Introduction aux mathématiques/Applications

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Graphes

Soient $E$ et $F$ deux ensembles.

Définition : graphe

On appelle graphe de $E$ vers $F$ toute partie de $E\times F$.
On appelle application de $E$ vers $F$ tout triplet $f=(E,F,\Gamma )$ où $\Gamma$ est un graphe de $E$ vers $F$ tel que : $\forall x\in E,\exists !y\in F/(x,y)\in \Gamma$

Dans pareil cas, on dit que

• $E$ est l'ensemble de départ ou la source de $f$,
• $F$ l'ensemble d'arrivée ou le but de $f$,
• $\Gamma$ le graphe de $f$.

Pour un $x\in E$, l'unique $y$ de la définition est appelé image de $x$ par $f$, noté $f(x)$. On note souvent $f:E\rightarrow F,\,x\mapsto f(x)$.
Deux applications sont donc égales ssi elles ont même source, même but et même graphe.
Dans les cas particulier où $F=\mathbb {R}$ (resp$\mathbb {C}$) on parle de fonction numérique (resp: complexe). Si $E=\mathbb {N}$ on parle de suite d'éléments de $F$.
On appelle identité de $E$, l’application $id_{E}:E\rightarrow E,\,x\mapsto x$.

Restrictions, prolongements

Soit $f:E\rightarrow F$ une application et $A\subset E$.

Définitions : restriction, corestriction

On appelle restriction de $f$ à $A$, notée $f_{|A}$, l’application $f_{|A}:A\rightarrow F,\,x\mapsto f(x)$.

Soit maintenant $B\subset F$ telle que $\forall x\in E,f(x)\in B$.

On appelle alors corestriction de $f$ à $B$ l’application $f^{|B}:E\rightarrow B,\,x\mapsto f(x)$.

Soit $E'$ un sur-ensemble de $E$, on appelle prolongement de $f$ à $E'$ toute application $g:E'\rightarrow F$ telle que $\forall x\in E,f(x)=g(x)$.

Composition

Pour plus de détails sur cette section, voir le chapitre « Composition » de la leçon « Opérations sur les fonctions ».

Soient $f:E\rightarrow F$ et $g:F\rightarrow G$ deux applications. On définit alors l'application composée de $f$ et $g$ par $g\circ f:E\rightarrow G,\,x\mapsto g(f(x))$.

Proposition

Soient $f:E\rightarrow F$, $g:F\rightarrow G$ et $h:G\rightarrow H$ trois applications.
Alors $h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f$.

Ainsi la notation $h\circ g\circ f$ est sans ambiguité.

Injections, surjections et bijections

Pour plus de détails sur toute cette section, voir le chapitre « Injection, surjection, bijection » de la leçon « Application (mathématiques) ».

Définitions

Soient $f:E\to F$ une application et $y\in F$.

Définition : antécédent

On appelle antécédent de $y$ par $f$ tout élément $x\in E$ tel que $f(x)=y$.

Exemple : pour $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,\,x\mapsto x^{2}$, le réel $-2$ n'a pas d'antécédent alors que $2$ en a deux.

Définition : injections, surjections, bijections

On dit que $f$ est :

• injective si tout élément de $F$ a au plus un antécédent par $f$ ; cela équivaut à $\forall x,x'\in E\quad x\neq x'\Rightarrow f(x)\neq f(x')$ ou encore, en contraposant, à $\forall x,x'\in E\quad f(x)=f(x')\Rightarrow x=x'$ ;
• surjective si tout élément de $F$ a au moins un antécédent par $f$, c'est-à-dire $\forall y\in F\quad \exists x\in E\quad y=f(x)$ ;
• bijective si elle est à la fois injective et surjective, ce qui équivaut à $\forall y\in F\quad \exists !x\in E\quad y=f(x)$.

Exercice : Restreindre l’application $f$ de l'exemple précédent au départ et/où à l'arrivée pour la rendre injective/surjective/bijective.

Stabilité par composition

Proposition

Soient $f:E\rightarrow F$ et $g:F\rightarrow G$ deux applications.

