=98{,}515625$.

2. $V_{0}q^{7}=V_{7}$ et $V_{0}q^{9}=V_{9}$ donc $q^{2}={\frac {V_{9}}{V_{7}}}={\frac {137781}{15309}}=9$.

a. Si $q\geq 0$ alors $q={\sqrt {9}}=3$ donc $V_{0}={\frac {V_{7}}{3^{7}}}=7$.

b. Sans la contrainte $q\geq 0$, il y a une seconde suite solution, avec $q=-3$ donc $V_{0}=-7$.

 

Bactéries

On note U₀ = 100 000 une population initiale de bactéries.

Tous les jours, cette population est multipliée par 1,7.

1. Si U_n désigne la population après n jours, quelle est la nature de la suite (U_n) ?
2. Calculer le nombre de bactéries après 5 jours.
3. En supposant que chaque jour, une bactérie donnée peut soit mourir, soit se diviser en deux, calculer le pourcentage de bactéries qui meurent à chaque étape.

Solution

1. (U_n) est la suite géométrique de premier terme 10⁵ et de raison 1,7.
2. $U_{10}=10^{5}\times 1{,}7^{5}=1419857$.
3. Soit a % le pourcentage de bactéries qui meurent chaque jour. 1,7 = 2(1 – a/100) donc a = 100(1 – 1,7/2) = 15.

 

Du blé sur l'échiquier

On pose un grain de blé sur la première case d'un échiquier, deux sur la deuxième, quatre sur la troisième, etc.

Combien de grains de blé faut-il pour remplir les 64 cases ?

Solution

On pose sur chaque nouvelle case le double de ce que l’on a posé sur la case précédente. Ainsi, pour tout n, si l'on note u_n le nombre de grains posés sur la n-ième case :

u_n+1 = 2u_n.

Ainsi, (u_n) est la suite géométrique de raison q = 2 et de premier terme u₀ = 1 (1 grain sur la première case).

Le nombre total de grains est donc :

S = u₀ + u₂ + ··· + u₆₃ = ${\frac {2^{64}-1}{2-1}}=2^{64}-1$,

soit finalement, après un coup de calculette :

$S=18\;446\;744\;073\;709\;551\;615\;{\text{grains}}$.