Leçons de niveau 14

Introduction aux mathématiques/Notion d'ensemble

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Notion d'ensemble
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Chapitre no 2
Leçon : Introduction aux mathématiques
Chap. préc. : Rudiments de logique
Chap. suiv. : Applications
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Définitions[modifier | modifier le wikicode]

Ensemble, élément[modifier | modifier le wikicode]

C'est une notion à la fois difficile à définir très proprement et à la fois très intuitive : on se contentera de l'intuition. Un ensemble est donc une « collection » d'objets qu'on appelle ses éléments. On note pour signifier que l'élément appartient à l’ensemble , et pour dire le contraire.

Partie[modifier | modifier le wikicode]

Soient et deux ensembles. On dit que est inclus dans (ou est une partie de, ou encore est un sous ensemble de) , et on note , si et seulement si .

On note l’ensemble des parties de . Ainsi .

Deux ensembles et sont égaux et on écrit si et seulement si et , c'est-à-dire s’ils ont exactement les mêmes éléments.

Enfin, on note pour signifier et .

Prédicat[modifier | modifier le wikicode]

Soit un ensemble. On appelle prédicat sur la donnée, pour chaque élément de , d'une assertion .

Exemple :

  • Pour tout réel, on définit par : . C'est un prédicat sur , vrai pour 2 et faux pour 0.

Définition d'un ensemble en compréhension[modifier | modifier le wikicode]

On a le droit de définir l’ensemble des éléments d'un ensemble vérifiant un prédicat , on le note . On parle de définition en compréhension. Il est crucial de préciser l’ensemble d'origine des éléments . Sinon on pourrait considérer l’ensemble  : a-t-on  ?

Ensemble vide[modifier | modifier le wikicode]

Il existe un ensemble qui ne contient aucun élément : en effet on considère un ensemble quelconque et l’ensemble . De plus appartient à tous les ensembles. Un tel autre ensemble vérifierait alors et , d'où l'égalité. On parle alors de l'ensemble vide.

Remarque : On a qui est donc non vide.

Définition d'un ensemble en extension[modifier | modifier le wikicode]

Un ensemble peut être défini en extension, c'est-à-dire en donnant la liste de ses éléments entre accolades. Par exemple représente l’ensemble dont les éléments sont , et .

Paire[modifier | modifier le wikicode]

Étant donnés deux objets et on peut définir l’ensemble les contenant exactement : il s'agit de la paire .

Couple[modifier | modifier le wikicode]

Pour que l’ordre des éléments ait une importance on définit le couple par . On peut vérifier la proposition suivante :

Début d’un théorème


Fin du théorème


Début d'une démonstration


Fin de la démonstration

Produit cartésien[modifier | modifier le wikicode]

On appelle alors produit cartésien de deux ensembles et , l’ensemble des couples . On le note , lire « E croix F ». Ceci s'étend pour définir des triplets ; des quadruplets ; des -uplets .

Opérations sur les ensembles[modifier | modifier le wikicode]

Différence, complémentaire[modifier | modifier le wikicode]



En particulier on définit pour une partie A d'un ensemble E son complémentaire dans E, noté ou s'il n’est pas nécessaire de préciser E.

Exercice : Que dire de  ; ; , pour  ?

Intersection, réunion[modifier | modifier le wikicode]





Exercice
  • Que dire de  ?
  • Que dire de de pour  ?
  • Faire le lien entre connecteurs logiques/quantificateurs et différence/réunion/intersection. On en déduit facilement les propriétés suivantes :
Début d’un théorème


Fin du théorème


Différence symétrique[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème


Fin du théorème

Exercice :

  1. Montrer que la différence symétrique est commutative et associative.
  2. Que dire de ; de  ?
  3. Montrer que est distributive sur .

Quantificateurs[modifier | modifier le wikicode]

Quantificateur existentiel[modifier | modifier le wikicode]

  • On écrit pour signifier qu’il existe au moins un x élément de E tel que P(x) soit vrai.
  • On écrit pour signifier qu’il existe un unique x élément de E tel que P(x) soit vrai.

Quantificateur universel[modifier | modifier le wikicode]

  • On écrit pour signifier que pour tous les éléments x de E, P(x) est vrai.

Négations des quantifications[modifier | modifier le wikicode]

On a :