• Si $f$ et $g$ sont injectives, alors $g\circ f$ l'est aussi.
• Si $f$ et $g$ sont surjectives, alors $g\circ f$ l'est aussi.
• Si $g\circ f$ est injective, alors $f$ l'est aussi.
• Si $g\circ f$ est surjective, alors $g$ l'est aussi.

Bijection réciproque

Soit $f:E\rightarrow F$ une bijection. Pour tout $y\in F$, on note $f^{-1}(y)$ l'unique $x\in E/f(x)=y$. Ceci permet de définir une application $f^{-1}:F\rightarrow E,\,y\mapsto f^{-1}(y)$. On appelle cete application bijection réciproque de $f$.

On a clairement les deux égalités $f\circ f^{-1}=\operatorname {Id} _{F}$ et $f^{-1}\circ f=\operatorname {Id} _{E}$. Réciproquement :

Proposition

S'il existe une application $g:F\rightarrow E$ telle que $f\circ g=id_{F}$ et $g\circ f=id_{E}$, alors $f$ est bijective et $f^{-1}=g$.

Corollaire

Si $f:E\rightarrow F$ est bijective,

alors $f^{-1}:F\rightarrow E$ l'est aussi.

Auquel cas $(f^{-1})^{-1}=f$

Ainsi pour montrer qu'une application est bijective on peut :

• ou bien le faire à la main : à $y$ fixé dans $F$, on montre qu’il existe un seul et unique antécédent ;
• ou bien construire une bijection réciproque (qui s'avère être la bijection réciproque).

Familles

Définitions et notations : familles, suites

Soit $I$ et $E$ deux ensembles.

On appelle famille d'éléments de $E$ indexée par $I$ toute application $f:I\rightarrow E$.

On note plus volontiers $f_{i}$ que $f(i)$ pour $i\in I$ — on préfère également $(f_{i})_{i\in I}$ à $f:I\rightarrow E$.

Plusieurs cas de figure se présentent parfois :

• Si l'index $I$ est fini (au sens intuitif du terme), la famille est dite finie.
• Si $I=\mathbb {N}$, on parle de suite d'élément de $E$.
• Si $J\subset I$, on appelle sous-famille de la famille $(f_{i})_{i\in I}$, la restriction de $f$ à $J$.

Pour une famille $(A_{i})_{i\in I}$ d'éléments de ${\mathcal {P}}(E)$, on pose

• $\bigcap _{i\in I}A_{i}:=\{x\in E/\forall i\in I,x\in A_{i}\}$, l'intersection des $A_{i}$,
• $\bigcup _{i\in I}A_{i}:=\{x\in E/\exists i\in I/x\in A_{i}\}$, leur réunion.

Définition : partition

Soit $E$ un ensemble.

On appelle partition de $E$ toute partie, P, de ${\mathcal {P}}(E)$ vérifiant :

• $\forall A\in P,\,A\neq \emptyset$,
• $\forall A,B\in P,\ A\neq B\Rightarrow A\cap B=\emptyset$,
• $\bigsqcup _{A\in P}A=E$.

Exemple : une partition évidente de E est $\{A,A^{c}\}$ valable pour tout $A\subset E$.

Images directes et réciproques

Soit $f:E\rightarrow F$ une application.

Définition

Pour $A\subset E$, on appelle image directe de $A$ par $f$ la partie de $F$, notée $f(A)$ et définie par $f(A):=\{y\in F/\exists x\in A/y=f(x)\}$. En particulier $f(E)$ est appelé l'image de $f$.
Pour $B\subset F$, on appelle image réciproque de $B$ par $f$ la partie de $E$, notée $f^{-1}(B)$ et définie par $f^{-1}(B):=\{x\in E/f(x)\in B\}$.

Remarques :

• $f^{-1}(B)$ est toujours envisageable, même si $f$ n’est pas bijective
• $f^{-1}(F)=E$ alors qu'en générale $f(E)\neq F$. C'est le cas ssi $f$ est surjective.

