Leçons de niveau 14

Introduction aux mathématiques/Applications

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Applications
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Chapitre no 3
Leçon : Introduction aux mathématiques
Chap. préc. :Notion d'ensemble
Chap. suiv. :Relations binaires
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Introduction aux mathématiques/Applications
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Graphes[modifier | modifier le wikicode]

Soient et deux ensembles.


Dans pareil cas, on dit que

  • est l'ensemble de départ ou la source de ,
  • l'ensemble d'arrivée ou le but de ,
  • le graphe de .

Pour un , l'unique de la définition est appelé image de par , noté . On note souvent .
Deux applications sont donc égales ssi elles ont même source, même but et même graphe.
Dans les cas particulier où (resp) on parle de fonction numérique (resp: complexe). Si on parle de suite d'éléments de .
On appelle identité de , l’application .

Restrictions, prolongements[modifier | modifier le wikicode]

Soit une application et .


Composition[modifier | modifier le wikicode]

Pour plus de détails sur cette section, voir le chapitre « Composition » de la leçon « Opérations sur les fonctions ».

Soient et deux applications. On définit alors l'application composée de et par .


Ainsi la notation est sans ambiguité.

Injections, surjections et bijections[modifier | modifier le wikicode]

Pour plus de détails sur toute cette section, voir le chapitre « Injection, surjection, bijection » de la leçon « Application (mathématiques) ».

Définitions[modifier | modifier le wikicode]

Soient une application et .


Exemple : pour , le réel n'a pas d'antécédent alors que en a deux.


Exercice : Restreindre l’application de l'exemple précédent au départ et/où à l'arrivée pour la rendre injective/surjective/bijective.

Stabilité par composition[modifier | modifier le wikicode]


Bijection réciproque[modifier | modifier le wikicode]

Soit une bijection. Pour tout , on note l'unique . Ceci permet de définir une application . On appelle cete application bijection réciproque de .

On a clairement les deux égalités et . Réciproquement :



Ainsi pour montrer qu'une application est bijective on peut :

  • ou bien le faire à la main : à fixé dans , on montre qu’il existe un seul et unique antécédent ;
  • ou bien construire une bijection réciproque (qui s'avère être la bijection réciproque).

Familles[modifier | modifier le wikicode]



Exemple : une partition évidente de E est valable pour tout .

Images directes et réciproques[modifier | modifier le wikicode]

Soit une application.

Définition[modifier | modifier le wikicode]

Pour , on appelle image directe de par la partie de , notée et définie par . En particulier est appelé l'image de .
Pour , on appelle image réciproque de par la partie de , notée et définie par .

Remarques :

  • est toujours envisageable, même si n’est pas bijective
  • alors qu'en générale . C'est le cas ssi est surjective.

Exercice : étudier l'injectivité/surjectivité/bijectivité des applications et en fonction de celles de .

Fibres[modifier | modifier le wikicode]

Soit , les ensembles sont appelés les fibres de . Lorsque est surjective, elles forment une partition de , exercice dont on reparlera...

Remarques : Dire que est

  • injective équivaut à dire que toute fibre de a au plus un élément,
  • surjective équivaut à dire qu'aucune fibre de n'est vide,
  • bijective équivaut à dire que toute fibre de est réduite à un singleton.

Quelques propriétés[modifier | modifier le wikicode]