Exercice : étudier l'injectivité/surjectivité/bijectivité des applications ${\mathcal {P}}(E)\rightarrow {\mathcal {P}}(F),A\mapsto f(A)$ et ${\mathcal {P}}(F)\rightarrow {\mathcal {P}}(E),B\mapsto f^{-1}(B)$ en fonction de celles de $f:E\rightarrow F$.

Fibres

Soit $y\in F$, les ensembles $f^{-1}(\{y\})=\{x\in E/f(x)=y\}$ sont appelés les fibres de $f$. Lorsque $f$ est surjective, elles forment une partition de $E$, exercice dont on reparlera...

Remarques : Dire que $f$ est

• injective équivaut à dire que toute fibre de $f$ a au plus un élément,
• surjective équivaut à dire qu'aucune fibre de $f$ n'est vide,
• bijective équivaut à dire que toute fibre de $f$ est réduite à un singleton.

Quelques propriétés

Proposition

Soit $(B_{i})_{i\in I}$ une famille de parties de $F$.
Alors $f^{-1}(\bigcap _{i\in I}B_{i})=\bigcap _{i\in I}f^{-1}(B_{i})$ et $f^{-1}(\bigcup _{i\in I}B_{i})=\bigcup _{i\in I}f^{-1}(B_{i})$.

'Preuve'

${\begin{aligned}\forall x\in E,\,x\in f^{-1}(\bigcap _{i\in I}B_{i})&\Leftrightarrow f(x)\in \bigcap _{i\in I}B_{i}\\&\Leftrightarrow \forall i\in I,\,f(x)\in B_{i}\\&\Leftrightarrow \forall i\in I,\,x\in f^{-1}(B_{i})\\&\Leftrightarrow x\in \bigcap _{i\in I}f^{-1}(B_{i})\\\forall x\in E,\,x\in f^{-1}(\bigcup _{i\in I}B_{i})&\Leftrightarrow f(x)\in \bigcup _{i\in I}B_{i}\\&\Leftrightarrow \exists i\in I/f(x)\in B_{i}\\&\Leftrightarrow \exists i\in I/x\in f^{-1}(B_{i})\\&\Leftrightarrow x\in \bigcup _{i\in I}f^{-1}(B_{i})\end{aligned}}$

 

Proposition

Soit $(A_{i})_{i\in I}$ une famille de parties de $E$.
Alors $f(\bigcap _{i\in I}A_{i})\subset \bigcap _{i\in I}f(A_{i})$ et $f(\bigcup _{i\in I}A_{i})=\bigcup _{i\in I}f(A_{i})$.

'Preuve'

${\begin{aligned}\forall y\in F,\,y\in f(\bigcap _{i\in I}A_{i})&\Leftrightarrow \exists x\in \bigcap _{i\in I}A_{i}/y=f(x)\\&\Leftrightarrow \exists x\in E/\forall i\in I,x\in A_{i}{\text{ et }}y=f(x)\\&\Rightarrow \forall i\in I,\exists x\in A_{i}/y=f(x)\\&\Rightarrow \forall i\in I,y\in f(A_{i})\\&\Rightarrow y\in \bigcap _{i\in I}f(A_{i})\end{aligned}}$

On notera que l'interversion des quantificateurs ne donne qu'une implication, en effet « en haut » il y a un $x$ commun a tous les indices $i$, tandis qu' « en bas » les $x$ dépendent de l'indice ce qui est plus faible.

${\begin{aligned}\forall y\in F,\,y\in f(\bigcup _{i\in I}A_{i})&\Leftrightarrow \exists x\in \bigcup _{i\in I}A_{i}/y=f(x)\\&\Leftrightarrow \exists x\in E\exists i\in I/x\in A_{i}{\text{ et }}y=f(x)\\&\Leftrightarrow \exists i\in I,\exists x\in A_{i}/y=f(x)\\&\Leftrightarrow \exists i\in I/y\in f(A_{i})\\&\Leftrightarrow y\in \bigcup _{i\in I}f(A_{i})\end{aligned}}$